Аналитические решения теории скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом электрон-электронных столкновений

Актуальность темы

Работа посвящена аналитическим решениям граничных задач теории скин-эффекта, учитывающим электрон-электронные столкновения. Рассматривается невырожденная электронная плазма, заполняющая полупространство.

Скин-эффект обусловлен откликом электронного газа (в металлической или газовой плазме) на внешнее тангенциальное к поверхности переменное электромагнитное поле с постоянной амплитудой.

Недавние эксперименты, опубликованные в западных периодических изданиях Journal of Physics F: Metal Physics и Physical Review, показали, что для для описания свойств плазмы необходимо учитывать электрон-электронные столкновения. При межэлектронных столкновениях импульс электронной подсистемы сохраняется. Это обстоятельство оказывает существенное влияние на динамику плазмы, особенно на ее электропроводность. А именно электропроводность плазмы определяет характеристики скин-эффекта.

Наиболее детальный метод описания плазмы — кинетический, с использованием системы уравнений Власова-Максвелла.

Предметом исследования являются граничные задачи теории скин-эффекта, учитывающие межэлектронные столкновения, и методы их аналитического решения.

Впервые аналитические решения аналогичных задач в полупространстве металла получили С. Де Дженаро и А. Реттори. Для учета влияния межэлектронных столкновений на поведение плазмы ими был разработан двухпараметрический интеграл столкновений, являющийся обобщением релаксационной т-модели. Этот обобщенный интеграл столкновений был успешно применен для исследования электропроводности тонких пленок, а также при изучении аномального скин-эффекта в металле.

В настоящее время отсутствуют аналитические решения граничных задач о скин-эффекте в максвелловской плазме, для случая когда электрон-электронные столкновения оказывают существенное влияние на ее динамику.

В связи с этим актуальной задачей математической физики является разработка аналитических решений теории скин-эффекта для максвелловской плазмы, позволяющих учитывать межэлектронные столкновения. Именно несколько таких решений разработано и обосновано для конкретных граничных задач в настоящей диссертации.

Цель диссертационной работы — построение аналитических решений граничных задач кинетической теории скин-эффекта, учитывающих межэлектронные столкновения.

Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с постановкой задачи и нахождением аналитического решения.

Как основной результат, в диссертационном исследовании получено точное решение линеаризованной граничной задачи о скин-эффекте в максвелловской плазме методом разложения по собственным функциям и методом источника, которое учитывает электрон-электронные столкновения. В качестве граничных условий используется зеркальное и диффузное отражение электронов от поверхности.

Проведен анализ полученных результатов. Исследованы предельные случаи скин-эффекта при нормальном и аномальном скин-эффекте.

Сформулированы и доказаны теоремы о том, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложении по собственным функциям соответствующей характеристической системы уравнений.

Найдены точные выражения для импеданса в случае зеркальных и диффузных граничных условий. Исследовано поведение импеданса вблизи плазменного резонанса, т. е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты. Установлено влияние нормального электрон-электронного рассеяния на величину аномального импеданса.

В явном виде представлены выражения для комплексной диэлектрической проницаемости максвелловской плазмы. Проведен анализ вклада межэлектронных столкновений в диэлектрическую проницаемость.

Научная и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер.

Прикладное значение полученных результатов состоит в том, что найдено явное аналитическое выражения для функции распределения и электрического поля в полупространстве в задачи о скин-эффекте с зеркальным и диффузным отражениями электронов. Аналитическое решение позволило в явном виде определить влияние электрон-электронных столкновений на физически важные параметры: импеданс и диэлектрическую проницаемость.

Результаты диссертации могут представлять интерес для специалистов в области аналитических методов решения задач физики плазмы, математической физики и кинетической теории. Они также могут быть использованы в качестве теоретической основы экспериментальных исследований явления скин-эффекта в газовой плазме. Положения, выносимые на защиту:

1. Доказана разрешимость граничной задачи теории скин-эффекта для электронной плазмы с зеркальными и диффузными граничными условиями в т-приближении уравнений Власова — Максвелла, учитывающей межэлектронные столкновения, и построены ее аналитические решения.

