Уравнения Вольтерра и обратные задачи

Практически в любой науке процесс познания начинается с фиксации соответствующих явлений и с изучения причинно-следственных связей между ними. При этом обычно исследователю бывают доступны лишь некоторые косвенные проявления (следствия) скрытых от непосредственного наблюдения закономерностей (причин). Другими словами это задачи обратные в причинно-следственно отношении.

Первый этап решения обратной задачи заключается обычно в формулировке законов, связывающих причины со следствиями. Поскольку основные законы природы выражаются, как правило, на языке дифференциальных уравнений, мы в результате приходим к обратным задачам для дифференциальных уравнений. При этом упомянутые выше «причины» конкретизируются в виде неизвестных коэффициентов, правой части, начальных условий, неизвестной области определения дифференциального уравнения. В качестве же «следствий» выступают функционалы от решения дифференциального уравнения. Обычно это следы решения на некоторых 'многообразиях или какие-то его усредненные характеристики. Математически тот факт, что причина всегда предшествует следствию, находит свое отражение в том, что многие обратные задачи сводятся к решению операторных уравнений, являющихся в том или ином смысле уравнениями типа Вольтерра.

Другой характерной особенностью обратных задач математической физики является их некорректность в наиболее естественных с точки зрения приложений функциональных пространствах. Практическая значимость этих задач настолько велика, что за последние 25 лет возникла по сути дела новая область математики — теория некорректных задач, основы которой были заложены в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова.

Отметим некоторые обратные задачи, исследование которых связано с уравнениями типа Вольтерра.

Первые результаты по обратным задачам для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка были получены В. А. Амбарцумяном, Г. Боргом, А. Н. Тихоновым, Л. А. Чудовым, Н. Ле-винсоном. В известном смысле законченная теория этих задач была создана в работах В. А. Марченко, И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана, М. Г. Крейна. Результаты всех этих работ давно стали классическими и вошли в соответствующие монографии (см. [97, 100, 103 ] и указанную там литературу). Многомерные аналоги этих задач как в точной, так и в разностной постановках впервые рассмотрел Ю. М. Березанский [19, 20]. Наиболее мощными методами исследования одномерных обратных задач оказались метод операторов преобразования и метод факторизации. В обоих методах главная роль принадлежит волътерровым операторам. В дальнейшем метод факторизации получил существенное развитие в работах Л. Д. Фаддеева [147], Л. Л. Нижника [112] в результате чего он был распространен на некоторые 'многомерные обратные задачи.

Систематическое изучение многомерных обратных задач для гиперболических уравнений было начато в работах М. М. Лаврентьева и В. Г. Романова (см. [96, 123, 124]). Рассмотренные ими задачи оказались тесно связанными с операторными и многомерными уравнениями типа Вольтерра. В 1970 году на международном математическом конгрессе в Ницце М. М. Лаврентьевым была поставлена задача исследования различных классов таких уравнений. Изложению теории этих уравнений и их приложений к многомерным обратным задачам посвящена основная часть диссертации. Перейдем к описанию ее содержания по главам.

В первой главе, которая носит вспомогательный характер, изложены используемые в дальнейшем понятия теории некорректных задач и теории абстрактных вольтерровых операторов. В этой главе вводится новое понятие б — непрерывности вольтеррова оператора и на основе точной оценки типа его резольвенты (ЕЛА)~* устанавливаются достаточные условия б — непрерывности. Эта оценка имеет вид.

