Построение и анализ математических моделей деформации упругих стержней с приложением к определению условий замкнутости молекул ДНК

Актуальность темы

диссертации. Построение математических моделей деформации упругих стержней представляет интерес как с точки зрения теории упругости, так и с точки зрения описания с их помощью поведения реальных физических объектов. Среди причин, объясняющих значительный интерес к задачам деформации гибких стержней, можно выделить следующие. Гибкие стержни, прямолинейные и криволинейные, являются конструктивными элементами многих механизмов и приборов, выполняя, как правило, функции гасителей, либо накопителей энергии колебания недеформируемых частей. Другой важной областью применения гибких стержней служат системы пассивной стабилизации искусственных спутников, учитывающие неоднородность гравитационного поля. В1 этих системах стержни используются в качестве удерживающей связи. Довольно часто деформируемость упругих стержней является причиной, вызывающей колебания абсолютно твёрдых элементов. В силу значительной податливости, тонкие стержни в процессе эксплуатации могут существенно изменять свою форму. Хотя упругие элементы по своей геометрии достаточно просты [14], тем не менее, для определения их оптимальных рабочих характеристик не всегда существуют удовлетворительные теоретические подходы. Использование линейных теорий во многих случаях приводит к значительным погрешностям. В то же время, высокие требования к точности расчёта рабочих характеристик упругих элементов конструкций ставят перед необходимостью совершенствования математических моделей, описывающих поведение гибких элементов конструкций, модификации известных и созданию новых методов качественного и количественного анализа этого поведения.

Следует также упомянуть об известной кинетической аналогии Кирхгофа между задачами деформации гибкого стержня и движения твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. Исторически эта аналогии послужила основой для взаимодополнения результатов теории гибких стержней и аналитической динамики. Таким образом, построение новых математических моделей деформации стержней и их последующий анализ представляет интерес и с точки зрения интерпретации этих моделей в динамике твёрдого тела.

Математическая модель одномерного упругого континуума используется для исследования не только собственно стержневых систем, но и при расчёте объектов более сложной конфигурации, при этом, одним из современных направлений применения таких моделей является изучение пространственной конфигурации молекул биологических полимеров, и, прежде всего, молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) и рибонуклеиновой кислоты (РНК). Это, в свою очередь, расширяет область приложения результатов, полученных в теории гибких стержней. Математическое моделирование пространственной структуры биологических макромолекул, таких как ДНК и белки, является в настоящее время одной из интенсивно развивающихся ветвей молекулярной биологии. Фундаментальность этой проблемы определяется тем, что основные процессы жизнедеятельности клетки во многом зависят от пространственных конфигураций упомянутых макромолекул [63 — 65, 70]. В частности, основная биологическая функция молекулы ДНК состоит в хранении и передаче генетической информации, записанной в виде последовательности нуклеотидов в двойной спирали. Связанное с этим основное требование к структуре ДНК — стабильность и сохранность геновдолжно вполне определённым образом сочетаться с изменениями её пространственной конфигурации, например, в процессах взаимодействия с белками [73, 77]. Механические модели совместно с другими подходами позволили установить, что биологически функциональной является кольцевая форма ДНК, в рамках которой подразделяют два уровня топологии ДНК: с узлами и без узлов. Кроме того, каждая из комплементарных цепей должна быть замкнута на себя, что в математическом смысле означает зацепление высокого порядка. Количественной характеристикой заузленности является порядок зацепления Lk (linking number), который является топологическим инвариантом, не изменяющимся ни при каких деформациях и потому непосредственно связанный со свойствами молекулы. В свою очередь, этот инвариант вполне определённым образом связан с геометрией оси молекулы — её пространственной формой. Этой проблеме посвящены работы учёных из Массачусетского Технологического института, института молекулярной генетики РАН, института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН и ряда других. Данные исследования позволили установить взаимосвязь сверхспирализации и структуры ДНК, определить, при каких воздействиях и структурных переходах возможны кроме регулярной рформы, также Z и Нформы и некоторые другие. Данный структурный анализ привёл к выводу о важности решения обратной задачиопределения формы оси молекулы, а по ней сделать выводы о структуре4 молекулы ДНК. В лаборатории Ю. С. Лазуркина (Институт молекулярной генетики АН СССР) проводились работы по выяснению влияния сверхспирализации на структуру ДНК. В связи с генной инженерией появились возможности по созданию молекул ДНК со специально синтезированными последовательностями нуклеотидов.

