Максимальные подалгебры р-алгебр Ли картановского типа

Одним из основных результатов настоящей диссертации является построение новой серии простых конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р = 5 • Эта конструкция возникла отчасти под влиянием планомерного изучения максимальных подалгебр в алгебрах Ли картановского типа*.

Теория конечномерных модулярных простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем в настоящее время переживает период интенсивного развития. Основной нерешённой проблемой в этой теории, несомненно, является классификация простых модулярных алгебр Ли.

Теория простых алгебр Ли над полем комплексных чисел почти полностью была завершена к началу XX столетия с связи с изучением непрерывных групп преобразований. Эти алгебры и их естественные аналоги над произвольным полем называются алгебрами Ли классического типа.

Построенный Виттом первый пример модулярной неклассической простой алгебры Ли относится к 30-м годам. Дальнейшее развитие теории алгебр Ли шло, в основном, по следующим направлениям{аксиоматическое строение классических модулярных алгебр Лиотыскание новых примеров неклассических простых модулярных алгебр Лиизучение неприводимых представлений модулярных алгебр Ли.

Ввиду совершенства классификации классических алгебр над полем комплексных чисел аксиоматическая теория модулярных классических алгебр (с постулированием основных свойств картановских разложений) сравнительно за короткий срок была завершена Миллсом I и Г. Селигманом.

Ситуация в теории модулярных неклассических алгебр Ли в начале 60-х годов оставалась весьма сложной. А. Албертом, Н. Джекобс он ом, Г. Цассенхаузом, М. Франк, Р. Ри, Р. Блоком и другими были построены многочисленные серии простых неклассических модулярных алгебр Ли (см. [l]). Однако существующие примеры не давали основания для разумного подхода в классификационной задаче. По* ложение коренным образом изменилось с появлением работы А.И.Ко-стрикина и Й. Р. Шафаревича [2 J, в которой по аналогии с так называемыми бесконечными алгебрами Картана, играющими важную роль в геометрии, определялись четыре бесконечные серии простых |р-алгебр Ли картановского типа Wh., s И/ «ГЫ» i> п * в которые укладывались все известные неклассические ралгебры Ли при характеристике (3 > ^ .В последующей работе [з], расширяя свою конструкцию^.Й.Кострикин и Й.Р.шафаревич построили серии простых алгебр Ли, не являющихся |Эалгебрами. Кроме инвариантного описания конечномерных простых алгебр Ли картановского типа, при некоторых дополнительных ограничениях было получено также отождествление с ними абстрактных градуированных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем |t характеристики [) > S.

Результаты, идеи, а также отдельные высказывания работы Ы в последующе годы стали богатым источником для исследователей модулярных алгебр Ли. Метод фильтраций и метод картановских продолжений из работы [2] заложили основу обширной классификационной программы, постепенная реализация которой продолжается по настоящее время.

Суть программы состоит в следующем. Для модулярной простой алгебры Ли dC подбирается максимальная подалгебра jC0 минимальной коразмерности и по ней строится неуплотняемая фильтрация [4] :

X = х. я => ¦ ¦ ¦ =>2−1 => А=> ••• э 0¦

Градуированная алгебра называется ассоциированной градуированной алгеброй. На этом этапе возникают две взаимно связанные части классификационного подхода,.

I) Классификация fyградуированных алгебр Ли, ассоциированных с простыми фильтрованными алгебрами.

II) Восста новление фильтрованных алгебр Ли по ассоциированным градуированным алгебрам (теория фильтрованных деформаций).

В работе [3] приведена полная классификация 'lградуированных алгебр Ли с условием dlml при характеристике р >7.

В работах [б], [б] приведена классификация^{-градуированных} транзитивных неприводимых алгебр Ли с компонентой L о «являгацейся прямой суммой классических простых алгебр Ли, М. И. Кузнецовым [7] изучены i-градуированные неприводимые алгебры Ли с нуль-компонен-той-являпцейся суммой коммутирующих идеалов. А. И. Кострикин [в] описал полностьюградуированные транзитивные неприводимые алгебры с нулевой компонентой, изоморфной алгебре Витта Wi. Я. С. Крылкком.

