Моделирование фрактальных структур в задачах многомерной классификации

Актуальность темы

.

В настоящее время теория фракталов является одной из наиболее актуальных и стремительно развивающихся теорий, которые находят самое широкое применение в различных областях деятельности человека. Использование фрактальных моделей позволило значительно продвинуться в решении различных практически значимых задач как обработка цифровой информации, изучение вопросов турбулентного движения жидкостей, исследовании финансовых рынков, получении новых наноматериалов с заданными свойствами, в радиолокации и пр. Значительный вклад в развитие фрактальной теории был внесен такими зарубежными ученымикак Mandelbrot В., Barnsley M.F., Crownover R.M., Devaney R.L., Falconer К., Schroeder M. и др. В России этими проблемами занимались С. В. Божокин, А. Д. Морозов, В. П. Паршин, А. А. Потапов, Б. М. Смирнов и другие.

Интенсивное развитие теории фракталов не только выдвигает новые вопросы, но и позволяет искать подходы к задачам, ранее сформулированных, но не получивших до настоящего времени удовлетворительных решений. Одной из таких задач является классификационная задача. Изучению проблем, связанных с этой задачей, были посвящены работы С. А. Айвазяна, В.М. Буш-табера, А. А. Дорофеюка, Ю. И. Журавлёва, Н. Г. Загоруйко, И. И. Елисеевой, А. И. Орлова и др. Важность классификационной задачи обусловлена как широким спектром её практических приложений, так и той ролью, которую играет эта задача в теориях распознавания образов и искусственного интеллекта. Предлагаемый в диссертационной работе подход к решению указанной выше задачи основывается на современных представлениях фрактальной теории и вместе с тем в значительной степени учитывает уже накопленный опыт и полученные ранее результаты.

В связи с этим тема диссертационной работы, посвященная моделированию решений классификационной задачи в рамках фрактальной теории, является актуальной.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с перспективным планом научно-исследовательских работ ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I» по теме ««Построение и численная реализация новых математических моделей технологических и производственных процессов в АПК», номер государственной регистрации 01.200.1 003 987.

Целью работы является разработка и исследование процедуры генерирования фрактальных данных, позволяющих аппроксимировать эмпирические структуры многомерных данных в классификационных задачах.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи:

1) анализ современных алгоритмов кластерного анализа с целью исследования возможностей применения теории фрактальных множеств в задачах классификации;

2) разработка алгоритма моделирования многомерных фрактальных структур на основе численного метода построения фрактальных множеств, оценка характеристик РСИФ-алгоритма, а также свойств множеств, порождаемых предложенным алгоритмом;

3) разработка программного комплекса средствами языка программирования статистической обработки данных Я для проведения вычислительного эксперимента и исследования структур многомерных данных на основе фрактальных моделей, полученных с использованием предложенных алгоритмов;

4) тестирование разработанного программного обеспечения при решении содержательных прикладных задач.

Объект исследования — фрактальные структуры многомерных данных, полученные с помощью кластерного анализа и применения алгоритмов, в основе которых лежит фрактальный подход.

Предмет исследования — процедура, основу которой составляют рандомизированные системы итерированных функций (РСИФ), позволяющая при решении классификационных задач воспроизводить структурные особенности многомерных данных.

Методы исследования. В работе использованы методы и средства системного анализа, теории вероятностей, математической статистики и прикладного статистического анализа, теории фрактальных множеств, имитационного моделирования и теории оптимизации.

Научная новизна и значимость результатов диссертационной работы.

1. Представлен способ моделирования многомерных фрактальных структур, отличающийся от стандартных методов построения фрактальных множеств использованием процедуры, основанной на обобщении задачи об определении суммы ряда со случайной расстановкой знаков.

2. Разработан численный метод аппроксимации многомерных данных, отличающийся от известных тем, что основан на моделях фрактальных множеств," порождаемых рандомизированными системами итерированных функций.

