Геометрические аспекты квантовой теории систем со связями

1. Постановка и актуальность проблемы. Диссертация посвящена изучению механических систем со связями. Это важнейший класс теорий [1, 2, 3], включающий в себя все современные теории взаимодействий элементарных частиц [4, 5], теорию гравитации [6], теории струн [7, 8] и бран [9]. Между тем, остаются крайне слабо изученными многие вопросы, лежащие в основах квантовой теории систем со связями. Одним из ярких примеров является квантование систем со связями второго рода, для которого существует много неэквивалентных рецептов, и продолжают появляться новые предложения [10, 11]. В диссертации рассматриваются те рецепты, которые не связаны с использованием континуального интеграла: квантование со скобками Дирака [1, 12], метод абелевой конверсии связей [13,14], метод тонкого слоя [15,16], метод редукции [17,18]. До сих пор свойства этих методов и их взаимные связи были очень плохо изученыв частности, оставалась незамеченной важная неоднозначность метода Дирака (квантования систем со связями второго рода) [20]. Некоторые из имеющихся проблем решены в диссертации. В случае свободного движения по поверхности коразмерности 1, рассматриваемого как система с двумя связями второго рода [19], дано геометрически естественное доопределение метода Дирака [20], предложена модификация метода Дирака [20], исключающая влияние внешней геометрии связи в конфигурационном пространстве на квантовую динамику, доказана эквивалентность [21] метода тонкого слоя методу редукции. В случае старших размерностей и коразмерностей в диссертации с геометрической точки зрения рассмотрена известная проблема некорректности [22] метода тонкого слоя, и показано ее отсутствие [21] для метода редукции.

После квантования (вне зависимости от примененной схемы) определенные трудности доставляет тот факт, что конфигурационное пространство многих систем со связями является компактным. В частности, уже давно известна проблема соотношения неопределенностей координата-импульс на окружности [23, 24] и любом другом компактном многообразии. А на сфере операторы импульса в сферических координатах и вовсе оказываются несамосопряженными. Решение первой проблемы в случае окружности также известно [25], в то время как на сфере можно использовать генераторы группы вращений, оказывающиеся самосопряженными, или другие подходящие операторы, или особым образом определенные меры неопределенности [26]. Полной ясности здесь достигнуто не было, хотя поставленные вопросы являются фундаментальными для квантовой механики в искривленных пространствах, и им посвящена обширная литература [23, 24, 27, 28, 25, 29]. В третьей главе соотношения неопределенностей для координат и канонически сопряженных им импульсов изучены детально для свободного движения частицы на широком классе многообразий [30]- особое внимание уделено топологическим вопросам.

Наконец, интересной особенностью обладают теории релятивистских частиц, струн и бран (с обобщенным действием Намбу-Гото) [31, 32, 9]. При переходе от Лагранжева формализма к Гамильтонову в этих теориях нельзя полностью исключить скорости из выражения для обобщенного Гамильтониана, если не фиксировать «стрелу времени» на мировом листе браны (струны, частицы) [33, 34]. В диссертации подробно освещен данный вопрос [34, 35], и, кроме того, получено дискретное представление [35] действия Намбу-Гото любой размерности в виде совокупности релятивистских частиц с естественным образом модифицированным действием.

2. Основной целью работы является изучение особенностей динамики систем со связями: исследование свойств различных процедур квантования систем со связями второго родарешение проблемы соотношения неопределенностей координата-импульс в искривленных пространствах, включая возможность определения соответствующих самосопряженных операторовизучение динамики бозонных струн и бран как механических систем со связями.

3. Научная новизна. В диссертации впервые обнаружена [20] зависимость метода квантования со скобками Дирака от выбора функции, определяющей поверхность связи, что делает его абсолютно не геометрическимпредложено естественное с геометрической точки зрения доопределение метода, в рамках которого вычислен квантовый потенциал для произвольной поверхности коразмерности 1 в Евклидовом пространствеа также дана модификация метода, использующая несамосопряженные импульсы и приводящая к нулевому квантовому потенциалу [20]. Квантования методом тонкого слоя и методом редукции рассмотрены в максимально общей постановке, доказана и объяснена их эквивалентность для движения по произвольной поверхности коразмерности 1 [21]. Ранее было известно, что они совпадают в простейших случаях [17]. Также в диссертации показано, что метод редукции, в отличие от метода тонкого слоя, хорошо работает и в случае старших коразмерностей [21].

