Квантово-статистическая теория радиационного трения релятивистского электрона

3.2 Коэффициент радиационного трения.54.

3.3 Эффект пространственно-временной квантовой нелокальности. 57.

3.4 Вычисление коэффициента радиационного затухания электрона в релятивистском случае.60.

3.5 Взаимосвязь коэффициента трения, электромагнитной массы электрона и лэмбовского сдвига уровней.68.

3.6 Заключение.71.

4 Эффект квантовой нелокальности и статистическая теория лэмбовского сдвига энергетических уровней 74.

4.1 Введение .74.

4.2 Исходные уравнения и постановка задачи .76.

4.3 Вычисление лэмбовского сдвига энергетических уровней.78.

4.4 Выводы.82.

Заключение

84.

Список литературы

86.

Задача о взаимодействии электрона с его собственным полем излучения рассматривается в физике на протяжении многих десятилетий [1−23], активно обсуждается в учебниках и монографиях [24, 25]. Радиационное затухание, представляющее собой реакцию собственного поля излучения на движение заряженной частицы, является одним из фундаментальных эффектов электродинамики и затрагивает наиболее принципиальные вопросы физической теории. Для рассмотрения этой задачи в рамках классической электродинамики характерны две особенности: предположение о точечное&tradeзаряда электрона и существенная нелинейность взаимодействия между полем и частицей — частица генерирует поле, которое воздействует на частицу. Однако, такое самовоздействие не может быть представлено как последовательность процессов, описываемых линейным волновым уравнением и линейным дифференциальным уравнением конечной степени. Кроме этого, для точечной частицы собственная электромагнитная энергия и энергия взаимодействия бесконечны, вследствие чего самовоздействие допускает корректное описание лишь при устранении расходимостей [24]. Таким образом, основные трудности физического понимания и строгой теоретической трактовки данного явления обусловлены как предположением о точечности заряда электрона, так и принципиально нелинейным характером взаимодействия электрона с собственным полем излучения. В результате классического рассмотрения этой задачи получается формула для радиационной силы трения Абрагама-Лоренца [36], которая приводит к хорошо известному парадоксу само ускорения [24, 26]: состояние электрона с определенной скоростью оказывается неустойчивым, и электрон за очень короткий промежуток времени приобретает ультрарелятивистскую скорость. Кроме этого, решение, следующее из соответствующего уравнения Лоренца, не удовлетворяет принципу причинности [24, 2]. Вследствие указанных парадоксов радиационную силу, строго говоря, нельзя считать малой. Тем не менее, традиционный способ решения классических задач с учетом реакции излучения основан на формальном использовании малости радиационной силы, то есть выражение для радиационной силы трения Абрагама-Лоренца рассматривается как возмущение в уравнении Лоренца [24, 26].

Эти проблемы, возникшие в начале двадцатого столетия, до сих пор продолжают привлекать к себе внимание многих исследователей ввиду особой важности их решения [2−23]. Наиболее известный подход к устранению парадоксов заключается в «размазывании» заряда электрона по некоторой области пространства, причем модель распределения заряда не играет особой роли [25, 2]. Однако такой подход непоследователен и является феноменологическим, поскольку до настоящего времени структура электрона остается неизвестной [30]. Кроме этого, результаты такого 11 размазывания «драматически меняются, если размер электрона в выбранной модели меньше его классического радиуса, хотя, конечно, такие пространственные масштабы не являются областью действия классической электродинамики. Если же попытаться последовательно устранить расходимости (путем перенормировки собственной энергии электрона) и строго учесть релятивистские свойства электрона [9], то даже несмотря на это, не удается избежать парадоксов в теории радиационного трения. Физически это связано с тем, что классическая электродинамика исходит, как выше было указано, из идеализации точечности частицы. Реакция собственного поля излучения заряженной точечной частицы приводит к ее ускорению и нарушению принципа причинности. Поэтому все многочисленные попытки устранить противоречия теории радиационного затухания в рамках классической электродинамики, не распределяя заряд, не увенчались успехом [11,18−20,23]. Это произошло ещё и потому, что радиационное затухание, как и закономерности теплового поля излучения, имеет принципиально квантовую природу.