Кроме того, в последнее время в фармакологической промышленности интенсивно развивается метод создания лекарственных препаратов на основе ДНК и РНК-содержащих соединений [80 — 82]. Он основан на том, что даже сравнительно короткие молекулы ДНК (РНК) (около 100 нуклеотидов) обладают гигантским количеством пространственных форм. Такое разнообразие в принципе позволяет подобрать подходящую по форме молекулу ДНК, закрывающую активные центры патогенного соединения (белка или фермента) и препятствующую его разрушительной работе. Основная проблема здесь — поиск экономически эффективного метода определения пространственной структуры короткой молекулы ДНК (РНК) по её нуклеотидному составу (первичной структуре). Наиболее перспективным для решения этой проблемы считается метод математического моделирования. В зарубежных работах это направление получило название драг-дизайна: его суть заключается в предварительном создании с помощью ЭВМ трёхмерной модели молекулы потенциального препарата [80].

Здесь возникает проблема выбора наиболее адекватной изучаемому объекту математической модели, которая, с одной стороны, позволяла бы наиболее точно и полно описать максимальное количество присущих ему свойств, с другой стороны не была бы сложной. На этом пути возникло несколько подходов [53], которые можно объединить в два основных направления [53]:

— первое заключается в представлении молекулы в виде полимерной цепочки с фиксированными валентными углами между составляющими её компонентами, что позволяет, несмотря на малые размеры, рассматривать молекулу ДНК в качестве континуального объекта;

— второе направление предполагает представление молекулы в качестве полимерной цепочки с заторможенным вращением компонентов.

В рамках первого направления, основоположниками которого являются Дж. Уотсон и Ф. Крик, рядом отечественных и зарубежных исследователей (E.JI. Старостин, Е. И. Кугушев, H.H. Козлов, Т. М. Энеев, Дж. ТЙэддокс, К. Бенхем, Дж. Уайт, и др.) в последнее время предпринимались попытки использовать в качестве модели механическую стержневую модель Кирхгофа — Клебша с целью исследования как механических, так и геометрических свойств ДНК, а также с целью объяснения ряда экспериментальных данных. Можно констатировать, что в направлении исследования механических свойств ДНК в работах E.JI. Старостина, Е. И. Кугушева, H.H. Козлова, Т. М. Энеева достигнуты определённые успехи [23, 25, 53], в то же время вопросы, связанные с исследованием геометрии молекул, остаются сравнительно мало изученными. Последнее связано с тем, что до недавнего времени не существовало эффективных методов, позволяющих определить пространственную конфигурацию молекулы ДНК исходя из её физических параметров, а также параметров физико-химического воздействия со стороны активных компонентов среды, таких как белки или ферменты. Причина трудностей, возникавших при определении пространственной конфигурации молекулы в рамках нелинейной стержневой модели, заключалась во внутренних трудностях, возникающих в самой нелинейной теории стержней в процессе качественного анализа геометрии деформированного стержня. Суть проблемы состоит в том, что исходная система дифференциальных уравнений Кирхгофа содержит интегральные силовые характеристики (компоненты вектора-момента и равнодействующих внутренних сил) и локальные геометрические параметры оси стержня (компоненты вектора Дарбу). В случае малых изменений кривизны и кручения стержня перемещение его точек определяется интегрированием линейных дифференциальных уравнений Клебша. В нелинейной постановке при вычислении перемещений необходимо проинтегрировать кинематические уравнения Эйлера, что представляет собой отдельную проблему, сопоставимую по трудности с основной задачей интегрирования уравнений Эйлера — Кирхгофа. Проблема построения общих уравнений оси деформированного стержня без привлечения дополнительных ограничений была успешно решена в работах A.A. Илюхина [17,18].