2. Исследован вклад электрон-электронных столкновений в полученные решения. Проведен анализ предельных случаев скин-эффекта. Показано, что для сильноионизованной плазмы действительная часть импеданса уменьшается, причем в низкочастотном режиме выявлена ее сильная зависимость от параметра частотности.

3. Получено обобщение формулы для импеданса на случай учета электрон-электронных столкновений. Исследовано поведение импеданса вблизи плазменного резонанса, т. е. когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты. Выявлено, что вблизи плазменного резонанса у модуля и действительной части импеданса наблюдается резкий максимум, который отсутствует в низкочастотном пределе или в теории нормального скин—эффекта.

4. Получено обобщение формул для комплексной диэлектрической проницаемости максвелловской плазмы на случай учета электрон-электронных столкновений. Полученные выражения позволяют исследовать данную физическую величину в широком диапазоне ионизации плазмы.

Предшествующие результаты. Явление аномального скин-эффекта в металлах впервые экспериментально обнаружил Г. Лондон в 1940 г.

Качественная теория этого эффекта была построена А. Б. Пиппардом в 1947 г. Он первым показал, что аномальный скин-эффект в металлах зависит от геометрических особенностей ферми-поверхности, а не от средней длины свободного пробега электрона [78]. Этот результат позволяет предсказать точную форму ферми-поверхности.

В процессе развития представления о скин-эффекте менялись и методы его теоретического описания. Рассмотрим основные теоретические направления в изучении скин-эффекта в металле.

Первая модель количественного описания данного эффекта в металлической плазме представлена Ройтером и Зондгеймером в работе [80]. Они методом Винера—Хопфа, основанного на теории комплексного переменного, решили задачу об аномальном скин-эффекте для случая, когда глубина проникновения электромагнитного поля в металл сравнима с длинной свободного пробега электрона. Одно из преимуществ данного метода состоит в том, что полученная формула для вычисления импеданса не зависит от числа нулей дисперсионной функции. Одним из недостатков существующей теории является грубо приближенный учет рассеяния электронов на поверхности.

Асимптотический подход к решению данной задачи предложен в работах В. И. Окулова и В. В. Устинова [47], [52], [53]. Они доказали, что корректное описание поверхностного рассеяния в кинетических явлениях должно основываться па последовательной формулировке граничного условия для функции распределения электронов. Предложенный подход позволил выяснить ряд особенностей зависимости импеданса от параметра аномальности. Прежде всего, удалось строго обосновать асимптотическое поведение импеданса в условиях нормального и предельно аномального скин-эффекта. В. И. Окулов и В. В. Устинов также провели исследование поправки, обусловленной рассеянием на шероховатостях, в зависимости от параметра аномальности.

Аналитическими методами в металлической плазме A.B. Латышев и A.A. Юшканов получили решение задачи о скин-эффекте. Ими решена обобщенная задача о скин-эффекте в металле [25], получены аналитические решения задачи о скин-эффекте в металлической плазме при произвольном коэффициенте аккомодации тангенциального импульса электронов [26] и при конечной температуре и с диффузным условием на границе полупространства проводящей среды [32].

Для газовой плазмы первое аналитическое решение задачи о скин-эффекте получено В. П. Силиным в работе [49]. Им найдено выражение для диэлектрической проницаемости изотропной плазмы и исследована эффективная глубина проникновения поля для случаев нормального и аномального скин-эффектов.

Вывод коэффициентов отражения и поглощения для нормального и аномального скин-эффектов при зеркальном и диффузном отражении частиц в изотропной полуограниченной плазме и плазменных слоях представлен в монографии А. Н. Кондратенко [19]. Исследования скин-эффекта в газовой электронной плазмы проведены в работах A.B. Латышева и A.A. Юшканова [33], [40].

