Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областях

Диссертация: Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областях
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Приведённые примеры показывают, что нелокальные условия возникают при математическом моделировании реальных физических процессов. Это направление исследований заинтересовало многих известных математиков и стало интенсивно развиваться в их научных работах. Большую роль в изучении нелокальных задач сыграли работы В. И. Жегалова —, A.B. Вицадзе и A.A. Самарского, A.M. Нахушева, В. А. Ильина и Е. И… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Интегральный аналог задачи Гурса
    • 1. Интегральная задача Гурса в характеристическом прямоугольнике
      • 1. 1. Постановка задач. Теоремы существования и единственности решений
      • 1. 2. Доказательство единственности решения вспомогательной задачи
      • 1. 3. Доказательство существования решения вспомогательной задачи
      • 1. 4. Вывод условий единственности решения
    • 2. Интегральная задача Гурса с условиями, заданными в части области
      • 2. 1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения
      • 2. 2. Доказательство единственности решения задачи
      • 2. 3. Доказательство существования решения задачи
  • Глава 2. Смешанная задача для уравнения колебаний струны с интегральными условиями
    • 1. Смешанная задача с интегральными условиями второго рода
      • 1. 1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода
      • 1. 2. Доказательство теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода
    • 2. Смешанная задача с интегральными условиями первого рода
      • 2. 1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи
      • 2. 2. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи
    • 3. Смешанная задача в произвольной прямоугольной области с интегральными условиями первого рода
      • 3. 1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи. ТО
      • 3. 2. Доказательство единственности решения задачи
      • 3. 3. Доказательство существования решения задачи
    • 4. Смешанная задача с интегральным условием, заданным в части области

Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при исследовании классических задач математической физики и к настоящему времени хорошо изучены. Однако современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, ярким примером которых является класс нелокальных задач.

Нелокальными принято называть такие задачи, в которых задаются соотношения, связывающие значение искомого решения и, возможно, его производных, в граничных и внутренних точках области. По-видимому, термин «нелокальные условия» впервые введён A.A. Дезиным в работе [12].

В последние десятилетия нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных активно изучаются многими математиками. Исследование нелокальных задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических, биологических, экологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задаётся определённая связь значений искомой функции (или её производных) на границе области и внутри неё. Задачи такого типа могут возникнуть при изучении явлений, связанных с физикой плазмы [73], распространением тепла [1], [80], процессом влагопереноса в капиллярно-пористых средах [53], вопросами демографии и математической биологии [56], некоторыми технологическими процессами [51].

Задачи с нелокальными условиями возникают при математическом моделировании различных физических процессов в тех случаях, когда граница протекания реального процесса, недоступна для непосредственных измерений, но можно получить информацию о его протекании во внутренних точках области, либо о соотношении значений искомого решения в различных точках границы. Изучая процессы охлаждения тел, В. А. Стеклов [79] построил математическую модель, которая представляет собой задачу интегрирования уравнения p{x)ut = ихх — д (х)и, а <х < Ь, 0.

0, t) ~ u (l, ?), ws (0, i) = ux (l, t) возникает при изучении колебаний кольца [81].

При исследовании задачи обтекания профиля крыла самолёта газом с местной сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, Ф. И. Франкль [84] поставил и исследовал задачу для уравнения Трикоми.

УUхх ~f~уу = одно из граничных условий которой является нелокальным:

0,у) — и (0,-у).

Приведённые примеры показывают, что нелокальные условия возникают при математическом моделировании реальных физических процессов. Это направление исследований заинтересовало многих известных математиков и стало интенсивно развиваться в их научных работах. Большую роль в изучении нелокальных задач сыграли работы В. И. Жегалова [16] — [18], A.B. Вицадзе и A.A. Самарского [4], A.M. Нахушева [55], В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [20], [50], O.A. Репина [48],[72].

Среди нелокальных задач можно выделить класс задач с интегральными условиями. Нелокальные интегральные условия можно считать обобщением дискретных нелокальных условий или условий локального сдвига.

Отправной точкой исследования задач с интегральными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных являются статьи Кэннона Д. Р. и Камынина Л. И., опубликованные в начале 60-х годов двадцатого века.

