Теоретико-групповые свойства некоторых интегро-дифференциальных уравнений

В последнее время заметно возрос интерес к исследованию групповых свойств дифференциальных уравнений. Это вызвано главным образом двумя причинами: а) групповые методы дают возможность построить интегралы движения для системы, описываемой исследуемыми уравнениямиб) с помощью групповых методов можно найти точные решения исследуемых уравнений.

Групповые свойства дифференциальных уравнений изучаются, главным образом, классическим методом С. Ли /71, 23, 24, 36, 37/. При исследовании групповых свойств уравнений различают прямую и обратную задачи группового анализа. Прямая задача заключается в нахождении симметрии данного уравнения. Поскольку группа инвариантности (в смысле С. Ли) произвольного уравнения, вообще говоря, тривиальна, то важной задачей группового анализа становится описание уравнений инвариантных относительно заданных групп преобразований. Эту задачу, следуя Л. В. Овсянникову /37/, будем называть обратной симметрийной задачей. С другой стороны, уравнения, используемые для описания физических явлений, как правило, обладают нетривиальной симметрией. Более того, свойство инвариантности относительно определенных групп преобразований является одним из критериев отбора «нужных» уравнений. Именно поэтому успехи групповых методов исследования дифференциальных уравнений тесно связаны с изучением уравнений, которые априорно обладают некоторой симметрией, — уравнений теоретической и математической физики (см. /37, 48/ и приведенную там библиографию).

Для исследования групповых свойств более широких классов уравнений (например, интегро-дифференциальных) или же для нахождения симметрий, которые не могут быть обнаружены в классическом подходе, необходимо обобщение метода С.Ли.

Конструктивный метод исследования теоретико-алгебраических свойств линейных дифференциальных уравнений предложен в работах /48, 49/. Существенным отличием этого метода от метода С. Ли является то обстоятельство, что базисные элементы алгебры инвариантности дифференциальных уравнений, найденные с помощью этого метода, являются интегро-дифференциальными операторами.

Для исследования симметрийных свойств дифференциальных уравнений используется также метод дифференциальных форм. Еще Бейтман /64/ с успехом, применил его для нахождения группы инвариантности уравнений Максвелла с токами. Исследования Э. Кар-тана /26, 27/ дали возможность применять метод дифференциальных форм для описания законов сохранения дифференциальных уравнений. В работах Спенсера, Эстабрука, Виноградова эти идеи обрели современную дифференциально-геометрическую трактовку и широко используются для исследования дифференциальных уравнений /II, 31−34, 59, 67, 73/.

С помощью групповых методов исследованы симметрийные свойства и описаны законы сохранения многих дифференциальных уравнений /24, 31, 32, 34, 53/. Методы, основанные на алгоритме Ли, дают возможность эффективно находить решения дифференциальных уравнений /55, 68/. Таким образом, можно сказать, что симметрийные свойства дифференциальных уравнений изучены достаточно хорошо.

В то же время симметрийные свойства интегро-дифференциаль-ных уравнений (ИДУ) почти не изучены. Изучение групповых свойств является важным как в теоретическом, так и в практическом отношениях: расширение области применения групповых методов дает возможность находить решения, законы сохранения интегро-диффе-ренциальных уравнений математической физики.

Для изучения групповых свойств ИДУ классический метод Ли не пригоден. Очень полезными в этом отношении являются методы дифференциальной геометрии и теории псевдодифференциальных операторов. На несомненную важность изучения ИДУ с теоретико-алгебраической точки зрения особое внимание обращено в работе /52/, где предложен способ построения алгебры инвариантности линейных псевдодифференциальных уравнений.

Настоящая диссертация посвящена применению методов дифференциальной геометрии и теории псевдодифференциальных операторов к изучению симметрийных свойств некоторых ИДУ теоретической и математической физики, построению законов сохранения и точных решений ВДУ.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1.Арнольд В. И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1974.^ -432 с.

2. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 2-е изд. -М.: Наука, 1975. — 239 с.

3. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика: в 2-х т. М.: Мир, 1978, т.2 — 400 с.

4. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения: в 2-х т. М.: Мир, 1980. т. 1−456 е., т. 2−396 с.

5. Батыров С. О группе симметрии нелинейного параболического уравнения порядка 2 п. В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. -К.: 1981, с. II9-I24.

6. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с.

7. Боголюбов H.H., Ширков Д. В.

Введение

в теорию квантовых полей. М.: Наука, 1973. — 416 с.

8. Виноградов A.M., Красильщиков И. С., Лычагин В. В. Применение нелинейных дифференциальных уравнений. -М.: МИИГА, 1977. 125 с.

9. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.- Наука, 1979. 318 с.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 3-е изд.- М.: Наука, 1976. 527 с. .

11. Власов A.A. Макроскопическая электродинамика. М.: Гостех-издат, 1956. — 228 с.

12. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. — 304 с.

13. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и классическая механика. М.: Мир, 1973. — 188 с.

14. Давыдов A.C. Квантовая механика. 2-е изд. -М.: Наука, 1973. — 703 с.

15. Дубинский Ю. А. К теории задачи Коши для уравнений в частных производных. ДАН СССР, 1981, т.259, М, с. 781−785.

16. Дубинский Ю. А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике. УМН, 1982, т. 37, вып. 5, с. 97−137.

17. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. — 760 с.

18. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.430 с. 22.3уланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир, 1975. — 348 с.

