Аналитический расчет инклюзивных нуклон — ядерных реакций методом кинетических уравнений

Ядерные реакции при средних энергиях, как правило, представляют собой сложный процесс многократных взаимодействий падающей частицы и возбужденных нуклонов ядра с невозбужденнымиразветвленный глубоко неупругий каскад. Для описания такого процесса Сербером ^ и Гольдбергером еще в конце сороковых годов была предложена модель внутриядерного каскада На её основе были построены алгоритмы расчета внутриядерного каскада методом Монте-Карло (ММК) /3−7/^ удовлетворительно описывающие с точностью в пределах двойки большую совокупность экспериментальных данных.

Особую важность и актуальность теория внутриядерного каскада приобрела в последнее десятилетие, поскольку, во-первых, существенно повысилась точность и быстрота получения экспериментальных данных благодаря появлению мезонных фабрикво-вторых, возросли требования к точности расчета внутриядерного каскада как с чисто научной точки зрения (проверка теории, выяснение роли различных механизмов и структуры ядра в ядерных реакциях), так и для целей прикладного характера (расчет установок для электроядерного метода получения энергии, расчет защиты сильноточных ускорителей и т. д.).

Основные предположения этой модели сформулированы в § I.I.

В этой связи был опубликован ряд работ, посвященных построению теории внутриядерного каскада как процесса, описываемого некоторым кинетическим уравнением (КУ), в частности, обоснованию и уточнению алгоритмов расчета внутриядерного каскада ММК и разработке других методов его расчета. Так, исходя из «первых принципов» 36 ^ (квантовой теории многократного рассеяния), для описания инклюзивных ядерных реакций были получены квантовые КУ /9−14/^ квазиклассические КУ (учитывающие первую квантовомехани-ческую поправку) и классические ку (типа известных уравнений Больцмана) для одночастичных функций распределения. Это, в частности, позволило обосновать применимость классических КУ Больцмана для описания внутриядерного каскада при средних энергиях. Несколько работ было посвящено решению таких КУ либо путем прямого численного интегрирования, либо ММК. В ряде работ классические КУ применялись для описания инклюзивных спектров вторичных частиц также в высокоэнергетических ядро-ядерных столкновениях. Наконец, отметим, что в области низких энергий (порядка нескольких десятков МэВ) для описания реакций с нуклонами и сложными частицами также используется кинетический подход, основанный на феноменологических мастер-уравнениях моделей предравновесного распада (подробнее см. § 3.1).

При этом, однако, важному направлению теории внутриядерного каскада — аналитическому решению соответствующих КУ было посвя

Напомним, что различные аспекты вывода КУ из уравнений классической и квантовой механики исследовались в работах Боголюбова, Вигнера, Ландау, Паули, Пригожина. См., например, монографию щено очень небольшое число работ, причем основанных на довольно грубых предположениях. Так, в работах /29,30/^ыла сформулирована в приближении «прямо-вперед» ^ система классических КУ для нуклонной компоненты каскада и найдены её решения без учета фермиевского движения нуклонов ядра ^^ и с его приближенным учетом /30/^ ¦jgj^Qg подход, очевидно, позволяет рассчитывать только энергетические спектры вторичных нуклонов, но не их двойные дифференциальные распределения. К этому направлению следует также отнести работу в которой был развит полуаналитический метод решения уравнения Болызмана для инклюзивных пион-ядерных реакций, основанный на разложении функции распределения в ряд по столкновениям и факторизации членов этого разложения на функции, зависящие только от координаты и импульса.

Б то же время, аналитические методы расчета внутриядерного каскада необходимы для решения различных фундаментальных и прикладных задач. А именно:

— для проверки влияния различных факторов модели (в частности, структуры ядерной поверхности и пространственной зависимости импульсного распределения внутриядерных нуклонов) и неопределенности её параметров на результаты расчета каскада ш^ - Т. е. в предположении, что все каскадные частицы движутся в ядре в узкой трубке вдоль прямолинейной траектории первичной частицы.

Поскольку при этом анализируются относительные эффекты, погрешности их расчета должны быть невелики.

— для развития теории ядерных реакций на основе объединения аналитического классического расчета глубоко неупругой части процесса с квантовомеханическим описанием начальной С стадии реакции, например, упругого и квазиупрутого (с возбуждением дискретных уровней) рассеяния;

— для повышения скорости расчета межъядерного каскада при оптимизационных и других оценочных расчетах электроядерных установок, защиты сильноточных ускорителей и др."

Таким образом, представлялось необходимым разработать более строгий аналитический подход к решению этой задачи.

Целью настоящей диссертации в этой связи является:

1) разработка аналитических методов расчета нуклонного каскада в ядре путем решения соответствующей системы классических КУ;

2) получение на основе найденных решений КУ аналитических выражений для инклюзивных сечений образования вторичных нуклонов и других характеристик нуклон-ядерных реакций;

3) проверка точности и пределов применимости полученных аналитических выражений путем сравнения их с экспериментальными данными и расчетами другими методами.

