Некоторые числовые характеристики разрешимых групп и алгебр

В настоящей диссертации изучаются свободные группы разрешимых многообразий, а именно, вычисляются некоторые их числовые характеристики. Так, например, оценена примитивная ширина свободной метабелевой группы и точно вычислена вербальная ширина произвольной степени свободной нильпотентной группы ступени 2 конечного ранга. Так же с помощью вычисления вербальной ширины квадрата свободной ассоциативной алгебры решен вопрос об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных алгебр.

Приведем основные результаты:

1. Произвольный элемент свободной метабелевой группы ранга п > 3 раскладывается в произведение не более четырех примитивных элементов. Произвольный элемент свободной метабелевой группы ранга 2 представим как произведение трех примитивных элементов, и эта оценка неулучшае-ма.

2. Ширина четных степеней свободной нильпотентной группы ранга п ступени 2 равна 2[п/2]+1. Ширина нечетных степеней свободной нильпотентной группы ранга п ступени.

2 равна 1.

3. Ширина квадрата свободной ассоциативной алгебры ранга г над произвольным полем равна г. Следовательно, свободные ассоциативные алгебры различных конечных рангов элементарно не эквивалентны.

Перейдем теперь к более подробному обзору содержания диссертации.

Основной результат главы 1 — доказательство того, что примитивная ширина свободной метабелевой группы произвольного ранга конечна, и ее оценка.

В п. 1.1. вводятся понятия примитивного элемента, примитивной ширины элемента и примитивной ширины группы, свободной в некотором многообразии.

Пусть Рп — свободная группа ранга п. Тогда Сп = Оп{У) = Рп/У — свободная группа ранга п в многообразии групп, определенном множеством тождеств V.

Элемент д Е Сп называется примитивным тогда и только тогда, когда его можно включить в некоторую базу д = #1, д2, дп группы (7П. Примитивную ширину дрг элемента з 6 Сп определим как наименьшее число т такое, что д можно представить в виде произведения т примитивных элементов. Примитивная ширина |Сп|рг группы Сп есть число 8ирдеапдрг. Таким образом, можно говорить о конечной или бесконечной примитивной ширине данной относительно свободной группы.

В п. 1.2. рассматриваются свободные абелевы группы Ап ранга п и доказывается.

Предложение 1.1. Любой элемент с? Ап, п > 2, представляется в виде произведения не более двух примитивных элементов.

В п. 1.3. рассматривается свободная метабелева группа М2 ранга 2 и доказывается.

Предложение 1.2. Любой элемент из коммутанта свободной метабелевой группы М2 представим в виде произведения не более трех примитивных элементов.

В п. 1.4. аналогичное утверждение доказывается для произвольного элемента группы М^. Наконец, в п. 1.5. рассматривается общий случай свободной метабелевой группы Мп ранга п > 3. Сначала доказывается.

Предложение 1.5. Любой элемент и? М’п, п > 3, представляется в виде произведения не более четырех примитивных элементов.

Затем.

Предложение 1.6. Любой элемент и? Мп, п > 3, можно представить в виде произведения не более четырех примитивных элементов.

Заметим, что существует элемент группы М2, не пред-ставимый в виде произведения двух примитивных элементов. Отсюда следует, что примитивная ширина группы М2 равна в точности 3.

Глава 2 посвящена вычислению точной ширины произвольной степени свободной нильпотентной группы ступени 2 конечного ранга.

В п. 2.1. вводится понятие ширины вербальной подгруппы произвольной группы относительно некоторого слова т.

Пусть С — произвольная группа, тС — её вербальная подгруппа, определённая словом ио. Шириной ии{с1(д, ии) элемента д 6 и-С относительно слова т назовём наименьшее число I такое, что д представим как произведение I значений слов, ш±-1 в группе С. Определим ширину произвольного подмножества М С как wid (M, ии) = 8ирдем^г (1(д^).

Заметим, что гигс1(М, ъи) может быть бесконечной.

Понятие ширины вербальной подгруппы гиС идет от Ф.Холла. Термин «ширина», как и приведенное выше обозначение, ввел Ю. И. Мерзляков в [3] (см. также [4, § 12]). Зарубежные авторы используют также термин «эллиптическая» для вербальных подгрупп конечной ширины и «параболическая» — для вербальных подгрупп бесконечной ширины.

Приведем основные известные результаты о ширине вербальных подгрупп.

Пусть Л обозначает многообразие всех абелевых групп, Як — многообразие всех нильпотентных групп ступени не выше к, V — класс всех полициклических групп и Т — класс всех конечных групп. Через СТ> обозначим произведение классов групп С жТ>, т. е. класс всех групп, являющихся расширениями групп из класса С с помощью групп из класса V. Через Л^ будем обозначать свободную нильпотентную группу ранга п ступени к, а через Мп — свободную метабелеву группу ранга п. Через (ж, у) обозначим коммутатор х~1у~1ху.

