Краевые задачи для бесконечномерного параболического уравнения

В диссертации решаются первая и вторая краевые задачи в области гильбертова пространства для бесконечномерного параболического оператора второго порядка.

Изучение таких операторов представляет большой интерес по двум причинам. Во-первых, они естественно возникают в приложениях — евклидовой квантовой теории поля, статистической гидромеханике и в теории случайных процессов с бесконечномерным фазовым пространствомво-вторых, хотя они являются непосредственным обобщением соответствующих конечномерных операторов, однако их теория существенным образом отличается от конечномерной.

Исследование параболических и эллиптических операторов на бесконечномерных пространствах началось около 15 лет назад в работах Ю. Л. Далецкого [i] и Л. Гросса [2], которые, в частности, рассматривали задачу Коши для бесконечномерных параболических уравнений. В дальнейшем эта задача — как в пространствах функций, так и в пространствах мер — изучалась многими авторами /см., например, [з], [4], [б] и др./.Первая краевая задача рассматривалась наиболее подробно для эллиптических операторов и их расширений / [2], [б], [?], [в], [9]. [Ю] и др./- в параболическом случае лишь в работах [9 ], [il], [12] и [, 38] .

При исследовании бесконечномерных уравнений в большей части работ применялась теория строго марковских процессов с бесконечномерным фазовым пространством, близких к диффузионным /см. [i], [2] и др./.Использовались также метод парамет-рикса / [13], [4], [б] / и вариационный метод / [14], l5] /.Теория потенциала была применена в работе [1б] в эллиптическом случае для цилиндрической области.

Изучение в диссертации теории тепловых потенциалов потребовало систематического использования свойств дифференцируемых мер /см. [l7], а также [l8], [l9] / и соответствующих им поверхностных мер / [20] /.Применение теории потенциалов позволило, с одной стороны, новым методом решить первую краевую задачу, с другой стороны, впервые решить вторую краевую задачу, а также исследовать регулярность полученных решений.

Перейдем к изложению основных результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфывнутри каждой главы нумерация теорем, лемм, формул и т. д. сквозная, причем римской цифрой обозначен номер главы, а арабскойочередной номер.

1.Далецкий Ю. Л. бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения, Успехи матем. наук, 22, вып.4 /1967/, с. 3 — 54.

2. Gross L., Potential theory on Hilbert space, J. of Func.Anal., v.1,N22 (1967), p.123−181.

3. Фомин С. В., Метод преобразования Фурье для уравнений в функциональных производных, Докл. АН СССР, 181, Р4 /1968/, с.812−814.

4. Piech М.А., A fundamental solution of parabolic equation on Hilbert space, J. of Func.Anal., v.3,P1 (1969), p.85−114.

5. Шавгулидзе E.T., 0прямом уравнений Колмогорова для мер в гильбертовой шкале пространств, Вестн.Моск.ун-та.Матем., механ., 1978,№ 3, с. 19−28.

6. Бенткус В.-К.Ю., Уравнения с постоянными коэффициентами в частных производных для обобщенных мер в бесконечномерном полупространстве, в сб. Дифференциальные уравнения и их применение, Вильнюс, 1976, вып.16,с.9−39.

7. Фролов Н. Н., К задаче Дирихле в гильбертовом пространстве, в сб. Теория вероятностей и матем. статистика, Киев, 1970, вып.3,с.200−210.

8. Беляев А. А., Решение задачи Дирихле в полупространстве гильбертова пространства с помощью потенциалов, Успехи матем. наук, 37, вып.4 /1982/, с.143−144.

9. БеляевА.А., Задача Дирихле в гильбертовом пространстве с мерой, в сб. Некоторые вопросы математики и механики, Изд-во Моск. ун-та, 1У81, с.23−24.

10. Фролов Н. Н., 0 задаче Дирихле для эллиптического оператора в цилиндрической области гильбертова пространства, Матем. сборн., 92, Ш /1973/, с.430−445.

11. Фомин С. В. Дифференцируемые меры в линейных пространствах, Успехи матем. наук, 23,!И /1968/, с.221−222.

12. Авербух В. И., Смолянов 0.Г., Фомин С. В., Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах.1., Труды Моск.матем.о-ва, 24,1971,с.133−174.

13. Смолянов 0.Г., Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения, М., МГУ, 1979.

14. Угланов А. В., Поверхностные интегралы в банаховом пространстве, Матем.сборн., 110,^2 /1979/, с.189−217.

15. Дынкин Е. Б., Марковские процессы, М., Физматгиз, 1963.

16. Скороход А. В., 06 однородных непрерывных марковских процессах, являющихся мартингалами, Теория вероятн. и ее примен., 8, Р4 /1963/.

17. Крылов Н. В., 0 первой краевой задаче для эллиптических уравнений второго порядка, Диффер. ур-я, 3,№ 2 /1967/, с.315−326.

18. Го Х.-С., Гауссовские меры в банаховых пространствах, М., Мир, 1979.

19. Авербух В. И., Смолянов 0.Г.Дифференцирование в линейных топологических пространствах, Докл. АН СССР, 173,№ 4 /1967%, с.735−738.

20. Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов, М., Наука, 1975.

21. Дубровский В. М., 0 некоторых свойствах вполне аддитивных функций множества и о предельном переходе под знаком интеграла, Изв. АН СССР.Сер.матем., 9,1124 /1945/, с.311−320.

22. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Обобщенные функции, вып.4,М., Физматгиз, 1961.

23. Elson C.M., An extension of Weyl’s lemma to infinite dimensions, Trans, of Amer.Math.Soc., v.57,N§ 1 (1977), p.56−67.

24. Piech M.A., Smooth functions on Banach spaces, J.Math.Anal, and Appl., v.57,№ 1 (1977), p.56−67.

25. Goodman V., A divergence theorem for Hilbert space, Trans. of Amer.Math.Soc., v.164 (1972), p.411−426.

26. Pemique M.Z., Int? grabilite des vecteurs Gaussiens, С.R.Acad.Sci., Paris, 270, ser. A (1970), p.1698−1699.

27. Беляев А. А., Интегральное представление функций, гармонических в области гильбертова пространства, Вестн.Моск.ун-та. Матем., механ., 198I,^6,с.44−47.

28. Неве Ж., Математические основы теории вероятностей, М., Мир, 1969.

29. Угланов А. В., 0 делении обобщенных функций бесконечного числа переменных на многочлены, Докл. АН СССР, 264,№ 5 /1982/, с.1096−1099.

30. Данфорд Н., Шварц Дк., Линейные операторы, т.1,М., ИЛ, 1962.

31. Бенткус В.-К.Ю., Эллиптичность бесконечномерного итерированного оператора Лапласа, ч. I, Лит.матем.сборн., 19, И /1979/, с.13−28,ч.II, там же, 20, Щ /1980/, с.3−13.

32. Норин Н. В., Задача Дирихле для уравнения теплопроводности относительно функций на банаховом пространстве, в сб. Некоторые вопросы математики и механики, Изд-во Моск. ун-та, I98I, c.40−4I.

33. Шавгулидзе Е. Т., Метод параметрикса для уравнений относительно мер в бесконечномерных пространствах, в сб. Некоторые вопросы математики и механики, Изд-во Моск. ун-та, 1981, с.47−48.

34. Норин Н. В., Краевые задачи для бесконечномерного параболического уравнения, рукопись депонирована в ВИНИТИ АН СССРW- 3458−83 Деп. от 27 июня 1983 г., 15 с.

35. Норин Н. В., Тепловые потенциалы на гильбертовом пространстве, Матем. заметки, 354 /1984/, с.531−548.