3. Предложена модификация метода выделения эталонных объектов в классификационных задачах, отличительной чертой которой является учет системных свойств классифицируемой совокупности, что позволяет дать новую интерпретацию типичных объектов в рамках системного подхода.

4. Создан и апробирован метод моделирования многомерных фрактальных структур с помощью рандомизированных систем итерированных функций, реализованный в виде библиотеки прикладных программ «RIFS: Random Iterated Function System», написанной средствами языка статистической обработки данных и программирования R.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в том, что предложенный фрактальный подход позволяет глубже исследовать механизмы формирования структуры многомерных данных и методы выделения типичных объектов в рамках системного подхода.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования состоит в том, что на основе разработанных алгоритмов и методов становится возможным описание механизмов формирования многомерных фрактальных структур и проверка гипотез о соответствии между генерируемыми и эмпирическими данными. В перспективе развитие данных методов позволит осуществить прогноз эволюции системы исследуемых данных.

Основные научные результаты диссертационного исследования могут быть использованы для оценки фрактальных свойств эмпирических данных, а также при решении задач, связанных с построением районированных (стратифицированных) выборок, которые широко применяются при социологических исследованиях.

Исследование фрактальности изучаемой структуры влечет за собой установление её критических состояний, что может найти применение при решении задач управления, связанных с прогнозированием и количественным описанием состояний открытых экономических систем, для своевременного принятия мер при планировании и антикризисном управлении.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы в учебном процессе на экономических факультетах вузов при изучении дисциплин «Эконометрика», «Методы принятия управленческих решений «, «Методы исследования в менеджменте» а также в специальных курсах подготовки магистров по экономическим специальностям.

Теоретическая часть диссертации основана на использовании современных методов дискретной математики, теории вероятностей и теории фракталов. Адекватность разработанных математических моделей и проведенных вычислительных экспериментов подтверждается сопоставлением результатов теоретических исследований с результатами эмпирических исследований на реальных объектах.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских научных конференциях: Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010) — XI и XII Международные научно-практические конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» (Воронеж, 2011, 2012) — V Международная научно-практическая конференция «Социологические методы в современной исследовательской практике» (Москва, 2011) — Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения (Орёл, 2011) — XII Международная молодежная научная конференция «Севергеоэкотех- 2011» (Ухта, 2011) — Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна-2012 (Воронеж) — III, VI, VIII Международные конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2007, 2010, 2012) — Всероссийская научно-практическая конференция «Современные проблемы и перспективные направления развития комплексов и систем военного назначения, форм и способов их боевого применения» (Воронеж, 2011).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 22 научных работы, в том числе 2 самостоятельно- 4 — в научных журналах и изданиях, которые включены в перечень рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных результатов диссертаций. Личный вклад автора в этих работах, состоит в следующем: 1) разработка и реализация алгоритмов [1]- 2) исследование свойств множеств, генерируемых рандомизированными системами итерированных функций [2]- 3) получение и интерпретация результатов решения классификационных задач [3,4].

Структура и объем работы Диссертационная работа изложена на 146 страницах компьютерного текста и состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 180 наименований, включает 2 приложения, 21 рисунков и 7 таблиц.

Результаты исследования структуры многомерных данных позволяют выделить в окончательном варианте следующие 9 классов, которые были для удобства сравнении упорядочены по численности входящих в них объектов. В качестве типичного выступает тот объект, значения признаков которого в наименьшей степени отклоняются от средних значений в классе. Описания каждого полученного класса в целом представляется кратким описанием типичных объектов.

Первый кластер составили следующие страны: Австрия, Андорра, Голландия, Ирландия, Исландия, Кипр, Куба, Лихтейнштейн, Люксембург, Мальта, Норвегия, Сан-Марино, Северная Ирландия, Сингапур, Словения, Фареры, Швейцария, Швеция, Шотландия, Южная Корея. Наиболее яркими представителями этого класса являются: Северная Ирландия, Словения, Австрия.

