Шейповые инварианты и их категорные характеристики

Актуальность темы

.

Теория шейпов — сравнительно молодая теория в гомотопической топологии, открытая польским топологом К. Борсуком [9]. Она действует там, где обычные гомотопические методы становятся мало пригодными, а именно в тех случаях-, когда локальное (топологическое) строение изучаемых объектов плохое: Если же это не так, например в случае абсолютных окрестностных ретрактов, теория шейпов совпадает с гомотопической теорией и ничего нового не дает.

Однако в настоящее время в самых различных областях математика все чаще и чаще приходится встречаться с объектами, обладающими плохой локальной структурой.

Теория шейпов имеет дело с глобальными топологическими свойствами пространств. Она тесно связана с теорией ретрактов, в частности с теорией так называемых АЫЯ — пространств.

Шейповые инварианты определяются как свойства объектов или морфизмов шейповой категории, сохраняющихся при изоморфизмах (эквивалентностях) рассматриваемой категории.'.

Важным шейповым инвариантом является свойство подвижности топологических пространств. Для метризуемых компактов оно. было введено и изучено Борсуком [9], для бикомпактов — Мардешичем и Сегалом [61].

Класс подвижных пространств существенно шире класса CWкомплексов. Это понятие, в частности^ замечательно тем, что многие классические результаты алгебраической топологии, которые верны для СЖ-комплексов,.втеории шейпов обобщаются для подвижных: пространств. 4.

Так обстоит дело с теоремой Уайтхеда в теории шейпов, которая утверждает, что шейповый морфизм^: X -" У подвижных конечномерных метризуемых континуумов будет шейповой эквивалентностью, если все гомоморфизмы .Р*: тгп (X) яп (7) пмерных шейповых групп являются изоморфизмами.

Мощинская [68], [69], Кисслинг [52]). Причем, свойство подвижности в этой формулировке — существенно (Козловский и Сегал [54]).

Другая важная теорема — теорема Гуревича об изоморфизме в теории шейпов — опять же доказана для подвижных метрических континуумов (Куперберг [57]). Перечень таких фактов можно продолжить. Все они говорят об особой роли подвижности в теории шейпов.

Важными шейповыми инвариантами являются также сильная подвижность и устойчивость топологических пространств. Все эти шейповые инварианты были определены и изучены в случае метризуемых компактов с помощью окрестностей данного компакта в гилбертовом кубе, а в случае произвольных топологических пространств — с помощью ассоциированных с данным пространством обратных спектров.

После того как Мардешичем была построена абстрактная теория шейпов с помощью кома-категорий [62], возникла необходимость определения и изучения шейповых инвариантов с помощью семейств всех морфизмов из данного объекта категории К в объекты некоторой плотной подкатегории Ь.

Первые результаты в этом направлении были получены Мардешичем [62], Дыдаком [39], Сегалом [74], Козловским [55] и другими авторами. В частности, Мардешичу удалось доказать критерий плотности подкатегории Ь в категории К с помощью кома-категорий [62]. Свойство подвижности в этом контексте были изучены в работах Дыдака и Сегала [74] и П. С. Геворкяна [49]. Равномерной подвижности посвящены работы И. Поп [71], I.

П. С. Геворкяна и И'.' Поп- [48] и П. С. Геворкяна [50].

I • I.

Данная* диссертация посвящена изучению" свойств подвижности, сильной подвижности, устойчивости и равномерной подвижность топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в СЖ комплексы. Полученные результаты в основном имеют категорный характер. Они позволили ввести новые понятия в теории категорий и функторов — такие, как относительная подвижность и сильная подвижность категорий.

Цель работы.

Целью настоящей работы является изучение некоторых шейповых инвариантов, таких как подвижность, сильная подвижность, устойчивость и равномерная подвижность с помощью семейства всех гомотопических классов непрерывных отображений из данного топологического пространства (всех морфизмов из данного объекта некоторой категории) в абсолютные окрестностные ретракты (в объекты плотной подкатегории), в частности получение критериев указанных инвариантов на языке кома-категорий, а также доказательство необходимых и достаточных условий сильной подвижности и устойчивости паракомпактных пространств.