Ъ (А)<2/ШРА + с (Р11<2/А+11, (I) где / • ?} ядерная норма, А+ = (А+А*)/2. &={]?} -собственная максимальная цепочка вольтеррова оператора, А. В отличии от известных доказательств оценки (I) (см. [ 63 ] и указанную там литературу) мы не предполагаем оператор Д дисси-пативным. Это обстоятельство существенно для наших приложений. При доказательстве критериев б — непрерывности и оценки (I) существенно используются результаты теории абстрактных вольтерровых операторов, изложенные в книгах И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна [62, 63 ] и известная связь между плотностью нулей целой функции и ее ростом на бесконечности. В главах 2 и 3 исследуются соответственно линейные и нелинейные операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств и даются их приложения к обратным задачам. Используемый в главе 2 подход основан на сочетании теории абстрактных вольтерровых операторов, изложенной в главе I со шкаловой техникой, развитой при изучении линейной задачи Коши (см. 58, 59, 117, 168]). Здесь оценка (I) используется для вычисления точной асимптотики модуля непрерывности этих некорректных задач, а свойство б — непрерывности позволяет доказывать теоремы единственности в целом. Исследуемые в этой главе уравнения тлеют вид и = Vu +f и Vu =/, где оператор V задан, например, формулой ь Vu)(t) = fV (t,?)u (VdV, teloj], (2) о.

V (t, — двухпараметрическое семейство линейных операторов, действующее в банаховом пространстве? (или шкале банаховых пространств). За счет того, что ядро или его производная V'(-t.

В четвертой главе линейные операторные уравнения Вольтер-ра и, с неограниченным операторным ядром V (€f?) и связанные с ним интегро-дифференциальные неравенства изучаются методом весовых априорных оценок карлемановского типа. Основной результат здесь заключается в доказательстве теорем единственности и устойчивости. В качестве приложения получены теоремы единственности и устойчивости обратной задачи определения правой части эволюционного уравнения по заданным следам решения. В последнем параграфе этой главы методом, основанным на спектральной теореме фон Непитана, исследуется единственность и устойчивость операторных уравнений Вольтерра первого рода в предположении, что ядро или главная часть его образует нормальное коммутирующее семейство операторов. Эта задача была поставлена М. М. Лаврентьевым в [92]. Здесь же отметим, что редукция обратных коэффициентных задач к задаче Коши для интегро-диффе-ренциального уравнения на примере параболических уравнений впервые была осуществлена в работе Н. Я. Безнощенко, А.Й.Прилеп-ко ?15]. При этом оставался открытым вопрос единственности решения подобных интегро-дифференциальных уравнений, который в абстрактной ситуации решается в главе 4. В главе 5 метод кар-лемановских оценок применяется для доказательства теорем единственности определения правой части или коэффициентов дифференциальных уравнений в частных производных произвольного порядка и типа. Отметим, что ранее теоремы единственности многомерных коэффициентных обратных задач были доказаны либо в малом, либо в специальных классах функций типа функций аналитических по части переменных. В частном случае уравнений второго порядка близкие результаты были получены одновременно и независимо от автора М. В. Клибановым [80] •.

Дяя численного построения решения некорректных обратных задач типа рассмотренных в главе 5 можно воспользоваться конечно-разностным методом. Естественно при этом потребовать, чтобы для соответствующих разностных схем тоже были выполнены априорные оценки карлемановского типа. Разностные схемы с этим свойством мы называем устойчивыми по Карлеману. В главе 6 получены необходимые и достаточные условия такой устойчивости разностных схем для некорректной эволюционной задачи Коши. Разностные схемы для некорректных задач методом преобразования Фурье впервые изучались в работе Л. А. Чудова [l5l] • Предлагаемый в главе 6 подход позволяет исследовать устойчивость разностных схем для уравнений с переменными коэффициентами. Эта задача была поставлена Л. А. Чудовым в? J52']. С другой стороны, из полученных в главе 6 оценок можно легко вывести условную устойчивость разностных аналогов обратных задач, рассмотренных в главах 4,5. Вопросы сходимости, устойчивости и регуляризации разностных схем для некорректных эволюционных уравнений с постоянным операторным коэффициентом другими методами изучались ранее в работах С. Г. Крейна, О. И. Прозоровской [89], А.Б.Бакушин-ского[х2,1з] и других авторов.

В главах 7 и 8 исследуются многомерные интегральные уравнения типа.

Ри = Ja0xa, y) S (p (Jcty))u (y)cty +.

3) J а, (х, у) &(р (эс, у))и (у)с1у = /сх).