В квантовой теории рассматриваемая проблема приобрела ещё большую значимость, так как оказалась связанной с влиянием на электрон флуктуаци-онного поля электромагнитного вакуума, которое нельзя исключить и которое отсутствует в классической физике.

Несмотря на значительные успехи квантовой электродинамики, применение ее традиционных методов к решению базовых задач о взаимодействии заряженных частиц с электромагнитным полем натолкнулось на определенные трудности. Среди них так и нерешенная до конца задача о радиационном затухании электрона, появление расходимостей при вычислении электродинамических эффектов, а также значительное усложнение расчетов, например, лэмбовского сдвига при увеличении их точности.

При построении квантовой теории радиационного затухания используются различные подходы и приближения. Прежде всего была попытка перенести достижения классической физики в квантовую область. Так, например, в работе [2] рассматривался нерелятивистский электрон со сферически распределенным зарядом, взаимодействующий с квантованным электромагнитным полем. В результате обнаружилось, что если стремить радиус электрона к нулю, то самоускоренных решений не будет в отличие от классической физики. Более того, прибавка к собственной массе электрона за счет статического электрического поля не только конечная (напомним, что в классической электродинамике она равна бесконечности при нулевом радиусе электрона) — она зануляется! Следовательно, перенормировка массы электрона становится ненужной. Объясняется это некоммутативностью операторов координаты электрона в различные моменты времени, а также тем, что даже в нерелятивистской квантовой теории взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем появляется характерный пространственный масштаб — комптоновская длина волны. Однако, в этой работе не учтены флуктуации электромагнитного вакуума, собственная энергия которых бесконечна, и основной вклад в бесконечность дают моды с большим волновым вектором. Таким образом, если флуктуации учесть, то в случае точечного электрона это даст бесконечную прибавку к его собственной энергии.

Другие авторы пытались учесть флуктуационный характер квантованного электромагнитного поля, однако рассматривали при этом равновесную ситуацию — электрон находился в термодинамическом равновесии с излучением абсолютно черного тела. Например, в ряде работ [4, б, 7] было показано, что частица, взаимодействующая с термостатом, во внешнем детерминированном поле описывается моделью броуновского движения. В качестве термостата в их задаче выступала цепочка невзаимодействующих гармонических осцилляторов — моды электромагнитного поля. Движение электрона подчинялось уравнению Ланжевена, а влияние термостата сводилось к двум параметрамтемпературе и коэффициенту трения. Однако под трением здесь подразумевается влияние термостата, а не самовоздействие частицы. Поэтому в случае точечного электрона даже при квантовомеханическом рассмотрении не удалось избежать вышеуказанных парадоксов.

Еще один подход при рассмотрении задачи о взаимодействии электрона как с собственным полем, так и полем электромагнитного вакуума, заключается в использовании метода Фейнмана-Вернона [44]. Этот метод изначально создавался в качестве общего формализма для нахождения квантовых эффектов, обусловленных влиянием окружающей системы на динамическую подсистему, и был построен на базе лагранжевой трактовки квантовой механики, предложенной Фейнманом. Его недостатком явилось то, что он не позволял учесть свойства электрона, не имеющие аналогов в классической механике, как, например, спин. В то же время, методы, основанные на гамильтоновом формализме, позволяют сделать это естественным образом. Кроме этого, в большинстве случаев расчеты методом Фейнмана-Вернона гораздо более сложны. Это связано с тем, что искомой величиной является матрица плотности динамической подсистемы, что затрудняет непосредственный поиск уравнения движения электрона, необходимого в нашей задаче. Отсюда, кстати, следует наиболее типичная область исследований, где применяется указанный метод, — изучение влияния флуктуаций на интерференционные эффекты в квантовой механике, что и делается, например, в ряде работ [5].

