Анализ интегрируемых систем и систем слабой сложности в физике твердого тела и дискретных динамических системах

Системы, которые объединяются в настоящее время под названием интегрируемые, особенно активно стали изучаться в последние пятнадцать лет. Концепция интегрируемости встречается как в физике твердого тела и квантовой механике, так и в статистической физике на решетке и в теории поля. В случае классических моделей понятие интегрируемости связано с решением уравнений Янга-Бакстера. Для квантовых систем речь может идти о нахождении собственных функций рассматриваемого гамильтониана в виде так называемого анзатца Бете.

Интересные и нетривиальные результаты, накопленные вокруг проблематики интегрируемых систем, указывают на то, что в различных разделах математической физики механизмы, определяющие интегрируемость, одни и те же. Между понятиями интегрируемости в различных контекстах существуют тесные взаимоотношения. Например, можно показать, что семейство трансферматриц модели статистической физики коммутирует с квантовым гамильтонианом соответствующей модели квантовой механики.

История интегрируемых моделей в физике твердого тела начинается с работ Г. Бете, опубликованных в тридцатых годах. Он предложил искать волновые функции квантовой спиновой цепочки в частном виде [1], который теперь известен под названием анзатца Бете. Этот вид собственных функций позволил решить такие модели спиновых цепочек Гейзенберга, как ХУ и XXмагнетики во внешнем магнитном поле или анизотропный XYZ магнетик. Следует отметить, что в случае анизотропного XYZ магнетика наложение внешнего магнитного поля разрушает интегрируемость модели. Заметим также, что анзатц Бете позволяет найти собственные функции гамильтонианов рассматриваемых интегрируемых моделей лишь в некотрых случаях. За прошедшее время эволюция интегрируемых моделей происходила не только в физике твердого тела, но и в статистической физике и в теории поля. Существуют методы, позволяющие связать интегрируемые модели физики твердого тела, описываемые гамильтонианами, и интегрируемые модели статистической физики (вершинные модели), описываемые трансферматрицами.

В настоящей работе изучение моделей физики твердого тела и статистической физики на решетке проводится по двум различным направлениям. Мы стремимся дать более детальное описание поведения рассматриваемых моделей квантовой механики и выйти из контекста интегрируемости Янга-Бакстера моделей статистической физики на решетке.

Наиболее детальная информация о поведении физической системы может быть получена из корреляционных функций. Несмотря на то, что для интегрируемых моделей известен вид собственных функций рассматриваемых гамильтонианов, аналитическое вычисление корреляционных функций возможно лишь для некоторых из них. К этому немногочисленному кругу моделей принадлежат модели физики твердого тела, рассматриваемые в настоящей работе. Одна из моделей известна уже несколько десятилетий и представляет как теоретический, так и экспериментальный интерес. Речь идет о модели Хаббарда

2], которая описывает систему сильно связанных электронов на цепочке. Интегрируемость этой двухкомпонентной модели была показана в [3] с помощью обобщенного (двухкомпонентного) анзатца Бете [4]. За время ее существования было изучено много частных случаев и обобщений модели Хаббарда, например, модель рассматривалась на плоскости или в пространстве, или вводились различные взаимодействия между спинами. Одной из наиболее известных модификацией модели Хаббарда является модель? — <7, но она интегрируема лишь в суперсимметричной точке 3 — 2? [5, 6] и в точке бесконечно сильного взаимодействия <7 = 0 [7, 8].

Безусловно список интегрируемых моделей в физике твердого тела не исчерпывается моделью Хаббарда и частными случаями модели? — <7. В работах [9]-[15] рассматриваются интегрируемые модели, описывающие сильно связанные фермионы.

Анзатц Бете позволяет найти спектр и собственные функции гамильтониана интегрируемой модели, однако вычисление корреляционных функций, позволяющих получить более детальную информацию о рассматриваемой физической системе, вызывает много сложностей. В контексте интегрируемых моделей были предложены различные приближения, позволяющие оценить асимптотическое поведение корреляционных фукций.

Один из методов [16, 17] позволяет вычислить критическую экспоненту, описывающую асимптотическое поведение корреляционных функций, опираясь на собственные функции, найденные с помощью анзатца Бете. Этот метод применим к большому классу одномерных моделей, например, к модели Хаббарда [18]-[20] или к модели Ь — 3 в суперсимметричной точке [21].

