Группы автоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга

В последним десятилетия с проникновением в теорию абелевых групп модульных, гомологических, топологических, теоретико-категорных идей и методов стали интенсивно изучаться различные классы абелевых групп без кручения. Однако в решение проблем, связанных с группами автоморфизмов абелевых групп без кручения, эти новые методы не привели к существенным сдвигам.

Абелевы группы без кручения, являясь бесконечными группами, могут иметь конечную группу автоморфизмов. При изучении таких групп, а именно, групп с конечной группой автоморфизмов, возникают две задачи:

1) для данного класса конечных групп выяснить, какие группы из этого класса реализуются как группы автоморфизмов абелевых групп без кручения?

2) по заданной конечной группе Н, реализуемой как группа автоморфизмов абелевой группы без кручения, описать все группы G с AutG = Н .

Одними из первых работ в направлении решения задачи (1) являются работа Groot J. [22] и работа Vries Н., Miranda A.B. [26]. В первой из них доказано, что существуют 2К неизоморфных абелевых групп G без кручения мощности ^ с группами автоморфизмов AutG = Z{2). Позднее Л. Фукс усилил этот результат, заменив К любым бесконечным кардиналом М, меньшим первого сильно недостижимого [21]. Во второй — найдены все конечные группы Н порядков, не превосходящих 8, для которых существуют с АмС = Н .

Центральным результатом для абелевых групп без кручения, связанным с задачей (1), является теорема Холлета-Хирша [18, с.318- 23]: если конечная группа Н является группой автоморфизмов группы без кручения (7, то группа Н изоморфна некоторой подгруппе конечного прямого произведения групп следующих типов: 2{2), 2(4), 2(6), , ИСп или ВТ24 .

Позднее На11е1^ ¿-" .Т., ШгэЬ К.А. [25] установили такие необходимые и достаточные условия на конечную группу Н, чтобы существовала абелева группа (7 без кручения с АшС = Н. Итак, Дж. Холлет и К. Хирш дали полное описание конечных групп, которые могут служить группами автоморфизмов абелевых групп без кручения, то есть полностью решили задачу (1).

Что же касается строения самих абелевых групп без кручения с той или иной конечной группой автоморфизмов (задача (2)), то вопрос остается открытым [10, вопрос 4.43]. Более того, как следует из результатов работы Бидаэ М., СбЬе1 И. [20], для всякой конечной группы Н, реализуемой в качестве группы всех автоморфизмов некоторой абелевой группы без кручения и произвольного бесконечного кардинала М, существуют 2 м неизоморфных абелевых групп (7 без кручения мощности М с АшО = Н. Этот результат показывает, что едва ли, вообще, возможно полное решение проблемы описания абелевых групп (? без кручения с конечными АшО .

Все известные результаты, полученные до конца 7 0-х годов в направлении решения задач вида (2), фактически представляют собой примеры сильно неразложимых групп (7 без кручения, группы АшО которых изоморфны той или иной конечной группе. С. Ф. Кожуховым изучены квазиразложимые группы конечного ранга с конечными группами автоморфизмов, найдена полная система инвариантов для таких групп [4, 7]. Им предложен метод построения квазиразложимых групп О без кручения с АшО, изоморфными одной из названных выше шести групп Холлета-Хирша [9]. Задача описания строения квазиразложимых групп конечного ранга с конечными группами автоморфизмов фактически полностью решена.

Согласно [7] изучение квазиразложимых абелевых групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов сведено к изучению сильно неразложимых групп с конечными группами автоморфизмов. Группы автоморфизмов последних изоморфны Z (2), Z (4), г (6), ?8, DCn, ВТ24 [б]. Важную роль при изучении сильно неразложимых групп с конечными группами автоморфизмов играют группы минимального ранга с такими группами автоморфизмов. Этот минимальный ранг равен единице в случае, когда группа автоморфизмов изоморфна Z (2), двум — в случаях Z (4), Z (6), и четырем — в случаях, ВСПгВТ2А [24]. Известно, что группа автоморфизмов группы ранга 1 изоморфна Z (2) тогда и только тогда, когда характеристики типа этой группы не содержат символов оо. Что касается групп ранга 4, группы автоморфизмов которых изоморфны, £>С12, ВТ24, то имеется лишь ряд примеров таких групп ([18, с. 320−321], [24], [2 6]). А вот группы ранга 2, группы автоморфизмов которых изоморфны Z (4) или Z (6) полностью описаны в работе [11]. Именно эта работа является идейным источником предлагаемой работы.

