Весовые оценки одного класса интегральных операторов дробного типа

Историю дробного исчисления следует, по видимому, вести с работ Н. Абеля и Ж. Лиувилля. В работе Н. Абеля [27] в связи с задачей о таутохроне решено интегральное уравнение х>а>Ъ<�а<1. (0.0.1).

Решение дано для произвольного, а Е (0,1), хотя задача о таутохроне приводит к случаю, а = В 1832—1837 гг. появляется серия работ Ж. Лиувилля [46], [47], [48], [49], сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного интегродиффе-ренцирования. Она еще не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие другими исследователями, но в ней уже высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Исходное определение Ж. Лиувилля, предложенное им в работе [46], 1832 г., основано на формуле дифференцирования показательной функции и относится к функциям /(ж), представимым в виде ряда оо к=О.

Для них, по определению Ж. Лиувилля, оо.

Ва!{х) =^{кОакеак} (0.0.2) к=О при любом (комплексном) а. Ограничительность этого определения, очевидно, связана со сходимостью ряда. Исходя из определения (0.0.2), Ж. Лиувилль получает в работе [46, с. 7] формулу дифференцирования степенной функции. Более того, в этой же работе на с. 8, Ж. Лиувилль выводит (не совсем строго с современной точки зрения) формулу о~а1{х) = Уо ф + -СХ) < Ж < оо, а > о,.

0 (0.0.3) называемую теперь (без множителя (—1)°) лиувиллевской формой дробного интегрирования.

Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана [67], и X. Хольмгрена [38]. Работа Б. Римана, выполненная им в 1847 г. в студенческие годы, была опубликована только в 1876 г.— спустя 10 лет после его смерти. Б. Риман пришел к конструкции дробного интегрирования.

1Мх) = тщ1 (х ж>0, а>0' (ао" 4) служащей с тех пор наряду с конструкцией (0.0.3) Ж. Лнувилля одной из основных форм дробного интегрирования. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в [65] и в капитальной монографии [16], где, в частности, выражение (0.0.4) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римана-Лиувилля.

Для 0 < р < оо обозначим через Ь9 := 1^(М+) множество всех измеримых на М+ = [0, оо) функций таких, что.

Пр := ^ Ях) Чху < оо.

При р = оо, р := еэвэир]/(ж)| = т£ {а > 0: тез ({а: е М+: |/(ж)| > а}) = 0} ж>0 истинный или существенный супремум).

Первой из всего круга задач, связанных с дробным интегродиффе-ренцированием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида ии)(х)у (х)Чх^ «< С 1/(^)1^ «, (0.0.5) где 0 < р, д < оо, р > 1, и (х) и у (х) — локально суммируемые весовые функции.

Данная задача восходит к работам Г. Г. Харди и Д. Е. Литтлвуда (см. [26, теоремы 329, 383, 402]), в которых найдены критерии выполнения (0.0.5) со степенными весами. Кроме того, для некоторых приложений имеется необходимость исследовать компактность оператора / н-) — у1а (и/) в пространствах Лебега.

Активное развитие выделенной области началось с 70-х годов прошлого века, когда в работах Г. Таленти [80], Д. Томаселли [81], Б. Му-кенхаупта [60], Дж. Брэдли [32], А. Л. Розина и В. Г. Мазьи [56], [57], [9], В. М. Кокилашвили [5], С. Д. Рименшнайдера [68] и других авторов был полностью изучен случай, а = 1. В конце 80-х в работах В. Д. Степанова [17], [18], [19], [20], [22], были найдены критерии ограниченности и компактности операторов 1а при, а > 1. Далее, в 90-х годах, эти результаты были обобщены на более широкий класс операторов в работах Р. Ойнарова [10], [И], X. Мартина-Рейеса и Э. Сойера [55], С. Блума и Р. Кермана [30], [31] а также В. Д. Степанова и его учеников [50], [51], [62], [63], [7], [8], [52], [61].