9] изучены 1 -градуированные неприводимые транзитивные алгебры с некоторими дополнительными ограничениями на и с компонентой L0 = ЗД ® «где Л^ -алгебра Ли картановского типа, апроизвольная алгебра Ли.

В связи со второй частью классификационной задачи А.С.Джума-дильдаевым.

10], [II] были изучены деформации алгебр Ли картановского типа, позволящие установить глубокие внутренние связи между отдельными картановскими сериями.

Предложенная А. И. Кострикиным и И. Р. Шафаревичем конструкция картановских алгебр Ли была также развита в других работах (см.

12 J, [13]).

Многочисленные работы посвящены структурным свойствам самих алгебр Ли картановского типа. В частности, А. С. Тюриным [l4] и С., П. Деыушкиным [15], [1б] изучались подалгебры Картана в простых каратновских алгебрах, а Я. С. Крылюком [17], А. А. Преметом [1в] неприводимые представления алгебр Ли картановского типа. Обширные исследования в том же направлении ведутся казанскими математиками Ю. Б. Ермолаевым, О. Г. Зльстингом и Н. А. Корешковым (см. [19] и [зо]).

Все полученные до сих пор результаты подтверждают гипотезу А. И. Кострикина и И. Р. Шафаревича.

Гипотеза К.-Ш. Любая конечномерная простая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики f> *> 5 изоморфна либо алгебре Ли классического типа, либо некоторой деформации одной из градуированных алгебр Ли картановского типа.

В полном соответсвии с этой гипотезой находятся новые результаты Р. Блока — Р. Уилсона (см, [2l], [22]), согласно которым произвольная простая f> -алгебра Ли при > 7 с тороидальной подалгеброй Картана изоморфна либо одной из алгебр классического типа, либо алгебре 4Jь •.

Существенной частью структурной теории любой алгебраической системы является изучение всех её максимальных подсистем.

Проблема описания всех максимальных подалгебр конечномерной простой модулярной алгебры Ли представляет значительный интерес с разных точек зрения. Однако даже в классическом случае комплексных простых алгебр Ли эта задача была решена лишь спустя пятьдесят лет после основополагающих классификационных результатов Киллинга-Картана.

В модулярном случае, где классификация пока отсутствует, проблема неизмеримо усложняется в применении к уже известным типам алгебр. Между тем знание максимальных подалгебр в них может дать новую существенную информацию о структуре, а так же о деформациях этих алгебр,.

В данной работе описываются максимальные однородные (относительно стандартной градуировки) подалгебры в простых ралгебрах Ли картановского типа. Отметим, что описание максимальных подалгебр, без каких-либо ограничений, представляется пока исключительно сложной задачей.

Остановимся теперь более подробно на содержании диссертации. Глава I содержит основные определения и вспомагательные результаты. Вводятся алгебры разделённых степеней, -алгебры Ли картановского типа и группы автоморфизмов этих алгебр. Формулируются некоторые результаты, относящиеся к описанию орбит действия группы однородных автоморфизмов алгебр Ли картановского типа на множенстве векторных подпространств компоненты L-i стандартной градуировке.

В главе 2 для простой f) -алгебры L С L= Sh, l" L, КиЛ картановского типа со стандартной градуировкой.

L = Ц + L4+ Ц+ Ll +•>• + Ц, описываются все максимальные подалгебры М с условием однородности:

М-^МАЦ).

Задача описания максимальных однородных подалгебр разбиваются на три части: х) Максиамльные подалгебры в L > содержащие L., + L — х *) Максимальные подалгебры с компонентой ф L. j — к к s) Максимальные подалгебры в L «содержащие Lx «но не со~ держащие .

Ввиду максимальности подалгебры L. с L.

Wo L i любая максимальная однородная подалгебра И с L попадает в один из вышеуказанных классов.