19. Ибрагимов Н. Х. Групповые свойства волновых уравнений для частиц с нулевой массой. ДАН СССР, 1968, т. 172, № 3, с. 566 -568.

20. Ибрагимов Н. Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. Новосибирск, Изд-во НГУ, 1972. — 200 с.

21. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. — 280 с.

22. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.:Изд-во МГУ, 1962. — 238 с.

23. Картан Э. Интегральные инварианты. ГИТТЛ, МЛ, 1940. -216 с.

24. Кириллов А. А., Гвиашиани АД. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука" 1979. — 384 с.

25. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии т. I. М.: Наука, 1981. 344 с.

26. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

27. Кыйв М., Розенхауз В. Семейство двумерных уравнений Борна-Инфельда и система законов сохранения. Известия АН ЭССР физика, математика 1979, № 3, с. 187−193.

28. Кыйв М., Айнсаар А., Кийтранен К. Симметрия пространства-времени и скалярное уравнение Борна-Инфельда. Препринт П5 Институт физики АН ЭССР, Тарту, 1981 .

29. Лычагин В. В. Локальная классификация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. У M H, 1975. т. 30,? I, с. 101−171.

30. Лычагин В. В. Контактная геометрия и уравнения второго порядка. УМН, 1979, 34, № I, с. 137−165.Зб.Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979, 230 с.

31. Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск, Изд-во НГУ, 1966. — 131 с.

32. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. — 400 с.

33. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1967. -361 с.

34. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. I. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977 — 358 с. т. 2. Гармонический анализ, самосопряженность. — М.: Мир, 1978. — 395 с.

35. Румер Ю. Б., Рыбкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. 2-е изд. М.: Наука, 1977. — 552 с.

36. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. -443 с.

37. Сегеда Ю. Н. Об инвариантных решениях нелинейного волнового уравнения. В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. К.: 1981, с. 54−59.

38. Селехман H.A. 0 максимальной алгебре инвариантности одной системы интегро-дифференциальных уравнений В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. I25-I3I7.

39. Селехман H.A. 0 симметрии некоторых интегро-дифференциальных уравнений. В кн.: Математические вопросы механики сплошных сред и теплофизики. — Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982, с. I08−110.

40. Селехман А. Н. Групповые свойства уравнения Больцмана. В кн.: Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 65−68.

41. Серов Н. И. Конформная инвариантность нелинейных волновых уравнений. В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. 59−64.

42. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир. 1970 — 412 с.

43. Фущич В. И. 0 дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения. Теор. и математ. физ., 1971, т. 7, ЖЕ, с.З.

44. Фущич В. И. 0 новом методе исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений в частных производных. В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978, с.5−44.

45. Фущич В. И, Симметрия в задачах математической физики, В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. 6−23.

46. Фущич В. И. О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической физики. ДАН СССР, 1979, т, 246, № 4, с, 846−850.

47. Фущич В. И, Об одном методе исследования групповых свойств интегро-дифференциальных уравнений. Укр.математ. журн., 1981, т. 33, № 6, с. 834−838.бЗ.Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений Максвелла, — К.: Наукова думка, 1983,.

48. Фущич В. И., Селехман H.A. Интегро-дифференциальные уравнения инвариантные относительно групп Галилея, Пуанкаре, Щредингера и конформной группы. ДАН УССР, 1983, сер. Af Jfc 5, с. 21−24.

49. Фущич В. И., Серов Н, И. О точных решениях уравнения Борна-Инфельда. ДАН СССР, 1982, т. 263, № 3, с. 582−586.

50. Фущич В. И., Штелень В. М. Об инвариантных решениях нелинейного уравнения Дирака. ДАН СССР, 1983, т. 269, «I, с. 88 — 92.

51. Шварц Л. Анализ т. I. М.: Мир, 1972. — 824 с.

52. Шварц Л. Применение обобщенных функций к изучению элементарных частиц. М.: Мир, 1972. — 181.

53. Швачка A.B., Яновски А. Б, Метод Уолквиста-Эстабрука и его применение к исследованию нелинейных эволюционных уравнений. Случай двух пространственных переменных ОИЯИ. Препринт Р5−82−242. Дубна, 1982.

54. Швебер С.

Введение

в релятивистскую квантовую теорию поля.- М.: ИЛ, 1963. 842 с,.

55. Шилов Г. Е, Математический анализ (второй специальный курс), М.: Наука, 1965 .

56. Шилов Г. Е. Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных) части I 2. — М.: Наука, 1972. — 624 с.

57. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978. — 280 с.Bh. Baie man H. 3~ht transformations of E lectiodynamical. Equations.- Рг ос. iondon fia th. Soc., 1303, vB, р. ЦЬ-Пк.

58. Fasohich W.l., Shtelen W.M. Conformai s^m-metzu and nevi Exact so Butions of the Sttj, Уссп^-lÏ-Ï-iies e-p и at ions. — ?ett. /Viloi/q Cimento, 1983} V38, p. ЗЫ0.

59. Hezmann R,^fouziez ana, dysis on cjtoups und pouztiat vJoi-oe ouaa, gysis, — Benjamin, /Veuf Уогк, 1369,30Zp.

60. Siee 5 ЩН. Sy mmetiies and Jacuum Max Ф! E etudiions.- j.iilath. Php. ?3*0²¹, /)/?, p. IZfr-uz',.