В то же время наблюдается отсутствие каких-либо механических моделей, соответствующих второму направлению. В качестве одной из основных причин здесь представляется отсутствие соответствующего теоретического аппарата в самой теории стержней. Для построения модели, учитывающей вращение компонентов, или, другими словами, нецентральные взаимодействия частиц среды, возникает необходимость получить основные соотношения одномерной микрополярной теории стержней.

Одним из основных направлений данной работы является исследование условий, при которых рассматриваемые математические модели описывают замкнутые конфигурации стержневых систем. Интерес к замкнутым конфигурациям стержней вызван с одной стороны, тем, что в упоминавшихся выше задачах гравитационной стабилизации искусственных спутников Земли замкнутые конфигурации стержневых элементов являются переходными к критическому случаю самопересекающихся стержневых элементов. В силу кинетической аналогии Кирхгофа, в динамике твёрдого тела замкнутость конфигурации стержня можно интерпретировать как одно из условии существования периодических движений твёрдого тела. С другой стороны, интерес к замкнутым конфигурациям возникает при исследовании геометрии молекул ДНК, поскольку именно замкнутые конфигурации ДНК играют существенную роль в процессах блокирования активных центров патогенных соединений и клеток при лечении различных заболеваний [72, 73, 77], и, кроме того, замкнутые конфигурации, согласно биологическим исследованиям, являются наиболее благоприятными для передачи генетической информации с наименьшим количеством потерь и нарушений [50]. Результаты экспериментов показывают, что многие физиологически важные регуляторные события напрямую зависят от замкнутости третичной структуры молекулы ДНК [83, 84, 87]. К таким событиям относятся: инициация транскрипции и репликации, транспозиция, интегративная рекомбинация и присоединение гомологичных однотяжевых цепей, распознавание и связывание с некоторыми типами регулятивных ферментов. Эксперименты по рассеиванию рентгеновских лучей под малым углом подтверждают, что одной из наиболее вероятных равновесных конформаций молекулы ДНК в естественной для неё водно-биологической среде являются замкнутые конформации. Следует также отметить, что наряду с естественными внутриклеточными физико-химическими процессами, влияющими на пространственную конфигурацию ДНК, в последние годы проводятся эксперименты по синтезу ДНК заданной конфигурации при помощи силового воздействия на свободные молекулы.

Из сказанного вытекает актуальность исследования условий замкнутости гибких стержней и их систем, а также выявление факторов, влияющих на их пространственную конфигурацию в целом.

Цель диссертационной работы состоит в построении и исследовании математических моделей деформации упругих стержней путём последовательного изменения предположений о характере взаимосвязей между механическими параметрами стержня и последующем применении построенных моделей к изучению пространственных конфигураций молекулы ДНК и, главным образом, — к нахождению условиГ, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций ДНК.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Разработать математическую модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающую связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня, обобщающие соотношения Кирхгофа.

2. Построить математическую модель деформации стержня, учитывающую вращательные взаимодействия микрочастиц вещества, из которого выполнен стержень.

3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказать существование замкнутых конфигураций стержневых объектов и получить аналитические условия замкнутости в общем виде.

4. Проинтегрировать систему уравнений Эйлера — Кирхгофа при предположениях, принимаемых для построенных в работе математических моделей. Исследовать механические эффекты, описываемые новыми решениями. Использовать построенные математические модели в задаче определения условий замкнутости молекул ДНК.

5. Разработать алгоритмы и программы численного определения значений параметров математических моделей, обеспечивающих замкнутость стержневого объекта с помощью найденных решений системы уравнений Эйлера — Кирхгофа, и провести численный эксперимент на их основе.

Методы исследования опираются на теоретическую механику, дифференциальную геометрию, теорию упругости и численный анализ.