В теореме 2.1 перечислены все максимальные однородные подалгебры с условием х). В частности, получается, что любая такая подалгебра либо является простой классической алгеброй, либо мало отличается от простой картановской ралгебры.

Описанию максимальных подалгебр с условием х х) посвящен § 2.2. Для каждого подпространства V с I— (V 1—4) определяется градуированная подалгебра.

JUV) ="t®.?JMV), где JMV)-tV, V], Л-ЛУ) = V, а для i «0 ,.

Доказано (теорема 2.2), что для пространства.

V с L подалгебра JIUV) всегда является максимальной подалгеброй в L и подалгебрами же V), осчерпываюся (при Sh, Ни, > все максимальные однородные подалгебры в L с условием х х). В случае L 5=5 К и.+ 4 дополнительно вводятся подалгебры jit (Ц, V), отвечающие любому подпространству V с |^ с условием [ V, V] Ю). Именно,.

JIUU.V) = ®2it?a."v), где ЛЦ (Ц, У) «Ц, l.,(U, V)=V, ll (UV) =.

— fxeLiI [JHj (L.2,V), x] a il^jlU.V).]—V2j, t>0.

Согласно теореме 2.2, подалгебрами.

JIUV). HL"V) исчерпываются все максимальные однородные подалгебры в Ки+4 «удовлетворяющие условию к к). В этом параграфе указаны представители всех классов сопряжённости максимальных подалгебр и приведены размерности максимальных подалгебр.

В третьем параграфе главы 2 описываются максимальные подалгебры с условием х х х). Для каждой подалгебры 0 L 0 определяется градуированная подалгебра в L вида жим = .Ф.да-ьМ > где JML-., А0) = Ц, i <0, Жоа-, А0)= а для i > 0 ,.

JUL,, V> s JHhIU,^ > .

Очевидно, что любая максимальная однородная подалгебра в L с условием х х х) имеет вид JUlCL.^ К0), причём, в соответствии с предложением 2.9, подалгебра обязательноь должна быть максимальной в L0. Далее, вводятся понятия^{-подалгебры} и? -подалгебры. На первом этапе полностью описываются максимальные & -подалгебры (см. теоремы 2.3, 2.4, 2.5, 2.6). Для каждой серии найдены числа классов сопряжённых максимальных R. подалгебр, а также размерности этих подалгебр. Следует отметить, что для приводимой максимальной подалгебры Iq ^ L. 0, подалгебра ЛЦЦ, А0) максимальна в L всегда при L —Wn, Ьц, Ht, а при L — К w + Л Т0ГДа и только тогда, когда существует инвариантное относительно i подпространство V ^^, такое, что L V, V ] = (0) •.

Для максимальных лЭподалгебр д. а-ьМ., ввиду отсутствия полного описания максимальных подалгебр в модулярных классических алгебрах Ли, нам не удалось получить описание в том явном виде, который был придан максимальным R. -подалгебрам. Тем не менее в предложениях 2.12, 2.13, 2.14 сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия, выполнение которых гарантирует максимальность J! i (L-^Ao) в L • В заключительном параграфе главы 2 рассматриваются содержательные примеры максимальных? — подалгебр в картановских J) -алгебрах Ли,.

Еще в работе Ы А. И. Кострикиным было замечено существование вложения алгебры Витта w, в простую классическую алгебру С Р-1 над алгебраически замкнутым полем характеристики Ь > 3 .

Оказалось (см. что образ 1 V «W максимален в.

Мы проверяем, что в И P^J алгебра Jll (L.{? f является максимальной 3 -подалгеброй. Аналогичная конструкция для L= V реализуется в единственно возможном случае (при И= Z, р = 5), который подробно рассматривается в третьей главе. В работах Я. С. Крылкка Ы при описании аналогов контактной алгебры и М. И. Кузнецова [2б] были получены результаты, мотивирующие описание 2 -градуированных неприводимых транзитивных алгебр Ли с условием о) cU, La, L0 * Vi/< ®ft над алгебраически замкнутым полем характеристики > = 5. Ограничение (Э =¦ S обусловлено тем фактом, что при > <5* неприводимых простых градуированных алгебр Ли с условием 0) не существуют (см. предложение II работы [2б]).

