Неравенства и предельные теоремы для последовательностей слабо зависимых случайных величин

I. В диссертации исследуется предельное поведение распределений частичных, суш последовательности слабо зависимых случайных величин со значением в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

В первой главе получены обобщения известных в случае независимых слагаемых неравенств для больших уклонений сумм и максимума частичных суш слабо зависимых случайных величин.

Во второй главе доказан ряд предельных теорем, связанных с аппроксимацией распределений частичных сумм случайных величин с перемешиванием нормальным законом. Здесь обобщаются теорема Харт-мана — Винтера о законе повторного логарифма, центральная предельная теорема Линдеберга и принцип инвариантности Донскера — Прохорова.

В третьей главе обобщаются известные неулучшаемые оценки в принципе инвариантности для независимых слагаемых на слабо стационарные последовательности с равномерно сильным перемешиванием.

Основной целью диссертации является распространение известных в случае независимых слагаемых вероятностных неравенств и предельных теорем на суммы слабо зависимых случайных величин при сохранении таких же моментных ограничениях на отдельные слагаемые.

Основные результаты диссертации докладывались на U Всесоюзной школе коллоквиуме по теории вероятностей (Бакуриани, 1981), на Ш-ей Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981), на Межвузовском семинаре по гауссовским процессам (Ленинград, 1982), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте математики.

СО АН СССР — опубликованы в ?35] - [^Я].

Общий объем 9 2. страниц машинописного текста. Библиография 42 наименований.

2. Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертации.

Пусть */ QV ~~ последовательность случайных величин L t' J с — л со значением в сепарабельном гильбертовом пространстве Н и нулевыми средними, (х^ и |х| - соответственно скалярное произведение и норма в |-j. Через М j3 обозначим ь — алгебру, порож.

V* денную случайными величинами L v, (i I i-?. Положим sup sup |p (6i~M~P (&)| 7.

1−4 L) t С — ^ n.

13 и — .2. f I J it-)'1л >ut. | k (0 I 2 к ^ } 5.

С ~J.

Выписанный выше коэффициент ^(к) — есть коэффициент равномерно сильного перемешивания (или ^ - перемешивания), который был введен И. А. Ибрагимовым (C1JX21).

— * Ь а) В первой главе приводятся неравенства для Ь и р (илл/* (| * х) 4 4 ^ И.

В отличие от наиболее эффективного в случае независимых елагаемых й мартингал-разностей подхода да оценок вероятностей больших уклонений, связанного с исследованием экспоненциальных моментов соответствующих срезанных случайных величин (см. например, в диссертации отправной точкой являются моментные неравенства. Это связано с тем, что в настоящий момент нет достаточно эффективных оценок для экспоненциальных моментов суш слабо зависимых случайных величин.

Теорема 3. Справедливы неравенства.

ЕI (t * с, а К z) L (М, 1 * t 4 г, (D.

Неравенство (I) обобщает на случай последовательностей с f.

2) где Са — некоторая абсолютная постоянная. перемешиванием неравенство фон Бара-Эссеена L9J, неравенство (2) обобщает неулучшаемое неравенство Розенталя Llo].

ПОЛОЖИМ где.

Теорема 2. Справедливо неравенство р (|? Lх 'Ь t i Д.

I (ii- ?6t)) + ь и.

Л fe К i KL ъ L Ul) t и-) в +1 ш) г м, tr -1 Ь где ft Ц) = (Л 0 V-i,) 7 Q (-{-) —^-ij fl (¦?-). л.

Теорема 4. Справедливо неравенство.

Р [упьк (| ^ у) ± х 'Ь Е I 1Ь"А+)('1 + г +.

A ь м vi. '' (3).

X^L (И.) ?1(1 + q ш у где (Х^ i~t) те же, что и в теореме 2.

Зти теоремы являются обобщением неравенства Колмогорова и позволяют получить оценки для Р (vvi с^с | S. I > х) через оцен.