Предварительно отметим, что этот класс демонстрирует стабильность во времени. В сравнении с результатами классификационных построений за 2006 год большая часть стран, 20 из 24, сохранили свое присутствие в составе этого класса. В сложившихся условиях эти страны характеризуются устойчивым во времени развитием. Во многом этому способствует и проводимая правительствами этих стран внешняя политика. Отметим также, что в классификационных задачах этот кластер является довольно устойчивым — выделяется различными алгоритмами и сохраняется при изменении входных параметров, хотя при дальнейшем исследовании может быть разбит на более однородные группы.

Страны первого кластера характеризуются сравнительно небольшой территорией (в среднем 78,2 млн км") и численностью населения (5670,87 тыс. чел. в среднем) — невысокими уровнями экспорта и импорта — соответственно 14,77 и 13,29 млн долл.- малой инфляцией и безработицей — 3,75 и 3,86%- практическим отсутствием развитой тяжелой промышленности, преобладанием легкой и пищевой промышленности. Эти страны характеризуются высоким уровнем дохода на душу населения (в среднем 30 156,90 долл.), который в значительной части обеспечивается за счет развитой индустрии международного туризма. Величина ВВП в среднем составляет 632,25 млн долл. Сегодня эти страны — одно из главных направлений международного туризма, региональный центр услуг (в основном в сфере банковского обслуживания и морских перевозок) и современный телекоммуникационный узел. Уровень жизни даже выше, чем в некоторых странах-членах Евросоюза, а экономические показатели в сравнении с аналогичными показателями большинства стран ЕС выглядят весьма благоприятно. Основными выращиваемыми сельскохозяйственными культурами являются картофель, другие овощи, зерновые, цитрусовые, виноград и оливки. На животноводческих фермах разводят главным образом крупный рогатый скот, овец, коз, свиней и домашнюю птицу. Рыбное хозяйство возникло из прибрежного и тралового лова, а также разведения морских рыб в естественных условиях.

Второй кластер составили страны Аргентина, Босния, Венгрия, Израиль, Камерун, Колумбия, Мексика, Нигерия, Парагвай, Перу, Сенегал, Сербия, Таиланд, Чили, ЮАР. Наиболее яркими представителями этого класса являются: Сербия, ЮАР, Перу.

Страны этого кластера характеризуются средней по размерам территорией (794,39 млн км"), но при этом достаточно большой численностью населения (примерно 26 338,07 тыс. чел.) — сравнительно невысокими уровнями экспорта и импорта — соответственно 16,55 и 11,99 млн долл. Отметим также, что уровень импорта в странах, образующих этот кластер, является самым низким по сравнению с другими классами по этому показателю. Уровень инфляции не является самым высоким, но очень близко подходит к верхней границе и составляет 5,29%. А вот значение такого показателя, как безработица, находится на самом высоком среди всех выделенных классов уровне — 8,11%. Следствием этого в значительной степени является то, что в странах этого класса среднедушевой доход является самым низким и в среднем составляет 9617,97 долл.

Если раньше представителей данного класса можно было по показателям предыдущей классификации (2006 г.) отнести в разные классы, то по показателям за 2007 год они образовывают единый кластер. Совокупность стран, вошедших в этот класс, в целом характеризуется сравнительно невысокими показателями экономического развития. Этот кластер в основном образуют страны Латинской Америки. Количество стран этого класса по сравнению с классификацией по результатам 2006 года увеличилась с 11 до 15. Основная часть кластера, представленного в предыдущей классификации, сохранила свое положение. По итогам развития за 2007 г. в этот класс добавились такие страны, как Венгрия и Израиль, которые в прошлой классификации характеризовались как страны с устойчивым во времени развитием экономики. И наоборот, ряд стран из класса с более низкими показателями экономического развития, такие как Босния, Камерун, Колумбия, Сенегал, Сербия, ЮАР, перешли в этот класс. В прошлом экономика этих стран характеризовалась как экономика переходного периода.