Здесь б (р) — дельта-функция, сосредоточенная на поверхности Г (¿-С) — Р (х, у) = О, 0 — функция ХевисайдаCL0, ctt — гладкие весовые функцииU. — искомая функция переменной f (X), X е С? t, тж заданная функция. В частности при а= о мы приходим к задаче интегральной геометрии. Получены необходимые и достаточные условия, при которых это уравнение имеет левый регуляризатор или обладает той или иной степенью устойчивости. Для аналитических О-о, р либо в «малом» доказана единственность решения уравнения (3) в классе непрерывных финитных функций. Ранее были известны теоремы единственности только для поверхностей р и весов, а о, а±-, инвариантных относительно некоторой группы движений (см. В. Г. Романов [124]), либо в классе кусочно-аналитических решений (см. Ю. Е. Аниконов [7]). В качестве приложений рассмотрены следующие обратные задачи.

1. Задача определения правой части системы уравнений Ламе или волнового уравнения по следу решения на границе. Получены явные формулы решения, доказана теорема существования. В случае волнового уравнения эта задача исследовалась по сути дела еще Адамаром I. Тот факт, что эта задача корректна в случае задания следа на всей плоскости, доказана независимо Р.М.Гари-повым, В. Б. Кардаковым и автором (см. [28, 54]).

2. Обратная задача рассеяния на выпуклом препятствии в приближении Кирхгофа на конечной серии частот. Доказана ее единственность и устойчивость. Для бесконечной серии частот единственность этой задачи была ранее установлена Ю. Е. Аниконовым и А. Г. Марчуком [ю], а для одной, но малой частоты В. Н. Степановым [134] .

3. Обратная кинематическая задача рассеяния на одномерной неоднородности искомой среды.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [26 — 4б]. Большая их часть получена автором самостоятельно. Из совместных публикаций по теме диссертации вклад автора в совместной работе с В. Б. Кардаковым 4б] состоял в методе решения обратной задачи для волнового уравнения и теореме существования для нее, в то время как идея перенести этот метод на систему Ламе и котрпримеры неединственности принадлежат соавторув совместной работе с Н. П. Зенковой [44] автору принадлежаттеоретические разработки, а численная реализация алгоритмов принадлежит соавторув совместной работе с М. М. Лаврентьевым [94] автору принадлежит идея использования аналитического продолжения для сведения существенно некорректной задачи интегральной геометрии к слабо некорректной, в то время как соавтору принадлежит идея построения регуляризатора. Исследованные в диссертации обратные задачи составляют лишь небольшую часть всего многообразия обратных задач, изученных в настоящее время. По поводу других обратных и некорректных задач, а также связанных с ними классов операторов, уравнений и приложений см. 1 — 16, 18−25, 51−63, 65−106, 108−128, 130−147, 149−168] и указанную там литературу. Автор не ставил цель составить сколько-нибудь полную библиографию по всем затронутым в диссеро тации вопросам. В настоящее время она имеет порядок 10. Приведены в основном только ссылки на использованную литературу, а также на монографию и статьи, в которых можно найти ссылки на более ранние работы.

Отметим, что теоретические разработки диссертации послужили идейной основой написанного под руководством и при участии автора комплекса программ по обратным задачам рассеяния. Акты о внедрении и отзывы прилагаются к диссертации отдельно. (См. приложение с. 311−315).

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. -352с.

2. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. 1,2. Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1962, JS II, с. I5I4-I53I.

3. Алексеев A.C., Лаврентьев М. М., Мухометов Р. Г., РомановВ.Г. Численный метод решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики. Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1969, вып. I, с. 179−201.

4. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 216с.

5. Амиров А. Х. Об одном классе многомерных обратных задач. -Докл. АН СССР, 1983, т. 272, Ш 2, с. 265−267.

6. Андрощук A.A. Операторы преобразования и теорема единственности в обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1971, т. 198, Jfi I, с. 9−12.

7. Аниконов Ю. Е. О разрешимости задачи интегральной геометрии. Мат. сб., 1976, т. 101, 1Ь 2, с. 271−279.

8. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 120с.

9. Аниконов Ю. Е., Бондаренко А. Н. Обратная задача для уравнения Власова. Докл. АН СССР, 1982, т. 265, № 5, с. 10 371 039.

10. Аниконов Ю. Е., Марчук А. Г. К обратной задаче дифракции.Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1975, вып. 6, ч. 2, с. 54−62.

11. Арсении В. Я. Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода типа сверток. Труды МИ АН СССР, 1973, т. 133, с. 33−51.

12. Бакушинский А. Б. Разностные схемы для решения некорректных абстрактных задач Коши. Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, В 10, с. I876−1885.

13. Бакушинский А. Б. О решении разностными методами некорректной задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения второго порядка. Дифференц. уравнения, 1972, т. 8,5, с. 881−890.

14. Безнощенко Н. Я. Некоторые обратные задачи для параболических уравнений. В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 37−38.

15. Безнощенко Н. Я., Прилепко А. И. Обратные задачи для уравнений параболического типа. В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977, с. 51−63.

16. Бейлькин Г. Я. Единственность и устойчивость решения обратной кинематической задачи сейсмики. Зап. науч. семинаров ЛОМИ/ Ленингр. отд-ние мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 1979, т. 84, с. 3−6.

17. Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969. — 344с. — (Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина: т. I).

18. Белоносова A.B., Алексеев A.C. Об одной постановке обратной кинематической задачи сейсмики для двумерной непрерывно-неоднородной среды. В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967, с. 137−154.

19. Березанский Ю. М. К теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера. Тр. Моск. мат. о-ва, 1958, т. 7, с. 3−51.

20. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965. 798с.

21. Бернштейн И. Ы., Гервер М. Л. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики. Докл. АН СССР, 1978, т. 243, № 2, с. 302−305.

22. Благовещенский A.C. Обратная задача для волнового уравнения с неизвестным источником. В кн.: Проблемы математической физики, Л., изд-во ЛГУ, 1970, вып. 4, с. 27−39.

23. Бояринцев Ю. Е., Васильев В. Г. Об устойчивости метода квазиобращения при решении некорректных эволюционных уравнений. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1969, т.9, В 4, с. 951−952.

24. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344с.

25. Бродский М. С. О треугольном представлении вполне непрерывных операторов с одной точкой спектра. Успехи мат. наук, 1961, т. 16, J5 I, с. I35-I4I.

26. Бродский М. С., Кисилевский Г. Э. Критерий одноклеточности вольтерровых операторов с ядерными мнимыми компонентами.- Изв. АН СССР. Сер. мат., 1966, т. 30, № 6, с. I2I3-I228.

27. Бухтейм А. Л. Об одном классе операторных уравнений Воль-терра первого рода. %нкцион. анализ и его прил., 1972, т. 6, вып. I, с. 1−9.

28. Бухгейм А. Л. Об одной задаче интегральной геометрии. Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1973, вып. 4, с. 69−73.

29. Бухгейм А. Л. Об аналитичности решения специальных интегральных уравнений 1-го рода. Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1975, вып. 6, с. 2, с. 110−119.

30. Бухгейм А. Л. Неоходимые условия устойчивости одного класса интегродифференциальных уравнений. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1975, с. 78−85.

31. Бухгейм А. Л. Об одном классе интегральных уравнений первого рода. Докл. АН СССР, 1974, т. 215, № I, с. 15−16.

32. Бухгейм А. Л. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств. Докл. АН СССР, 1978, т. 242, № 2, с. 272−275.

33. Бухгейм А. Л. Один класс операторных уравнений Вольтерра первого рода. В кн.: Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1978, с. 45−50.

34. Бухгейм А. Л. Обратная задача рассеяния в приближении Кирхгофа. Докл. АН СССР, 1980, т. 254, В 6, с. 1292−1294.

35. Бухгейм А. Л. Обратная задача рассеяния в приближении Кирхгофа. В кн.: Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск, изд. ВЦСО АН СССР, 1980, с. 17−27.