Начало другому приближению для изучения квантовых спиновых цепочек при конечной температуре было положено в [22, 23]. Основная идея этого метода состоит в использовании преобразования Троттера-Сузуки [22] для того, чтобы (¿—мерную квантовую систему отождествить с ((¿-+1)-мерной классической системой. После чего анализ стат-суммы и корреляционных функций проводится с помощью квантовой трансферматрицы [24]. Однако этот метод имеет преимущество перед стандартными процедурами лишь в том случае, если преобразование Троттера-Сузуки может быть сделано так, что задача на собственные значения квантовой трансферматрицы явно решаема. Для вычисления статсуммы необходимо знать лишь наибольшее собственное значение трансферматрицы. Следующие по величине собственные значения позволяют найти длину корреляций. Этот метод был применен к спиновой цепочке Гейзенберга [25]-[29], а также к модели Хаббарда [30].

В настоящей работе мы рассматриваем классическую одномерную модель Хаббарда в пределе бесконечно сильного взаимодействия между спинами. В этом случае двухкомпонентный анзатц Бете имеет специальный вид, что позволяет представить собственные функции гамильтониана модели в явном виде, благодаря чему корреляционные функции могут быть вычислены аналитически.

Другая интегрируемая модель физики твердого тела, для которой вычисление корреляционных функций может быть осуществлено аналитически, представляет собой частный случай спиновой решетки. Спиновыми решетками называются одномерные системы, состоящие из некоторого числа квантовых спиновых цепочек, имеющих одинаковое число узлов каждая и связанных между собой взаимодействиями спинов ближайших соседей. Интересующая нас спиновая решетка образована двумя ХХО цепочками, связанными ¿—компонентами спинов. Мы будем рассматривать эту модель в пределе бесконечно сильного взаимодействия между цепочками. Собственные функции соответствующего гамильтониана могут быть найдены с помощью двухкомпонентного анзатца Бете, и в этом частном случае спиновой решетки они могут быть представлены в явном виде, позволяющем найти корреляционные функции аналитически.

Для обеих этих моделей корреляцонные функции в термодинамическом пределе могут быть представлены в виде интегралов по параметру от определителей Фредгольма интегральных операторов, имеющих специальный вид. Структура этих интегральных операторов позволяет вывести для корреляционных функций интегрируемые дифференциальные уравнения, что открывает возможность для вычисления асимптотик корреляционных функций.

Подобное точное представление для корреляционных функций двух-компонентных дискретных моделей получено впервые.

В свою очередь, изучение дискретных симметрий интегрируемых моделей статистической физики на решетке позволяет выйти из контекста интегрируемости Янга-Бакстера и перейти от моделей статистической физики к дискретным динамическим, системам. Первые работы в этом направлении были опубликованы в начале девяностых годов [31, 32]. В них была построена бесконечная группа дискретных симметрий уравнений Янга-Бакстера для ряда спиновых и вершинных моделей.

Конечно, кроме хорошо известных и подробно изученных шестивер-шинной и симметричной восьмивершинной моделей [33], в статистической физике существуют и другие интегрируемые модели, например, вершинные модели с д состояниями [34, 35]. Можно было бы поставить перед собой задачу поиска других моделей, Д-матрица которых удовлетворяет уравнениям Янга-Бакстера. Однако, изучение дискретных симметрий моделей, не обязательно интегрируемых, не менее познавательно, так как оно позволяет получить дополнительную информацию о свойствах рассматриваемых моделей. Для интегрируемых моделей удается эффективно найти канонические параметризации и, тем самым, более просто решить уравнения интегрируемости. Анализ неинтегрируемых моделей приводит к нетривиальным и интересным результатам. Оказывается, существуют модели, которые, сами не являясь интегрируемыми, имеют интегрируемые дискретные симметрии. Такова ситуация, например, для киральной модели Поттса с шестью состояниями (так называемая модель ВМУ) [36, 37] или для шестнадцативершинной модели [38], введенной Бак стером [33].

Следует отметить, что эти дискретные симметрии могут быть представлены естественным образом в виде бирациональных отображений в фазовом пространстве параметров рассматриваемой модели. В общем случае они образуют дискретную группу бесконечного порядка.

В работах [39]-[42] рассмотрение бирациональных отображений стало проводиться не в контексте статистической физики, а рамках изучения дискретных динамических систем, задаваемых этими отображениями. В настоящей работе, мы продолжаем и развиваем именно этот подход. Новизна настоящей работы заключается в том, что в ней анализируются топологические свойства двумерных бирациональных отображений двухпараметрического семейства в зависимости от значений параметров. Оказывается, отображения этого семейства являют собой пример отображений, задающих метрически регулярные (квазипериодические) и одновременно топологически хаотические динамические системы. Это семейство интересно также и тем, что даже малое возмущение, оставляющее отображения бирациональными и величину топологической энтропии неизменной, приводит к появлению странных

9. аттракторов.