Страны этого кластера в целом можно охарактеризовать как успешно развивающиеся страны, которые стремятся проводить более независимую политику в экономическом развитии по сравнению со странами некоторых других кластеров. Однако зависимость от экономик более развитых стран приводит к тому, что в целом класс характеризуется невысокими показателями экономического развития.

Третий кластер образуют Азербайджан, Армения, Белоруссия, Болгария, Грузия, Дания, Латвия, Литва, Молдавия, Турция, Украина, Эстония. Наиболее яркими представителями этого класса являются Болгария и Украина.

Так же как и в классификации 2006 года, основу этого кластера составили преимущественно страны СНГ. В некотором смысле этот кластер можно было бы охарактеризовать как некое объединение постсоветских республик.

По классификации 2007 года в этот класс добавились такие страны, как Белоруссия, Азербайджан, Литва, Армения. Вошедшая в состав этого кластера Дания заменила присутствовавших там прежде Польшу, Хорватию, Словакию.

Страны СНГ, окружающие Россию, как известно, импортируют большое количество товаров, в том числе и продуктов питания. Многие из этих государств выполняют функции посредника между Европой и Россией.

Страны этого кластера характеризуются сравнительно небольшой территорией (119,88 млн. км") и численностью населения — примерно 13 011,72 тыс. чел. в среднем. Они имеют самый высокий уровень импорта-40,66 млн долл., преобладающий над средним уровнем экспорта — 26,04 млн долл. Инфляция в странах этого класса одна из самых высоких — 7,51%. Уровень безработицы также несколько выше среднего среди всех класов — 6,14%. Следует отметить, что развитие энергетики в странах этого класса находится на самом низком уровне. Все отмеченные выше факторы в целом приводят к тому, что среднее значение ВВП в странах этого класса, составляющее 110,80 млн долл., является самым низким среди выделенных классов.

В целом эти страны могут быть охарактеризованы как индустриально-аграрные. Наиболее развиты легкая и пищевая промышленность. Данный кластер составляют страны, у которых объемы импорта и экспорта очень высокие.

Направление экономического развития этих стран ставится в зависимость от развития соседних стран, потребляющих их продукцию. Поэтому приоритетное развитие получают текстильная, пищевая отрасли. Имеются перспективы развития предприятий машиностроительной, нефтехимической и деревообрабатывающей отраслей. Дополнительно проведенный анализ свидетельствует о большой экономической активности стран этого кластера.

Однако развитию этих стран не хватает самостоятельности, которой характеризуются системы, основанные па постоянной, самоподдерживающейся экономической основе роста. Эта зависимость от экономик более развитых стран и приводит к тому, что в целом класс характеризуется весьма невысокими показателями экономического развития. Зависимость стран этого класса от развития экономик стран-импортеров приводит к тому, что эти страны имеют один из самых высоких уровней безработицы и инфляции среди всех рассмотренных в нашей работе классов.

Четвертый кластер образуют страны Албания, Бразилия, Греция, Италия, Казахстан, Македония, Польша, Румыния, Словакия, Хорватия, Чехия. Наиболее яркими представителями этого класса являются: Македония, Румыния, Италия.

Для стран этого кластера характерна достаточно большая территория Л.

1141,47 млн км) и численность населения (29 214,83 тыс. чел. в среднем) — достаточно высокий уровень импорта — 37,02 млн долл., средний уровень экспорта — 39,30 млн долл. Инфляция чуть ниже среднего — 4,18%, уровень безработицы составляет 7,91%, что превышает среднее значение в целом по всей совокупности. Если рассматривать данный класс по отношению к другим, то это единственный класс, где нет минимальных или максимальных значений по какому-либо показателю.

Нельзя сказать, что этот класс является точной копией класса из предыдущей классификации. Данный класс был сформирован на основе средних показателей, что, на наш взгляд, позволяет сказать, что он является средним (переходным) от классов со сравнительно слабой экономикой к классам с более стабильными и сильными показателями.