В конце XX столетия исследователями Б. Леви, М. Синвани, Н.Г. ван Кампеном, Д. Л. Милсом и др. был накоплен богатый экспериментальный материал, демонстрирующий существенное влияние межэлектронных столкновений на динамику плазмы [76]- [89]. Эти результаты легли в основу большого количества теоретических работ, в которых были предложены различные механизмы, объясняющие аномальное поведение импеданса при различных значениях температуры, и отмечено значение вклада нормального электрон-электронного рассеяния в импеданс [63]-[74].

Для описания электрон-электронных столкновений в 1984 г. учеными С. Де Дженаро и А. Реттори был разработан двухпараметрический интеграл столкновений [63]. Этот обобщенный интеграл столкновений был успешно применен для описания электропроводности тонких пленок (см. [63], [79]), а также при изучении аномального скин-эффекта в металле (см. [64], [70], [29], [30]).

В настоящее время проблема скин-эффекта в плазме твердого тела и газовой плазме представляет большой научный интерес — [1], [4], [13], [51], [33], [45], [48], [62], [65], [77].

Во всех предшествующих работах аналитическое решение задачи о скин-эффекте в электронной плазме, учитывающее межэлектронные столкновения и наличие тока смещения вблизи резонанса, не проводилось.

Круг вопросов рассматриваемых в диссертации связан с построением аналитических решений нелинейных интегро-дифференциальных систем с граничными условиями.

В 1960 г. К. Кейз предложил метод для решения задач теории переноса нейтронов, позволяющий в явном виде построить искомую функцию распределения. Этот метод состоит в разложении решения граничной задачи по собственным обобщенным сингулярным функциям характеристического уравнения, соответствующего исходному кинетическому уравнению. Кейз установил, что система собственных функций, отвечающая уравнению, должна быть полной в смысле метрики некоторого функционального пространства. Работа [58] в дальнейшем послужила основой для разработки данного метода в других областях физики [59], [60].

Значительный вклад в метод Кейза внесли A.B. Латышев и A.A. Юшканов, в работе [22] был предложен принципиально новый математический подход, который позволяет получить точные решения линеаризованных уравнений Больцмана с оператором столкновений БГК или эллипсоидально — статистической модели путем сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки. Полученные таким образом уравнения преобразованием Фурье сводятся к краевым задачам Римана — Гильберта и решаются затем методами теории функций комплексного переменного (ТФКП) [10, 46]. Близкие проблемы теории переноса нейтронов были рассмотрены Г. И. Марчуком, В. И. Агошковым, В. П. Шутяевым и др. [43], [3], [2]. Далее в публикациях A.B. Латышева и A.A. Юшканова продолжает развиваться метод решения граничных задач для кинетических уравнений. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах [24] - [40].

В настоящем диссертационном исследовании рассматриваются аналитические методы. В частности, применяется один из основных методов математической физики — метод разложения решений граничных задач по собственным функциям [2]. Для решения кинетических уравнений применяется также операторный подход, который изложен в [43], [57].

Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались соискателем и обсуждались на научных семинарах и конференциях:

1. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2006 — 2010 гг.);

2. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МПГУ (Москва, 2006 — 2010 гг.);

3. Всероссийская заочная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А.П. Киселева)» (Орел, 2007 г.);

4. XXI Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (СГТУ, Саратов, 27−31 мая 2008 г.);

5. Пятая международная научно-практическая конференция «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности «(Санкт-Петербург, 2008);

6. Школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (РАН, Сибирское отделение, Иркутск, 24−30 июня 2008 г.);

7. Международная научная конференция «Физико-химические основы формирования и модификации микрои наноструктур «(НФТЦ МОН и HAH Украины, Харьков, Украина, 2008 г.);

8. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения C. J1. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. «(Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, 5−12 октября 2008 г.);

9. Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГТУ СТАНКИН, Москва, 2008 г.);

10. IV Международная научно-практическая конференция «Predni vedecke novinky — 2008» (Прага, Чехия, 1−15 сентября 2008 г.);

11. Пятая всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 2009 г.).