В 1963 году J.R. Cannon [93] для уравнения теплопроводности иу — uxx в прямоугольной области D — {(х, у): 0 < х < 1, 0 < у < Т} исследовал задачу нахождения решения и (х, у), удовлетворяющего условиям т (ж), 0 < я- < 1- u (l, y) = < у < Т и интегральному условию.

Ни).

J u{x:y)dx = Е{у), о <�у<�Т, о где х (у), Е (у) € С^О, Т] — заданные функции.

В 1964 году Л. И. Камыниным [29] в области ST = { {x, t): Xi (t) < х < X2(t), 0 < t < Г}, содержащей внутри себя кривую х = Хз (£), была рассмотрена краевая задача для линейного одномерного параболического уравнения второго порядка общего вида q2u Qh ди.

Lu = а (х, t) — + b (x, t) — + c{x, t) u — — = f (x, t) с начальный! условием u (x, 0) = h (x), Xi (0) < x < X2(0), и нелокальными условиями t) д (х, t) u (x, t) dx = E (t), 0 < t < T, Xi (0 u (X'2{t), t) dx = (p (t), 0.

В этой работе доказано существование единственного, непрерывного вплоть до границы решения краевой задачи с условиями указанного типа в предположении, что коэффициенты уравнения удовлетворяют условию Гёльдера с ненулевым показателем, а функция E (t) и кривые {х = X (t)), определяющие боковые границы области, где задано уравнение, и зоны, участвующей в условии, удовлетворяют лишь условию Гёльдера с показателем, большим |.

В дальнейшем задачи с интегральными условиями для параболических уравнений были исследованы в работах Н. И. Ионкина [23] — [25], JI.A. Муравья и А. В Филиновского [51], [52], А. И. Кожанова [44], JI.C. Пулькиной [66], A.B. Картынника [30], Н.И. Юрчука[1], [85], A. Bouziani [89], [90] и других авторов [74], [82].

Задачи с нелокальными интегральными условиями для уравнений эллиптического типа рассматривались A.JI. Скубачевским [75]-[77], А. К. Гущиным и В. П. Михайловым [10], [11], A.A. Амосовым [2].

В конце двадцатого века появились работы, посвященные разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений. Среди них можно выделить два класса задач: интегральный аналог задачи Гурса и смешанные задачи с интегральными условиями. При постановке интегральной задачи Гурса задаются значения интегралов от искомого решения вдоль характеристик уравнения.

Задачи в характеристическом прямоугольнике рассматривались в работах [57], [62]. Интегральные условия имели следующий вид: а Ь.

J и{х, y) dx ~ ф{у), J и (х, y) dy = tp (x). о о.

Исследования разрешимости такой задачи для уравнения.

Lu == иху + (А (х, у) и)х + (В (я, у) и)у + С{х, у) и — f{x, у) привели к условиям единственности решения задачи [62]: Ау (х, у) > 0, Вх (х, у) > О, Сху (х, у) > О,.

Ау{х, у) Вх (х, у) — С2(х, у) > О, последнее из которых является существенным ограничением на класс уравнений, для которых решение интегрального аналога задачи Гурса существует и единственно. Если А (х, у) — В (х, у) = 0, то видим, что теорема единственности не выполняется для телеграфного уравнения. Это подтверждается примером, приведённым в работе JI.C. Пулькиной [62], где изучена задача для гиперболического уравнения.

Lu = wxy + (А (х, y) w)x + (В (х, y) w)y + С (х, y) w = F (x, у) в прямоугольнике D = {(х, у): 0 < х < а, 0 < у < Ь} со следующими интегральными условиями: а Ь.

J w (x, y) dx = ф{у), J w (x, y) dy — ip{x). о о.

Доказаны теоремы существования и единственности обобщённого решения задачи из пространства Ь2.

В данной диссертационной работе вместо условий a b.

J u (x, y) dx = ф (у), J и (х, y) dy = tp (x) рассмотрены условия: а j К (х, у) и (х, у) сЬ = ^(у), 0 < у < 6, о ь.

J К (х, у) и (х. = ^(ж), О < X < а, о и показано, что выбором функций К (х, у) можно обеспечить однозначную разрешимость интегрального аналога задачи Гурса и для тех случаев, когда условие Ау (х, у) Вх (х, у) — С2(гс, т/) > 0 не выполняется.