36. Бухгейм А. Л. Специальные операторные уравнения в шкалахбанаховых пространств и их приложения: Препринт JS 253. -Новосибирск, 1980. 21с. — Б надзаг: ВЦ СО АН СССР.

37. Бухгейм А. Л. Нелинейные операторные уравнения Волътеррав шкалах банаховых пространств: Препринт $ 280. Новосибирск, 1981. — 21с. — В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

38. Бухгейм А. Л. Карлемановские оценки для оператора Волътерра и единственность обратных задач. В кн.: Неклассические проблемы математической физики. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 56−64.

39. Бухгейм А. Л. Задача определения правой части эволюционного уравнения. В кн.: Неклассические задачи уравнений математической физики. Новосибирск, изд. Ин-та математики СО АН СССР, 1982, с. 52−53.

40. Бухгейм А. Л. Устойчивость разностных схем для некорректных задач. В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 54−55.

41. Бухгейм А. Л. Об устойчивости разностных схем для некорректных задач. Докл. АН СССР, 1983, т. 270, й I, с. 26−28.

42. Бухгейм А. Л. Об одном алгоритме решения обратной кинематической задачи сейсмики. В кн.: Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск, Наука, 1983, с. 152 155.

43. Бухгейм А. Л. Уравнения Волътерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 208с.

44. Бухгейм А. Л., Зенкова Н. П. О дистанционном определении характеристик слоистых сред. Геология и геофизика, 1981,7, с. 81−88.

45. Бухгейм А. Л., Кардаков В. Б. Решение обратной задачи дляуравнения упругих волн методом сферических средних. Сиб. мат. журн., 1978, т. 19, № 4, с. 749−757.

46. Бухгейм А. Л., Клибанов М. В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач. Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 2, с. 269−272.

47. Бухгейм А. Л., Конев В. Т. О некоторых обратных задачах рассеяния. В кн.: Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1979, с. 23−42.

48. Бухгейм А. Л., Зеркаль С. М., Пикалов В. В. Об одном алгоритме решения трехмерной обратной кинематической задачи сей-смики. В кн.: Методы решения обратных задач. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1983, с. 38−47.

49. Бухгейм А. Л., Яхно В. Г. О двух обратных задачах для дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1976, т. 229, № 4, с. 785−786.

50. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 440с.

51. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

52. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

53. Гарипов P.M. Негиперболическая граничная задача для волнового уравнения. Докл. АН СССР, 1974, т. 219, № 4, с. 777−780.

54. Гарипов P.M., Кардаков В. Б. Задача Коши для волнового уравнения с непространственным начальным многообразием. Докл. АН (Ж, 1873, т, 813, ff 5, о, Ш-КВД,.

55. Гелъфанд И. М. Интегральная геометрия и ее связь с теорией представлений. Успехи мат. наук, I960, т. 15, вып. 2, с. 155−164.

56. Гелъфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Интегральная геометрия в аффинном и проективном пространствах. В кн.: Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники). М., ВИНИТИ, 1980, т. 16, с. 53−226.

57. Гелъфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 440с. (Сер. Обобщенные функции, вып. I).

58. Гелъфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. М.: Физматгиз, 1958. 328с. (сер. Обобщенные функции, вып. 2).

59. Гелъфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958. 356с. (Сер. Обобщенные функции, вып. 3).

60. Гласко В. В., Кравцов В. В., Кравцова Г. Н. Об одной обратной задаче гравиметрии. Вест. МГУ, 1970, № 2, с. 86−97.

61. Гончарский A.B., Черепащук A.M., Ягола А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978. 336с.

62. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. 448с.

63. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967. 508с.

64. Градитейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы. интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108с.

65. Данфорд Н., Шварц Дк. Линейные операторы. Ш. Спектральные операторы. М.: Мир, 1974. 664с.

66. Демидов Г. В. Некоторые приложения обобщенной теоремы Ковалевской. Численные методы механики сплошной среды/Ин-т теоретической и прикл. механики, Новосибирск, 1970, т. I, }Ь 2, с. 10−32.

67. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979. 320с.

68. Запреев A.C., Цецохо В. А. Обратная задача для уравнения Гельмголъца: Препринт № 22. Новосибирск, 1976. — 19с. -В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

69. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах Докл. АН СССР, 1962, т. 145, № 2, с. 270−272.

70. Иванов В. К. 0 некорректно поставленных задачах. Мат. сб., 1963, т. 61, & 2, с. 211−223.

71. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206с.

72. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрооптики. Новосибирск: Наука, 1974. 204с.

73. Исаков В. М. 0 единственности решения задачи Коши. Докл. АН СССР, 1980, т. 255, I, с. 18−21.

74. Искендеров А. Д. Об обратных краевых задачах с неизвестными коэффициентами для некоторых квазилинейных уравнений. Докл. АН СССР, 1968, т. 178, № 5, с. 999−1003.

75. Искендеров А. Д., Тагиев Р. Г. Обратная задача об определении правых частей эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Вопросы прикладной математики и кибернетики, 1979, с. 51−56.

76. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении кдифференциальным уравнениям с частными производными. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 160с.

77. Кайстренко В. М. О задаче Коши для гиперболического уравнения второго порядка с данными на времениподобной поверхности. Сиб. мат. журн., 1975, т. 16, № 2, с. 395−398.

78. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. Докл. АН СССР, 1951, т. 77, № I, с. II-I4.

79. Клибанов М. В. Об обратных задачах для одного квазилинейного параболического уравнения. Докл. АН СССР, 1979, т.245, !Ь 3, с. 530−532.

80. Клибанов М. В. Единственность в «целом» некоторых многомерных обратных задач. В кн.: Неклассические проблемы математической физики. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1981, с. I0I-II4.

81. Клибанов М. В. Об одном классе обратных задач. Докл. АН СССР, 1982, т. 265, J6 6, с. 1306−1309.

82. Коллистратова М. А. Экспериментальное исследование рассеяния звука в турбулентной атмосфере. Докл. АН СССР, 1959, т. 125, Л I, с. 69−72.

83. Костелянец П. О., Решетняк Ю. Г. Определение вполне аддитивной функции ее значениями на полупространствах. Успехи мат. наук, 1954, т. 9, вып. 3, с. 135−140.

84. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. — 512с.

85. Крейн С. Г. О классах корректности для некоторых граничных задач. Докл. АН СССР, 1957, т. 114, 1Ь 6, с. II62-II65.

86. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464с.

87. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104с.

88. Крейн С. Г., Петунин Ю. И. Шкалы банаховых пространств. -Успехи мат. наук, 1966, т. 21, № 2, с. 89−168.

89. Крейн С. Г., Прозоровская О.й. О приближенных методах решения некорректных задач. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1963, т. 3, № I, с. 120−130.

90. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832с.

91. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, изд. СО АН СССР, 1962. 68с.

92. Лаврентьев М. М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода. В кн.: Международный математический конгресс в Ницце, 1970, М., Наука, 1972, с. 130 136.

93. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, изд. Новосиб. ун-та, 1973.

94. Лаврентьев М. М., Бухгейм А. Л. Об одном классе операторных уравнений первого рода. Функцион. анализ и его прил., 1973, т. 7, вып. 4, с. 44−53.

95. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. — 88с.

96. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений. Докл. АН СССР, 1966, т. 171, В 6, с. 1279−1281.

97. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 284с.

98. Лаке П., йшипс Р. Теошя рассеяния. М.: Мир, 1971. *312с.

99. Латтес Р., Лионе Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336с.

100. Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: Физматгиз, 1962. 324с.

101. Лидский В. Б. О суммируемости рядов %рье по главным векторам несамосопряженных операторов. Тр. Моск. мат. о-ва, 1962, т. II, с. 3−35.

102. Магницкий Н. А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и Ш рода. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1979, т. 19, & 4, с. 970−988.

103. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977. 332с.

