Магнитное упорядочение в неоднородных магнетиках с прямым и косвенным обменом

Изучение магнитных свойств двумерных (2D) и трехмерных (3D) кристаллических и аморфных систем с контролируемой степенью беспорядка в настоящее время актуально в связи с широким применением магнитных материалов в производстве устройств долговременной памяти, а также развитием современного и очень перспективного прикладного направления физики кон ¦ денсированного состояния — спинтроники [1, 2]. Кроме того, использование нанотехнологий заставило исследователей переходить к рассмотрению систем конечных размеров, тогда как в большинстве работ, в которых рассматриваются магнитные свойства неупорядоченных или частично неупорядоченных систем [3−7], а также в периодических изданиях [8, 9] и в электронных журналах (см., например, сайт http://ru.arxiv.org/) многие задачи решаются для систем с числом частиц, стремящихся к бесконечности. Поэтому значительный интерес представляют исследования концентрационных фазовых переходов, в том числе и для конечных 2D и 3D систем, в зависимости от типа обменного взаимодействия между спинами и симметрии кристаллической решетки.

Большое количество экспериментальных данных, полученных в течение нескольких десятилетий в области физики спиновых стекол (СС), способствовало развитию разнообразных теоретических моделей, с помощью которых делались попытки описать наблюдаемые физические явления. И, тем не менее, теория спинстекольного состояния, в которое переходят некоторые материалы, до сегодняшнего дня находится на стадии разработки, и исследования в этой области являются весьма актуальными. Свидетельством этому могут служить современные экспериментальные и теоретические работы [10−15], а также весьма оживленная дискуссия в интернет изданиях, где за последние десять лет накопилось огромное количество сообщений о результатах исследования фазы спинового стекла. Этим исследованиям уделяется большое внимание на международных конференциях по магнетизму неупорядоченных сред, кроме того, существуют конференции, посвященные только одной проблеме — проблеме теоретического описания СС фазы (в частности см. [16]). Спиновые стекла являются предметом обсуждения и на научных семинарах. Таким образом, природа СС состояния в настоящее время продолжает интенсивно изучаться, и до сих пор некоторые теоретические вопросы остаются открытыми.

Основные широко известные на сегодняшний день концепции упорядочения типа спинового стекла базируются на абстрактном предположении о бесконечном радиусе взаимодействия (все атомы взаимодействуют со всеми) и, следовательно, предполагается возможность существования плотной упаковки с координационным числом z = со, например, модель Шеррингтона-Киркпатрика [17, 18]. Подобные модели, по мнению некоторых исследователей, «.допускают аналитическое решение лишь в частном и нереалистическом случае, т. е. в теории среднего поля» [19]. Попытки построить термодинамику СС фазы в рамках этого подхода приводят к использованию метода реплик [20, 21], строгого обоснования которого, по мнению многих авторов нет, и «.сколько нибудь убедительные доказательства правильности метода реплик пока не найдены» [9, 22].

Другой класс моделей СС состояния представлен моделями конечного радиуса. В таких моделях обменное взаимодействие между спинами является короткодействующим и обычно распространяется до первой координационной сферы. Для модели Эдвардса-Андерсона и других моделей короткого радиуса пока нет определенного ответа на вопрос о существовании фазового перехода в спиновое стекло [16, 23, 24].

Центральным пунктом этих теорий является предположение о существовании конкурирующих взаимодействий (типа РККИ), которые приводят к тому, что обменный интеграл, характеризующий взаимодействия любой пары спинов, является случайной величиной, функция распределения которой /(J) — гауссова. Среднее значение и дисперсия /(J) считаются заданными.

В данной работе применяется несколько иной подход, основанный на вычислении функции распределения случайных полей обменного взаимодействия, параметры которой согласованы между собой и вычисляются с использованием закона взаимодействия спинов (или магнитных моментов частиц, кластеров, зерен и т. п.).