Следующая проблема состоит в нахождении условий на входные данные в случае, когда нелокальные условия заданы только в части области, где ищется решение задачи. Задача с интегральными условиями, заданными в части области была рассмотрена З. А. Нахушевой в работе [57].

Для простейшего гиперболического уравнения.

11>ху ~ О в прямоугольной области И — {(ж, у): 0 < ж < а, 0 < у < Ь} была рассмотрена задача Гурса с интегральными условиями, а р

J и (х, у) Ах = ф{у), 0 <у <Ь, J и (х, у)(1у = (р (х), 0 < х < а, о о где (р (х) и ф (у) — заданные непрерывные функции, а, (3 — заданные числа, причём 0<�а<�а, 0</?<6и получена формула единственного решения.

Обоснование разрешимости задачи в [57] опирается на возможность найти общее решение уравнения.

В предлагаемой диссертационной работе рассматривается задача с неполными данными для уравнения.

Ьи = иху + (Л (х, у) и)х + (В (х, у) и)у + С (х, у) и — /(ж, у), с произвольными гладкими коэффициентами.

Исследование смешанных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа проводится в работах А. И. Кожанова [46], Л. С. Пулькиной [63]—[65], [70], Д. Г. Гордезиани и.

Г. А. Авалишвили [7], A. Bouziani [90], [91], С. А. Бейлина [3], [87], [88] и других авторов [26], [86].

В работе [7] рассматривается нелокальная задача для уравнения колебания струны с классическими начальными условиями и (х, 0) — <�р (х), щ (х, 0) = ф{х), 0 < х < I, и интегральными нелокальными граничными условиями.

Ш Tfe (i).

0, t) =.

Ш m (t).

2W 42 w t (0,t)=p (t) J u (x, t) dx +f (t), u (l, t)=q (t) J u (x, t) dx + g (t), где < < 7/2(0 ~ подвижные точки струны.

0, /], (р, -ф, р, д, /, д — данные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования, и (х, — искомая функция, дважды непрерывно дифференцируемая на [0, /] х [0, Т]. Доказана теорема существования единственного решения поставленной задачи. В этой же работе доказаны существование и единственность решения интегральной нелокальной задачи для телеграфного уравнения с однородными начальными условиями и нелокальными граничными условиями.

Отметим, что в работе [7] нелокальные условия являются условиями второго рода, и интегралы, присутствующие в нелокальных условиях, суть интегралы с переменными пределами, что при реализации метода вспомогательных задач приводит к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.

В диссертационной работе рассматриваются условия, содержащие интегралы с постоянными пределами, что существенно влияет на выбор метода доказательства как единственности, так и существования решения. Также в работе рассматриваются задачи с интегральными условиями первого рода, и с условиями, заданными в части области.

Нелокальные задачи с интегральными условиями для вырождающихся гиперболических уравнений исследовались.

Л.С. Пулькиной и её учениками [61], [5], [15]. В последнее время появились работы, в которых изучаются нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных с п пространственными переменными — статьи А. И. Кожанова, Л. С. Пулькиной [46], [67], С. А. Бейлина [88], В. Б. Дмитриева [14], Б. МеэЬиЬ и А. Вогшаш [95].

Исследования нелокальных задач показали их тесную связь с нагруженными уравнениями [53] - [55] и обратными задачами [27], [28], [58] - [60], [45], [19], [68].

Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений более высоких порядков рассмотрены в работах [13], [31], [92], [94].

Актуальность темы

данной диссертационной работы обусловлена как теоретической, так и практической значимостью рассматриваемых задач.

Представленная диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического тина и детализации метода вспомогательных задач в различных частных случаях.

Объектом исследования в данной работе являются нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений с условиями, содержащими интегральный оператор от искомого решения.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является постановка и исследование качественно новых нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольных областях, а также разработка эффективных методов доказательства разрешимости различных видов нелокальных краевых задач.

Методы исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, аппарат интегральных уравнений, методы априорных оценок.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике;

2. доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике в случае, когда интегральные условия заданы в части области;

3. предложен эффективный метод, с помощью которого доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями второго рода для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т<1;

4. доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода i.