— Vi лькьп к ки для z^и [ • При *t — 2 столь же эффективные и близкие результаты, как и неравенство (3), получены в L’i 'ij [-1 Z J ,.

Теорема 5. Справедливы неравенства р (wax I & С, (4) м.

F4>nft* I ЧС^Г) (^" tetfll-hMx + (5) где с^ - абсолютная постоянная.

Неравенство (5) является в некотором смысле обобщением одного из неравенств Нагаева — <$ука (см. С&-1)• Дисперсионный член здесь хуже, тем не менее, это неравенство (5), его элементарные следствия и теорема 3 позволяют получить обобщения известных предельных теорем для сумм независимых случайных величин на последовательности с равномерно сильным перемешиванием.

Несколько слов об используемой в этой главе технике. Важную роль при доказательстве теоремы 3 играет теорема I, доказанная в § I. (На идейном уровне к доказательству теоремы I ближе всего работа Г-5] .) Затем, используя срезку (§ 2), на основе теоремы I и теоремы 4 мы доказываем справедливость соответственно теоремы 3 при произвольных b^i и теоремы 5. б) Перейдем к содержанию второй главы. Запись И — R здесь и далее означает, что ~ - вещественная прямая,.

В § I приведено обобщение теоремы Хартмана — Винтера о законе повторного логарифма (Г20], гл.10) на последовательности случайных величин с Ч — перемешиванием.

Теорема 7. Пусть выполнены следующие условия (Н — R): •—.

Юм.

I) Г ЧЧ1*)Кг<

2) i^vn L-hj* Р^Ь >Q.

3) Р (1.

Тогда справедлив закон повторного логарифма.

Ctw Sup •—а <

Vi г>".

Р ==;

1 1? D, L L и. и.

В § 2 обобщается центральная предельная теорема Линдеберга (Г2 03, гл. 4) на последовательности с ^ - перемешиванием. Теорема 8. Пусть выполнены условия (ИR) :

D I чУч (к) к — * — ;

2) К, Ъ<�е.

Ул V- 1L > <3. uwf /Ъ. >0 •.

3).

Тогдау где ^ имеет стандартное нормальное распределение.

В § 3 обобщается принцип инвариантности Донскера — Прохорова ([2k] «гл. 6 —) на слабо стационарные последовательности гильбертовозначных случайных величин с равномерно сильным перемешиванием. о».

— слабо стационарна. Ji-w.

Положим.

ТШ ~ z 2 Е,•, и.

Пусть ^цС^Зсепарабельное банахово пространство непрерывных функций из [0,1] в И. Через = {^,(4) обозначим случайную ломаную в Сц UVO с узлами^, К i j, (, j W.) через ^ 3 ^ (1-) — однородный винеровский процесс в С ?0/1J о ковариационным оператором Е [i), fj Т (I) (из предположений нижеследующей теоремы следует, что ^ ~ ковариационный оператор).

Теорема 9. Пусть выполнены условия :

D 2″^Iklk11 <

W = /j.

Jn L 'j.

Тогда и.

Теорема 10. Если { - ~ строго стационарная последовательность и ^ Mk-V <0° 9 то fn *.

Теорема 8 в случае Vh — зависимых слагаемых доказана в fi Теорема 10 обобщает результат Ю. А. Давыдова ([" ИJ). В случае строго стационарной последовательности i ?. Т ^ в R теоремы 7−8 следуют из более сильных результатов, а именно: теорема 7 из It теорема 8 из [" 2." ] (основное отличие зашгочается в том, что в теоремах 7−8 требуется более сильная скорость убывания коэффициентов перемешивания). Вместе с тем, при отсутствии строгой стационарности, имеющиеся в литературе результаты далеки от соответствующих аналогов для независимых слагаемых (см., например, 0l5 ]-Г1&-]).

Основными компонентами доказательств теорем 7, 8 являются:

1) метод С. Н. Бернштейна (С4*]),.

