Оптимизация сетевого графика по времени

Лабораторная работа

Оптимизация сетевого графика по времени

Цель Научиться решать задачу сетевого планирования с одновременной оптимизацией средствами EXCEL.

Постановка задачи 1.

Проект представлен сетевым графиком. Для каждой работы известна ее продолжительность t_ij и минимально возможное время выполнения d_ij. Пусть задан срок выполнения проекта t₀, а расчетное t_кр > t_0. Продолжительность выполнения работы (i, j) линейно зависит от суммы дополнительно вложенных средств х_ij и выражается соотношением: t'_ij = t_ij — k_ijx_ij. Технологические коэффициенты k_ij известны.

Требуется найти такие t ^н _ij, t^o_ij, x_ij, чтобы:

срок выполнения всего комплекса работ не превышал заданной величины t₀;

суммарное количество дополнительно вложенных средств было минимальным;

продолжительность выполнения каждой работы t'_ij была не меньше заданной величины d_ij.

1 Запишем все данные на сетевой график и рассчитаем сроки свершения событий.

Расчеты показали, что срок выполнения проекта t_кр = 40, т. е. превышает директивный срок t₀ = 34.

2. Составление математической модели задачи.

Целевая функция имеет вид

f= х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ + х₃₄ + х₃₅ + х₄₅ + х₁₄ + х₃₄ + х₃₅ + х₄₅ (min).

Запишем ограничения задачи:

а) срок выполнения проекта не должен превышать t₀ = 34:

t^о₃₆ 34; t^о₄₆ 34; t^о₅₆ 34;

б) продолжительность выполнения каждой работы должна быть не меньше минимально возможного времени:

t^о₁₂ — t ^н ₁₂ 4; t^о₃₄ — t ^н ₃₄ 6;

t^о₁₃ — t ^н ₁₃ 8; t^о₃₆ — t ^н ₃₆ 10;

t^о₁₄ — t ^н ₁₄ 13; t^о₄₅ — t ^н ₄₅ 10;

t^о₂₄ — t ^н ₂₄ 5; t^о₄₆ — t ^н ₄₆ 11;

t^о₂₅ — t ^н ₂₅ 7; t^о₅₆ — t ^н ₅₆ 7;

в) зависимость продолжительности работ от вложенных средств:

t^о₁₂ — t ^н ₁₂ = 7 — 0,1x₁₂; t^о₁₃ — t ^н ₁₃ = 11 — 0,3x₁₃;

t^о₁₄ — t ^н ₁₄ = 16 — 0,2x₁₄; t^о₂₄ — t ^н ₂₄ = 6 — 0,05x₂₄;

t^о₂₅ — t ^н ₂₅ = 10 — 0,25x_25; t^о₃₄ — t ^н ₃₄ = 8 — 0,2x₃₄;

t^о₃₆ — t ^н ₃₆ = 13 — 0,12x_36; t^о₄₅ — t ^н ₄₅ = 12 — 0,5x₄₅;

t^о₄₆ — t ^н ₄₆ = 14 — 0,08x_46; t^о₅₆ — t ^н ₅₆ = 9 — 0,02x₅₆;

г) время начала выполнения каждой работы должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующей ей работы:

t ^н ₁₂ = 0; t ^н ₁₃ = 0; t ^н₁₄ = 0;

t ^н ₂₄ t^о₁₂; t ^н ₂₅ t^о₁₂;

t ^н ₃₄ t^о₁₃; t ^н ₃₆ t^о₁₃;

t ^н ₄₅ t^о₁₄; t ^н ₄₅ t^о₂₄;

t ^н ₄₅ t^о₃₄;

t ^н ₄₆ t^о₁₄; t ^н ₄₆ t^о₂₄;

t ^н ₄₆ t^о₃₄;

t ^н ₅₆ t^о₂₅; t ^н ₅₆ t^о₄₅;

д) условие неотрицательности неизвестных:

t ^н _ij 0, t^о_ij 0, x_ij 0, (i, j) .

3. Численное решение задачи:

Табличную запись математической модели см. табл. 2.2.

Решив данную задачу средствами EXCEL, получаем следующие результаты:

t ^н₁₂ = 0; t^о₁₂ = 7; t ^н₁₃ = 0; t^о₁₃ = 8; t ^н₁₄ = 0; t^о₁₄ = 15;

t ^н ₂₄ = 7; t^о₂₄ = 13; t ^н ₂₅ = 7; t^о₂₅ = 17;

t ^н ₃₄ = 8; t^о₃₄ = 15; t ^н ₃₆ = 8; t^о₃₆ = 21;

t ^н₄₅ = 15; t^о₄₅ = 25; t ^н ₅₆ = 25; t^о₅₆ = 34;

x₁₂ = 0; x₁₃ = 10; x₁₄ = 5; x₂₄ = 0; x₂₅ = 0;

x₃₄ = 5; x₃₆ = 0; x₄₅ =4; x₄₆ =0; x₅₆ = 0;

f_min = 24.