Научная новизна.

В диссертации изучение шейповых инвариантов проводится с помощью семейства всех непрерывных отображений из данного пространства в СШкомплексы, не прибегая при этом к традиционным шейповым конструкциям.

Получен критерий подвижности топологических пространств с помощью кома-категорий и стирающих функторов (теорема 2.1),.

Доказано необходимое и достаточное условие сильной подвижности топологических пространств с помощью семейств всех гомотопических классов непрерывных отображений из данных пространств в С1¥- -комплексы (теорема 2.2).

Введено понятие сильно подвижной категории и доказана теорема о сильной подвижности топологического пространства (теорема 2.7).

Получен критерий устойчивости топологического пространства (теорема 2.10).

Получена также категорная характеристика этого понятия (теорема 2.11). Доказаны необходимые и достаточные условия сильной подвижности и устойчивости паракомпактного пространства (теоремы 2.9 и 2.12).

Получен критерий равномерной подвижности объекта в произвольной категории (теорема 3.1).

Доказана теорема о равномерной подвижности топологического пространства (теорема 3.2).

Основные методы исследования.

При решении рассмотренных в диссертации задач использовались методы гомотопической топологии, теории шейпов и спектральной топологии, а также методы теории категорий и функторов.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применени при чтении специальных курсов по теории шейпов и спектральной топологии.

Краткое содержание работы.

Изложим подробно результаты диссертации по главам. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны необходимые в дальнейшем определения и известные результаты, теории шейпов. Приведены конструкции теории шейпов, как с помощью ассоциированных обратных спектров, так и с помощью кома-категорий. Приведены так же определения основных шейповых инвариантов: подвижности, сильной подвижности и устойчивости.

Приведена также следующая теорема П. С. Геворкяна 18 о подвижности топологического пространства X, на которой основываются результаты параграфа 2.1.

Теорема 1.4. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для произвольного СIVкомплекса <2 и любого гомотопического класса /: X —" () существуют такой С¥- -комплекс <2', гомотопические классы р: X —> @ и «П'.^ —>Q, удовлетворяющие равенству / = г] о р) что каковы бы не были С1¥— комплекс О», гомотопические классы /": X —> ()" и ?]''.()" —>?), удовлетворяющие равенству / = г}'°/", существует такой гомотопический класс г": Q' —> 0″, что выполняется г/' о г}" = г}.

Вторая глава состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе понятие подвижности, известное ранее в различных конкретных гомотопических категориях, формулируется в терминах абстрактной категории К относительно произвольного ковариантного функтора Ф: К —> Ь.

Определение 2.1. Скажем, что категория К подвижна относительно категории Ь и ковариантного функтора ФК->Ь, если для произвольного объекта X е. К существуют такой объект М (Х)еК и такой морфизм тх е Могк что для любого объекта УеК и любого морфизма р е Могк существует такой морфизм ием? гл (ф (м (х)), ф (7)), что Ф (р)°и = Ф (тх).

Всюду ниже НО¥обозначена гомотопическая категория СЖ — комплексов, которая, согласно фундаментальному результату С. Мардешича 15, является плотной подкатегорией гомотопической категории.

НТор топологических пространств, т. е. для всякого топологического пространства X существует ассоциированный с ним обратный спектр CW— комплексов.

Основной результат составляет теорема 2.1, которая по существу является категорной версией упомянутой теоремы П. С. Геворкяна.

Теорема 2.1. Топологическое пространство X подвилсно тогда и только тогда, когда кома-категория Wx подвижна относительно категории HCW и стирающего функтора Q: Wx —" HCW.

Напомним, что кома-категорией Wx называется категория стрелок (морфизмов) из фиксированного объекта X категории К, а действие стирающего функтора из кома-категории ¡-Vх в какую-то другую категорию состоит в том, что от стрелки (от морфизма) f: X->Q остается только объект-образ Q. Ясно, что стирающий' функтор ковариантен.

Второй параграф начинается с предложения 2.2., которое дает технически удобный критерий сильной подвижности топологического пространства. Напомним, что по категории К всегда можно построить так называемую категорию pro-К, объектами которой являются все обратные спектры X из объектов категории К, а морфизмами /являются классы эквивалентности морфизмов обратных спектров Х и Y.