Случай а. Е (0,1), за исключением одного результата К. Андерсена и Э. Сойера [29], оставался мало исследован. В 1994 г. в рамках изучения поведения й-чисел одновесового оператора / н-> у (1а/) в 1? в работе И. Ньюмена и М. Соломяка [64] был указан критерий ограниченности и компактности при, а > Этот результат послужил отправной точкой для исследований в работе Д. В. Прохорова [66], где получены критерии выполнения (0.0.5) при и = 1,0 < р, д < оо, р > тах (1, и критерии компактности. Отметим, что для более узкого интервала параметров ряд аналогичные результаты независимо получены А. Месхи [58]. Кроме этого, во второй главе диссертации мы обобщаем эти результаты при условии монотонности одной из весовых функций для оператора.

ТІЛ*) := «(*) Г.

Л {х-УГ с локально суммируемыми весовыми функциями и (х) и у (х), при условии, что и монотонно убывает на Также даны двойственные варианты этого результата.

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий ЬР —> Ья—ограниченности и компактности интегрального оператора вида где и (х) и у (х)—неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что и монотонно убывает на М+.

Такая задача является новой, потому что ядро оператора не является ни дробным, ни класса Ойнарова, а произведением ядер этих типов.

В четвертой главе для семейств операторов Римана-Лиувилля рассматриваются проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из настоящего введения, четырех глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы. Параграфы, теоремы, леммы и определения занумерованы двойным индексомпервая его часть представляет номер главы, вторая — порядковый номер соответственно параграфа или теоремы, леммы и определения в данной главе. Нумерация формул наследует нумерацию параграфов, добавляя свой порядковый внутри параграфа номер. Так, например, теорема 1.3 означает третью теорему в первой главе, а формула (2.4.1) означает первую формулу параграфа § 2.4, то есть четвертого параграфа второй главы.

Первая глава «Интегральные операторы.» .

Первая глава содержит обзор известных результатов и описание некоторых особенностей интегральных операторов.

Вторая глава «Ограниченность и компактность дробных операторов Римана-Лиувилля.» .

Пусть Ш+ класс всех измеримых функций /: [0, оо) —" [0,+оо]. Данная глава содержит следующие основные результаты. Рассмотрен дробный оператор Римана-Лиувилля вида с локально суммируемыми весовыми функциями и и и. В первом параграфе найдены критерии I/ —" 1/?—ограниченности оператора Та, когда 0 < р, д < оо, р > 1/а, при условии, что и монотонно убывает на М+. В первом параграфе найдены критерии —>• Ьд—ограниченности оператора Та.

Теорема 1. Пусть а- € (0,1), ^ < р < д < оо, г> е Ш+ и и? монотонно убывает на [0,оо). Тогда неравенство 6 (0.0.6) выполнено, если и только если, Ло + А < оо, где.

Ао := вирАо^) = эир о, а 1 и А1:= виргде.

Ак := вир Ак (г) ге (2к, 2к+1} ье{2к, 2к+1} Более того, С ~ Ад + А. вир 2к{-а~1).

Теорема 2. Пусть, а е (0,1), р > 0 < д < р < оо, ± := ± - ±, г" € 9РТ+ и и? 5РТ+ монотонно убывает на [0,оо). Тогда неравенство (0.0.6) выполнено, если и только если, Во + В < оо, где.

Д) :=.

00 1,4 vq (s)ds р

S (i-Qk J f2k+1 k€Z.

2k.

UPt)dt.

P Vq{t)dt t (l-a)q vq{t)dt x (up'{t)dtY ds) =:

4*:€Z.

Более того, С ^ Bq + B.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность Та.

Теорема 3. Пусть a G (0,1),? < р < q < оо, v G ШТ+ и и? монотонно убывает на [0, оо). Для компактности оператора Та из LP в Lq, необходимо и достаточно, чтобы Aq + А < оо и lim AqU) = lim Ao (t) = 0, t-? о t-> oo lim Ak = lim Ak = 0. k—>—oo k-^+oo.

