Спектральная задача Штурма-Лиувилля с малым и спектральным параметрами в граничных условиях

§ 1. Общая характеристика работы.

Многие задачи математической физики приводят к вопросам определения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов и изучения сходимости разложений в ряды по собственным функциям. К таким вопросам приходят всегда применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего начальным данным и краевым условиям.

Классические результаты о свойствах собственных функций были получены В. А. Стекловым [1] и Дж. Биркгофом [2,3]. Дальнейшим развитием этих работ стали работы Я. Д. Тамаркина [4], М. Стоуна [5] и многих других математиков. Позже, в 60-х годах независимо в трех работах Н. Данфорда и Дж. Шварца [6], Г. М. Кессельмана [7] и В. П. Михайлова [8] была получена теорема о базисности Рисса собственных функций усиленно регулярных дифференциальных операторов. Различные вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов в последние годы изучали Ш. А. Алимов, В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, М. Б. Оразов, Ю. В. Покорный, В. А. Садовничий, А. П. Хромов, А. А. Шкаликов. Мы не приводим здесь библиографию, которая заняла бы много места. Стоит отметить работу А. А. Шпаликова [9], где был предложен более общий подход операторной трактовки задач со спектральным параметром в краевых условиях в соболевских пространствах.

В диссертации исследуются спектральные задачи Штурма-Лиувилля, содержащие спектральный параметр в граничных уеловиях. Такие задачи часто встречаются в физике и технике, поэтому они привлекали внимание исследователей и ранее. Еще Пуассон [10] в своем мемуаре решает задачу о прямолинейном движении тяжелого тела, подвешенного к концу растяжимой нити. А. Н. Крылов [11] и С. П. Тимошенко [12] рассматривают задачу о продольных колебаниях стержня как одну из наиболее интересных точно решаемых моделей. Этот случай соответствует рассматриваемой ниже задаче при д (х) = 0. В работах [11,12] было проведено исследование поведения собственных значений (СЗ) соответствующей задачи при малых и болщых нагрузках.

Вот математическая постановка задачи, которую изучали вышеперечисленные авторы [11,12]. д2 д2 и (х, ?) = I) + 0 ^ X ^ I дЬ2 ' дх2 с краевыми условиями о, 0 = о.

М) + т<(М) = 0. и начальными условиями и (0, х) = <�р (х) щ (0,х) = ф (х).

Поясним, откуда появилось такое специфическое условие на нижнем конце х = I. Ось х направлена по оси струны вертикально вниз, точка закрепления струны принята за начало координат. На конце, соответствующем абсциссе х = I, висит груз р, с которым этот конец связан неизменно. Натяжение струны выражается формулой ких (/с-модуль Юнга). Масса груза есть Р/9 (ё — ускорение силы тяжести), следовательно, при отнесении всех действующих на груз внешних сил, в том числе и силы тяжести, к функции F (ж, t), уравнение движения груза, а, значит, и второе граничное условие имеет вид —иц = — ких при х = I и 9 всех Поставленная задача решается методом Фурье, который в частности предполагает вычисление СЗ краевой задачи.

X" + XX = 0, (1).

Г Х (0) = о, Х'{1) — МХХ{1) = 0. р где М = В более общей постановке спектральные задачи 9 такого типа рассмотрена в книге по уравнениям математической физики А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [13]. А именно, в [13] рассмотрена задача о колебаниях закрепленной струны, в нескольких точках которой х = Х{{1 = 1,., М) помещены сосредоточенные массы М{ (уравнение (1) при этом остается неизменным). В случае, когда масса сосредоточена только на одном из концов (т.е. для задачи (1), (2)) в [13] выписаны ассимпто-тические формулы СЗ Лп (М) при М —"• 0 и М —> оо, которые имеют вид соответственно:

АП = А?>(1-—), п = 0,1, 2,.

Хп = Х{") + Ш' «= 0,1,2,., где Л11} и Л12) являются соответственно собственными частотами струны со свободным и закрепленными концами.

Особый интерес представляет работа [14]. В ней для задачи.

М А2 х + у) У" (а?) + У'(х) + —У (х) = 0, ж 6 [0, /].

У (0 = 0, дУ'{ 0) + Л2У (0) = 0 где М-масса, р-плотность, а /-длина нити, Л — частота собственных колебаний, проведен численный рассчет пяти первых СЗ.

Спектральные задачи Штурма-Лиувилля, содержащие спек-v тральный параметр в граничных условиях нельзя интерпретировать как задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве Ь2. Это было замечено еще в работе J. Walter [15], в которой, в одной из простейших ситуаций предложена операторная трактовка задачи в пространстве х С. В дальнейшем этот подход развивали В. Hinton [16], Т. Fulton [17], Е. М. Рус-саковский [18], A. Schneider [19], A. Dijksma [20] и другие. Во всех работах [15]-[17] и [19] - [20] изучались вопросы о распределении СЗ и СФ только в случае самосопряженности линеаризующегося оператора в соответствующих гильбертовых пространствах. Стоит отметить работу [18], где одна задача была сведена к задаче на СЗ самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина, при этом была получена оценка сверху числа невещественных СЗ. В последние годы появились две работы: 1 Н. Б. Керимова и Т. И. Аллахвердиева [21], P. A. Binding and.