Пусть О — группа без кручения конечного ранга и АшО=(фо (р) = 4)=2(Л) (или Ашв={(р о (<�р) = 6)= 2(6)). Тогда для любого g.

Н2={Ь, (р{Ь))* - две непересекающиеся сервантные подгруппы, обладающие автоморфизмом порядка 4 (или б). Для изучения группы АшО важным является вопрос о строении группы Нот (Н1,Н2) и вопрос, когда Нот (Н1,Н2)=0 (теорема 1.1). Поэтому рассматривается задача описания группы Нот (Н1,Н2) и ее группы автоморфизмов, если АиШх = АиШ2 г 2(4) (или 2(6)).

Свойство группы автоморфизмов группы О конечного ранга быть конечной является инвариантным при квазиизоморфизме (теорема 6.1). Естественно возникает вопрос: а сохраняется ли в этом случае сама группа автоморфизмов? В работе рассматривается задача об инвариантности групп автоморфизмов при квазиизоморфизме.

Данная работа является продвижением в направлении решения задач вида (2). Применяются методы, разрабо.

— б танные С. Ф. Кожуховым и В. А. Никифоровым в работе [11], методы теории чисел, а именно, теория сравнений, а также методы На11е1^ СГ.Т., ШгбЬ К.А. [24] - построения сильно неразложимых абелевых групп (7 без кручения с конечными группами АшО .

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение абелевых групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы — новые. Основными являются следующие:

1) получено описание абелевых групп без кручения ранга 2, обладающих автоморфизмом порядка 4 (или б), и их групп автоморфизмов;

2) описано строение группы Нот (А, В), где, А и Вабелевы группы без кручения ранга 2 с АмА = АшВ = (или 2{6)), в частности, решен вопрос о равенстве нулю группы Нот (А, В) ;

3) показано, что для любой квазиразложимой группы О конечного ранга с конечной группой АгйО всегда существует квазиравная подгруппа Н такая, что АиШ? АшО. Для сильно неразложимых групп ранга 2 с конечной группой автоморфизмов это утверждение тоже имеет место.

Работа имеет теоретическое значение. Результаты работы могут быть использованы при изучении абелевых групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов, при изучении групп гомоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых групп и модулей. Методы развиваемые в данной работе, могут быть применены при выделении классов групп без кручения, которые определяются своими группами автоморфизмов.

По теме диссертации опубликовано 5 работ [12−16].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В работе три главы. Основная цель главы I — описать абелевы группы без кручения ранга 2, обладающие автоморфизмом порядка 4 (или 6), и их группы автоморфизмов. Эта глава содержит три параграфа (§§ 1−3).

§ 1 носит вспомогательный характер. В нем приведены основные понятия и факты, наиболее часто используемые в работе. Кроме того, в этот параграф вынесены результаты теоретико-числового характера с тем, чтобы за теоретико-числовыми вычислениями не терялся алгебраический смысл результатов.

Всюду в работе под словом «группа» понимается «абелева группа». В [11] для простых чисел р, сравнимых с 1 по модулю 4, фиксируется пара чисел {%, у} } таких, что х1р + у1р = р, (х1р, р) = {у1р, р) =, и приводятся формулы, .по которым вычисляются пары {хк, , у и } со свойством хр + у1р = рк, (хКр, р) = (уКр, р) = 1. Для простых чисел р, сравнимых с 1 по модулю б, фиксируется пара чисел { р, р } таких, что хр + ур + ру%р = р, (р, р) = -(ух п, р) = 1, и также приводятся формулы, по которым вычисляются пары { хк, , ук р } со свойством +у%р + Хк.рУк.р=1 ' (Хк, р>Р) = (Ук, ргР)^1 • Эти упорядоченные пары чисел используются при описании строения групп О, которые рассматриваются в данной работе, и в дальнейшем часто применяются.