Достоверность результатов вытекает из их математического обоснования, подтверждается доказательными утверждениями и леммами, детально иллюстрируется результатами численного анализа и экспериментальными данными, свидетельствующими о применимости построенных в работе математических моделей к исследованным объектам.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты приняты к использованию в процессе преподавания курсов «Уравнения математической физики», «Дополнительные главы математического анализа», «Избранные вопросы теоретической физики», на физико-математическом факультете ГОУВПО «Таганрогский государственный педагогический институт». Внедрение подтверждено соответствующими актами об использовании.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Предложена и исследована математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая обобщённый вид связи между различными механическими характеристиками стержня. Это отличает предложенную модель от аналогов в области исследования конфигураций ДНК и позволяет объяснить ряд экспериментально наблюдаемых для молекул эффектов, а также выявить ограничения на их способность к сверхспирализации.

2. Построена и проанализирована математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество. Модель отличается от известных аналогов тем, что позволяет оценить интегральное влияние интенсивности моментных взаимодействий структурных компонентов стержня на его геометрию. Последнее оказывается существенным при изучении конфигурации молекулы ДНК, для которой вращательные взаимодействия компонент весьма значительны.

3. В рамках математической модели деформации криволинейного стержня, основанной на теории Кирхгофа с помощью универсального геометрического метода исследования конфигурации деформированного стержня доказано существование замкнутых конфигураций, и получены аналитические условия замкнутости стержневых объектов. Данные условия отличаются от известных аналогов тем, что дают численные значения параметров решений системы уравнений деформации, при которых конфигурация стержня является замкнутой. Это позволяет определять допустимые для осуществления замкнутости механические параметры стержня и характеристики внешних воздействий.

4. Для рассмотренных в работе математических моделей получены точные решения системы уравнений Эйлера — Кирхгофа, обобщающие решение Лагранжа на соответствующие случаи. Найденные решения позволили в рамках единого математического аппарата оцёнить влияние новых механических факторов, учитываемых при построении конкретной математической модели, на характер условий замкнутости и вид замкнутых конфигураций. Теоретические результаты, полученные при анализе построенных моделей интерпретированы в задаче определения условии замкнутости молекулы ДНК. Это позволило объяснить ряд экспериментально наблюдаемых в поведении молекулы явлений.

5. С учётом специфики исследуемых моделей разработаны алгоритмы численного определения механических параметров замкнутых конфигураций стержневых элементов, и проведён численный эксперимент. Установлено качественное совпадение наблюдаемых экспериментально замкнутых конфигураций молекул с полученными в результате численного эксперимента. Экспериментально установлено соответствие значений параметров и конфигураций замыкания для случаев криволинейного, прямолинейного и естественно закрученного в исходном состоянии стержня.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель деформации естественно закрученного стержня, учитывающая обобщённый вид связи между характеристиками деформации и механическими параметрами стержня.

2. Математическая модель деформации стержня, учитывающая вращательные взаимодействия микрочастиц, образующих его вещество.

3. Точные решения системы уравнений Эйлера — Кирхгофа, полученные в рамках построенных математических моделей деформации стержня.

4. Условия существования замкнутых конфигураций стержневых объектов.

5. Алгоритмы численного определения механических параметре^ замкнутых конфигураций стержневых объектов, учитывающие математическую специфику исследуемых моделей.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере разработанных математических моделей и возможности интерпретации результатов моделирования одновременно в нескольких областях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: IV Региональной конференции «Молодёжь XXI века — будущее российской науки» (Ростов-на-Дону, РГУ, 2005 г.) — VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2006 г.) — Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2006 г.) — XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2007 г.) — Международной конференции «Классические задачи динамики твёрдого тела» (Донецк, Украина", 2007 г.) — Международной научно-технической конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, ТГПИ, 2007 г.) — Международной конференции «Проблемы механики сплошной средьо.

Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007 г.) — Международной. конференции «Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела» (Донецк, Украина, 2008 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано.