Предложение 2.2. Пусть обратый спектр (ХЯ,/?ЯЯ, Л) категории pro — HCW ассоциирован с пространством Х-. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

SM) для любого ЛеЛ, существует Я' е Л, А' >Л такое, что для любого Л" е Л, Л" >Л, существует такой гомотопический класс гл л": Хх —> Хг, что одновременно выполняются равенства.

Я’Л" 1'.

Рлг ° г =Рлл" Г °Рх=Рг.

Далее исследуется сильная подвижность топологических пространств с помощью С1¥- -комплексов и гомотопических классов непрерывных отображений из топологического пространства X в С¡-Vкомплексы.

Основным результатом второго параграфа является следующая теорема.

Теорема 2.2. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для произвольного С¥- -комплекса () и любого гомотопического класса существуют такой СЖ-комплекс (У, гомотопические классы /': X —> (7 и 77: (2 > удовлетворяющие равенству / = 77 о /', что каковы бы не были СЖкомплекс, гомотопические классы /": X —"<2″ и 77'<2, удовлетворяющие равенству / = 77'о существует такой гомотопический класс Т]": Q, —> О", что выполняются равенства.

77' о п" = 77,.

77%/' = /" .

Сравнение этой теоремы и теоремы 1.4. дает структурно удобное сопоставление понятий подвижности и сильной подвижности, см. условия (*) и (**). Оказывается, что различие состоит ровно в том, что необходимым и достаточным является добавление условия коммутативности еще одного «треугольника морфизмов».

Если во втором параграфе сильная подвижность была рассмотрена в конкретной категории НТор, то в третьем параграфе изложение начинается с введения общекатегорного понятия сильной подвижности.

Определение 2.3. Категорию К назовем сильно подвижной, если она подвижна относительно самой себя и тождественного функтора. Иначе говоря, если для произвольного объекта X е К существует такой объект М (Х)еК и такойморфизм тх еМогк (м (Х), Х^, что для любого объекта.

У е. К и любого морфизма р е Могк (У, Х) существует такой морфизм ир еМогк[м{Х),?), что р°ир=тх.

Первая часть результатов параграфа связана с изучением свойств этого нового понятия, а далее (теоремы 2.7, 2.8) приводятся их приложения в категории НТор.

Сначала доказывается теорема, которая интерпретирует теорему 2.2., как источник для получения множества различных сильно подвижных категорий.

Теорема 2.3. Пусть О произвольный С?-комплекс. Тогда комакатегория Ж2 является сильно подвижной категорией.

Устанавливается факт, что если К сильно подвижная категория, она подвижна относительно любой категории Ь и любого функтора Ф: К —> Ь.

Также доказывается, что если категория К подвижна относительно категории Ь и функтора ФК->Ь и если Ф: К —"Ь — функторное доминирование, то К сильно подвижная категория.

Касательно произведений категорий получен следующий результат: Теорема 2.5. Произведение категорий /е/ сильно е/ подвижно тогда и только тогда, когда сильно подвижны все сомноэюители.

К19 1 €/.

Понятие слабого доминирования вводится обычным образом. Категория К функторно слабо доминируется категорией Ь, если существуют функторы^:К ->Ь и 0: Ь—>К композиция которых допускает естественное преобразование в тождественный функтор. Обозначение: К <Ь.

Оказывается, что сильная подвижность есть наследственное свойство относительно слабого доминирования.

Теорема 2.6. Пусть К<�Ь. Если категория Ьсильно подвижна, то категория К такэюе сильно подвижна.

Из этой теоремы и из того факта, что функторное доминирование является слабым функторным доминированием, вытекает следующее утверждение.

Следствие 2.1. Если категория К функторно доминируется категорией Ь: К<�Ь и категория Ь сильно подвижна, то тогда категория К также сильно подвижна.

Главным результатом третьего параграфа, является следующая теорема.

Теорема 2.7. Топологическое пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда кома-категория IVх сильно подвижна.