Публикации. Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Они опубликованы в 18 работах соискателя. Причем 6 статей опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Вклад автора в совместных работах. Постановка задачи принадлежат профессору A.B. Латышеву и профессору A.A. Юшканову. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачианализ полученных результатовизучение импеданса и диэлектрической проницаемости максвелловской плазмы с учетом электрон-электронных столкновений проведены соискателем самостоятельно.

Особо отметим личный вклад соискателя в совместных публикациях. В работах [90], [91] соискателю принадлежит аналитическое решение поставленной граничной задачи, в работах [92], [93] соискателю принадлежат вывод аналитических формул для диэлектрической проницаемости с учетом электрон-электронных столкновений и анализ полученных выражений, в работах [94], [95] соискателю принадлежат аналитическое решение поставленной граничной задачи, анализ свойств найденного решения, а также исследование поведения импеданса.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 116 страниц текста, в том числе 18 рисунков. Библиография включает в себя 107 наименования, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграфпри ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

Заключение

Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению интегро-дифференциальных систем уравнений с граничными условиями, описывающих явление скин-эффекта в максвелловской плазме с учетом межэлектронных столкновений.

В первой главе рассмотрено двухпараметрическое кинетическое уравнение для газовой плазмы, которое учитывает частичное несохранение импульса электронов, претерпевших рассеяние в объеме. Проведена его линеаризация относительно равновесной максвелловской функции распределения электронов по скоростям (или по абсолютному максвеллиану) и выделен столкновительный параметр частотности Ъ.

Параметр Ь характеризует отношение частоты межэлектронных столкновений к полной частоте рассеяния электронов. Для слабоионизо-ванной плазмы 6 С 1, Для сильноионизованной плазмы Ь ~ 1. В конце главы проведена постановка задачи о скин-эффекте в плазме с учетом электрон-электронных столкновений.

Во второй главе с помощью разделения переменных исходная система интегро-дифференциальных уравнений сведена к характеристической системе. Решение последней в пространстве обобщенных функций представляет собой собственные функции непрерывного спектра. Определена структура дискретного спектра как множество нулей дисперсионной функции.

Сформулировано утверждение о связи индекса задачи и числа нулей дисперсионной функции.

Доказана теорема о решении однородной краевой задачи Римана. Выведены интегральные представления факторизующей функции.

Доказана теорема о факторизации дисперсионной функции в зависимости от индекса краевой задачи Римана и в явном виде найдены выражения для ее нулей.

В третьей главе получены аналитические решения задачи о скин-эффекте в максвелловской плазме с зеркальным и диффузным отражением электронов от границы полупространства методом разложения по сингулярным обобщенным собственным функциям соответствующей характеристической системы и методом источника. Показано, что полученные результаты зависят от параметра частотности Ь и совпадают с классическими в случае 6 = 0.

Рассмотрены случаи нормального и аномального скин-эффектов. Найдены аналитические выражения для импеданса. Проведен анализ величины импеданса в зависимости от отношения частоты межэлектронных столкновений к полной частоте рассеяния электронов 6. Установлено, что при Ь —" 0, когда сильноионизованная плазма переходит в слабоионизован-ную, полученные формулы переходят в классические.

С помощью численных расчетов построены графики составляющих поверхностного сопротивления (импеданса) вблизи плазменного резонанса. Выяснено, что когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты модуль и действительная часть импеданса испытывают резкий максимум.

С помощью кинетического уравнения исследована комплексная диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы. Получены формулы для вычисления комплексной диэлектрической проницаемости в невырожденной плазме. Установлено существенное влияние межэлектронных столкновений на эту характеристику плазмы.

В заключение, хочется выразить искреннюю благодарность профессору A.B. Латышеву и профессору A.A. Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.