2) аппроксимационная теорема Беркеша-Филиппа (С Ъ'}),.

3) вероятностные неравенства, изложенные в главе I.

При доказательстве теоремы 9 мы доказываем компактность последовательности мер, порожденных процессами, И, и используем теорему 8 (этот путь в случае строго стационарной вещественнозначной последовательности i^- V^ предложен в fl1J).

V L J k — q в) Содержание третьей главы.

Пусть 1 t. v — слабостационарная последовательность вещественнозначных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Положим.

I-! К.

И.

L г ей Г.

Сто О — Е с + * Д е ^ Ъс.

Через 3^ - % l~t) обозначим случайную ломаную с узлами в точках.

С^к^*^6^^) ' k=t<7'V" Л'- «через Ы стандартный винеровский процесс. Пусть f^ обозначает распределение '5 в C[.

Теорема II. Пусть ь" >0 и для некоторого t ^ 2 справедливо неравенство ^ Ю — A k J, V к '], где.

3 > jiu^tu-O, ч — ^.

Иг Mir. { к И’Ч — и^ > Тогда.

ЦРь"-с (6> где С зависит лишь от .

Пусть 7 0 .

Следствие I. Если S i к,) 4 ^ q, а у с < л V к > то при справедливо (6).

Следствие 2. Еспм ^ ^W-V) ^ у к ^ 1 ^.

•тс1 npvi ^ <"Ь с*/ трабеА-МЛс (б),.

Первая оценка скорости сходимости в принципе инвариантности была получена Ю. В. Прохоровым (C27i], 1956). Окончательный по зависимости от отношения Ляпунова результат в зоне I ^ 3 получен А. А. Боровковым (C2&J «1973). В |.19] задача решена в случае независимых и одинаково распределенных слагаемых. В продолжен результат А. А. Воровкова в зону ъ 4. i^S. В 16 Л ,[ 1 J [» 2. решена задача в случае схемы серий независимых случайных величин и доказана неулучшаемость оценки А. А. Воровкова. В случае 2 .

N ^ у&^Чси-*) (м h).

При доказательстве существенно используются: метод С.Н.Берн-штейна СИЛ, ашроксимационная теорема Беркеша — Филиппа [.V" ], оценки в принципе инвариантности А. И. Саханенко, Г 1 ] и вероятностные неравенства, изложенные в первой главе. В t 1 ] отмечено, что оценка порядка h ' в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей случайных величин с перемешиванием является пределом возможности метода С. Н. Бернштейна. По этой причине мы приводим оценки, лишь при t .

Автор выражает благодарность А. А. Боровкову за поддержку и внимание к работе.

1. Ибрагимов И. А. Некоторые предельные теоремы для стационарных в узком смысле вероятностных процессов.- ДАН СССР, 1959, т. 125, М, с.711−714.

2. Бернштейн С. И. Собрание сочинений.- М.: Наука, т.4, 1964.5.. Хасьминский Р. З. О случайных процессах, определяемых дифференциальными уравнениями с малым параметром.- Теория вероятн. и ее примен., 1966, т. П, № 2, с.240−259.

3. Саханенко А. И. 0 скорости сходимости в принципе инвариантности.- Третья Вильнюсская конференция по теории вероятностейи математической статистике, Тезисы докладов, 1981, Вильнюс, т.2, с.135−136.

4. Саханенко А. И. Скорость сходимости в принципе инвариантности для разнораспределенных величин с экспоненциальными моментами.- В сб.: Предельные теоремы для сумм случайных величин, Новосибирск, 1984.

5. Давыдов Ю. А. 0 сходимости распределений, порожденных стационарными случайными процессами.- Теория вероятн. и ее примен., 1968, т.13, М, с.730−737.12. (Чс La<4 (Jb, Li iV s^o^ci^cl l^c^icliitjV. Ъ. KJ 5 p. ?29- 8 33 .