В Главе 3 проблема соотношений неопределенностей решена для стандартных операторов координаты и импульса во всех случаях, когда их можно определить как самосопряженные операторы [30]. Раньше в такой постановке задача была решена лишь для одномерного многообразия [25]- кроме того, предлагалось использование других операторов в качестве наблюдаемых (например, cos (р и sin ip вместо координаты ip на окружности [24]). Для случая сфер в диссертации предложена новая система координат, имеющая только одну особую точку и обладающая, в отличии от сферических координат, самосопряженными операторами импульсов.

В Главе 4 рассмотрена динамика бозонных струн и бран [34, 35j с более подробным анализом связей, чем имеющийся в литературе. Одну из связей (в случае струн р2+^2х'2 = 0) получают возведением в квадрат. В диссертации показано, что без связанной с этим потери информации о знаке невозможно полностью исключить скорости из выражений для связей, и предложено построение оператора эволюции струн и бран с учетом этого факта [34, 35].

Наконец, в диссертации доказано, что действие Намбу-Гото для бра-ны любой размерности является непрерывным пределом сумм модифицированных действий релятивистских частиц, расположенных в узлах решетки, определяющей поверхность браны в данный момент времени [35]. Модификация действия релятивистской частицы состоит в замене квадрата скорости квадратом составляющей скорости, перпендикулярной поверхности браны. Ранее этот факт был известен только для струн [7] и не слишком часто упоминался в литературе. Кроме того, в диссертации проанализирован переход от дискретного действия к непрерывному пределу, отмечается его нетривиальность, предложена соответствующая корректировка допредельного выражения.

4. Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы при квантовании любых систем со связями второго рода, так как свойства соответствующих процедур исследованы с достаточной общностью и детальностью [20, 21]. В качестве примеров подобного рода систем можно указать нелинейные сигма-модели [36, 37], всевозможные цепочки связанных осцилляторов [38], задачи на-ноэлектроники [39, 40, 41], квантование в искривленных пространствах в рамках подхода, рассматривающего общую теорию относительности на многообразиях, вложенных в плоское пространство [42, 43], и многое другое.

Новая система координат на сфере [30] может оказаться полезной в работах по квантовой механике на сфере, поскольку обладает самосопряженными операторами импульсов. А результаты, касающиеся соотношений неопределенностей [30], позволяют избежать недоумения и возможных ошибок, связанных с необычными свойствами этих соотношений на искривленных многообразиях. Кроме того, обращает на себя внимание доказанная в [30] топологическая инвариантность соотношений неопределенностей [44].

Наконец, можно надеяться на прогресс в понимании динамики бо-зонных бран при использовании полученного в [34] оператора эволюции и дискретного представления действия Намбу-Гото [35]. Дискретное представление также может быть полезно для программы установления связей между динамикой струн и частиц на основе анализа пространственно-временных симметрии [45, 46].

5. Краткое содержание диссертации. Предметом второй главы является квантование систем со связями второго рода методами, не связанными с континуальным интегрированием. После общего обзора и указания на трудности метода абелевой конверсии, подробно изучается квантование методом скобок Дирака, дана явная операторная реализация известного результата квантования движения свободной частицы по поверхности сферы. При обобщении на произвольные поверхности коразмерности 1 обнаружена неоднозначность метода Дирака: квантовый потенциал зависит от конкретного аналитического задания поверхности связи в конфигурационном пространстве (на самом деле, это верно и для сфер). Предложено доопределение рецепта Дирака и вычислен квантовый потенциал в рамках уточненного метода. Смысл доопределения в том, что «поверхности уровня» функции, задающей связь, f (x) = const, параллельны друг другу. Тем самым локально пространство расслаивается в ортогональную сумму физического многообразия и нефизических смещений.

Также в Главе 2 предложена модификация метода Дирака, имеющая дело с несамосопряженными импульсами, но приводящая к теории с нулевым квантовым потенциалом, теории, «чувствующей» лишь внутреннюю, но не внешнюю, геометрию физического многообразия. В такой теории нефизические переменные остаются воистину нефизическими даже на квантовом уровне, они вообще не влияют на физическую динамику.

Метод тонкого слоя и метод редукции исследованы в максимальной общности, без ограничений на размерность физического многообразия и объемлющего пространства. Показана эквивалентность этих методов в случае коразмерности 1. Впрочем, причина здесь проста. В методе тонкого слоя поперечное движение ограничено бесконечно малым отрезком, и заполняет последний одной полуволной. Эквивалентность методу редукции, по сути дела, сводится к тому факту, что ровно посередине между двумя узлами лежит пучностьдействие оператора поперечного импульса обращает в этой точке волновую функцию в ноль. Наконец, в параграфе 2.6 методом редукции проквантовано свободное движение по поверхности произвольной размерности и коразмерности.