Теорема 4. Пусть, а E (0,1), p > 0 < q < p < oo,? := ± -Рассмотрим v € 9JI± и G монотонно убывает на [0, оо). Тогда оператор Та: LP —>¦ Lq компактен, если и только если Bq + В < оо.

В последнем параграфе приведены результаты об ограниченности и компактности двойственного оператора вида при условии, что и монотонно возрастает на := [0, оо).

Теорема 5. Пусть, а Є (0,1), ^ < р < д < оо, у Є и и Є монотонно возрастает на [0,оо). Тогда неравенство.

Г4{ГПх)(іх)Р'1 є9и+' (о'о, т) выполнено, если и только если А^ + А < оо, где и := вир^Л^, где, А := зир е (2к, 2к+Ч вир 2к^ ((Ґ ир'^з ] .

Более того, С ~ Ад + А|.

Теорема 6. Пусть, а Є (0,1), р > 0 < д < р < оо, ^ := ± - -и Є и и Є монотонно возрастает на [0,оо). Тогда неравенство (0.0.7) выполнено, если и только если + В{ < оо, где и г2к+1 / /*в г/р уя (З)(уЩсИ] к х Ц2 ^ =: •.

Более того, С «-Вд +.

Теорема 7. Пусть, а Є (0,1), ^ < р < д < оо, у Є и и Є ШТ+ монотонно возрастает на [0, оо). Длл компактности оператора Т* из LP в Lq, необходимо и достаточно, чтобы А*0 + А < оо и.

Теорема 8. Пусть, а е (0,1), р > 0 < д < р < оо,? := 1 — и € Ш+ и и? монотонно возрастает на [0, оо). Тогда оператор Т*: Ц3 —>• Ьд компактен, если и только если В^ + В < оо.

Третья глава «Ограниченность и компактность одного интегрального оператора.» .

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий —> ^—ограниченности и компактности интегрального оператора вида где и (х) и v{х)—неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что и монотонно убывает на М+.

В первом параграфе найдены критерии LP —" L9—ограниченности оператора La?.

Теорема 9. Пусть, а > О, max (^, 1) < р < q < оо,? > 1. Пусть v е ШТ+ и и? монотонно убывает на [0, оо).

I) Если, а +? > 2, то неравенство lim A*0(t) = lim A*0(t) = О, t-* оо lim A*k = lim A*k — 0. e 9Л+, (0.0.8) выполнено, если и только если, А + В < со, где.

Л, as Л US I.

А0(а, р) := supAo (i) = sup ' ' w w ' t>о i>0 Jt x i.

•i ?

1 -a)q x ^ / up (y)dy Ai (a,/3) := sup Ai (t) = sup о f00 vq (x)dxi t>о i>o ЧЛ ж l-a)g l.

1 / Ч i7.

2, / t P 9 xU '.

Л := A0{a, p) + A1(a, p),.

B0(a,/3) := sup B0(t) = sup sup ([ vq (x)(x — s){a+p^qdx t>о i>o Л, v (Г^ШуУ.

J, yV-w) '.

Bi (a, P) := sup-Bi (i) = sup sup (/ vq (x)dx t>0 i>0 а6[|)4] ЧЛ У.

В := BQ (a, P) + B1(a, P). Более того, С «Л + В.

II) Если 1 < a + Р < 2 тео неравенство (0.0.8) выполнено, если и только если, А + D < оо, где.

D := supDfc = sup sup Dk{t) кеZ fceZ fe (2fc, 2fc+1].

2fc+1 e / rt sup sup / vq{s)ds / uvs) ds keZ te{2fc, 2fc+1] 4Ji у ЧЛ*" 1.