В § 2 изучаются квазиразложимые группы без кручения ранга 2, обладающие автоморфизмом порядка 4 (или 6). Основным результатом этого параграфа является.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть О — квазиразложимая группа без кручения ранга 2, внутренний тип 1 Т (0) которой не содержит символов оо, и пусть О обладает автоморфизмом порядка 4 (или 6). Тогда О вполне разложима и для любого автоморфизма (р порядка 4 (или б) существует такое разложение группы С=(а), Ф (Ь)", что (р{а) = Ъ, (рф) = -а (соответственно, (р{а) = Ъ, <�р (Ь) = -а + Ь) .

§ 3 посвящен описанию сильно неразложимых групп С без кручения ранга 2, обладающих автоморфизмом (р порядка 4 (или б). Из [8] следует, что АшО = 2(4 + 28) х, я<�Х0, где 8 — символ, принимающий значение О п или 1. В § 3 находятся автоморфизмы группы С, которые порождают группы 2(4 +28) и 2.

ТЕОРЕМА 3.4. Пусть группа (7 имеет вид в = (а, Ъ, gp, с1пч р<�вж1г д е я" 2, п = 1,2,.), где-либо Рк^р=хкр ра + укр рь, либо ркрgp= укр ра +хкр рЬ, и либо для всех п = 1,2,. = хп да + уп дЬ, либо для всех п- 1,2,. = упда + хп дЬ .

Тогда АшО = {д?)х г где (р — заданный автоморфизм, дел:2 для которого (р{а)-Ъ, <�р (Ь) = -а + 8Ь, а г}д — автоморфизмы бесконечного порядка, определяемые следующим образом: г}ч: а -> й?!, 6 —>¦ (здесь — решение уравнения + которое всегда существует согласно [11]) .

Для того, чтобы охарактеризовать группы (7 с точностью до изоморфизма, применяется понятие /-типа, введенное в работе [11]. Основным результатом § 3 является следующая.

ТЕОРЕМА 3.7. Пусть (7 — сильно неразложимая группа без кручения ранга 2, внутренний тип 1 Т (0) которой не содержит символов оо, и пусть (7 обладает автоморфизмом порядка 4+28. Тогда группа О однозначно определяется парой {а,/3}, где, а — тип, характеристика которого не содержит символов оо, а ?3 есть /-тип, определяемый /-характеристикой (кр) такой, что: а) к =±-со для всех р е я2 5 б) кр Ф О и кр Ф ±-оо для всех рЕягв) кр = 0 для всех р е я (ях итг2), где я1 и я2 — непересекающиеся множества простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 4 + 28, причем ях — бесконечно, если я2=0, а ямножество всех простых чисел. При этом имеют место следующие утверждения:

1) G = i?(8)zG0, где Я — группа ранга 1 типа, а (равного внутреннему типу 1 Т (0) группы О, а С0 — однородная нулевого типа группа, обладающая автоморфизмом <р порядка 4 + 28, и ОТ{Оа) = |/? | ;

2) в0 = {а, Ъ, gpt с1пдреяи п = 1,2,.), где.

Р[кр^р=хкр[ра + Укррь' если V.

Р^%р=Укр[Ра+хиРь' если кр<0' и для всех п- 1,2,. = хпда + упдЪ, если А: р=+оо, и для всех «= 1,2,. дп<�Зпд=упда + хпдЬ, если кр=-оо ;

3) Ли/С? = г 2(4 + 2?) х, где 2д=2. Причем обц<�алг разующий группы 2(4 + 28) есть, а автоморфизмы бесконечного порядка г/у, определенные в теореме 3.4, являются образующими групп 2д ;

4) если АшС = АиШ и группы О, Н ранга 2 определяются парами {ссс,/Зс} и {"#,/?#} соответственно, то С = Я тогда и только тогда, когда {а0,/Зс} = {ан,/Зн}.