P. J. Browne [22], в которых авторы независимо получили осцил-ляционные теоремы и более точные асимптотики распределения СЗ при условии самосопряженности линеаризующего оператора в гильбертовом прострастве.

Отметим также, что некоторые задачи теории осреденения в пределе приводят к задачам типа Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничном условии. Такие эффекты были обнаружены в недавних работах О. А. Олейник, Ю. Д. Го-j, ловатого, С. А. Назарова и Т. С. Соболевой (например, см. [23]).

В настоящей работе мы используем результаты указанных авторов. Однако, в отличие от предыдущих работ (кроме [11]-[13]) мы изучаем спектральные свойства задачи в зависимости от дополнительного «физического» параметра, присутствующего в краевых условиях.

Основные вопросы, исследуемые в диссертации.

1°) Распределение СЗ, поведение СЗ и собственных функций (СФ) при т —> ±0 задачи и" {х) + ц{х)и (х) = Ли (ж), (3) и'(0) =0,.

4) и {тс) — ти{тг) -= 0.

Здесь д (х) — вещественная измеримая и ограниченная функция на [0,7г], а т — вещественный «физический» параметр.

2°) Изучение интервалов устойчивости и неустойчивости относительно параметра т для задачи Коши, отвечающей уравнению д2 д2 х, Ь) — д (х)и (х^) = -?-ги (х^), 0 ^ х ^ 7 Г (5) и дх2 ' дЬ2 с краевыми условиями = о.

6).

Общая методика исследования.

Отметим, что в отличии от [11]-[13] мы изучаем задачу (3)-(4) в общей ситуации, когда д (х) ^ 0. Поэтому методы [11]—[13] в нашем случае неприменимы. Кроме того, мы рассматриваем не только случай т > 0, но и т < 0. Последний случай существенно сложнее. Физически этот случай тоже можно реализовать, если силу тяжести заменить на «следящую» силу с противоположным знаком (см. [24] и имеющиеся там ссылки).

Для исследования проблем о распределении и сходимости СЗ и СФ при тп —У 0 задачи (3), (4), основная идея заключается в сведении этой задачи к изучению линеаризующего оператора Lm, действующего в гильбертовом пространстве Н = L2 х С. В случае положительного параметра т, оператор Lт самосопряжен в пространстве Н, и, как следствие, все СЗ задачи являются вещественными. В случае отрицательного параметра т оператор Lm G-самосопряжен, поэтому задача (3), (4) сводится к исследованию СЗ и СФ линейного пучка операторов Р (А) = А — AG (А = А*, А > 0) который был хорошо изучен в работе P. Lancaster, A. Shkalikov, and Qiang Ye [24]. Для доказательства сходимости СЗ и СФ пучка операторов Р (А) при т —> —0 задача была сведена к задаче на СЗ обратного оператора к Lm, действующего в специально выбраном гильбертовом пространстве. Оказалось, что этот оператор самосопряжен и компактен в этом пространстве, и следовательно можно использовать вариационный принцип и теорему Вишика-Люстерника [25].

В случае т < 0 и неположительного потенциала q (x) и при выполнении неравенства JJ q (x)dx < 0 пучок Р (А), имеет индефинитный вид в том смысле, что оба оператора, А и G являются одновременно неположительными. Следовательно, здесь могут возникнуть невещественные СЗ, которые, как известно, отвечают за неустойчивость задачи Коши. На этом мы более подробно остановимся в § 4 главы 1. Пока известна только оценка их числа сверху. Вопрос о том, при каких условиях они могут появляться, остается открытым с точки зрения общей теории индефинитных линейных пучков операторов. В конкретных задачах этот вопрос решен, например в работе С. Л. Соболева [26] при изучении устойчивости решения одной задачи гидродинамики. В диссертации нам удалось решить этот вопрос с помощью аналитических методов и теории линеиных пучков операторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах по спектральной теории операторов, руководимых А. Г. Костюченко, А. А. Шкаликовым и С. А. Степиным.

Публикация. Основное содержание диссертации опубликовано в работе автора [41].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Введение

разбито на два параграфа, в первом из которых даются исторические комментарии и краткое содержание диссертации, а во втором приводятся основные известные понятия и результаты, которые будут использованы в последующих главах. Всюду формулы, определения и утверждения нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на введение или номер главы (соответственно О, 1 или 2).

1. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. Петроград, 1922.

2. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solution of the certain linear differential equations containing parameter. Trans. Amer. Math. Soc. 1908, 9, p.219−231.