Более того, С ~ Л + .D. р

Теорема 10. Пусть, а > 0, ?3 > 1, р > шах (^, 1), 0<(/<£><оои? := ^ — Пусть V Е 9Л+ и и Е 9Л+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если, а + (3 > 2 то неравенство (0.0.8) выполнено, если и только если, А + В < оо, где г/Я.

I / / ?-ТтП 1п — -^г/.-г.

Ао (<*, 0) := о х (1-а)д, 1 *ы Л 1/г х П иру) йу ир>(г)(И.

А^/3) :=.

ОО / г ОО д уд (х)с1хг^р

Х (1 -а)д) г/р'.

1/г.

X (^.

— г*1 / е1Ь г/д п2к ^ ^ 1/г х (I у? Шу г г/р

1к г/р' л 1! Т X.

I /*2к+1 / /, 2'г+1 Р) := / / г" 1 1/г х П Шу) г/(*)<�Й г/? 2fc+! / 2k+l J^ f jf rt y/P' ї1/г x П {t-y)^+?-2^upl{y)dy) vq (t)dt l/r (Bj-i0(a, ?) + Bj^a, /3) + B²(a, ?) + B³(a, /3)) 1 Более того, С «А + В.

II) Если 1 < а +? < 2 то неравенство (0.0.8) выполнено, если и только если, А + В < оогде г2к+> г/р

D := У22к{а~1)Г J v4(s)yJ v.

Более того, С ~ А + Ю>.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность Lai?.

Теорема 11. Пусть, а > 0,? > 1, max (^, 1) < р < q < оо. Пусть v Є ШТ+ и и Є ШТ+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если, а +? > 2, то оператор La? из LP в Lq компактен, если и только если, А + В < оо и lim Ai (t) = lim AAt) = 0, i = 0,1, t->0 t—>oo lim BAt) = lim BAt) = 0, і = 0,1. i->-0 t-> oo.

II) Если 1 < а +? < 2, то оператор La? из L9 в Lq компактен, если и только если, А + D < оо и lim Ai{t) = lim AAt) =0, і = 0,1, i-«0 i—"oо lim Dk = lim Dk = 0. к->—оо k—>+oo.

Теорема 12. Пусть, а > 0,? > 1, p > < q < p < оо и Пусть v? Ш+ и и? ШТ+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если, а +? > 2, то оператор La?: U —" Lq компактен, если и только если, А + В < оо.

II) Если 1 < а +? < 2, то оператор Ьаф: IP —Lq компактен, если и только если, А + В < оо.

Четвертая глава «Проблема насыщаемости для операторов Римана-Лиу вилля.» .

Данная глава содержит следующие основные результаты. Пусть, А > 0 и 9 := {</?д (у)}—семейство положительных функций, неубывающих по у таких, что ip? Ll (I) для любого интервала I С М+ и г 4>{их) lim = 0,.

А-юо фд (ж) для всех X и и? (0,1), где.

Фх (х):=[ (ху)у<�рх (у)(1у, ж > 0,7 > 0, Л > 0. J о.

Рассмотрим оператор Римана-Лиувилля вида.

1 Г.

АvJ{x) := -—7-т / {х — уУМу)1Шу> А > 0, 7 > 0, ж > 0,^aW JО.

Глава посвящена доказательству сходимости lim Al? xf (x) = f (x), а—>00 почти всюду (п.в.) и аналогичной проблеме сходимости по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору.

Теорема 13. Предположим, что {(р (y)}£$s. Пусть /—локально интегрируемая функция на М+. Тогда в любой точке Лебега х? R+ функции f имеем.

HmiГ (х — уУ<�рх (у) f (y) — f (x)dy = 0. а-юо ФА (я) Jо.

Пример 1. Пусть /—измеримая функция наМ+. Пусть существует Ло > 0 такое, что yx°f (y) Е Ll{I) для каждого ограниченного подин-тервала I С R+. Если х Е R+ является точкой Лебега функции /, тогда lim Тлf (x) = /(ж),.

А—юо.

ГДе.