Эта теорема позволяет определить сильную подвижность топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в СЖкомплексы.

Рассмотрим топологическое пространство X. Предположим, что X — несвязная топологическая сумма топологических пространств Хх и Х2:

X = Хх и12. Тогда кома-категория объединения слабо доминируется декартовым произведением соответствующих кома-категорий сомножителей.

Жх = Ж*1″ *2 < ¡-Vх1 х ЖХ2. Это соотношение позволяет, основываясь на теоремах 2.5, 2.6, 2.7, доказать следующую теорему.

Теорема 2.8. Если топологическое пространство X имеет конечное число компонент связности и все они сильно подвижныто X также сильно подвижно.

В четвертом параграфе доказывается теорема о сильной подвижности паракомпактных пространств которое является аналогом теоремы Козловского и Сегала (см. 17) о подвижности паракомпактных пространств. Теорема 2.9. Паракомпактное пространство X сильно подвижно тогда и только тогда, когда для произвольного открытого> покрытия Ы пространства X, существует открытое покрытие V, вписанное в Ытак, что для произвольного открытого покрытия УУ, вписанное в Ы,.

12 существует отображение Я =: -«удовлетворяющее условию.

Лоу— где V: X -«: X —> ^(Н7)] - канонические отображения.

В пятом параграфе получен критерий устойчивости топологических пространств с помощью гомотопических классов непрерывных отображений из данного пространства в СЖкомплексы.

Теорема 2.10. Топологическое пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: существуют СIV комплекс Р и гомотопический класс /:Х—>Р такие, что, для произвольного СЖ комплекса <2 и любого гомотопического класса ё'-Х —> <2 существует единственный гомотопический класс и: Р —>(2 такой, что и 0 / = к ¦ О.

Получен также следующий критерий устойчивости топологического пространства.

Теорема 2.11. Топологическое пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда существует инициальный объект в кома-категории IVх.

Паракомпактность здесь существенно для того, чтобы тела нервов покрытий были СЖ — комплексами.

В шестом параграфе второй главы, основываясь на теореме 2.10, получен следующий критерий устойчивости паракомпактных пространств.

Теорема 2.12. Паракомпактное пространство X устойчиво тогда и только тогда, когда существует такое открытое покрытие Ы пространства X, что для произвольного открытого покрытия V, существует единственное, с точностью до гомотопии, отображение такое, что.

Aou — v, где и: и v: — канонические отображения.

Третья глава состоит из единственного параграфа и посвящена изучению еще одного вида подвижности так называемой равномерной подвижности топологических пространств.

Понятие равномерной подвижности в теории шейпов для бикомпактов было введено Мощиньской. На более общие случаи это понятие было распространено Козловским и Сегалом, И. Поп, П. С. Геворкяном и И, Поп.

Следующее определение описывает равномерную подвижность обратных спектров.

Определение 3.1. Обратный спектр Х = (Хя, ряя., А) категории pro — К называется равномерно подвиэюным, если для, любого Л е Л существует т (Л)>Л и морфизм —в pro —К, удовлетворяющий условию.

РА°г (Л) = рлМл], где рх: Х->Хх —морфизм категории pro —К, порожденный морфизмом V.

Из равномерной подвижности обратного спектра следует его подвижность.

Далее понятие равномерной подвижности распространяется и вводится понятие равномерной подвижности объекта категории.

Определение 3.2. Объект X категории К называется равномерно-подвижным, если существует ассоциированный с ним равномерно-подвижный обратный спектр категории pro — Р.

Как и выше, при определении подвижности, сильной подвижности и устойчивости топологических пространств, при определении равномерной подвижности топологических пространств мы прибегаем к семейству всех непрерывных отображений из данного пространства в CW — комплексы. j.

Определение 3.3. Топологическое пространство X называется равномерно подвиэюньгм, если существует ассоциированный с ним равномерно-подвижный обратный спектр категории pro — HCW.

Любое равномерно подвижное топологическое пространство является подвижным. Для метризуемых компактов верно и обратное, однако для произвольных топологических пространств это не верно 15.

Следующая теорема 3.1 дает критерий равномерной подвижности в произвольной категории.