104. Маламуд М. М., Цекановский Э. Р. Критерии линейной эквивалентности волътерровых операторов в шкале 1 В (о, Т)9 ш ссср> Сер# мат^ 1977^ 41>4, с. 768−793.

105. Мацаев В. И. О волътерровых операторах, получаемых возмущением самосопряженных. Докл. АН СССР, 1961, т. 139,4, с. 810−814.

106. Мацнев Л. Б. Об одном вольтерровом операторе. Дифференциальные уравнения и теория функций/Саратовский гос. ун-т, Саратов, 1977, вып. I, с. 65−69.

107. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. 570с.

108. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи.- В кн.: Итоги науки и техники. Матем. анализ, М.: ВИНИТИ, 1973, с. 129−178.

109. Мухометов Р. Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия. Докл. АН СССР, 1977, т. 232, Jia I, с. 32−35.

110. Мухометов Р. Г. К задаче восстановления анизотропной римановой метрики в fl мерной области: Препринт № 136. -Новосибирск, 1978. — 32с. — В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

111. Мухометов Р. Г., Романов В. Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в П мерном пространстве. — Докл. АН СССР, 1978, т. 243, ih I, с. 41−44.

112. Иижник Л. П. Обратная нестационарная задача рассеяния. Киев: Наукова думка, 1973. 182с.ИЗ. Нижник Л. П., Тарасов В. Г. Обратная задача рассеяния для односкоростного уравнения переноса. Докл. АН СССР, 1978, т. 242, $ 6, с. I307-I3I0.

113. Ниренберг Л. Лекции о линейных дифференциальных уравнениях с частными производными. Успехи мат. наук, 1975, т. 30, вып. 4, с. 147−204.

114. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. 232с.

115. Новиков П. С. О единственности обратной задачи теории потенциала. Докл. АН СССР, 1938, т. 18, с. 165−168.

116. Овсянников Л. В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств. Докл. АН СССР, 1965, т. 163, }Ь 4, с. 819 822.

117. Овсянников Л. В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств. Докл. АН СССР,.1971, т. 200, В 4, с. 789 792.

118. Погорелов A.B. Многомерная проблема Минковского. М.: Наука, 1975. 96с.

119. Преображенский Н. Г., Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. — 238с.

120. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала. Мат. заметки, 1973, вып. 14, JI 5, с. 755−765.

121. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1978. — 400с. — (Гармонический анализ. Самосопряженность: т. 2).

122. Романов В. Г. Обратные задачи и интегральная геометрия. -В кн.: Сборник трудов Всесоюзного симпозиума по обратным задачам. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1971, с. 53−63.

123. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. 164с.

124. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: изд. Новосиб. ун-та, 1973. 252с.

125. Романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики. Докл. АН СССР, 1978, т. 241, В 2, с. 290−293.

126. Романов В. Г. Обратные задачи для гиперболических уравнений и энергетические неравенства. Докл. АН СССР, 1978, т. 242, 1Ь 3, с. 541−544.

127. Романов М. Е. Метод характеристик численного решения обратной кинематической задачи сейсмики. Мат. проблемы геофизики/ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1972, вып. 3, с. 328−346.

128. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656с.

129. Сахнович Л. А. Спектральный анализ вольтерровых операторов и обратные задачи. Докл. АН СССР, 1957, т. 115, В 4, с. 666−669.

130. Свешников Л. Г., Еремин Ю. А., Чивилев A.B. Исследование единственности решения одной обратной задачи теории дифракции. Дифференц. уравнения, 1979, т. 15, № 12,с. 2205−2209.

131. Серавин Г. Н. Методы и средства измерения скорости звука в морской воде. В кн.: Акустика океана: Современное состояние. М.: Наука, 1982, с. 196−209.

132. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: изд. СО АН СССР, 1962. 256с.

133. Степанов В.II. Единственность решения обратной задачи рассеяния. В кн.: Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1980, с. 77−81.

134. Страхов В. Н. 0 методах приближенного решения линейных некорректных задач. Докл. АН СССР, 1971, т. 196, № 4, с. 736−788.