Данный кластер представляют развитые индустриально-аграрные страны. Например, Италия — один из крупнейших в мире и ведущий в Европе производитель цитрусовых (свыше 3,3 млн т в год), томатов (свыше 5,5 млн т), винограда (около 10 млн т в годсвыше 90% перерабатывается в вино), оливок.

В этих странах популярпо цветоводство, развито птицеводство. В сельском хозяйстве этих стран преобладает растениеводство. Основные культуры — пшеница, кукуруза, рис, сахарная свёкла. Также развито строительство и сфера услуг. В развитии экономики большинства стран этого класса значительное место отводится сфере услуг и туризму.

Наиболее распространенной формой воздействия государства на экономику является участие крупнейших государственно-монополистических объединений — Института промышленной реконструкции — ИРИ. Такие страны, как Италия, — законодатель моды и новых тенденций в дизайне. В ней выпускаются такие известные во всем мире марки одежды как Armani, Dolce&Gabbana, имеется много брендовых фирм не только по производству одежды, но и мебели.

Пятый кластер составили слующие 8 стран: Англия, Бельгия, Германия, Испания, Португалия, Саудовская Аравия, Финляндия, Франция. Наиболее яркими представителями этого класса являются: Франция, Испания.

Страны этого кластера отличаются от стран других кластеров тем, что, располагая небольшой территорией (у типичных представителей в среднем 519,96 млн кГ) имеют пропорционально невысокую численность — в среднем 32 895 тыс. чел. Данный класс имеет высокие уровни безработицы и инфляции (соответственно 7,96 и 7,68%), причем необходимо заметить, что показатель инфляции является самым высоким по сравнению с другими классами.

Страны этого кластера имеют достаточно хорошо развитую химическую промышленность (10,55%), уступая по этому показателю только странам, специализирующимся в этой отрасли. Отмечается сравнительно небольшое значение показателя импорта (22,51%, так как страны этого класса ввозят в основном ресурсы, поскольку они практически полностью исчерпали собственные минеральные ресурсы) — низкий показатель экспорта (21,91%) — высокий уровень качества жизни населения (среднедушевой доход составляет 27 296 долл. США). Низкий уровень потребления энергоресурсов (5,83%) объясняется широким использованием энергосберегающих технологий. ВВП составляет в среднем 1 098,85 млн долл., что является третьим по величине среди всех выделенных классов.

Все страны данного кластера — это высокоразвитые индустриальные страны. Экономика данного кластера характеризуется разнообразием промышленности и сельского хозяйства. Ведущее место в промышленном производстве занимают транспортное и общее машиностроение. Развита химическая, радиоэлектронная, электротехническая промышленность, информатика, судостроение. Ведущей отраслью промышленности является автомобильная промышленность, на долю которой приходится около 4% производства легковых автомобилей в мире. В энергетической стратегии основное внимание уделяется развитию атомной энергетики, а также альтернативным источникам энергии. Сельское хозяйство является наиболее опекаемой государством отраслью, основа его — частное землевладение. Управление сельским хозяйством осуществляется как через систему государственных специализированных органов, так и ряда смешанных обществ, в большей частью отраслевого характера. Государственное регулирование осуществляется в основном путем экономического воздействия. Сельское хозяйство высоко индустриально. Ведущей отраслью сельского хозяйства является животноводство.

Шестой кластер составляют страны Индия, Канада, Китай, Россия, США. Напболее ярким представителем этого класса являются США.

Отметим, что этот кластер выделяется при использовании выпукло допустимых алгоритмов, а в разбиениях, производимых алгоритмами связно допустимыми на заданном уровне или иерархическими алгоритмами, этот кластер, как правило, не образуется. Это говорит о том, что уровень однородности среди стран этого кластера гораздо меньше, чем в кластерах, рассмотренных выше. Тем не менее, мы считаем возможным анализировать и сравнивать эти страны с единых позиций, поскольку в экономиках этих стран можно найти много общего.