Теорема 3.1. Пусть К — произвольная категория, а Р — ее плотная подкатегория. Объект X е К равномерно-подвижен тогда, и только тогда, когда, выполняются следующие два условия:

1. для произвольного морфизма f: Х —> 0(0 е Р) существует объект Q’sP и морфизмы f'.X-^Q', u: Q'->Q удовлетворяющие равенству и о f' = f, такие, что для произвольных морфизмов /": X —> Q" v: Q" —>Q, v°f = f, существует морфизм riyY-Q'-^Q" такой, что vor (v) = и.

2. для произвольных морфизмов fm: X—>Qm (Q" 'eP) и w: Q'" —> Q", f" = f" выполняется, равенство wor (w) = r (v).

Последняя теорема является ключевым моментом в доказательства следующей важной теоремы,.

Теорема 3.2. Топологическое пространство X равномерно-подвиэюно тогда и только тогда, когда для произвольного непрерывного отображения f: Х —>Q, где Q-произвольный CW-комплекс, существуют CW-комплекс Q' и шейповые морфизмы F: Х ->Q' и G: Q' -«X такие, что — (FoG)(/>/.

Из этой теоремы непосредственно вытекает следующий хорошо известный результат.

Следствие 3.1. Если ф{Х)<8к{0), где Q-некоторый СЖкомплекс, то пространство X — равномерно-подвижно. В частности, любой СЖ — комплекс <2 -равномерно-подвижен.

Поскольку шейповые морфизмы топологических пространств в СЖкомплексы порождаются непрерывными отображениями, то из теоремы 3.2 непосредственно вытекает следующее следствие.

Следствие 3.2. Топологическое пространство X равномерно-подвижно тогда и только тогда, когда для произвольного непрерывного отображения /: X —" О, где О, -произвольный СЖкомплекс, существуют СЖ-комплекс <2' и непрерывные отображения и удовлетворяющие условию и°/'~/, и тейповый морфизм С:(2'->Х, такой, что С (/) — и.

Апробация результатов.

Результаты диссертации были доложены и обсуждены на заседаниях следующих научных семинаров:

• Научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П. С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, под руководством профессора В. В. Федорчука, 2008;2009 г.

• Третья международная конференция, посвященная 85-летию Л. Д. Кудрявцева (Москва 25−28 марта 2008 г.).

Публикации.

1. Авакян Т. А., Об одном критерии сильной подвижности. Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 2, с. 5−15.

2. Авакян Т. А., Геворкян П. С., О сильной подвижности топологических пространств. Труды 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л. Д. Кудрявцева, М.: 2008, с. 47−53.

3. Авакян Т. А., Об одном критерии устойчивости топологических пространств. Тезисы докладов 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л. Д. Кудрявцева, М.: МФТИ, 2008, с. 359−360.

1. Авакян Т. А., Об одном критерии сильной подвижности. Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 2, с. 5−15.

2. Авакян Т. А., Об одном критерии устойчивости топологических пространств. Тезисы докладов 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. JI. Д. Кудрявцева, М.: МФТИ, 2008, с. 359−360.

3. Авакян Т. А., Геворкян П. С., О сильной подвижности топологических пространств. Труды 3-й международной конференции, посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. JI. Д. Кудрявцева, М.: 2008, с. 47−53.

4. Авакян Т. А., Геворкян П. С., Сильно подвижные категории и сильная подвижность топологических пространств. Известия HAH Армении. Математика, том 45, н. 1, 2010, с. 12−24.

5. Александров П. С.

Введение

в теорию множеств и общую топологию. М., Наука, 1977;368 с.

6. Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М. «Наука», 1973;576 с.

7. Архангельский А. В., В. И. Пономарев, Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М. Наука, 1974 424с.

8. Борсук К., Теория ретрактов, М., Мир, 1971 292 с.

9. Борсук К., Теория шейпов. М. Мир, 1976 192 с.Ю.Букур И., А. Деляну, Введение в теорию категорий и функторов, М. 1972;259 с.П.Геворкян П. С., Об одном критерии подвижности, Матем. Заметки, 71:2 (2002), 311−315.

10. Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, Издательство иностранной литературы, М., 1961. 320 с.