На защиту выносятся следующие положения:

• Впервые полученные для двухкомпонентных дискретных моделей точные представления динамических температурных двухточечных корреляционных функций операторов рождения и уничтожения и операторов числа частиц в термодинамическом пределе.

• Дифференциальные уравнения для полученных корреляционных функций.

• Равенство между экспонентой топологической энтропии и основанием, характеризующим экспоненциальный рост сложности Арнольда и также характеризующим экспоненциальный рост степеней полиномов последовательных итераций.

• Верность этого равентства и в случае адаптации рассматриваемых величин к вещественному анализу.

• Бирациональные отображения изучаемого семейства являются метрически регулярными, но топологически хаотическими.

Организация диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение, список литературы и два приложения.

4.5. Выводы

Обобщая приведенные выше результаты, можно сделать следующий вывод. С метрической точки зрения динамические системы, задаваемые отображением ке, являются регулярными с трансцендентным расслоением и нулевыми значениями показателя Ляпунова. В отличие от эллиптической области, где трансцендентные кривые вокруг эллиптических фиксированных точек быстро покрываются точками последовательных итераций, в области точки на бесконечности из-за ее параболического типа трансцендентные кривые очерчиваются более медленно. Точки этих нечетко прорисованных ветвей орбит могут при поверхностном рассмотрении дать ошибочное впечатление хаоса, присутствующего в дополнение эллиптической области. Между тем топологическая энтропия, соответствующая этим динамическим системам, имеет ненулевое значение.

Безусловно, одним из необходимых условий отсутствия «метрического» хаоса является обратимость отображения — потеря обратимости соответствует «потере памяти». Другими словами, система «забыва

107. ет" свое прошлое и не может в него вернуться. В работе [90] приведен пример деформации отображения к£, при которой оно теряет свою би-рациональность, становясь просто рациональным. Даже слабые возмущения, делающие отображение необратимым, приводят к ненулевым значениям показателя Ляпунова и другим явлениям, связанным с хаосом, как, например, появление странного аттрактора.

Можно было бы предположить, что обратимость отображения является и достаточным условием отсутствия хаоса. Однако это не так. В той же работе ([90]) приведен наглядный пример — бирациональное отображение, являющееся деформацией к£, имееющее то же, что и ке, значение топологической энтропии. На его фазовом портрете виден странный аттрактор, и даже при малых возмущениях показатель Ляпунова принимает положительные значения.

Заключение

Настоящая работа была посвящена изучению двух интегрируемых моделей физики твердого тела и дискретных динамических систем, задаваемых бирациональными отображениями. В этом заключении мы приводим основные полученные нами результаты.

• Нам удалось впервые для дискретных двухкомпонентных моделей точно вычислить динамические температурные двухточечные корреляционные функции операторов рождения и уничтожения частиц и операторов числа частиц в термодинамическом пределе. Они представляются в виде интегралов с некоторым весом от определителей Фредгольма интегральных операторов, имеющих специальный вид. Различие между двумя рассматриваемыми моделями принимается во внимание с помощью параметра, который равен 1 в случае модели спиновой решетки и -1 в случае модели Хаббарда.

• Рассмотрение матричной задачи Римана-Гильберта позволило вывести для этих корреляционных функций дифференциальные уравнения, которые определяют их асимптотическое поведение при больших временах и расстояниях.

• Для двухпараметрического семейства двумерных бирациональ-ных отображений, не являющихся гиперболическими, мы получили рациональные выражения для динамической дзета-функции и для порождающей функции степеней. Их сравнение позволило утверждать, что значение экспоненты топологической энтропии совпадает со значением основания Л, характеризующего экспоненциальный рост сложности Арнольда и также экспоненциальный рост степеней полиномов последовательных итераций независимо от значений параметров.

Адаптируя рассматриваемые понятия к вещественному анализу, мы констатировали, что равенство между экспонентой вещественной топологической энтропии и основанием характеризующим экспоненциальный рост вещественной сложности Арнольда, сохраняется.

Проведенное для однопараметрического семейства бирациональ-ных отображений вычисление показателей Ляпунова позволило нам оценить метрическую энтропию и сделать следующий вывод: рассматриваемые бирациональные отображения являются метрически регулярными и в то же время топологически хаотическими.

Мы провели классификацию бирациональных отображений, действующих в пространстве матриц и связанных с перестановками матричных элементов. Этот анализ дал представление о редкости интегрируемых отображений и о распределении значений так называемой сложности отображений. При точной классификации отображений, действующих в пространстве матриц 3×3, мы получили основной спектр, состоящий из 18 значений.