J Ki (x, t) u (x, t) dx = Si (t), (г = 1,2) о для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т < I;

5. разработан метод, применяя который удалось снять ограничения на область и доказать однозначную разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода I.

J Ki{x)u (x, t) dx = Si (t), (г = 1,2) о для уравнения колебаний струны;

6. доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с интегральным условием, заданным в части области.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными интегральными условиями.

Структура и объём диссертацииДиссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 95 наименований, включая работы автора. Объём диссертации составляет 101 страницу.

Заключение

.

В данной диссертационной работе исследованы нелокальные задачи с интегральными условиями для некоторых гиперболических уравнений в прямоугольных областях.

1. Доказана теорема существования и единственности классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике.

2. Доказана теорема существования и единственности классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения с интегральными условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника.

3. Доказана теорема существования единственного классического решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны с интегральными условиями второго рода.

4. Доказана теорема существования единственного классического решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны с интегральными условиями первого рода (2 случая).

5. Доказана теорема существования единственного классического решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны с интегральными ус л овиями, заданными в части области.

Автор выражает глубокую признательность и искреннюю благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Людмиле Степановне Пулъкиной за предложенную тему, помощь, ценные замечания и поддержку при выполнениии данной работы.

Показать весь текст

Список литературы

  1. , С. М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием/ С. М. Алексеева, Н. И. Юрчук // Дифференциальные уравнения.- 1998. Т. 34. — № 4. — С. 495 — 502.
  2. , А. А. О положительном решении эллиптического уравнения с нелинейным интегральным краевым условием типа излучения/ A.A. Амосов// Математические заметки. 1977. — Т. 22. -№ 1. -С. 117−128.
  3. , С. А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения/ С.А. Бейлин//Неклассические уравнения математической физики. Сборник научных работ. Новосибирск. -2005. С. 37 — 43.
  4. , А. В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач/ A.B. Бицадзе,
  5. A.A. Самарский//Доклады Академии наук СССР. 1969. -Т. 185. — № 4. — С. 739 — 740.
  6. , М. Г. Единственность решения одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения/ М. Г. Волынская / / Вестник Самарского государственного университета. 2008. — № 2 (61). — С. 43 — 51.
  7. , В. С. Уравнения математической физики/
  8. B.C. Владимиров //М.: Наука. 1976. — 528 с.
  9. , Д. Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний струны/ Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили / / Математическое моделирование. 2000.- Т. 12. № 1. — С. 94 — 103.
  10. , И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/ И. С. Градштейн, И.М. Рыжик//М.: Физматгиз-1963. 1100 с.
  11. , А. К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка/ А. К. Гущин, В. П. Михайлов //Математический сборник. -1994. Т. 185. — № 1.- С. 121 160.
  12. , А.К. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения/ А. К. Гущин,
  13. B.П. Михайлов //Математический сборник. 1995. — Т. 186. — № 2.- С. 37 58.
  14. , А. А. Простейшие разрешимые расширения для псевдопараболических и ультрагиперболического операторов/ A.A. Дезин//Доклады Академии наук СССР. 1963. — Т. 148. -№ 5. — С. 1013 — 1016.
  15. , Т.Д. Нелокальная задача с интегральными условиями для уравнения в частных производных третьего порядка/ Т. Д. Джураев, О.С. Зикиров// Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения 2007». — С. 132 — 133.
  16. , В. В. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения/ В.Б. Дмитриев//Вестник Самарского государственного университета. 2006. — № 2 (42).1. C. 15 27.
  17. , H. Н. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения/ H.H. Евдокимова, J1.C. Пулькина//Вестник Самарского государственного университета. 1999. — № 2 (12). — С. 67 — 70.
  18. Жег алое, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии/В.И. Жегалов//Учёные записки Казанского государственного университета. 1962. — Т. 122, № 3. С. 3 — 16.
  19. , В. И. Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов//Известия высших учебных заведений. 1979. -№ 9. С. 11 — 20.