С одной стороны, этот подход использует различного рода приближения и, строго говоря, применим к системам с бесконечным (в пределе) числом частиц. С другой стороны, он позволяет достаточно просто определять тип магнитного упорядочения в зависимости от закона взаимодействия спинов. В связи с этим, в данной работе мы предпринимаем попытку сопоставить теоретические оценки с результатами численного моделирования фазовых переходов в системах с конечным числом частиц и оценить таким образом принципиальную возможность использования метода случайных нолей взаимодействия для таких систем.

Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы используя метод случайных полей обменного взаимодействия [25−29], провести исследование магнитных фазовых переходов вблизи порога перколяции для различного типа решеток и видов обменного взаимодействия. В связи с этим поставлены следующие задачи:

1. Используя метод случайных полей взаимодействия, получить замкнутую систему уравнений для определения намагниченности М, математического ожидания Hq и дисперсии В функции распределения полей взаимодействия. Сформулировать условия существования возможных типов магнитного упорядочения для кристаллических разбавленных магнетиков, а также рассчитать перколяционные пороги для двумерных и трехмерных систем для случаев прямого и косвенного (РККИ) обменного взаимодействий.

2. Провести численное моделирование (2D) и (3D) сплавов замещения с целью проверки теоретически полученных данных. Построить теоретическую магнитную фазовую диаграмму для материалов, имеющих кристаллическую структуру и обладающих сиипстекольными свойствами, в случае прямого обмена.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

По результатам исследований можио сделать следующие основные выводы:

1. Несмотря на простоту модели Изинга, метод случайного ноля взаи модействия нозволяет нолучить теоретические результаты, качественно, а в.

некоторых случаях и ко-и1чествеиио, согласуюыдиеся с зксисриментальными. Особо нужно отметить, что используемый нодход не требует ирнвлечеиия.

метода реплик. 2. Концентрационный (|)азовый переход суперпамагнетик-ферромагнетик.

для случая ирямого обмена при Т = О происходит при выполнении условия.

Рс = 2/z. Эта оценка рс хорошо согласуется с иерколяционными порогами,.

полученныкп! как численно, так и аиалитически в теории протекания. 3. Полученная с номощыо метода случайного ноля система уравнений (48).

подобна системе уравнений Шеррингтона-Киркиатрнка. Важным является.

то, что иараметры иорядка М, В и Н, входящие в функцию 1) аснределения.

(40), зависят от концентрации взаимодействующих частиц, связаны наиря мую с закоиом их взаимодействия и взаимосогласованы. 4. ]Метод случайпых полей обменного взаимодействия позволяет достаточ, но просто оцепивать критическне концентрации Рс, соответствующие ([газо вым иереходам, для различного тина решеток и различных законов взаимо действия между спинами для систем с числом частиц > 10 .^ В частиости,.

получена зависимость отиошения нараметров функции расиределения 7 от.

среднего числа свободных электронов Ug, ириходящихся иа одиу элемеита!);

ную ячейку, в случае РККИ обменного взаимодействия между снииами. Для случая взаимодействия ближайших соседей в зависимости от концен трации «ферромагнитиых» атомов реакция системы иа измеиение температ};

ры состоит в следующем:

а. р < рсПри понижении темиературы до Т = Т/ ироисходит фазовый.

переход второго рода иарамагиетик-супериарамагнетик («локальиый» ферро магнетик). Дальнейшее нонижеиие темнературы сонровождается блокирова иием иаиболее крупных кластеров и система начинает проявлять свойства спинового стекла (макроспиповое стекло). 6. р> РсПри понижении температуры происходят последовательные фа зовые переходы парамагпетик-сунерпарамагнетик-ферромагпетик (при умень шении концентрации область сунерпарамагнетпзма увеличивается). Таким образом, метод случайных полей взаимодействия позволяет доста точно просто получить систему уравнений тииа Шеррипгтопа-Киркпатрпка.

и провестп оцепки критических концентраций, соответствуклцпх фазовым.