Далее (в Главе 3) рассмотрена интригующая проблема соотношения неопределенностей координата-импульс на окружности и других компактных многообразиях. Кажущееся противоречие между коммутационным соотношением [ф— ih и тем фактом, что для некоторых состояний Aip • Ар^ = 0, разрешается при внимательном анализе областей определения операторов. В диссертации этот вопрос изучается в самой общей постановке. Подробно рассмотрен случай сферы, для которой предложена новая система координат с одной особой точкой и самосопряженными импульсами. Обсуждается использование как координат с ограниченными значениями, так и координат в стереографической проекции, стремящихся к бесконечности при приближении к «северному полюсу» сферы.

В Главе 4 проанализированы некоторые тонкости теории релятивистских точечных частиц, бозонных струн и бран. Параграф 4.1 посвящен изложению теории точечных частиц. В параграфе 4.2 выписаны связи и построены операторы эволюции для струн и бран в виде формальных континуальных интегралов. В параграфе 4.3 обнаружено, что действие Намбу-Гото браны любой размерности может быть представлено как непрерывный предел суммы действий точечных релятивистских частиц, в которых фигурирует только перпендикулярная к поверхности браны составляющая скорости. Ключевым моментом является пропорциональность канонического импульса браны перпендикулярной составляющей скорости. Примечательный, хотя и не слишком удивительный факт!

Глава 2.

Квантование систем со связями второго рода.

В данной главе рассматривается проблема квантового движения в искривленных пространствах, важная для многих физических задач [37, 38, 43]. Хорошо известно, что в случае Евклидовых пространств нерелятивистские квантовые частицы описываются Гамильтонианом Н = —уД. В 1928 году Подольский [47] предложил в случае движения в произвольных Римановых пространствах использовать Гамильтониан Н = —y^-lb, где Alb — оператор Лапласа-Бельтрами. Этот постулат является прямым и геометрически ясным обобщением динамики в Евклидовых пространствах.

Проблема возникает при попытке получить эту теорию посредством процедуры канонического квантования. Для любой данной классической теории существует бесконечно много квантовых теорий с подходящим h —у 0 пределом. Квантование неоднозначно [48]. В случае квантовой механики в Ж3 рецепт Дирака приводит к экспериментально наблюдаемым результатам, будучи примененным в Декартовых координатах. В искривленных пространствах понятия Декартовых координат не существует. Обойти эту проблему можно, погрузив рассматриваемое пространство в Евклидово и проквантовав теорию как систему со связями второго рода с помощью скобок Дирака [1] или методом абелевой конверсии [13, 14]. Другая возможность в рамках такого подхода — квантование методом тонкого слоя [15, 16]. Вышеуказанные рецепты приводят к различным результатам, зависящим также и от способа погружения в Евклидово пространство. Рассмотрев все перечисленные методы квантования, мы показываем, что метод Дирака определен неоднозначно и предлагаем геометрически естественный способ доопределения, а также убеждаемся в эквивалентности метода тонкого слоя недавно опубликованному [17,18] методу редукции для поверхностей коразмерности 1. Кроме того, предложена новая модификация метода Дирака, которая для любой поверхности коразмерности 1 приводит к теории Подольского, и, следовательно, не зависит от выбранного изометрического вложения.

В заключение кратко сформулируем основные результаты и выводы. В диссертации:

1) получена явная операторная реализация квантования по Дираку свободного движения на сфере;

2) предложена модификация квантования систем со связями второго рода по Дираку, имеющая дело с несамосопряженными операторами импульса и приводящая к нулевому квантовому потенциалу;

3) показана неоднозначность метода квантования систем со связями второго рода по Дираку;

4) предложено геометрически естественное доопределение метода квантования систем со связями второго рода по Дираку и получена его явная операторная реализация в случае свободного движения по произвольной поверхности коразмерности 1;

5) получено обобщение метода редукции на поверхности любых размерностей и коразмерностей;

6) в случае коразмерности 1 показана эквивалентность метода редукции и метода тонкого слоя;

7) изучены соотношения неопределенностей координата-импульс в искривленных пространствах и показана их инвариантность относительно гладких деформаций пространства вместе с системой координат;

8) предложена новая система координат на сфере с самосопряженными импульсами, удобная для изучения вопроса о соотношениях неопределенностей;

9) получено формальное выражение для оператора развития бозон-ных струн и бран в виде континуального интеграла;

10) показано, что бозонные струны и браны любой размерности могут быть представлены в виде непрерывного предела упорядоченного набора релятивистских частиц, в лагранжианах которых оставлены только поперечные составляющие скоростей.

Содержание диссертации основано на работах [20, 21, 30, 34, 35].