Ещё один из возможных путей решения проблемы радиационного затухания и взаимосвязанных проблем расходимостей, перенормировок и частотного лэмбовского сдвига уровней основан на предложенных в работах [39, 40, 41] методах флуктуационно-диссипационной теории нелинейных открытых квантовых систем, представляющих собой обобщение линейной теории броуновского движения квантовых систем, развитой Швингером и Сеницким [33, 34, 35]. Наряду с последовательным полевым подходом при статистическом описании взаимодействия электрон-позитронного поля с квантовым полем излучения возможно рассмотрение одноэлектронной квантовой электродинамики [27, 28, 32]. Такая возможность обусловлена тем, что радиационное затухание, лэмбовский сдвиг уровней и ряд других явлений представляют собой эффекты самовоздействия электрона через квантовое поле излучения. Успешное решение задач, связанных с поведением электрона Дирака в заданных внешних полях, в частности, в кулоновском потенциале приводит к убеждению о правомерности одночастичной квантовой электродинамики, рассматривающей взаимодействие релятивистского электрона с квантовым электромагнитным полем. Попытка такого рассмотрения была осуществлена в работе [8]. Была найдена общая формула для силы радиационного трения электрона, взаимодействующего как с собственным полем излучения, так и с полем электромагнитного вакуума, вычислена мнимая часть коэффициента радиационного затухания и показано, что она совпадает с известным классическим результатом в предельном случае малых частот. Именно этот метод используется в представленной диссертационной работе, которая имеет целью теоретическое исследование взаимодействия электрона Дирака с полем электромагнитного вакуума и эффектов, следующих из этого взаимодействия, с позиций флуктуационно-диссииационной теории открытых квантовых систем. А именно:

1. Построение последовательной теории радиационного затухания электрона Дирака.

2. Вычисление одного из квантово-электродинамических эффектов — лэм-бовского сдвига без обращения к процедуре перенормировок физических постоянных.

Диссертационная работа состоит из четырех глав. Первая глава диссертации посвящена краткому изложению исходных положений, с помощью которых описываются флуктуационно-диссипационные процессы в открытых квантовых системах и на которых основаны дальнейшие исследования. Приведены некоторые результаты нестационарной теории возмущений, опирающейся на формализм S-матрицы. Определены используемые в дальнейшем понятия линейного и нелинейного откликов (функций Грина), возникающих в системах при наложении внешних сил, и проанализированы их свойства. Кратко рассмотрены общие вопросы статистического описания систем, включая использование временных и спектральных характеристик флуктуации как в классической, так и в квантовой областях. Основу теории составляет флуктуационно-диссипационная теорема. Вводится понятие гауссовых переменных и их основные свойства. Показывается, что переменные гармонического осциллятора, находящегося в термодинамическом равновесии с термостатом, имеют гауссову статистику.

Во второй главе рассматриваются особенности взаимодействия динамической системы с диссипативным окружением на основе микроскопической флук-туационно-диссипационной теории. Единственное предположение о гауссово-сти флуктуаций невозмущенных переменных термостата позволяет написать стохастические уравнения движения для некоторой выделенной части полной системы — динамической подсистемы, взаимодействующей с диссипативным окружением (термостатом). Таким образом, теория строиться на основе статистических предположений и не опирается на малость константы взаимодействия. Рассмотрена динамическая подсистема, взаимодействующая с термостатом и находящаяся под воздействием внешней силы f (t). Считалось, что взаимодействие включается адиабатически в момент времени t = —оо, причем невозмущенные переменные термостата Q0 (?) в начальном состоянии являются гауссовыми переменными. Из получившегося стохастического уравнения следует, что поведение динамической подсистемы, взаимодействующей с гауссовым термостатом, исчерпывающим образом определяется временной функцией корреляции и линейным откликом термостата на заданное внешнее воздействие. Стохастические уравнения для переменных динамической подсистемы играют роль, подобную кинетическим уравнениям. Вместе с тем эти уравнения имеют значительно более широкую область применимости. Во-первых, они позволяют вычислять в принципе любые статистические характеристики системы. Во-вторых, динамическая подсистема может находиться в сильно неравновесном состоянии, и потому стохастические уравнения одинаково применимы как в квазиравновесных, так и сильно неравновесных состояниях.