6. М t pe. xi (j'bacL, с и У’ллХапс^ p^nid^ -j-oa cLtj^McU. ib’t cj-й-.л, zr. ЛЛ V, p. 49S- ~So =h, is- 1., pftit|, p vvHm*d wv, i V v CJVt (Mi p тЪги С с |э С^ -j-o^w, р Сл) гO-jlUvji (, H, А й vcdliecl ^CKViotoiY)Mcttidk*. Ahh. PL^-.^W.v.e,"/ вводном.

7. Komfes J-. 5 Haj ог P, Tush (««/y С. Л-и C^jvw KiM^U* of j^iti.^ зи-^о^Z.w., B, 54, н.-l, s. 33-ss,.

8. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин, — М.: Наука, 1972. (,.

9. Колмогоров А. Н. iMkr. oil с шм сХилЖ^V, Ч u jcvtt fe S11 wdej-ь Li И яМ, й h Cj Iyet &t ci S fc.

10. Гихман И. И., Скороход A.B. Теория случайных процессов.- М.: Наука, 1971, т.1.

11. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.- Теория вероятн. и ее примен., 1956, т.1, № 2, с.177−238.

12. Боровков А. А. 0 скорости сходимости в принципе инвариантности.- Теория вероятн. и ее примен., 1973, т.18, № 2, с.217−234.

13. Саханенко А. И. Оценки скорости сходимости в принципе инвариантности.- ДАН СССР, 1974, т.219, 165, с.1076−1078.

14. Городецкий В. В. О скорости сходимости в принципе инвариантности для последовательностей с сильным перемешиванием.- Теория вероятн. и ее примен., 1983, т.28, М, с.780−785.

15. Cf. V Siai и, tV j-o-L tiu? иtke Uvx^mcd. ^j^Xt modioli, ~ho Uu> chdxc С iiilo и 14 cLtjMi (ieA'd ъсиi PSlxtd fi^ril^&yVH I., i4 cxtt, Matt S t< Ptd, } lie ~L &^CoXif,, p.

16. Мальцев B.B., Островский Е. И. Центральная предельная теорема для стационарных процессов в гильбертовом пространстве. Теория вероятн. и ее примен., 1982, т.27, № 2, с.337−339.

17. АЧ и cj Н, ^ с Mit tfi* о’гет л j-оъ ZimhScJUmAc. c^acI От V coi-l, 2?, Wt, A9 j’A fo’i ilu R о Ш и з И о т о ръоил* с h q Hifee-t.

18. Утев С. А. Замечание о скорости сходимости в принципе инвариантности.- Сиб.матем.ж., 1981, т.22, № 5, с.206−209.

19. Утев С. А. Некоторые неравенства и предельные теоремы для слабо зависимых случайных величин.- ХУ Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, 1981, Тбилиси, с.27−28.

20. Утев С. А. Некоторые неравенства для слабо зависимых случайных величин.- Третья Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике, Тезисы докладов, 1981, Вильнюс, т.2, с.204−205.

21. Утев С. А. Вероятностные неравенства для слабо зависимых случайных величин.- Теория вероятн. и ее примен., 1982, т.27, М, с. 201.

22. Утев С. А. 0 законе повторного логарифма для перемешанных случайных величин.- Сиб.матем.ж., 1984, т.25, ЖЕ, с.174−179.

23. Утев С. А. 0 некоторых предельных теоремах для случайных величин с равномерно сильным перемешиванием.- Теория вероятн. и ее примен., 1982, т.27, М, с. 204.

24. Утев С. А. О скорости сходимости в принципе инвариантности для слабо стационарных последовательностей случайных величин с перемешиванием.- Теория вероятн. и ее примен., 1983, т.28, № 3, с.600−601.

25. Утев С. А. Неравенства для сумм слабозависимых случайных величин и оценки скорости сходимости в принципе инвариантности.- В сб.: Предельные теоремы для сумм случайных величин, Новосибирск, 1984, с.50−77.