переходам в разбавленных магнетиках в зависимости от к])исталлической.

структуры и тииа обменного взаимодействия. ГЛАВА 3. МОНТЕ-КАРЛО МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУПО РЯДОЧЕННЫХ МАГНЕТИКОВ.

3.1 МОНТЕ-КАРЛО М О Д Е Л И Р О В, А Н И Е Р, А З Б, А В Л Е Н Н Ы Х К Р И ;

С Т, А Л Л И Ч Е С К И Х М, А Г Н Е Т И К О В. Соотношение (56) показывает, что теоретически вычисленные критические.

концентрации для нрямого обменного взаимодействия между снииами в кри сталлических решетках можно соиоставить с результатами теории ироте кания [83, 84, 95], т. е. Рс нриближенно равны перколяционным концентра,;

ционным норогам. С целью дополнительной нроверки этого обстоятельства.

нами было проведено численное моделирование разбавленных магнетиков. Кроме определения перколяционных порогов, используя численное модели рование можно получнть информацию о таких важных характеристиках ча стичио иеунорядочеиных сред, как средний размер кластера, илотиость мак симального кластера, доля частиц, находящихся в кластерах заданного раз мера. С точкн зрения прпменения результатов численного экснеримента чрез вычайно интересно (нанример для задачи о релаксации намагннченности для.

магнитно-разбавленных кристаллических материалов) нолучить сведения о.

том, как для заданой концентрации распределепы частицы, но кластерам, т. е. построить график зависимости вероятностн попадания в кластер заданного.

размера от концентрации. В ирннципе не составляет большого труда, нснользуя современные язы кн программирования, относянщеся к объектно-ориентированным, нанример

C++, смоделировать кубнческие решетки с разбавлением. В этой связн нами.

было проведено Монте-Карло моделирование 2D н 3D кубических решеток. Первым шагом нрограммы является моделирование решетки заданного.

типа, а именно, создание двумерного (моделирование 2D решеток) либо трех мерного (3D рен1еток) масснва. Элементам такого массива случайным обрг ;

зом присваиваются значения «1 — узел занят» или «О — узел свободен». Число.

занятых узлов определяет концентрацию «вещества» и задается в начале про 79 Г1) аммы. После случайного расиределеиия «О» и «1», в задаваемом иами масси ве начинается ироверка его элементов. Проверка осуществляется следующим.

образом: программа ищет иервый элемеит массива, зиачсние которого равно.

" 1″ и KOTOj) bHi автоматически принадлежит первому кластеру. После этого.

выполпяется проверка «соседей», т. е поиск ближайших элемеитов массива,.

зиачения которых равиы «1». Для каждого нового найденного «соседа» оиера ция поиска повторяется пока все ближайшие «соседи» и следующие за иими не.

будут найдены. Все найденные «соседи» (элементы массива зиачеиия которых.

равиы «1») суммируются, полученная сумма дает нам число рядом стоящих.

элементов массива со зиачением «1» или число частиц в кластере. Когда опе рация иоиска для первого узла завершеиа, выиолняется понск следуюп-его.

занятого узла и т. д. Парадигма динамических массивов позволяет оптимизировать работу с.

массивами и ироверять па «занятость» только те узлы, кото1) ые ранее не про верялись. Программа рассчитывает для различных концентраций: количе ство кластеров п число частиц в них, долю частиц, находящихся в кластерах.

различного размера, средний размер кластера и другие, связанные с получа емыми нрограммой данпыкш, величины. Результаты численного моделирования распределепия кластеров по разме рам в зависимости от концентрации атомов р вб-и1зи иерколяцнонного норога.

для ПК, ОЦК и ГЦК решетки 100×100×100 ириведены на (рис. 4). С пс N,.

мощью гистограмм показано, как изменяется доля атомов —, находящихся.

в кластерах заданного размера А^^ при нодходе к точке протекания {р < р^),.