Научная значимость работы состоит в том, что в диссертации разработан аналитический метод расчета внутриядерного каскада, который позволяет быстро рассчитывать инклюзивные сечения нуклон-ядерных реакций, изучать влияние различных параметров используемой модели ядра на результаты расчета, а также объединить аналитический классический расчет каскадного процесса с квантовомеханическим описанием (по оптической модели) начальной стадии реакции.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1) Предложен новый аналитический подход к описанию инклюзивных нуклон-ядерных реакций в области средних энергий, основанный на применении системы нестационарных нелинейных КУ типа уравнений Больцмана (с учетом принципа Паули при заполнении нуклонных состояний) для одночастичных функций распределения нуклонов ^ (х ^} J впервые сформулированы система адекватных начальных и граничных условий для этих уравнений и выражения для инклюзивных сечений образования вторичных нуклонов, средней энергии возбуждения остаточного ядра (в виде функционалов от 'I ffi Р t) Ыа повеРхности яДРа)*

2) Впервые разработан аналитический метод решения исходной системы КУ, основанный на её линеаризации, последующем сведении к стационарным линейным КУ для возбужденных состояний нуклонов и дырок и приближенном аналитическом решении полученных уравнений.

3) С помощью найденных решений впервые пслучены аналитические выражения для двойных дифференциальных сечений образования вторичных нуклонов, их спектров, а также корректные выражения для средних чисел выбиваемых нуклонов и средней энергии возбуждения остаточного ядра.

4) На основе полученных аналитических формул создана быстродействующая программа SIBMAN для расчета инклюзивных сечений образования вторичных нуклонов.

5) Проведено детальное сравнение с экспериментальными данными и расчетами другими методами, которое продемонстрировало эффективность полученных выражений для расчета указанных величин, их пределы применимости и зависимость от параметров используемой модели ядра.

Практическое значение работы заключается в том, что результаты, полученные в диссертации, позволяют быстро и достаточно надежно вычислять инклюзивные сечения образования вторичных нуклонов, необходимые при решении различных задач прикладной ядерной физики (расчет и оптимизация систем для электроядерного метода получения энергии, расчеты защиты сильноточных ускорителей и т. д.), а также при анализе экспериментальных данных.

Автор выносит на защиту:

1) Аналитический метод расчета инклюзивных сечений нуклон-ядерных реакций в рамках модели внутриядерного каскада, включающий: а) систему нестационарных нелинейных КУ для одночастичных функций распределения нуклонов с начальными и граничными условиямиб) общие выражения для двойных дифференциальных сечений образования вторичных нуклонов, их спектров и средних чисел, средней энергии возбуждения остаточного ядрав) приближенные системы КУ с соответствующими граничными условиями и формул шли для сеченийг) аналитические методы решения этих КУ.

2) Аналитические формулы для двойных дифференциальных сечений образования вторичных нуклонов, их спектров и средних чисел, средней энергии возбуждения остаточного ядра.

3) Быстродействующую программу /51 /j A1A/V Для расчета энергетических спектров и двойных дифференциальных распределений вторичных нуклонов.

4) Результаты численных расчетов по полученным формулам и сравнение их с экспериментом и расчетами другими методами.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на IX конференции молодых специалистов ЖЯФ (Гатчина, 1979 г.), ХП Всесоюзном совещании по теории систем частиц с сильным взаимодействием (Вильнюс, 1980 г.), Сессии Отделения ядерной физики АН СССР (Москва, МИШ, 1980 г.), семинаре «Адрон-ядерные взаимодействия при низких и средних энергиях» (Дубна, 1981 г.), XXXI (Самарканд, 1981 г.) и ХХХП (Киев, 1982 г.) Совещаниях по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра, Симпозиуме «Нуклон-нуклонные и пион-нуклонные взаимодействия при промежуточных энергиях» (Гатчина, ЛИЯФ, 1982 г.), П и Ш Всесоюзных семинарах по программе экспериментальных исследований на мезонной фабрике ИЛИ АН СССР (Звенигород, 1981, 1983 г. г.), а также обсуждались на научных семинарах в ИЯИ АН СССР и других научных центрах.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано десять статей /45″ 49- 52−53,61,69,88/

Конкретное личное участие автора в получении результатов, приведенных в диссертации. Все основные результаты работы получены автором. Численные расчеты по ним и сравнение результатов этих расчетов с экспериментом и расчетами другими методами также выполнены автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, 4 глав, Выводов и Заключения, Приложения, содержит 165 страниц печатного текста, 17 рисунков, 5 таблиц. Список цитированной литературы включает 90 наименований.

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение суммируем основные результаты работы.

I. Предложен метод описания инклюзивных нуклон-ядерных реакций в рамках модели внутриядерного нуклонного каскада в терминах кинетических уравнений (КУ): сформулированы система нестационарных нелинейных КУ для одночастичных функций распределения нуклонов j^fy'P'ty в Фазовом пространстве с соответствующими начальными и граничными условиями и выражения для двойных дифференциальных сечений образования вторичных нуге л оно в, их спектров и среднего числа, средней энергии возбуждения остаточного ядра в виде фушщионалов от функций па л0~ верхности ядра.