11. Келли Дж. Общая топология. М. Наука, 1981. 432с.И.Котанов С. С., Сильная подвижность относительно некоторого класса пространств и отображений. Сообщ. Ан ГрузССР, 1978, 92, № 2, 277−280.

12. Куратовский К., Топология, т. 2, М., Мир, 1969 624с.

13. Кьет А. Н., Равномерно-фундаментальная классификация полных метрических пространств и равномерно-непрерывных отображений, Bull. Ac. Pol. Sc., 23, (1974), 55−73.

14. Лефшец С., Алгебраическая топология, ИЛ, М. 1969;503 с.

15. Понтрягин Л. С., Непрерывные группы. М. Едиториал УРСС, 2004;520с.

16. Смирнов Ю. М., Теория шейпов для G-nap. УМН. т. 40, № 2, с. 151−165, 1985.

17. Спеньер Э., Алгебраическая топология, М. «Мир», 1971;693 с.

18. Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, М. 1958. -405с.

19. Телеман К., Элементы топологии и дифференцируемые многообразия, М., Мир, 1967;392 с.

20. ФедорчукВ. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М. ФИЗМАТЛИТ 2006. 336с.

21. Ху Сы-Цзян, Теория гомотопий, М. Едиторал УРСС, 2004;472с.

22. Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, М., Мир, 1970. 443с.

23. Шостак А. П., Шейповая эквивалентность в классах компактности, ДАН, 214 (1974), № 1, 67−70.

24. Шостак А. П., Шейпы в классах компактности: ретракты, экстензоры, подвижность. Уч. зап. Латв. Ун-та, 1975, 236, № 1, 108−128.

25. ЭнгелькингР., Общая топология, М. Мир, 1986;752с.

26. Bacon P., Axoimatic shape theory. Proc. Amer. Math. Soc., 1975,53, № 2, 489 496.

27. Baladze V.H., On shape theory for fibrations, Bull. Acad. Sci. of Georgian SSR 129, 2 (1988), 269−272.

28. Ball B. J., Inequivalence of the Borsuk and Fox shape theories for non-compact spaces, Notices of the AMS, 1972, A-726.

29. Borsuk K., A note on the theory of shape of compacta, Fund. Math. 67 (1970)i265.278.

30. Borsuk K., On movable compacta, Fund. Math. 66:1 (1969), 137−146.

31. Deleanu A., Hilton P., Generalized shape theory. Lect. Notes Math., 1977, № 609, 56−65.

32. Demers L., On spaces witch have the shape of CW-complexes. Fund. Math., 1975, 90, № 1, 1−9.

33. Dugundji J., An extension of Tietze’s theorem, Pacific J. Math. 1 (1951) 353−367.

34. Dydak J., A generalization of cohomotopy groups. Fund. Math., 1975, 90, № 1, 77−98.

35. Dydak J., Jimenez R., Movability in sense of n-shape. Topology and its Applications, 146−147 (2005) 51−56.

36. Dydak J., Movability and the shape of decomposition spaces. Bull. Acad. Pol. Sci. Math. Astron. etphys., 1975, 23, № 5, 561−564.

37. Dydak J., On the Whitehead theorem in pro-homotopy and on a questions of Mardesic, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math, astonom. Phys. 23 (1975) 775 779.V.

38. Dydak J. Segal J. Shape theory. Lect. Notes Math. № 688−1978, p. 149.

39. Edwards D. A., Geoghegan R., Stability theorems in shape and pro-homotopy, Trans. Amer. Math. Soc. 222 (1976) 389−403.

40. Edwards D. A., Geoghegan R., The stability problem in shape and a Whitehead theorem in pro-homotopy, Bull, of the Amer. Math. Soc., № 81, 1975, 438−440.

41. Edwards D. A., Geoghegan R., The stability problem in shape, and Whitehead theorem in pro-homotopy, Trans. Amer. Soc. 214 (1975) 261−277.

42. Fox R. H., On shape, Fund Math. 74 (1972), 47−71.

43. Geoghegan R., Elementary proofs of stability theorems in pro-homotopy and shape. Gen. Top. And Appl., 1978, 8, № 3, 265−281.