Таf (x) = ^ Г (х — y) Vf (y)dy, ®-{х) J о и еА (х) = J'*(x — y)7yxdy.

Замечание 1. При j — Л имеем.

ФА (ж) := [ {хy)xip (y)dy. Jo.

Пусть х > О, Л > 0 и положим ф (х) := хх. Тогда Ф (х) = сх2Х+1 где.

Из формулы Стирлинга для приближённого вычисления факториала и гамма функции следует что п «V'2-кп J, п Е N, п —>¦ +оо,.

Г (А +1) и >/2тгА0^ ,.

Г (2А + 2) «x/242ATT)^ е Таким образом, когда Л -» оо получим и.

2Л + 12Л+1.

1 / Л 2А 1 са «— i.

VAV2A + 1/ /Л4а Замечание 2. Пусть 0 < o < |. Тогда fX — 6.

1 f 1 J := liminf——- / (ж — y) Vdy > o-a->oo Фд (а-) Jо 2.

Определение 1. Пусть 0 < оо (х)—измеримая функция. Для 0 < р < оо обозначим 1%(Е) множество всех измеримых функций на Е С таких, что aw-={JJu (x)f (x)Y>dx) <00.

Теорема 14. Если f Є Ц.7,0 < р < оо, 7 > 0, то lim ||f (ix)-f (x)\^=0.

Теорема 15. Пусть, а > 0 и {<£>а (ї/)} Є Предположим, что существует Ф (и) такое, что для всех и є (0,1) неравенство.

ФлМ — Ai выполнено для всех х Є (0, а). Такэюе предположим, что limsup ЦФлІкчод) = С < оо,.

Л—>оо и для всех а>0и0<�в<1 lim ||u-e*A (iO|Ui (0fio = 0.

Л—>00.

Тогда для f Є Lpxl{0, а), 1 < р < оо, 7 > О, 1 lim л—>оо.

Фд (ж) Л 0.

Пример 2. Как и в примере 1, для / Е 1⁷(0,а), 1 < р < 00,7 > 0 имеем.

Иш ||(Тд — /)/||^(о, а) = 0.

Теорема 16. Пусть {</?д (у)}ЕЭ. Пусть существует Фл (и), такая, что монотонно возрастает и для всех 0,1), ж7+1у?д (иж).

Фа (х) Фа И, для всех жб (0,а) — и.

Нш ФдЫ = 0.

Тогда для любой равномерно непрерывной функции / на (0,а) — 0<�а<�оо,.

Всюду в работе произведения вида 0 • оо полагаются равными нулю. Соотношения, А <С В означает, А < сВ с константой с, зависящей только от р, д, а, (3 и могут быть различны в разных местах. Если, А <С В и, А В, то мы пишем, А «В. Z обозначает множество всех целых чисел, ~ характеристическую функцию множества Е.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН профессору В. Д. Степанову за постановку задач, полезные советы, внимание к работе и неоценимый опыт научной деятельности. имеем Х (Х-УУч>хшШУ-№ =о.

Уо х.

Иш эир, /.

А->оо0<�ж<�а Фа (ж) Уо.

1. Банах С. Курс функционального анализу. // Киев. 1948.

2. Батуев Э. Н., Степанов В. Д. Весовые неравенства типа Харди. // Препринт. ВЦ ДВНЦ АН СССР. 1987. 22с.

3. Батуев Э. Н., Степанов В. Д. О весовых неравенствах типа Харди. // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. № 1. С. 13−22.

4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. // Наука, М.: 1984.

5. Кокилашвили В. М. О неравенствах Харди в весовых пространствах. // Сообщ. АН ГССР. 1979. Т. 96. № 1. С. 37−40.

6. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. // М.: Наука. 1966.

7. Ломакина E.H., Степанов В. Д. Об операторах типа Харди в банаховых функциональных пространствах на полуоси. // Доклады АН. 1998. Т. 359. № 1. С. 21−23.