По целому ряду показателей экономического развития страны этого кластера занимают лидирующее положение в мировой системе хозяйствования. Страны данного кластера характеризуются большой территорией. Численность населения колеблется от 25 500 тыс. (Канада) до 1 055 052 тыс. (Китай). ВВП в данном кластере очень высок. Доля химической промышленности составляет 17,32% в среднем от объема страны. Данные страны сами производят многие товары, что характеризуется высоким уровнем экспорта — 33,28%.

Наиболее ярким представителем этого кластера являются США. Экономика США — крупнейшая и одна из наиболее диверсифицированных национальных экономик мира. Большая часть ВВП создается в отраслях сферы услуг, куда относятся, прежде всего, образование, здравоохранение, наука, финансы, торговля, различные профессиональные и личные услуги, транспорт и связь, услуги государственных учреждений.

Общая закономерность происходящих отраслевых сдвигов стран этого класса заключается в заметном снижении в экономике удельного веса сырьевых отраслей и сельского хозяйства. Среди отраслей материальной сферы промышленность остается важнейшей, она по-прежнему обеспечивает высокий уровень технического развития других сфер хозяйства. Именно в ней сегодня в первую очередь аккумулируются новейшие достижения НТО. Страны располагают одними из самых высокоэффективных хозяйств в мире. Отличительной чертой их экономики является ориентация на ПТП и передовую технику.

По сравнению с классификацией за 2006 год в этом кластере изменений не произошло. Страны данного кластера продолжают развиваться и занимают лидирующие позиции как по темпам роста, так и по объёму валового национального продукта.

Седьмой кластер образуют Кувейт, ОАЭ, Япония. В этот кластер входят страны, являющиеся лидерами мировой нефтедобычи и высоких технологий.

Основа экономики Кувейта и ОАЭ — производство и экспорт сырой нефти и газа. Развита также нефтепереработка и нефтехимия. В рассматриваемый период доля доходов от добычи и переработки нефти в общем объёме ВВП снизилась, что связано с падением мировых цен на нефть. Одновременно выросло значение других секторов экономики в структуре ВНП, в том числе строительства, торговли, туризма и сельского хозяйства. Несмотря на бесплодный и засушливый характер местности, для которой характерны очень низкий уровень осадков и отсутствие рек, инвестиции в сельское хозяйство помогают построить заводы по опреснению воды, что делает эту отрасль экономики все более и более самостоятельной и доходной. Удобрения, которые производит Кувейт, составляют важную составную часть экспорта страны.

Нефть обеспечила быстрый рост экономики ОАЭ всего за несколько десятилетий, однако и другие сектора экономики также развивались достаточно быстро, особенно внешняя торговля. Порт Рашид и порт Жабел Али в Дубайи и Фуджайрахе входят в число лучших контейнерных портов в мире. Эти порты пропускают через себя порядка трех миллионов контейнерных единиц в год. ОАЭ лежат на полпути между странами Дальнего Востока и Европы, что способствует превращению страны в международный экономический центр. В стране хорошо развита транзитная транспортная инфраструктура, имеются развитые телекоммуникации.

Крупнейший партнер по торговле — Япония, которая забирает наибольшую долю нефтяного и газового экспорта ОАЭ и также является крупным импортным поставщиком, главным образом, транспортных средств, электроники и различных изделий для потребителей.

Страны этого кластера характеризуются самым низким уровнем безработицы — 3,03%, располагают небольшой территорией — в среднем 157,87 млн У км". Инфляция в этих странах ниже среднего уровня (4,23%), так как они являются лидерами мировой нефтедобычи и высоких технологий. Этот же факт позволяет объяснить следующие цифры: экспорт — 74,10% и среднедушевой доход — 38 870,00 млн долл., что является самыми высокими показателями по сравнению со значениями в других классах.

Восьмой и девятый кластеры образуют изолированные объекты, такие как Ирак и Уэльс.