1. Ширина уо1(1(М'п, (х, у)) коммутанта свободной метабе-левой группы конечного ранга п конечна, а бесконечного ранга — бесконечна.

Первое утверждение фактически доказано А. И. Мальцевым в [5], второе следует из результатов работ [6, 7, 8].

2. Ширина произвольной вербальной подгруппы гиб* алгебраической группы матриц С конечна.

Это теорема Ю. И. Мерзлякова [3] (см. также [4]).

3. Если (7? ЛЯк — конечно порожденная группа, то любая ее вербальная подгруппа иоС имеет конечную ширину.

Этот результат принадлежит Строуду — ученику Ф. Холла, погибшему вскоре после защиты диссертации [9], в которой есть его доказательство. Оно известно специалистам. Основным утверждением в нем является теорема, которую можно найти в [10], согласно которой некоторый член нижнего центрального ряда группы С пересекается с ее центром по единице. Автора познакомил с теоремой Строуда профессор В. А. Романьков.

4. Если С 6 ЛС — конечно порожденная разрешимая группа, где С класс, в котором каждая конечно порожденная группа удовлетворяет условию максимальности для нормальных подгрупп, то ее коммутант С имеет конечную ширину относительно слова (х, у). По известной теореме Ф. Холла конечно порожденные группы из произведения АР удовлетворяют условию максимальности для нормальных подгрупп, поэтому приведенное утверждение в частности верно для ЛЛТ—групп.

Это теорема Ремтуллы [11].

5. Если С Е V или С Е — конечно порожденная группа, то любая ее вербальная подгруппа тС имеет конечную ширину.

Это теорема В. А. Романькова [12], в частном случае внеш-некоммутаторного слова ъи и полициклической группы О она доказана в работе [13].

6. Любая нетривиальная собственная вербальная подгруппа и>(7 свободного произведения групп С = А * Б, А > 3, В > 2, имеет бесконечную ширину.

Это хорошо известный результат Ремтуллы [14]. Аналогичные утверждения получены для некоторых НИ И—расширений В. Г. Бардаковым [15].

Приведенный список результатов далеко не полон. Данная глава, впрочем, направлена не на доказательство конечности или бесконечности ширины вербальной подгруппы, а на ее точное вычисление. Работ, в которых ширина точно вычисляется или оценивается, не так много. Отметим некоторые из них.

7. При п > 2 ии{(1{К2,{х, у)) = [п/2]- при к > 3.

Кь (хтУ)) = п.

Результат доказан Х. С. Алламбергеновым и В.А. Романь-ковым в [6] (см. также [7]). Отсюда кстати вытекает, что ширина коммутанта свободной нильпотентной группы бесконечного ранга бесконечна. К сожалению, в работе [6] не разобран случай п = 2, к = 3, закрытый в работе [16].

8. При п > 2 х, у)) = п.

Это теорема анонсирована X.С. Алламбергеновым [17] и полностью им доказана в его кандидатской диссертации. Она следует из результатов работы [16].

9.В работе [8] было только замечено, что п/2] < (х, у)) < п.

10. (М. АкЬауап-Ма1ауеп, А. Rhemtulla [16]).

Если С свободная нильпотентная-над-абелевой группа ранга п > 2, то wid (G/1 (х, у)) = п.

Основной результат главы 2 — теорема о вычислении ширины произвольной степени Ы1п2 свободной нильпотентной группы ступени 2 ранга п.

Теорема 2.1.

1) При п > 2, произвольном к > 1.

2[п/2] + 1.

2) При любых п, к гт (1(Ы%+х2к+1) = 1.

Вычисление вербальной ширины подгруппы — это наиболее трудный и принципиальный случай. Этому посвящен п. 2.2. В начале этого пункта доказывается лемма 2.1, из которой следует, что все вычисления можно проводить относительно группы йп = ^2/^2(^2)2> чт0 значительно их упрощает.

Доказательство основного результата состоит из двух шагов. Шагом 1 доказывается, что wid (G'n^x2) = 2[п/2] + 1.

Шаг 2 — это доказательство равенства: уог^С^х2) = 2[п/2] + 1.

В п. 2.3. рассматривается случай произвольной нечетной степени и произвольной четной степени.

В главе 3 дается ответ на вопрос И. В. Львова [19] (вопрос 2.78):

Верно ли, что свободные ассоциативные алгебры над полем конечных рангов т, п (т > п, п > 2) элементарно эквивалентны?

Ответ: Нет, не верно.