8. Ломакина E.H., Степанов В. Д. Об асиптотическом поведении аппроксимативных чисел и оценках норм Шаттена-фон Неймана для интегрального оператора Харди. // Доклады АН. 1999. Т. 367. № 5. С. 594−596.

9. Мазья В. Г. Пространства С.Л. Соболева. // Л.: ЛГУ 1985.

10. Ойнаров Р. Весовые неравенства для класса интегральных операторов. // Доклады АН СССР. 1992. Т. 44. С. 291−293.

11. Ойнаров Р. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов. // Тр. МИАН. 1993. Т. 204. С. 240−250.

12. Ойнаров Р. Ограниченность и компактность интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в весовых пространствах Лебега. // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52. № 6. С. 13 131 328.

13. Прохоров Д. В. Об операторах Римана-Лиувилля с переменными пределами. // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. №- 1. С. 156−175.

14. Прохоров Д. В., Степанов В. Д. Весовые оценки операторов Ри-манаЛиувилля и приложения.// Труды МИАН. 2003. Т. 248. С. 289−312.

15. Раутиан H.A. Об ограниченности одного класса интегральных операторов дробного типа.// Матем. сб. 2009. Т. 200. № 12. С. 81−106.

16. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. // Минск: Наука и техника. 1987.

17. Степанов В. Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля1. // Препринт. ВЦ ДВО АН СССР. Владивосток. 1988.

18. Степанов В. Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля1. // Препринт. ВЦ ДВО АН СССР. Владивосток. 1988.

19. Степанов В. Д. Весовые неравенства типа Харди для производных высших порядков и их приложения. // Доклады АН СССР. 1988. Т. 302. № 5. С. 1059−1062.

20. Степанов В. Д. О весовых неравенствах типа Харди для производных высших порядков. // Труды МИАН. СССР. 1989. Т. 187. № 5. С. 178−190.

21. Степанов В Д. Об ограниченности и компактности одного класса интегральных операторов. // ДАН СССР. 1990. Т. 302. № 3. С. 544−545.

22. Степанов В. Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувил-ля. // Известия АН, сер. матем. 1990. Т. 54. № 3. С. 645−656.

23. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования. // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 298−317.

24. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования. // Тр. МИАН. 2008. Т. 260. С. 264−288.

25. Треногин В. А. Функциональный анализ. // М.: Физматлит. 2007.

26. Харди Г. Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. // ИЛ. М.: 1948.

27. Abel N. Н. Solution de quelques problemes a Г aide d’integrales definites. // Oeuvres Completes. Grondahl, Christiania, Norway, 1881. V. 1. P. 16−18.

28. Ando T. On compactness of integral operators. // Nederl. Akad. Wetensh. Proc. ser. A-65. № 2 Indag. Math. 1962. V. 24. № 2.

29. Andersen K.F., Sawyer E.T. Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weyl fractional integral operators. // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V. 308. № 2. P. 547−558.

30. Bloom S., Keiman R. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type. // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. 113. P. 135−141.

31. Bloom S., Kerman R. Weighted integral inequalities for operators of Hardy type. // Preprint.

32. Bradley J.S. Hardy inequalities with mixed norms. // Canad. Math. Bull. 1978. V. 21. № 4. P. 405−408.

33. Booton B., Sagher Y. Asymptotic behavior of Hardy operators. // J. Math. Ineq. 2011. V. 5. № 3. P. 383−400.

34. Chen T., Sinnamon G. Generalized Hardy operators and normalizing measures. //J. Ineq. Appl. 2002. V. 7. P. 829−866.

35. Edmunds D. E., Stepanov V. D. On the singular numbers of certain Volterra integral operators. // J. Funct. Anal. 1995. V. 134. P. 222 246.

36. Gogatishvili A., Lang J. The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach function spaces. // J. Ineq. Appl. 1999. V. 4. P. 1−16.