12 печатных работ, из них три в изданиях, входящих в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденный ВАК.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы. Основное содержание работы изложено на 155 страницах, включая список литературы из 102 наименований.

4.4. Выводы.

1. С учётом специфики построенных в работе математических моделей разработан алгоритм и программный комплекс определения численных значений свободных параметров предложенных в работе математических моделей, соответствующих замкнутой конфигурации стержня. В основу алгоритма положен метод локализации и вычисления нулей полиномов с коэффициентами произвольного вида на основе сортировки.

2. Установлены промежутки изменения свободных параметров исследованных математических моделей, в которых осуществляется одновременное замыкание обеих проекций П и N упругой линии стержня.

3. Определены промежутки изменения свободных параметров, в которых одновременная замкнутость проекций неосуществима.

4. Исследована зависимость абсолютной погрешности критерия замкнутости от величины шага численного интегрирования.

5. Выявлено появление дополнительных замкнутых форм равновесия при одинаковых значениях общих свободных параметров двух моделей деформации стержня.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Основной результат диссертационной работы заключается з построении и анализе совокупности взаимосвязанных математических моделей деформации упругих стержней и исследовании с помощью построенных моделей условий замкнутости молекул ДНК, а также интерпретация полученных результатов в динамике твёрдого тела.

Научная новизна результатов диссертационной работы, заключается в следующем:

1. В рамках стержневой модели, основанной на теории Кирхгофа, с помощью двух точных решений системы уравнений Кирхгофа получены условия, при которых указанные решения описывают семейства замкнутых пространственных конфигураций молекул нуклеиновых кислот. Данные условия отличаются от известных аналогов тем, дают численные значения параметров решений системы, при которых конформация молекулы является замкнутой, что позволяет определять допустимые для замкнутости механические параметры молекулы и интенсивность внешних воздействий.

2. Построена математическая модель естественно закрученного стержня, учитывающая нелинейный характер связи между различными видами деформации с использованием замыкающих соотношений системы уравнений Кирхгофа — Клебша в форме, полученной Г. Ю. Джанелидзе. Это отличает предложенную модель от аналогов в области исследования конфигураций ДНК и позволяет объяснить ряд экспериментально наблюдаемых для молекул эффектов, а также выявить ограничения на их способность к сверхспирализации.

3. Найдено общее решение системы уравнений Кирхгофа — Клебша для случая естественной закрученности при условии равенства жёсткостей на изгиб, обобщающее известное решение Лагранжа. Полученное решение отличается от решения Лагранжа структурой общих интегралов, функциональными зависимостями геометрических и силовых характеристик от дуговой координаты, а также структурой уравнений упругой линии. Это позволило провести качественный и численный анализ влияния естественной закрученности на пространственные конфигурации молекул ДНК и возможность образования ими замкнутых форм. Получены условия, при которых искомое решение описывает замкнутые конфигурации молекулы ДНК, а также ограничения на допустимые пределы величины естественной закрученности. Последнее позволяет дать обоснование экспериментально наблюдаемых у молекул ДНК ограничений на величину сверхспирализации.

4. Построена математическая модель, учитывающая' вращательные взаимодействия микрочастиц, составляющих вещество — микрополярная модель. Найдено общее решение системы уравнений Кирхгофа в случао микрополярной модели при условии равенства жёсткостей на изгиб. Для указанного решения получены условия, при которых оно описывает семейства замкнутых конфигураций молекул ДНК. Построенная модель отличается от известных моделей, учитывающих моментные напряжения, тем, что в её основе лежат уравнения Кирхгофа, а не уравнения псевдоконтинуума Коссера, что позволяет в рамках единого математического аппарата оценить интегральное влияние интенсивности моментных взаимодействий структурных компонентов молекулы на её геометрию, а также провести анализ поведения известных общих и частных решений системы уравнений Кирхгофа и получить новые.

5. С учётом специфики исследуемых моделей разработаны алгоритмы численного определения параметров замкнутости, и проведён численный эксперимент.