Следует отметить, что в гипотезе К.- Ш. ограничение 2,3 существенно, поскольку при = 2 и 3 существуют простые алгебры Ли, не имеюцие аналогов при f) > 3 •.

В первом параграфе главы 3 строится простая 125-мерная f) -алгебра Ли т, о над алгебраически замкнутым полем fe характеристики |) = 5, удовлетворяющая условию 0) и реализуемая в виде максимальной к) -подалгебры контактной ралгебре К 3 .

Доказано, что LU,) не является К, — Ш.-алгеброй, т. е. ограничение >? в гипотезе К, — Ш. существенно. Далее, во второй параграфе, обобщая конструкцию алгебры L (4, j), мы строим дщупараметричеекуго серию L (M>,)ft) (W/, ИЬцелые положительные числа) простых алгебр Ли контактного типа, которыми исчерпываются все неприводимые транзитивные простые градуированные алгебры Ли с условием 0).

Нумерация лемм, формул, теорем и предложений в каждом главе начинается заново. Ссылка dl.? означает, что ctномер главы, а.

J6 -номер леммы* предложения, теоремы или параграфа в этой главе. Если лемма, предложение, теорема или параграф находится в данной главе, то oL опускается.

Результаты диссертации полностью опубликованы в работах.

N — [si] .

Автор выражает глубокую благодарность чл-корр, АН СССР, профессору А, И. Кострикину, под руководством которого выполнена настоящая работа.

1. Seligman G.B. Modular Lie algebras. — Erg. Math., 40, Springer, 1967.

2. Кострикин А. И., Шафаревич И.P. Псевдогруппы Картана и |ралгебры Ли. Докл. АН СССР, 1966, 168, № 4, 740−742.

3. Кострикин А. И., Шафаревич И. Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики. — Изв. АН СССР, Сер. матем., 1969, 33, № 2, 251−322.

4. Кострикин А, И. Модулярные вариации по тему Картана, в кн. Международный конгресс математиков в Ницце, 1970. Доклады Советских математиков. М., 1972, III-II7.

5. Кац В. Г. О классификации простых алгебр Ли над полем с ненулевой характеристики. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1970, 34, Р 2, 385−408.

6. Gregory Т.В. A characterisation of the contact Lie algebras. Pr. Amer. Math. Soc., 1981, 82, 505−511.

7. Кузнецов М. И. Градуированные алгебры Ли с нулевой компонентой, равной сумме комму тиру гацих идеалов. Матем. Сборник, 1981, 116(158), Р 4(12), 568−574.

8. Кострикин А. И. Неприводимые градуированные алгебры Ли с компонентой L0 Wi. — Матем. записки, Уральский гос. ун-т им. А. М. Горького, 1970, 7(3), 92−103.

9. Крылюк Я. С. Модули над алгебрами Ли, допускающие первое кар-тановское продолжение. Успехи матем. наук, 1979, 34, Н? 3, 203−204.

10. Джумадильдаев А. С. Деформации общей алгебры Ли картановского типа. Докл. АН СССР, 1980,251, W б, 1289−1292.

11. Джумадильдаев А. С. Относительные когомологии и деформации алгебр Ли картановского типа. Докл. АН СССР, 1981, 257, W 5, I044−1048.

12. Кац В. Г. Описание фильтрованных алгебр Ли, с которыми ассоциированы градуированные алгебры Ли картановского типа .- Изв. АН СССР, Сер. матем., 1974, 38, W 4, 800−834.

13. Wilson R.L. A structural characterization of the Simple Lie algebras of generalized Cartan type over fields of prime characteristic.- Journal of Algebra, 1976, 40, 418−465.