37. Gurka P. Generalized Hardy’s inequality. // Cas. Pest. Mat. 1984. V. 109. P. 194−203.

38. Holmgren H. Om differentialkalkylen med indices af havd na. tur som heist. // Kongliga Svenska Ventenkaps-Akademiens Handlingar. 1866. V. 5. № 11. P. 1−83.

39. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals1. // Math. Zeit. 1928. V. 27. P. 565−606.

40. Heinig H. Weighted norm inequalities for certain integral operators1. // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. V. 95. P. 387−395.

41. Heinig H.P., Sinnamon G. Mapping properties of integral averaging operators. // Studia Math. 1998. V. 129. P. 157−177.

42. Kokilashvili V., Meskhi A. Criteria for the boundedness and compactness of operators with power-logarithmic kernels. // Anal. Math. 2001. V. 27. P. 173−185.

43. Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type. // River Edge: Word Sei. Publ. Co. Inc., 2003.

44. Kufner A., Triebel H. Generalizations of Hardy’s inequality.//Conf. Sem. Mat. Univ. Bari. 1978. № 156. P. 1−21.

45. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy type operators. // Proc. London Math. Soc. (3) 1999. V. 79. № 3. P. 649−672.

46. Liouville J. Memoire sur quelques Questions de Geometrie et de Mecanique, et sur un nouveau genre de Calcul pour resoudre ces Questions. // J. Ecole Polytech., 1832. T. 13. Sec. 21. P. 1−69.

47. Liouville J. Memoire sur le Calcul des different idles a indices quelconques. // J. Ecole Polytech., 1832. T. 13. Sec. 21. P. 71−162.

48. Liouville J. Memoire sur le changement de la variable independante dans le calcul des differentielles a indices quelconques. // J. Ecole Polytech, 1835. T. 15. Sec. 24. P. 17−54.

49. Liouville J. Memoire sur l’integration des equations differentielles a indices fractionnaires. // J. Ecole Polytech, 1837. V. 15. № 55. P. 58−84.

50. Lomakina E.N., Stepanov V.D. On the compactness and approximation numbers of Hardy-type operators in Lorenz spaces. // J. London Math. Soc. 1996. V. 53. P. 369−382.

51. Lomakina E.N., Stepanov V.D. On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces. // Publ. Mat. 1998. V. 42. P. 165−194.

52. Lomakina E.N., Stepanov V.D. On asymptotic behavior of the approximation numbers and estimates of Schatten-von Neumann norms of the Hardy-type integral operators. // Function spaces and application. Narosa Publishing House. New Dehli. 2000. P. 153−187.

53. Lomakina E.N. The boundedness and compactness of generalized Hardy operator with variable limits of integration. //Preprint. CC FEB RAS. Khabarovsk. 2000. № 46.

54. Lorente M. A characterization of two weight norm inequalities for one-sided operators of fractional type. // Canad. J. Math. 1997. V. 49. № 5. P. 1010−1033.

55. Martin-Reyes J.F., Sawyer E.T. Weighted inequalities for Riemann-Liou-ville fractional integrals of order one and greater. // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 106. P. 727−733.

56. Maz’ya W. Einbettungssatze fur Sobolewsche Raume. Teil 1. // Teubner-Texte zur Mathematik, Leipzig. 1979.

57. Maz’ya W. Einbettungssatze fur Sobolewsche Raume. Teil 2. // Teubner-Texte zur Mathematik, Leipzig. 1980.

58. Meskhi A. Solution of some weight problems for the Riemann-Liouville and Weyl operators. // Georgian Math. J. 1998. V. 5. P. 564−574.

59. Meskhi A. Criteria for the boundedness and compactness of integral transforms with positive kernels. // Proc. Edinburgh Math. Soc. 2001. V. 44. P. 267−284.

60. Muekenhoupt B. Hardy’s inequality with weights. // Studia Math. 1972. V. 44. P. 31−38.

61. Nasyrova M.G. Overdetermined weighted Hardy inequalities on semi-axis. // Proceedings of the International Conference on Function Spaces and Applications to the Partial Differential Equations. Narosa Publishing Hous. New Dehli. 2000. P. 201−231.