в точке протекания [р — Рс) и за порогом протекаппя (р > рс). Гпстограммы.

позволяют сделать вывод о том, какой вид имеет функция расиределеиия.

кластеров по размерам для коиечиых реп1еток. Протекаипе характеризуется.

резким увеличением доли атомов в максимальном кластере. Так ири измене нни концентрации всего на 1% (т.е. от 15% до 16%) для ГЦК решетки ири.

обид, ем количестве узлов 10^ размер максимального кластера увеличивается.

нриблизительно на порядок. Па (рис. 5) представлена зависимость доли ато мов, паходян1, ихся в максимальном кластере, от их концентрации в сплаве. clasters, at. clasters, at. clasters, at.

clasters, at. 4954 64 737.

clasters, at. p=25 a t. %.

clasters, at. Рис. 4, Распределение атомов по кластерам для различных концентраций р вблизи порога протекания для.

ПК, ОЦК и ГЦК решетки с числом узлов 10^ штук. Обозначения иа рисунке: FCC — гранецентрироваииая кубическая решетка.

(р^ = 16%), вес — объемоцеитрированная кубнческая решетка (рс = 25%),.

SQ — иростая кубическая решетка {рс = 33%), 2D SQ — иростая илоская.

квадратная решетка {рс = 50%). Размер максимального кластера резко увешчивается нри р —> р^, означая возникновение иротекания — т. е. объединение.

индивидуальных атомов и разрозненных кластеров в один иерколируюш, ий.

кластер, охватываюш, ий практически весь размер образца. Результаты чис ленного экснеримеита для решеток с количеством узлов 10 ,^ ироведенного.

для каждой концентрации 5 раз, показывают хорошую повторяемость — ин тервал ошибок для значений размеров максимального кластера, иолучеиных.

в экснерименте, минимален, т. е. меньше размеров точек, иредставленных на.

рисунке. Таким образом, формула (56) достаточно точно позволяет рассчитать кри 81.

/вес/SQ.

•—• •. •.

^t-j^t—t—g-it *• •• • - • - • - •.

— •. p, at, %.

25 50 75 100.

Рис. 5, Доля атомов в максимальном кластере в зависимости от концентрации р примеси. Для всех решеток.

— ГЦК, ОЦК, ПК и 2D ПК число узлов 10^.

тическую концентрацию, необходимую для нротекания. Что касается плотности максимального кластера < р >, средняя нло1;

ность с увеличеиием концентрации примеси уменьшаться, достигая миниму ма ири р —> Рс, (рис. 6). Когда происходит объединение кластеров, иротека ющий кластер имеет очень «пористую» структуру и, соответственно, очень.

низкую плотность. Рис. б, Средняя ПЛОТНОСТЬ максимального кластера для 5 численных экспериментов в зависимости от.

концентрации атомов. Расчеты нлотности выиолнялись также для пяти численных эксиеримеи тов, после чего производилось усреднение и вычислялся интервал ошибок. Сиособ вычисления илотиости максимального кластера состоял в следую щем: сначала находился максимальный кластер, затем производился иоиск.

минимальных и максимальиых коордииат ио осям {х, у, z в 3D случае), но которым вычислялась площадь параллелепипеда в объемпом случае и пря моугольника в двумерном случае. После чего, р вычислялось, как отпошепие.

размера кластера к его площади пли объему. р, a t. *.

Рис. 7, Зависимость среднего размера кластера для 5 числеииых эксперимеитои от коицептрации атомов. Известные результаты теории протекания говорят о том, что средний раз мер кластера (5) для бесконечных решеток расходится при р —> РсНами.

< S > вычислялся как отношение чпсла всех атомов NQ примесп к обп1, ему.

числу кластеров, по известной формуле.

Впдпо, что для конечных решеток, в частности для решеток размерами.

средний размер кластера нелинейно возрастает с увеличением концен трации, а скорость роста кластера существенно возрастает после перехода.