Выделение этих объектов алгоритмами кластерного анализа в значительной мере связано со свойствами допустимости самих алгоритмов [38, с. 158 163.]. В ходе построения классификации эти объекты относились то к 3-му, то к 4-му кластерам. В значительной степени решение о рассмотрении их как изолированных объектов принято на основании свойств ранговых распределений построенной типологии [5], согласно которой в системной классификации с необходимостью должны присутствовать изолированные объекты.

Для объяснения причин выделения таких резко отличающихся (нетипичных) объектов только использованных статистических данных, как правило, бывает недостаточно и поэтому приходится привлекать дополнительную информацию, имеющую опосредованное отношение к формированию значений классификационных признаков.

Экономика Ирака развивалась очень динамично и стремительно в 70-е годы, и это государство считалось одним из наиболее развитых государств Азии. Но при этом Ирак представлял собой страну, которая характеризуется ярко выраженной односторонней экономикой, состояние которой находится в сильной зависимости от нефтяного сектора. Военные операции, повлекшие за собой внутриусобные беспорядки, способствовали снижению добычи нефти, что повлекло за собой резкое снижение производства в других секторах экономики. Это хорошо видно из того, что уровень безработицы является максимальным среди всех рассматриваемых стран — 27%. Кроме этого, падение мировых цен на нефть, имевшее место в последнее время, также вызвало снижение доходов. Безусловно, у этой страны есть потенциал занять прежнее место на международной арене, так как Ирак обладает вторыми по величине запасами нефти в мире, однако из-за таких проблем, как не прекращающиеся военные операции, неэффективность государственного аппарата и проводимой политики, не дают возможность экономике этой страны прогрессировать.

Уникальность экономики Уэльса выражается в том, что все показатели, кроме среднедушевого дохода, находятся на уровне ниже средних значений по всей классифицируемой совокупности. Объясняется это тем, что на протяжении последних двадцати лет правительственное Агентство развития Уэльса привлекло в экономику региона более двух тысяч инвестиционных проектов на общую сумму около 14 миллиардов евро (22,4 миллиарда долл. США). Это, в свою очередь, помогло созданию более двухсот тысяч рабочих мест, из которых семьдесят тысяч приходится на промышленные предприятия, принадлежащие зарубежным инвесторам. Уэльс превратился в важнейший центр производства потребительских товаров и электроники, оптического и электрического оборудования, автоматических компонентов и двигателей, химикалий, строительных материалов, аэрокосмического оборудования, продуктов питания и напитков. Были произведены серьёзные капиталовложения в научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы. Однако темпы роста новых предприятий оказались слишком низкими, а число закрывающихся компаний оказалось слишком большим. Непосредственно на долю экономики Уэльса приходится лишь 25% годового роста ВВП. Более 60% населения живет в районе, где ВВП составляет менее 75% от среднего уровня ВВП в Европейском союзе. Всё это в целом и делает столь своеобразным положение Уэльса среди других стран мировой экономической системы.

Обобщая полученные результаты, отметим, что функционирование экономической системы в 2007 г. не привело к значительным структурным изменениям по сравнению с предыдущим годом. В целом мировая экономическая система эволюционировала плавно, без значительных колебаний. Финансовый кризис, о котором много будут говорить и писать в последующие годы, практически никак ещё не проявился в 2006;2007 гг. в сфере экономических отношений. Другими словами, никаких объективных предпосылок экономического характера в рассматриваемый период обнаружено или выявлено не было. Фактически наступающий кризис 2008 года будет в значительной мере спровоцирован представителями финансовых структур только одной страны (попятно, в чьих интересах) и не будет связан с объективными условиями развития всей мировой экономической системы.

Как показал сравнительный анализ построенных классификаций, основной характер типологии сохранился, т. е. выделенные структуры типов не претерпели каких-либо кардинальных изменений. Так, несмотря на некоторые перемены в составах выделяемых классов, в основном сохранились следующие типы стран:

•тип развитых стран, в значительной мере определяющих в целом направление развития всей мировой системы в целом (кластер 6),.

• тип стран, в основном европейских, гармонически развивающих свою экономику (кластер 5),.