135. Страхов В. Н., Иванов С. Н. Конечно-разностный алгоритм решения задачи Коши для уравнения Лапласа. В кн.: Методы решения некорректных задач и их приложения. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1982, с. 250−253.

136. Тамме Э. Э. Об устойчивости разностных схем при решении некорректных задач методом квазиобращения. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1972, т. 12, № 5, с. I3I9-I325.

137. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. — 158с.

138. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применении к некоторым задачам математической физики. Бюл. МГУ, 1938, сер. А, т. I, J5 8, с. 1−25.

139. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, т. 39, № 5, с. 195−198.

140. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Докл. АН СССР, 1963, т. 151, Jv 3, с. 501−504.

141. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. Докл. АН СССР, 1963, т. 153, № I, с. 49−52.

142. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 288с.

143. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Рубащов И. Б., Тимонов A.A. О решении проблемы восстановления изображения в Я.М.Р. томографии. Докл. АН СССР, 1982, т. 263, В 4, с. 872 876.

144. Урев М. В. О продолжении магнитного поля с оси симметриив пространство. Радиотехника и электроника, 1983, т.28, Ур. 4, с. 772−779.

145. Успенский C.B. О восстановлении функции, заданной интегралами по одному семейству конических поверхностей. Сиб. мат. журн., 1977, т. 18, }Г> 3, с. 675−684.

146. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. В кн.: Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники). М., ВИНИТИ, 1974, т. 3, с. 93−180.

147. Харди Г. Г. Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. 456с.

148. Хёрмандер^Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. 380с.

149. Чащин О. Н. Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 1-го рода в шкале банаховых пространств. В кн.: Приближенные методы решения и вопросы корректности обратныхзадач. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 132 144.

150. Чудов Л. А. Разностные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа. Докл. АН СССР, 1962, т. 143, № 4, с. 798−801.

151. Чудов Л. А. Разностные схемы и некорректные задачи для уравнений с частными производными. Вычислительные методы и программирование. М., изд. ГЛГУ, 1967, т. 8, с. 3462.

152. Шишатский С. П. Априорные оценки в задаче о продолжении волнового поля с цилиндрической времениподобной поверхности. Докл. АН СССР, 1973, т. 213, № I, с. 49−50.

153. Яхно В. Г. Одномерная обратная задача для волнового уравнения. Докл. АН СССР, 1980, т. 255, }Ъ 4, с. 807−810.

154. Carleman T. Sur un probleme d’unicite pour les systemes d’equations aux derivees partielles a deux variables independantes. Arkiv. Mat. Astr. Fys., 1939, 26 В, К 17, S. 1−9.

155. Fredholm I. Sur une classe d’equations fonctionnelles. -Acta math., 1903, v. 27, p. 365−390.159* Friedlander F.G. On radiation field of pulse solutions of the wave equation, III. Proc. of the Royal society. Series A, 1967, v. 299, p. 264−278.

156. Helgason S. The Radon transform on Euclidean spaces, compact two-point homogeneous spaces and Grassmann manifolds. Acta Math., 1965, v. 113, p. 153−180.

157. John F. Continuous dependence date for solutions of partial differential equations with a prescribed bound. Communs Pure and Appl. Math., 1960, v. 13, N 4, p. 551−585.

158. Kahane C. Analyticity of mildly singular integral equations.- Communs Pure and Apll. Math., 1965, v. 18, N 4, p. 593 626.

159. Kunamo-go H. Psevdodifferential operators and uniqueness of the Cauchy problem. Communs Pure and Appl. Math., 1969, v. 22, N 1, p. 73−120.

160. Majda A. High frequency asymptotics for the scattering matrix and the inverse problem of acoustical scattering. Communs Pure and Appl. Math., 1976, v. 29, p. 261−291.

161. Symposium on non-well posed problems and logarithmic convexity. Berlin a.o.: Springer, 1973″.

162. Treves J.E. An abstract nonlinear Cauchy-Kovalevska theorem.- Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 150, p. 77−92.