3. Birkhoff G.D. Boundar value and expanding roblems of ordinary linear differential equations. Trans. Amer. Math. Soc. 1908, 9, p. 373−395.

4. Я. Д. Тамаркин. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

5. Stone M. H. Irregular differential systems of order two and realted expantions problems. Trans. Amer. Math. Soc. 1927, 29, p.23−53.

6. H. Данфорд, Дж. Шварц. Линейные операторы. M. Мир, 1974, т.З.

7. Г. М. Кессельман. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов. Изд. вузов СССР. Математика. N 2, 1964, с. 82−93.

8. В. П. Михайлов. О базисах Рисса в L20,1]. ДАН СССР, т.144, N 5, 1962, с. 981−984.

9. А. А. Шкаликов. Краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. Труды семинара им. Петровского, N 9, 1983.

10. M.Poisson. «Sur la maniere d’experimer les fonctions par des series de quantites periodiques, et sur l’usage de cette transformation dans la resolution de differents problemes.», I8eme cahier tome XI de l’ecole politechnique de Paris, 1820.

11. Крылов A. H. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. АН СССР, 1932.

12. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементарных конструкций. М. Наука, 1972.

13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1972.

14. Woodward J. Н. Frequencies of a hanging chain supporting an end mass. The Journal of the acoustical society of 1971, vol. 49m, N 5, part 2.

15. Walter J. Regular eigenvalue problems with eigenvalue parameter in the boundary conditions. Math. Z. 1973, 133, p. 301−312.

16. Schneider A. A. A note on eigenvalue problems with eigenvalue parameter in the boundary conditions. Math. Z. 1974, 136, p. 163−167.

17. Fulton С. T. Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions. Proc. Roy. Soc. Edin. 1977, 77A, p. 293−308.

18. Е. М. Руссаковский, Задача Штурма-Лиувилля с параметром в граничных условиях. Труды сем. И. Г. Петровского, т. 18, 1993.

19. Hinton D. В. An expantion theorem for an eigenvalue problem with eigenvalue parameter in the boundary condition. Quart. J. Math. Oxford 1979, 30, N 2, p. 33−42.

20. A. Dijksme. Eigenfunctions expantions for a class of Y-selfadjoined ordinary differential operator with boundary conditions containing the eigenvalue parameter. Proc. Royal Soc. Edinburgh 1980, V. 86a, p. 1−27.

21. H. Б. Керимов, Т. И. Аллахвердиев. Об одной краевой задаче. ДУ, т. 29, N 1,2, 1993.

22. P. A. Binding, P. J. Browne and К. Seddighi. Sturm-Liouvilleproblems with eigenparameter dependent boundary conditions. Proc. Edinburgh Math. Soc. 37, 1993. p. 57−72.

23. Головатый Ю. Д., Назаров С. А., Олейник О. А., Соболева Т. С. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой. Сибирский математический журнал, 1988, т. 29, N 5, с. 70−81.

24. P. Lancaster, A. Shkalikov and Q. Ye. Strongly definizable linear pencil in Hilbert space. Integral equations, Operator theory, 17, 1993, p. 338−360.

25. Вишик M. И., Люстерник А. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. УМН, 1957, т.12, N 5, с. 3−122.

26. Соболев С. Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. «Журнал прикладной механики и техн. физики», 1960, N 3, с. 20−55.

27. М. А. Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. Москва, 1969.

28. Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Москва, 1986.

29. А. А. Шкаликов. О базисности собственных функций квадратичных операторных пучков. Мат. заметки, 1981, 30, N 3, с. 371−385.

30. Б. М. Левитан, И. С. Саргсян.

Введение

в спектральную теорию. Москва, 1970.

31. Б. В. Шабат.

Введение

в комплексный анализ. Москва, 1985.

32. А. Гурвиц, Р. Курант. Теория функций.

33. Далецкий Ю. Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Москва, 1970.

34. Милославский А. И. К обоснованию спектрального подхода в неконсервативных задачах теории упругой устойчивости. «Функциональный анализ и его приложения», 1983, т. 17, N 3, с. 83−84.

35. Ф. Рисс и Б. Секефальви-Надь, «Лекции по функциональному анализу», 1979, «Мир», Москва.

36. С. Г. Крейн «Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве», 1967, «Наука», Москва.

37. A. A. Shkalikov «Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics. Instability index formula.» In book: Operator theory: Advances and Applications, v. 87, p.p. 258−285, Binkhauser Verlag 1996.

38. M. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник и П. Е. Соболевский, «Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций», 1966, «Наука», Москва.

39. Н. Г. Чеботарев, Теория алгебраических функций, 1948, Гостехиздат, Москва.

40. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, 1971, «Мир», Москва.

41. Ж. Бен Амара, Об асимптотиках собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с малым и спектральным параметрами, входящими в граничные условия. Математические заметки 60 (1996), вып. 4. стр. 609 611.