62. Nasyrova M.G., Stepanov V.D. On weighted Hardy inequalities on semiaxis for functions vanishing at the endpoints. // J. of Inequal. and Appl. Th. 1997. V. 1. P. 223−238.

63. Nasyrova M.G., Stepanov V.D. On maximal overdetermined Hardy’s inequality of second order on a finite interval. // Math. Bohemica. 1999. V. 124. № 2−3. P. 293−302.

64. Newman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis. // Integr. Equat. Operl. Th. 1994. V. 20. P. 335−349.

65. Oldhan K.B., Spanier J. The fractional calculus. // Academic Press. New York and London. 1974.

66. Prokhorov D. V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators. // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. P. 617−628.

67. Riemann B. Versuch einer Auffassung der Integration und Differentiation. // Gesammelte Werke. Leipzig: Teubner, 1876. P. 331−344.

68. Riemenschneider S.D. Compactness of a class of Volterra operators. // Tohoku Math. J. 1974. V. 26. P. 385−387.

69. Roy den H.L. Real analysis. // Macmillan. 2nd ed. Co. London. 1988.

70. Rudin W. Real and complex analysis. // Mc Graw-Hill Book. 2nd ed. Co. New York. 1974.

71. Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial-type inequalities. //J. Math. Anal. Appl. 1991. V. 160. № 2. P. 434−445.

72. Sinnamon G., Stepanov V.D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1. // J. London Math. Soc. (2) 1996. V. 54. № 1. P. 89−101.

73. Solomyak M. Estimates for the approximation numbers of the weighted Riemann-Liouville operator in the spaces Lp // Operator Theory. Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 371−383.

74. Stepanov V.D. Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators. //J. London Math. Soc. 1994. V. 50. № 2. P. 105−120.

75. Stepanov V.D. Weighted norm inequalities for integral operators and related topics. // Nonlinear analysis, function spaces and applications. Prague. 1994. V. 5. P. 139−175.

76. Stepanov V.D. On the lower bounds for Schatten-von Neuman of certain Volterra integral operators. //J. London. Math. Soc. 2000. V. 61. P. 905−922.

77. Stepanov V.D., UshakovaE.P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications. // Math. Ineq. Appl. 2010. V. 13. № 3. P. 449−510.

78. Stepanov V.D., Ushakova E.P. Hardy operator with variable limits on monotone functions. //J. Funct. Spaces Appl. 2003. V. 1. № 1. P. 1−15.

79. Stepanov V.D., Ushakova E.P. On boundedness of a certain class of Hardy-Steklov type operators in Lebesgue spaces. // Banach J. Math. Anal. 2010. V. 4. P. 28−52.

80. Talenti G. Osservasioni sopra una classe di disuguaglianze. // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1969. V. 39. P. 171−185.

81. Tomaselli G.A. A class of inequalities. // Boll. Un. Mat. Ital. (4) 1969. V. 2. P. 622−631.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

82. Farsani S.M. On saturation problems for Riemann-Liouville operators. // Bull. PFUR. Ser. Math. Inf. Sci. phys. 2011. № 4. P. 16−22.

83. Фарсани C.M. Об ограниченности и компактности дробных операторов Римана-Лиувилля. // Сибирский матем. журнал. 2013. Т. 54. № 2. С. 468−479.

84. Farsani S.M. On the boundedness and compactness of a certain integral operator. // Banach J. Math. Anal. 2013. V. 7. № 2. P. 86 102.

85. Farsani S.M. On the asymptotic behavior of certain operator. // The 8th congress of the international society for analysis, its applications, and computation. Moscow. 2011. P. 203.

86. Farsani S.M. Weighted estimates for a certain integral operator. // The 4th international conference function spaces, differential operators, general topology and problems of mathematical education. Moscow. 2013. P. 45.