• тип малых стран, ориентированных на развитие инфраструктуры, сферы услуг и туристического бизнеса (кластер 1),.

• тип динамично развивающих свою экономику стран, ещё не полностью раскрывших свой потенциал (кластер 2).

• тип стран с уникальной экономикой, сложившейся под влиянием экстраординарных условий общеполитического или экономического характера (кластеры 7 и 8).

Другие типы выражены не столь контрастно, и их положение в классификационной схеме менее определенно. Составы кластеров, определяющих эти типы, в большей степени подвержены изменениям. Тем не менее, эти кластеры довольно четко проявляются при исследовании структур многомерных данных. Их наличие в значительной мере объясняется той специфической ролью, которую страны этих типов выполняют в системе мирового хозяйства. Многие из них демонстрируют состояние устойчивой динамики, в котором пребывают объекты этих кластеров, находящиеся на стадии определенного экономического развития.

Переход стран из одного кластера в другой и даже резкое обособление связываются нами (на наш взгляд) со спецификой этих стран, с особенностями проводимой ими политикой и не затрагивают целостности всей системы, в сохранении которой, как показывают современные события, заинтересованы практически все успешно развивающиеся страны. Поддержание целостности системы и заинтересованность в сохранении её структуры проявляются, в частности, в последних решениях Европейского союза.

Рассмотрим результаты классификационных построений стран, представленных в [15]. По сути дела в таблице 3.2 представлены ранговые распределения стран мировой экономической системы. Проводя логарифмирование, получим необходимые данные для построения регрессионного уравнения (3.5).

Оценки параметров для уравнения (3.5) с 95% уровнем надежности, полученные методом наименьших квадратов, по данным за 2006 г. представлены в таблице 3.2, а по данным за 2007 г. — в таблице 3.3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе на основе выполненных теоретических и прикладных исследований в области моделирования фрактальных структур в задачах многомерной классификации получены следующие результаты.

1. Проанализированы современные алгоритмы кластерного анализа, на основании чего был сделан вывод о возможности использования фрактального подхода в решении классификационных задач.

2. Разработана процедура, являющаяся обобщением РСИФ и отличающаяся от них способом формирования структур многомерных данных. Исследование свойств множеств, генерируемых РСИФ, позволило предложить новый способ моделирования многомерных фрактальных структур, основанный на обобщении задачи об определении суммы ряда со случайной расстановкой знаков. Выведены формулы для оценки параметров рандомизированных систем итерированных функций и множеств точек протофрактала.

3. Предложена процедура генерирования многомерных фрактальных структур, реализованная в виде библиотеки прикладных программ «RIFS: Random Iterated Function System», написанной средствами языка статистической обработки данных и программирования R, позволяющей совершенствовать предложенные методы построения фрактальных множеств в исследовании структур многомерных данных. Пакет RIFS доступен па правах лицензии GPL-3 по адресу URL: http://cran.r-project.org/web/packages/RIFS/index.html.

4. В результате исследования генерируемых процедурой дискретных множеств были установлены свойства, характеризующие мощность, разрешимость, перечислимость и совершенство фрактальных множеств, а так же получены оценки параметров рандомизированных систем итерированных функций и множеств точек протофрактала позволяющие использовать эти результаты в решении классификационных задач.

5. Продемонстрирована работоспособность и эффективность предложенной методики при решении прикладных задач.

В целом применение фрактальной теории в анализе данных открывает новые возможности для изучения структуры данных и поиска закономерностей, которые невозможно выявить другими традиционными методами.

Результаты экспериментальных исследований, связанных с выделением фрактальных структур многомерных данных, представляют практический интерес для дальнейшего изучения свойств и связей между объектами систем, которые позволяют уточнить представление об изучаемой совокупности и о протекающих процессах в изучаемой системе.

Разработанный в диссертационной работе подход, направленный на выделение фрактальных структур в многомерных данных, позволяет повысить качественный уровень и эффективность в изучении законов формирования структур многомерных данных.