44. Geoghegan R., Open problems in infinite-dimensional topology. Preprint, 1979, 42 p.

45. Gevorgyan P. S., I. Pop, Uniformly movable categories and uniform movability of topological spaces, Bull. Polish Acad. Sci. Math., 55 (2007), 229−242.

46. Gevorgyan P. S., Movable categories, Glassnik Mat., 38 (58) (2003), 177−183.

47. Gevorgyan Pi S., On movability of topological spaces, Izvest. Nats. Acad. Nauk Arm., Vol. 35, № 3, 2000.1.

48. Holsztynskyi W., An extension and axiomatic characterization of the Borsuk’s therory of shape, Fund. Math., 70 (1971), 157−168.

49. Keesling J. On movability and local connectivity. Lect. Notes Math. № 375, 158 167, 1974.

50. Kozlowski G., Segal J., Locally well-behaved paracompacta in shape theory. Fund. Math. XCV, 1975, 55−71.

51. Kozlowski G., Segal J., Local behavior and the Vietoris and Whitehead theorems in shape theory. Fund. Math. 1978. v. 99. — № 3, 213−225.

52. Kozlowski G., Segal J., Movability and shape-connectivity. Fund. Math., 1976, 93, № 2, 145−154.

53. Kozlowski G., Segal J., n-movable compacta and ANR-systems. Fund. Math., 1974, 65, № 3,235−243.

54. Kuperberg K. An isomorphism theorem of the Hurewicz-type in Borsuk’s theory of shape. Fund. Math. Vol. 77, № 1−1972, 21−32.

55. Mardesic S. A non-movable compactum with movable suspension. Bull. Acad. Polon. Sci. Vol. 19, № 12−1971, 1101−1103.

56. Mardesic S., Pairs of compacta and trivial shape, Trans Amer. Math. Soc., 189 (1974), 329−336.

57. Mardesic S., Retracts in shape theory. Glas. Mat., 1971, 6, № 1, 153−163.

58. Mardesic S., Segal J., Movable compacta and ANR-systems, Bull. Acad. Polon.Sci., 18:11 (1970), 649−654.

59. Mardesic S., Segal J., Shape theory-The inverse system approach, North-Holland, Amsterdam, 1982.

60. Mardesic S., Segal J., Shapes of compacta and ANR systems, Fund. Math. 72 (1971)41−59.

61. Mardesic S., Shapes for topological spaces. Gen. Topol. And Appl., 1973, 3, № 3, 265−282.

62. Mardesic S., Strong movable compacta and retracts, Proc Intern. Symp. Topol. Applic., Budva, 1972,163−166.

63. Morita K., On shapes of topological spaces, Fund. Math., 86 (1975), 251−259.

64. Morita K., The Whitehead theorem in shape theory. Proc. Japan Acad., 1974, 50, № 7, 458−461.

65. Moszinska M., Uniformly movable compact spaces and their algebraic properties.Fund. Math. 1972, 77, № 2, 125−144.

66. Moszinska M. Concerning the Whitehed theorem for movable compacta. Fund. Math. Vol. 92. № 1−1976, 43−55.

67. Olendski J., On movability and other similar shape properties, Fund. Math. Vol. 88. № 3−1975, 179−191.

68. Pop I., A Categorical notion of movability, Anal. Sci. University AL. I. CUZA, v. XLIX, (2003), 327−341.

69. Porter T., Stability results for topological spaces, Math. Z., 140 (1974), 1−21.

70. Sanders T. J., Shape groups for Hausdorff spaces, Glasnik. Matem., 8, (1973), 297−304.

71. Segal J., Movable shapes, Lect. Notes Math., № 375, 1974, 236−241.

72. Sher R. B., Realizing cell-like maps in Euclidian space, Gener. Topol. Applic., 2, (1972), 75−89.

73. Stramaccia L., Reflective subcategories and dense subcategories, Rend. Sem. Mat.Univ. Padova, Vol. 67 (1982). 77. Watanabe T., On strong movability, Bull. Acad. Sei. Math. Astronom. Phys, 25 (1977), 813−816.