4. Анализ полученных результатов. Чтобы выполнить работы проекта за директивное время t₀=34, необходимо дополнительно вложить 24 ден. ед. При этом средства распределятся следующим образом: 10 ден. ед. — в работу (1,3), 5 ден. ед. — в работу (1,4), 5 ден. ед. — в работу (3,4) и 4 ден. ед. — в работу (4,5), что приведет к сокращению продолжительности работы (1,3) на 3 дня, работы (1,4) — на 1 день, работы (3,4) — на 1 день и работы (4,5) — на 2 дня. Сокращение срока реализации проекта за счет вложения дополнительных средств составит 6 ед. времени.

Постановка задачи 2.

Проект представлен сетевым графиком. Для каждой работы известна ее продолжительность t_ij и минимально возможное время выполнения d_ij. Для сокращения срока реализации проекта выделено В ден. ед. Вложение дополнительных средств х_ij в работу (i, j) сокращает время ее выполнения до t'_ij = t_ij — k_ijx_ij. Технологические коэффициенты k_ij известны.

Требуется найти такие t ^н _ij, t^o_ij, x_ij, чтобы:

время выполнения всего комплекса работ было минимальным;

количество используемых дополнительных средств не превышало B ден. ед.;

продолжительность выполнения каждой работы была не меньше заданной величины d_ij.

Решение варианта *.

1. Запишем все данные на сетевой график.

По первоначальному условию t_кр = 22, т. е. проект может быть выполнен за 22 ед. времени.

2. Составление математической модели задачи.

Чтобы однозначно записать целевую функцию, добавим на сетевом графике фиктивную работу (5,6).

Целевая функция имеет вид t_кр = t^о₅₆ (min).

Запишем ограничения задачи:

а) сумма вложенных средств не должна превышать их наличного количества:

х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ + х₂₃ + х₃₄ + х₃₅ + х₄₅ 47;

б) продолжительность выполнения каждой работы должна быть не меньше минимально возможного времени:

t^о₁₂ — t ^н ₁₂ 3; t^о₃₄ — t ^н ₃₄ 5;

t^о₁₃ — t ^н ₁₃ 4; t^о₃₅ — t ^н ₃₅ 4;

t^о₁₄ — t ^н ₁₄ 1; t^о₄₅ — t ^н ₄₅ 2;

t^о₂₃ — t ^н ₂₃ 2; t^о₅₆ — t ^н ₅₆ = 0;

в) зависимость продолжительности работ от вложенных средств:

t^о₁₂ — t ^н ₁₂ = 5 — 0,5x₁₂; t^о₁₃ — t ^н ₁₃ = 6 — 0,2x₁₃;

t^о₁₄ — t ^н ₁₄ = 2 — 0,3x₁₄; t^о₂₃ — t ^н ₂₃ = 4 — 0,25x₂₃;

t^о₃₄ — t ^н ₃₄ = 9 — 0,4x₃₄; t^о₃₅ — t ^н ₃₅ = 7 — 0,2x_35;

t^о₄₅ — t ^н ₄₅ = 4 — 0,1x₄₅;

г) время начала выполнения каждой работы должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующей ей работы:

t ^н ₁₂ = 0; t ^н ₁₃ = 0; t ^н₁₄ = 0;

t ^н ₂₃ t^о₁₂;

t ^н ₃₄ t^о₁₃; t ^н ₃₄ t^о₂₃;

t ^н ₃₅ t^о₁₃; t ^н ₃₅ t^о₂₃;

t ^н ₄₅ t^о₁₄; t ^н ₄₅ t^о₃₄;

t ^н ₅₆ t^о₃₅; t ^н ₅₆ t^о₄₅;

д) условие неотрицательности неизвестных:

t ^н _ij 0, t^о_ij 0, x_ij 0, (i, j) .

сетевой математический модель

5. Численное решение задачи:

Табличную запись математической модели см. табл. 2.4.

Решив данную задачу средствами EXCEL, получаем следующие результаты:

t ^н₁₂ = 0; t^о₁₂ = 3; t ^н₁₃ = 0; t^о₁₃ = 3; t ^н₁₄ = 0; t^о₁₄ = 2;

t ^н ₂₃ = 3; t^о₂₃ = 3; t ^н ₃₄ = 3; t^о₃₄ = 8; t ^н ₃₅ = 3; t^о₃₅ = 10;

t ^н₄₅ = 8; t^о₄₅ = 10; t ^н ₅₆ = 10; t^о₅₆ = 10;

x₁₂ = 20; x₁₃ = 0; x₂₃ = 0; x₁₄ = 0; x₃₄ = 10; x₃₅ = 0; x₄₅ =20,

t_кр = 10.

5. Анализ полученных результатов. При дополнительном вложении 47 ден. ед., проект может быть выполнен за 10 ед. времени. При этом средства распределятся следующим образом: 20 ден. ед. — в работу (1,2), 10 ден. ед. — в работу (3,4) и 20 ден. ед. — в работу (4,5), что приведет к сокращению продолжительности работы (1,2). Сокращение срока реализации проекта за счет вложения дополнительных средств составит 8 ед. времени.