через порог перколяции (рис, 7.). 3.2 СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ 2D НК.

Описанный выше подход можно примспять для исследования двумерных.

кристаллических разбавлеипых систем. Расстояиие Нщ, п2 между выбраипым.

спином и снином с коордипатами {ап1,ап2) для 2D простой квадратной ре шетки с иараметром, а задается формулой^-пl (80).

Критическая концеитрация ферромагнетика для прямого обмена между.

ближайшими соседями в бесконечной 2D квадратной решетке, согласно (56),.

Как было иоказаио в [96], косвеииое взаимодействие Рудермаиа-Киттеля Касуя-Иосида (РККИ) между магнитными атомали! через электроны прово димости в 2D структурах оиисывается функцией вида.

где, А — некоторая константа, онределяюш-ая интенсивность обменного взаи модействия. Для двумериого случая ферми-имиульс электрона нроводимости.

kf = /27тщ, илотность свободиых электроиов на элементариую кристалли ческую ячейку 2D ПК решетки в случае металлической матрицы Пя = -. Числениые расчеты с исиользованием формул (63), (64) и (80), ноказыва ют, что крнтнческая концентрация 4) ерромагнетика для плоской квадратпой.

решетки при РККП взаимодействием между снииами рс 0.52. Для моделирования методом Монте-Карло была наиисаиа ирограмма, ко торая иозволяет рассчитать матрицу взаимодействий Jy между атомами с.

учетом периодических граиичиых условий. Алгоритм ирограммы состоит в следуюш, ем: первоначально с иомош, ью.

генератора случайных чисел задаются координаты магнитных атомов, затем.

дополнительно к расстояниям, вычислеиным, но формуле (80), вычисляют ся расстояния между каждым магннтным атомом и его репликой с учетом.

граничиых условий.

п,)2, (82).

где Пх и Пу — линейные размеры решетки. По сути, (82) озиачает иостроенне.

ренлнк (в нашем случае нростой квадратной 2D ПК мы будем нметь 9 ре илик) для исходной реи1етки. Далее из иолученных девяти расстояний выби рается минимальное, которое исиользуется далее для вычислепия обмеиного взаимодействия с помощью функции (81).

^ О Ji'12 • ^ ' lm—1.

J2I О. J2m-l ^.

JM J22 О J’iml J?, m > (83).

" Jjil^п2 • Jnm—l и.

где ,/&bdquo-щ = Jmn Д^ 1Я всех пит. Полученная матрица взаимодействий (83) использовалась для нахождения.

нижайшего энергетического состояния в системе сиинов. Метод комбинатор ной оптимизации, предназначенный для ноиска основного энергетического.

состояния, в частности метод ветвей и границ, был неоднократно онисан в ли тературе, например, см. [97, 98]. Кроме эпергин, соответствуюп1, ей основному.

состоянию, программа также позволяла вычислять намагиичеппость иа одии.

спин и стеиень фрустрированности в исследуемой системе [99, 100], т. е. так.

называемый «мисфнт» параметр. «Мисфит» параметр выходит на насыщение.

при больших концентрациях магнетика для всех исследованных систем. — ' — 9×9.

. —.. 11×11.

Рис.8a Средняя намагниченность на один спин для 2D ПК, 1000 итераций. Обозначения в тексте. Рис.8Ь Средняя намагниченность на один узел для для 2D ПК, 1000 итераций. На вкладке представлены.

размеры моделируемых 1) ен1еток. На рисунке 8а представлены результаты численного моделирования (для.

1000 итераций) и теоретических расчетов методом случайных полей обменно го взаимодействия для иростой кубической решетки. Кривые 1−6 представля 85 ют собой изменение намагинченности в зависимости от концентрации магне тика для систем 8 X 8, 9 X 9, 10×10, И х И н 12×12, частиц соответственно. Стунсичатый вид криво! б при р = 52%, означает иереход к ферромагнетиз му в случае бесконечной решетки. На рис. 8Ь приведена зависимость отиоси тельной намагниченности иа один узел решетки. Как видно из рисунка после.