Как мы уже отмечали, изучение групп без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов сводится к изучению сильно неразложимых групп, чьи группы автоморфизмов изоморфны 2(2), 2(4), 2(6), ()%, £>С12 или ВТ2А, и к вопросу о равенстве нулю группы Нот для таких групп.

1. Беккер И. Х., Кожухов С. Ф. Автоморфизмы абелевых групп без кручения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1988. 169с.

2. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972. 495с.

3. Бухштаб A.A. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960. 375с.

4. Кожухов С. Ф. Абелевы группы без кручения конечного ранга без нильпотентных эндоморфизмов//Сиб. ма-тем. ж., 1988. Т.29. № 1. С. 58−69.

5. Кожухов С. Ф. Абелевы группы без кручения с конечными группами автоморфизмов//Х Всесоюзный симп. по теории групп. Тез. докл. Минск, 1986. С. 144.

6. Кожухов С. Ф. Группы автоморфизмов регулярно полных абелевых групп без кручения/Томский ун-т. Томск, 1977. 29с. Библиогр.: 7 назв. Деп. в ВИНИТИ 12.07.77, № 2790−77.

7. Кожухов С. Ф. Конечные группы автоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга//Изв. АН СССР, сер. матем., 1988. Т. 52. № 3. С. 501−521.

8. Кожухов С. Ф. Об одном классе абелевых групп с регулярными автоморфизмами простого порядка//Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1986. Вып. 6. С. 50−56.

9. Кожухов С. Ф. Регулярно полные абелевы группы// Изв. вузов. Матем., 1980. № 12. С. 14−19.

10. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Новосибирск, 1980. Изд. 7 доп.

11. Кожухов С. Ф., Никифоров В. А. Абелевы группы без кручения с конечными группами автоморфизмов//Изв. вузов. Матем., 1989. № 9. С. 30 37.

12. Кожухов С. Ф., Синяк И. Л. Квазиизоморфные абелевы группы без кручения с конечными группами авто-морфизмов/VVI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тез. докл. Львов, 1990. С. 71.

13. Кожухов С. Ф., Фаустова И. Л. Группы гомоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 2//Труды Сургут. ун-та, 1998. Вып. 3. С. 83−96.

14. Синяк И. Л. Абелевы группы без кручения конечного ранга с конечными группами автоморфизмов//Абеле-вы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994. Вып. 11, 12. С. 209−219.

15. Фаустова И. Л. Об автоморфизмах абелевых групп без кручения ранга 2//Междунар. алгебр, конф. Тез. докл. С.-Пб., 1997. С. 294−295.

16. Фаустова И. Л. Об автоморфизмах абелевых групп без кручения ранга 2//Исследования по матем. анализу и алгебре. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1998. С. 233−239.

17. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 335с.

18. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416с.

19. Arnold D.M. Finite rank torsion free Abelian groups and rings//Lect. Notes Math., 1982. V. 931. 191p.- 90.

20. Dugas M., Gobel R. Every cotorsion-free algebra is an endomorphism algebra//Math. Z., 1982. V. 181. P. 451−470.

21. Fuchs L. Indecomposable abelian groups of measurable cardinalities//Ist. nazalta mat. Conv. nov-dic., 1972. V. 13. London-New York, 1974. P. 233−244.

22. Groot J. Indecomposable abelian groups//Indag. Math., 1957. V. 19. № 1. P. 137−145.

23. Hallett J.T., Hirsh K.A. Torsion-free groups having finite automorphism groups//J. Algebra, 1965. V. 2. № 3. P. 287−298.

24. Hallett J.T., Hirsh K.A. Die Konstruktion von Gruppen mit vorgeschriebenen Automorphism gruppen//J. reine und angew. Math., 1969. V. 239−240. P. 32−46.

25. Hallett J.T., Hirsh K.A. Finite groups of exponent 12 as automorphism groups//Math. Z., 1977. V. 155. № 1. P. 43−53.

26. Vries H., Miranda A.B. Groups with a small number of automorphisms//Math. Z., 1958. V. 68. P. 450−464.

27. Warfield R.B. Homomorfism and duality for torsion free groups//Math. Z., 1968. № 107. P. 189−200.