Данный метод применяется к проблеме броуновского движения электрона Дирака в поле электромагнитного вакуума. Для решения поставленной задачи используется одноэлектронное приближение. Невозмущенные переменные электромагнитного поля подчиняются гауссовой статистике с найденной корреляционной функцией Mij (k, t) и функцией Грина фотона Ду (к,?). В результате получается замкнутые уравнения в гейзенберговском представлении для операторов координаты и импульса электрона, учитывающее запаздывание взаимодействия между электроном и квантованными полями излучения и электромагнитного вакуума. Приводится выражение для силы, действующей на электрон со стороны поля, из которого получаются все основные результаты диссертации. Квантовое уравнение движения электрона Дирака нелинейно из-за наличия экспоненциальных множителей с операторами координаты в показателях. По этой причине анализ уравнений движения наталкивается на значительные трудности. Первое приближение, которое использовалось, было нерелятивистским. Было показано, что в этом случае проблемы, присущие задаче радиационного трения, не исчезают, а для устранения расходимостей при вычислении всегда можно провести процедуру перенормировки. Было найдено выражение для действительной части коэффициента радиационного затухания и, исходя из него, продемонстрировано устранение расходимости массы электрона. В заключении сформулированы основные результаты второй главы.

Вопросы, рассмотренные в третьей главе, связаны с решением проблемы радиационного затухания электрона в релятивистском случае. В основу расчетов положено выражение для силы взаимодействия электрона с электромагнитным полем, найденное во второй главе. Основной вклад в затухание вносят первые два слагаемых в выражении для силы. В этом приближении получено уравнение движения электрона. Показано, что это уравнение молено свести к случаю движения частицы с трением, определяемым коэффициентом радиационного затухания. Было найдено явное выражение для коэффициента радиационного затухания. Отличительной чертой радиационной силы трения, определяемой найденным коэффициентом, является автоматический учёт принципа причинности и запаздывания взаимодействия электрона с собственным полем излучения, которое связано с конечностью скорости распространения света и некоммутативностыо гейзенберговских операторов координаты электрона, взятых в различные моменты времени. Принципиально нелинейная зависимость радиационной силы от операторов координаты определяется произведением экспоненциальных множителей. В квантовой электродинамике в отличие от классической имеется фундаментальный малый параметр — постоянная тонкой структуры. Благодаря этому, при вычислении коэффициента радиационного затухания достаточно воспользоваться приближением свободной эволюции для оператора координаты электрона. В результате мы получили, что дисперсия приращения координаты для электрона Дирака оказывается конечной в собственной системе координат благодаря наличию собственных (внутренних) степеней свободы, задаваемых матрицами Дирака. В этом случае произведение экспонент переписывается в более простом виде. В частности, замена функции Грина фотона Dji (k, r) —"¦ Dji (k, r) = Dji (k, т) cos аХск (а — параметр нелокальности) учитывает вклад области больших передаваемых импульсов фотонов собственного поля излучения электрона в силу реакции на релятивистский электрон. Таким образом, эффект квантовой пространственно-временной нелокальности обусловлен как конечностью значения дисперсии приращения координаты, так и фазовым множителем в показателе экспоненты, обусловленным некоммутативностью оператора координаты в различные моменты времени. Используя этот результат, была вычислена линейная восприимчивость электрона, в которую входит коэффициент радиационного затухания. В простейшем случае она принимает вид, из которого следует уравнение движения электрона во внешнем электрическом поле.

2 е2 1 h mi: j (t) ~ TnTorj (t — to) = eEj (t) — т0 =, г0 = — .

Поскольку радиационная сила трения «включается» с опозданием на время to, приближенно можно считать, что в течение этого времени электрон двигается только под действием внешнего поля. Тогда для больших промежутков времени мы получаем хорошо известное уравнение, применяемое для практических вычислений, но с некоторым принципиальным отличием: электрон взаимодействует с электрическим полем с опозданием на время прохождения светом комптоновской длины волны. Таком образом, показано, что конечное значение дисперсии приведет к запаздыванию взаимодействия между электроном и собственным полем излучения, что снимает известные парадоксы радиационного затухания и логарифмическую расходимость в квантовой электродинамике. Запаздывание определяется временем прохождения светом характерного размера электрона to. Следовательно, квантовая теория радиационного затухания — это принципиально немарковская теория, учитывающая запаздывание взаимодействия между электроном и полем излучения. Так как характерное время запаздывания взаимодействия определяется энергией покоя тс2, то квантовая теория оказывается принципиально релятивисткой теорией. Кроме этого, было показано, что коэффициент радиационного трения релятивистского электрона определяет лэмбовский сдвиг энергетических уровней и дополнительный вклад в электромагнитную массу электрона, а именно, лишь часть массы электрона определяется электромагнитным полем, в отличие от классической теории, где предполагается, что вся масса электрона имеет электромагнитный характер. В заключении сформулированы основные результаты третьей главы.