Ответ получен с использованием вычисления ширины квадрата А2 свободной ассоциативной алгебры Аг ранга г над произвольным полем.

Определим ширину гиг (1(В2) квадрата В2 произвольной ассоциативной алгебры В. Все значения слова V = гх<1 в.

В порождают подалгебру В2. Такая подалгебра называется вербальной относительно V. Произвольный элемент Ъ? В2 можно записать в виде к.

Ь = Ь^, Ь{, С^ е В (3.1) г=1.

Шириной и)1(1(Ъ) элемента Ъ назовем минимальное количество слагаемых в представлении вида (3.1). Шириной шгд{В2) квадрата В2 алгебры В назовем зир})?в2и]^(Ь).

Вначале доказывается.

Теорема 3.1. Ширина квадрата ъи{с1(А2) свободной ассоциативной алгебры Аг ранга г над произвольным полем равна г.

В п. 3.2. доказывается.

Лемма 3.1. Допустим, ассоциативные алгебры В ж С таковы, что ио1й (В2) ф ъ)%А{С2). Тогда ТНВ ф ТИС.

Отсюда следует отрицательный ответ на упомянутый вопрос И. В. Львова.

Следствие 3.1. Свободные ассоциативные алгебры различных конечных рангов над произвольным полем элементарно не эквивалентны.

Аналогично доказывается утверждение о несовпадении теорий неабелевых нильпотентных свободных ассоциативных алгебр разных конечных рангов.

1. Bachmuth S. Automorphisms of free metabelian groups // Trans.Amer.Math.Soc. 1965. V.118. P. 93 104.

2. Линд он Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

3. Мерзляков Ю. И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп// Алгебра и логика. 1967, Т.6, т. С. 83−94.

4. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы, 2-е изд. М.: Наука, 1987.

5. Мальцев А. И. О свободных разрешимых груп-пах//Докл. АН СССР. 1960, № 130. С. 495−498.

6. Алламбергенов Х. С., Романьков В. А. О произведениях коммутаторов в группах// Сиб. мат. журн., 1985. Деп. в ВИНИТИ. 4566−85 Деп. 19с.

7. Алламбергенов Х. С., Романьков В. А. О произведениях коммутаторов в группах// Докл. АН Уз ССР. 1981. Т.4. С. 14−15.

8. Bavard С., Meighiez G. Commutateurs dans les groupes metabeliens// Indag. Math. New Ser. 1992. V.3, №. P. 129−135.

9. Stroud P. Thesis. Cambridge, 1966.

10. Robinson D. A course in the theory of groups. New YorkHeidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1982.

11. Rhemtulla A.H. Commutators of certain finitely generated soluble groups//Canad. J. Math. 1969. V.21. P. 1160−1164.

12. Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп// Алгебра и логика. 1982. Т. 21, № 1. С. 60−72.

13. Wilson J. On outer-commutator words// Canad. J. Math. 1974. V. 26, № 3. P. 608−620.

14. Rhemtulla A.H. A problem of bounded expessibility in free products//Proc.Cambridge Phil. Soc. 1968. V.64, № 3. P. 573−584.

15. Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых HNN-расширений. Препринт № 9. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1995.

16. Akhavan-Malayeri M., Rhemtulla A.H. Commutator length of abelian-by-nilpotent groups// Glasgow Math. J. 1998. V.40, № 1. P. 117−121.

17. Алламбергенов X.C. О ширине коммутанта свободной метабелевой группы// 10-й Всесоюзный симп. по теории групп: Тезисы докл. Минск, 1986. С. 5.

18. Бардаков В. Г. К теории групп кос// Матем. сб. 1992. Т.183, т. С. 3−42.

19. Днестровская тетрадь. (Нерешенные проблемы теории колец и модулей.)Издание третье. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982.

20. Tolstykh V. The automorphism group of an infinitely generated free group is complete// Комбинаторные и вычислительные методы в математике: Тезисы докладов. Омск: ОмГУ, 1998. С. 131−133.

Литература

.

21. Smirnova E.G. On a decomposition of an element of a free metabelian group as a product of primitive elements// Вестник Омского университета. 1996,№ 2,-C.8−10.

22. Смирнова Е. Г. Об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных алгебр// Комбинаторные и вычислительные методы в математике: Тез. докл. межд. конф. Омск: ОмГУ, 1998.-С.124.

23. Смирнова Е. Г. Об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных алгебр// Сб. науч. трудов: Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Омск: ОмГУ, 1999.-С.243−246.

24. Смирнова Е. Г. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два//Сиб. мат. журнал (принято к печати).

25. Смирнова Е. Г. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два// Препринт. Омск: ОмГУ, 1999.-19 с.