2. С помощью линеаризации эта система преобразована к стационарным линейным КУ для функций распределения возбужденных нуклонов (с энергией Е выше энергии Ферми Ер) и дырок (при

Е^- Ер) 9 удовлетворительно ошсыващим ядерные реакции в области энергий первичного нуклона? 0,5 -г- 0,6 ГэВ для не очень легких ядер () и не слишком низких энергий вторичных нуклонов (^10 МэВ).

3. Разработан аналитический метод решения полученной системы линейных КУ:

— квази свободная составляющая сечения (определяемая однократным рассеянием нуклонов) описана’достаточно точно первой итерацией;

— каскадная составляющая сечения (описывающая вклад от нуклонов второго и более высоких поколений) в области средних энергий определена решением этой системы КУ в рамках малоуглового и Pj — приближений в пренебрежении фермиевским движением нуклонов ядра и анизотропией сечения упругого рассеяния нуклона на нуклоне в их с.ц.м.;

— в области низких энергий первичных нуклонов (порядка нескольких десятков МэВ) получено аналитическое выражение для спектра вторичных нуклонов путем приближенного решения системы КУ с учетом фермиевского движения нуклонов ядра;

— найдено аналитическое выражение для инклюзивного сечения образования вторичных нуклонов за счет механизма разряд-га дырок.

4. Показано, что спектр вторичных нуклонов с энергией¹⁰ МэВ практически полностью определяется квази свободными и каскадными нуклонами, и вкладом в него нуклонов от разрядки дырок можно пренебречь.

5. На основании полученных формул составлена быстродействующая программа /jj (7/ 1лп расчета энергетических спектров (i^^^ctS и двойных дифференциальных сечений

LqcIl&fcd-Gd образования вторичных нуклонов при взаимодействии нуклонов средних энергий с ядрами.

6. Проведено сравнение расчетов по полученным формулам инклюзивных сечений с экспериментом и расчетами другим! методами (в рамках каскадной — в основном М? ЛК и предравновесных моделей) в диапазоне начальных энергий первичных нуклонов от 40 до 600 МэВ на ядрах с массовым числом, А в пределах 10? А ^ 210. Показано, что эти формулы позволяют удовлетворительно (в среднем с ошибкой в пределах двойки при энергии вторичных нуклонов 10 МэВ и угде относительно направления движения падающего нуклона 0″ ^90°) рассчитать инклюзивные сечения образования вторичных нуклонов.

7. Продемонстрирована зависимость результатов расчета от параметров модели ядра. Показано, что жесткая часть спектров вторичных нуклонов сильно зависит от распределения по плотности и импульсам внутриядерных нуклонов вблизи поверхности ядра.

8. Получены простые аналитические выражения для средних чисел выбиваемых нуклонов и средней энергии возбуждения остаточного ядра при взаимодействии с ядрами нуклонов средних энергий. Выражения для средних чисел выбиваемых квази свободных и каскадных нуклонов неплохо (с точностью ~20%) описывают средние выходы этих нуклонов из легких и средних ядер. Выражение для средней энергии возбуждения остаточного ядра в случае взаимодействия нуклонов с легкими и средними ядрами оказалось весьма чувствительным к параметрам модели ядра.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. Казарновскому М. В. за постоянную помощь при выполнении диссертационной работы, к.ф.-м.н. Ильинову А. С. за плодотворное обсуждение ряда вопросов, затронутых в диссертации, Матушко Г. К., выполнившей численные расчеты методом Монте— Карло, а также Матушко B.JI. за ряд полезных советов при проведении численных расчетов.

ПРШКЖЕШЕ

Кинетическое уравнение для каскадных нуклонов в Pj — приближении

Подставляя выражение (2.4.1) для функции уравн ени е (2.2.6), получим'

I)

Учитывая, что л-1 шш ш-f > и

2)

3) преобразуем это уравнение к виду wk Q

Проинтегрируем это уравнение по Ъс и учтем, что для любых векторов, А и Б

5)

6)

В результате имеем где (см. (2.2.7))

Затем умножим уравнение (4) на Sс и снова проинтегрируем по. Тогда, учтя что

9) (10) получим m^)hH (4>.110 где (см. (2.2.7))

Из уравнения (II) вытекает, что (см. (2.4.6), (2.4.7)) гЛ®Jtyl1 mfi)

ZT 7 я-—й— •

Подставляя соотношение (13) в (7), получим уравнение (2.4.2) для функции ffi’fy ' у)

15)

16)

17)

Повторяя выкладки, аналогичные рассмотренным, легко получить, что в случае равенства нулю интегрального члена в уравнении (I) функция J@4,Y) выражается через ^[t^j соотношением (13), в котором <�®4 (1+ХЩ+1)

18)

SM, а функция D (Zf h Vi удовлетворяет уравнению (15) с r? (тм

19)