В четвертой главе излагается последовательная статистическая теория лэмбовского сдвига уровней электрона, находящегося в кулоновском поле. Основная особенность и достоинство предлагаемой статистической теории лэмбовского сдвига уровней заключается в отсутствии расходимостей и, следовательно, необходимости процедуры перенормировок. Слагаемые, содержащие градиент в выражении для силы взаимодействия электрона с электромагнитным полем, отвечают за особенности радиационного затухания для связанных состояний и определяют также лэмбовский сдвиг уровней, обусловленный параметрическим воздействием на электрон флуктуаций электромагнитного вакуума. Вследствие этого приводится часть силы, непосредственно определяющей лэмбовский сдвиг уровней. Благодаря введению оператора Лиувилля ^"(kjt — ti), описывающего эволюцию во времени электрона в атоме водорода, удалось преобразовать коммутатор в выражении для силы Лоренца, благодаря чему оно значительно упростилось, и все особенности взаимодействия электрона и вакуумного электромагнитного поля свелись к одному единственному параметру нелокальности Ап. Показано, что воздействие на электрон флуктуаций электромагнитного вакуума приводит к насыщению кулоновского взаимодействия на малых расстояниях, которое определяется эффективным потенциалом с размером области насыщения Ап:

Этот потенциал приводит к изменению энергетических уровней электрона в водородоподобном атоме (лэмбовскому сдвигу уровней). Точность вычисления лэмбовского сдвига будет определяться точностью вычисления характерной длины Ап. Получена общая формула для лэмбовского сдвига уровней в атоме водорода с учётом только первых неисчезающих членов разложения по малому параметру Ап/(боровский радиус). Было проведено сопоставление значения лэмбовского сдвига, вычисленного с учетом эффекта квантовой нелокальности, с хорошо известным результатом, полученным на основе процедуры перенормировок. В частности из нашего выражения с учетом сдвига 2Р уровня следует значение частоты перехода 2S — 2Р, несколько превышающее экспериментальное значение. В то же время значение, полученное в тех же приближениях на основе процедуры перенормировок оказывается значительно меньше экспериментального. В заключении сформулированы основные результаты четвертой главы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Нелокальная нелинейная зависимость обобщенной радиационной силы трения от динамических переменных электрона учитывает как реакцию собственного поля излучения электрона, так и воздействие вакуумного электромагнитного поля.

2. Дисперсия приращения координаты за промежуток времени г = t — tY для электрона Дирака конечна в собственной системе координат: гОО — r (^i))2 ~ X2csm2 u) QT, где Ас = h/mc, си0 = mc2/h.

3. Замена функции Грина фотона Dji (k, т) Dji (k, r) = Dji (к, т) cos аХск (а — параметр нелокальности) учитывает вклад области больших передаваемых импульсов фотонов собственного поля излучения электрона в силу реакции на релятивистский электрон.

4. Выражение для радиационной силы трения содержит запаздывание взаимодействия между электроном и собственным полем излучения на расстоянии порядка комптоновской длины волны, что исключает известные парадоксы классической теории Абрагама-Лоренца.

5. Коэффициент радиационного трения релятивистского электрона определяет лэмбовский сдвиг энергетических уровней и дополнительный вклад в электромагнитную массу электрона.

6. Последовательная статистическая теория лэмбовского сдвига уровней свободна от расходимостей и необходимости обращения к процедуре перенормировок и выходит за рамки стандартной теории возмущений по константе взаимодействия. Найдена аналитическая зависимость смещения 2S-1S энергетических состояний электрона в водородоподобном атоме, учитывающая все порядки теории возмущений по постоянной тонкой структуры.

Работа была выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского. Основные результаты диссертационной работы были представлены на Ежегодной конференции по радиофизике, Нижний Новгород, май 1999;2005 г., а также на семинарах кафедры квантовой радиофизики ННГУ и Института прикладной физики РАН.

По результатам, представленным в отдельных главах, опубликованы следующие работы: Глава 2 — работы [58−60,62]- Глава 3 — работы [58,61,65]- Глава 4 — работы [63,64].

4.4 Выводы.