14. Тюрин С. А. О подалгебрах Картана абщей алгебры Ли картановского типа. Матем. Сборник, 1981, 116(158), W 4(12), 547−557.

15. Демушкин С. П. Подалгебры Картана простых ралгебр Ли Wyt, Sh,. Сиб. матем. ж., 1970, XI, № 2, 310−325.

16. Демушкин С. П. Подалгебры Картана простых неклассическихралгебр Ли. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1972, 36, № 5, 915−933.

17. Крылюк Я. С. О неприводимых модулях алгебр Ли картановского типа в конечной характеристике, ч. I, II. М. 1978. Деп. в ВИНИТИ W 3863−78, № 3864−78.

18. Премет А. А. Неприводимые ограниченные представления гамиль-тоновой и контактной ралгебр Ли. Препринт Ин-та математики АН БССР, № 14(171), Минск 1983.

19. Ермолаев Ю. Б. К вопросу о картановских продолжениях. Изв. ВУЗ-ов, Математика, 1981, № II, 30−40.

20. Эльстинг О. Г. Об одном классе простых градуированных ралгебр Ли. ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов, часть I. Минск, 1983, 228.

21. Block R.E., Wilson R.L. The simple Lie p-algebras of rank two. Ann. of Math., 1982, 115, N1, 93−168.

22. Wilson R.L. Classification of the restricted simple Lie algebras with toral Cartan subalgebras.- Journal of Algebra 1983, 83, Ш2, 531−540.

23. Кострикин А. И. Некоторые аспекты теории алгебр Ли.- Избранные вопросы алгебры и логики, сб. посвященный памяти А. И. Мальцева, Новосибирск, 1973.

24. Тен. O.K. О максимальных подалгебрах классических модулярных алгебр Ли. ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция, Тезисы докладов, часть I, Минск, 1983, 183.

25. Крылюк Я. С. Инвариантные билинейные формы на представлениях алгебр Ли и аналоги контактной алгебры. М. 1978. Деп. в ВИНИТИ № 3865−78.

26. Кузнецов М. И. Алгебры Ли с подалгеброй коразмерности р. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1976, 40, № 6, 1224−1247.

27. Меликян Г. М. Об одной простой алгебре Ли.- ХУ Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов, Новосибирск1979,.

28. Меликян Г. М. О простых алгебрах Ли характеристики 5. Успехи матем. наук, 1980, 35, Р I, 132−133.

29. Меликян Г. М. Простые неприводимые 2-градуированные алгебры Ли с компонентой. 1У Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Тезисы сообщений, Кишинев, 1980, 74−75.

30. Меликян Г. М. Простые неприводимые 2-градуированные алгебры Ли с компонентой L0 ^ Wt ® k. М. 1982, Деп. в ВИНИТИР 1688−82.

31. Меликян Г. М. Максимальные однородные подалгебры в простыхралгебрах Ли картановского типа, — М. 1984, Деп. в ВИНИТИ р 3653 84 .

32. Джекобсон Н. Алгебры Ли. «Мир «М. 1964.

33. Рудаков А. Н. Группы автоморфизмов бесконечномерных простых алгебр Ли. Изв. АН СССР, Сер. матем. 1969, 33, Р4, 748−764.

34. Wilson R.L. Automorphisms of graded Lie algebras of Cartan type. Comm. Algebra, 1975, 3, N7, 591−613.

35. Kaplansky I. Some simple Lie algebras of characteristic 2. «Lect. Hotes Math.» 1982, 933, 127−129.

36. Кострикин А. И. Параметрическое семейство простых алгебр Ли.-Изв. АН СССР, Сер.матем., 1970, 34, 744−756.

37. Кац В. Г. Глобальные псевдогруппы Картана и простые алгебры Ли. Успехи матем. наук, 1971, 26, № 3(159), 199−200.

38. Chang H.J. liber Wittshe Lie-Ringe. Abh.Math.Sem. Hamb.Univ., 14, 1941, 151−184.