50 ат.% наблюдается заметный рост намагниченности для всех систем. Сравнение результатов численного моделировання и результатов, полу ченных методом случайного ноля обменного взаимодействия, иоказывает, что.

иереход в ферромагиитиое состояиие системы сиинов Изинга, взанмодейству юш, их иосредством косвенного обмена РККИ на npocTOii квадратной решетке.

для 2D случая наблюдается в районе концентраций магнитиых атомов от 50.

до 60 атомиых ироцеитов. 3.3 В Ы В О Д Ы. Из результатов, приведенных в данной главе, можно отметить, что:

1. Метод Монте-Карло нодтверждает наше предположение о соответствии.

появления «нротекаюш, его» кластера с фазовым переходом системы к фер ромагнитпому унорядочеиию ио крайней мере для случая ирямого обмеиа.

между ближайшими соседями. 2. Интересный результат состоит в том, что н н|)ямое обменное взаимо действие и косвенный РККИ обмен между спипамн, раснределенными на 2D.

ПК реигетке, дают нам одннаковые критические коицеитрации магнитиого.

веш, сства, иеобходимые для возникновения ферромагиетизма, т. е. Рс 0.5 и.

в иервом и во втором случае. Иричииой этого может быть наличие положи тельного знака в первой осцилляции РККИ обмена. 3. Оценки критических концентраций, соответствуюи1, их нереходу разбав ленного крнсталлического магнетнка в ферромагнитное состояние, получен ные двумя независимымн методами, находятся в согласии, что подтверждает.

правомерность применения метода случайных иолей обменного взаимодей ствня.4.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В заключении еще раз сформулируем основные результаты работы:

I. Для разбавленных магнетиков с учетом термодинамического и конфи гурационного усреднения магнитного момента для любого закона взаимодей ствия иолучепа система самосогласованных уравиений. Преимуще (-тво иред лагаемой системы иеред иредложенной Шеррингтоном—Киркнатриком со стоит в том, что основные характеристики нлотности расиределения нолей.

взаимодействия связаны между собой и определяются законом взаимодей ствня. II. Исследованы в рамках моделн Изннга фазовые переходы типа нара магнетик-сунерпарамагнетик, сунернарамагнетик-спиновое стекло, спиновое.

стекло-ферромагнетик для различных видов взаимодействия (нрямой обмен,.

РККИ обмен, диполь-динольное взаимодействие) и типов решетки. Сформу лироваиы условия существования такого рода магнитного упорядочения для.

кристаллических разбавленных магнетиков, построена теоретическая маг нитная фазовая днаграмма. Онределепы крптические копцентрации, соответ ствующие протеканию, проведено численное моделирование, ноказывающее.

хорошее согласие теории и эксперимента. III. РККИ обменное взаимодеГ1ствие в разбавленных кpиcтaлJИlчecкиx маг нетиках для рассмотренных тнпов решеток в зависимости от концентрации.

свободных электронов может привести к ферромагнитному, антиферромаг нитному или спинстекольному тииу упорядочения. Для всех типов решеток.

при определепной концентрацин электронов нроводимости наблюдается си туация, когда в системе ири нулевой темнературе среднее значенне поля па,.

выбранном магнитном атоме, созданное всемн остальными атомами, равно.

HyjHO. В такой ситуации снстема может находнться jni6o в парамагнитной.

фазе (при высоких температурах), либо в состоянни идеальиого спинового.

стекла (нри низких температурах).Примечание. В заключении выражаю искреннюю благодарность научному.

руководителю д. ф.-м. н., профессору Белоконю В. И., Нефедеву К. В за по становку задачи, ценные советы, постоянное вннманне к работе, и большую.

помощь в ее выполнении, а также членам кафедры теоретической! и ядерной.

физики за советы и полезные обсуждеиия.