Основная особенность и достоинство предлагаемой в работе статистической теории лэмбовского сдвига уровней заключается в отсутствии расходи-мостей и, следовательно, необходимости процедуры перенормировок. Лэмбов-ский сдвиг уровней обусловлен воздействием на релятивистский электрон флуктуаций электромагнитного вакуума. Для его строгого описания необходимо учитывать запаздывание взаимодействия между релятивистским электроном и полем излучения, происходящее за очень короткий промежуток времени на расстоянии порядка компгоновской длины волны электрона. В настоящей работе показано, что воздействие на электрон флуктуаций поля электромагнитного вакуума приводит к экранированию кулоновского взаимодействия на малых расстояниях, определяемого эффективным потенциалом, который снимает известное вырождение по j, имеющее место в задачах с кулоновским потенциалом, и смещает энергетические уровни согласно выражению.

Преимуществом данного метода является отказ от идеологии теории возмущений. Единственный «малый» параметр, использованный в задаче, — гауссова статистика невозмущенных переменных термостата — потенциалов поля электромагнитного вакуума. Отказ от дипольного приближения при вычислении оператора 5n-(k, г) позволит значительно улучшить соответствие теории и эксперимента.

Заключение

.

1. Рассмотрена задача о взаимодействии электрона Дирака с полем электромагнитного вакуума. При единственном предположении о гауссовой статистике невозмущенных потенциалов электромагнитного поля получено выражение для силы такого взаимодействия, которое учитывает как воздействие внешнего вакуумного поля, так и поле излучения самого электрона. 2. В нерелятивистском приближении для связанных состояний проведена процедура перенормировки заряда и массы электрона для устранения расходимостей в уравнениях движения электрона. Показано, что возникающие в этом случае расходимости обусловлены приближением точечного электрона. Получено выражение для действительной части коэффициента радиационного затухания электрона.

3. Рассмотрен и проанализирован эффект квантовой пространственно-временной нелокалыюсти, который заключается в конечности дисперсии приращения координаты релятивистского квантового электрона в собственной системе координат. Дисперсия имеет величину порядка квадрата комптоновской длины волны электрона.

4. Следствием эффекта квантовой нелокальности является запаздывание взаимодействия электрона с собственным полем излучения. Этот эффект обусловлен как конечностью значения дисперсии приращения координаты электрона, так и вычисленным нами принципиально важным фазовым множителем, обусловленным некоммутативностью оператора координаты в различные моменты времени. На основе эффекта квантовой нелокальности решена задача о радиационном затухании электрона Дирака. Найден коэффициент радиационного затухания электрона, и показана его взаимосвязь с лэмбовским сдвигом уровней. Показано также, что следствием конечности размеров электрона является то, что он взаимодействует с электрическим полем с опозданием на время прохождения светом комптоновской длины волны.

5. Построена последовательная статистическая теория лэмбовского сдвига уровней, свободная от расходимостей и, следовательно, не вынужденная прибегать к процедуре перенормировок. Физическим механизмом возникновения сдвига уровней является воздействие флуктуаций вакуумного электромагнитного поля на электрон. Получено выражение для эффективного кулоновского потенциала, из которого следует насыщение взаимодействия на малых расстояниях.

6. Проведено сопоставление значения лэмбовского сдвига, вычисленного с учетом эффекта квантовой нелокальности, с хорошо известными результатами, полученными на основе процедуры перенормировок. Показано, что с применением одинаковых приближений наши результаты оказываются точнее.

Таким образом, используемый в диссертации метод стохастических уравнений для нелинейных открытых квантовых систем исходит из точного гамильтониана полной системы и, таким образом, является принципиально микроскопическим. Особенность метода состоит в использовании статистического малого параметра и не опирается при его выводе на малость константы взаимодействия. Эга особенность позволяет выйти за рамки стандартной теории возмущений и учесть процессы, происходящие на малых расстояниях за очень короткий промежуток времени.

Применительно к квантовой электродинамике эта теория применима как для последовательно полевой теории, так и предложенной одночастичной квантовой электродинамике. Полученные результаты по решению проблем радиационного трения и устранения расходимостей на основе эффекта квантовой нелокальности в одночастичной КЭД могут быть распространены и обобщены на полевую теорию. Таким образом, по крайней мере в КЭД имеется альтернатива теории перенормировок с возможностью выхода за рамки стандартной теории возмущений.