  20. , В. И. Задача Гурса со смещением / В. И. Жегалов // Тр. сем. по краев, задачам. 1985. — № 22. С. 79 — 87.
  21. , Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоёмкости/ Н. И. Иванчов //Сибирский математический журнал. 1994. — Т. 35. -№ 3. -С. 612−621.
  22. , В. А. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках/ В. А. Ильин, Е.И. Моисеев//Математическое моделирование. 1990. — Т. 2. — № 8. — С. 139 — 156.
  23. , В. А. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны/ В. А. Ильин, Е. И. Моисеев / / Доклады Российской Академии Наук. 2000. — Т. 400. — № 1. — С. 16 — 20.
  24. , В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса/ В. А. Ильин, В. В. Тихомиров //Дифференциальные уравнения. 1999. — Т. 35. — № 5. — С. 692 — 704.
  25. , Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием/ Н. И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. 1977. — Т. 13. — № 2. — С. 294 — 304.
  26. , Н. И. Об устойчивости одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием/ Н. И. Ионкин //Дифференциальные уравнения. 1979. — Т. 15. -№ 4. — С. 1279 — 1284.
  27. , Н. И. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями/ Н. И. Ионкин, В.А. Морозова//Дифференциальные уравнения. 2000. -Т. 36. — № 7. — С. 884 — 888.
  28. , Т. Ш. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения/ Т. Ш. Кальменов, М. А. Садыбеков // Дифференциальные уравнения. 1990. — Т. 26. — № 1. — С. 60−65.
  29. , В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения/ B.JI. Камынин//Математические заметки. -2005. Т. 77. — № 4. — С. 522 — 534.
  30. , В. Л. Об одной обратной задаче для параболического уравнения высокого порядка/ В. Л. Камынин, Э. Франчини // Математические заметки. 1998. — Т. 64. — № 5. -С. 680 — 691.
  31. , Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями/ Л. Й. Камынин, //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. — Т. 4. — № 6. — С. 1006 — 1024.
  32. , А. В. Трёхточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной переменной для параболических уравнений второго порядка/ A.B. Картынник // Дифференциальные уравнения. 1990. -Т. 26. — Ш 9. — С. 1568 — 1575.
  33. , А. А. Нелокальные задачи для одного уравнения третьего порядка/ A.A. Керефов, Е. В. Плотникова // Владикавказский математический журнал. -2005. Т. 7. — № 1. — С. 51 — 60.
  34. , О. М. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника/ О.М. Кечина//Вестник Самарского государственного университета. — 2009. — № 6 (72). С. 50 -56.
  35. , А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений/ А.И. Кожанов//Вестник Самарского государственного технического университета. 2004. — № 30. — С. 63 — 69.
  36. , А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности./ А.И. Кожанов//Сибирский математический журнал. 2005. — Т. 46. — № 5. — С. 1053 — 1071.
  37. , А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений/ А. И. Кожанов, Л. С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2006. — Т. 42.- № 9. С. 1166 — 1179.
  38. , Н. С. Дифференциальные уравнения математической физики/ Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов //М.: Физматгиз 1962. — 767 с.
  39. , М. Е. Существенно нелокальная краевая задача для уравнения с частными производными/ М. Е. Лернер, O.A. Ренин // Математические заметки. 2000. — Т. 67. — № 3.- С. 478 480.
  40. , С. Г, Лекции по линейным интегральным уравнениям / С. Г. Михлин //М. Физматгиз. — 1959. — 232 с.
  41. , Е. И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1999. — Т. 35. — № 8. — С. 1094 — 1100.
  42. , Л. А. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения/ Л. А. Муравей, A.B. Филиновский // Математические заметки. 1993. — Т. 54. — № 4. — С. 98 — 116.
  43. , Л. А. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения/ Л. А. Муравей, A.B. Филиновский//Математический сборник. 1991. — Т. 182.- № 10. С. 1479 — 1512.
  44. , А. М. Краевые задачи для нагруженных иптегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги/ A.M. Нахушев//Дифференциальные уравнения. 1979. — Т. 15. — № 1. — С. 96 — 105.
  45. , А. М. Нагруженные уравнения и их приложения/ A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1983. — Т. 19.- № 1. С. 86 — 94.
  46. , А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями/ A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1985. — Т. 21. — № 1. — С. 92 — 101.
  47. , А. М. Уравнения математической биологии/ A.M. Нахушев //М.: Высшая школа 1995. — 301 с.
  48. Нахушева, 3. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных/ З.А. Нахушева//Дифференциальные уравнения. 1986. — Т. 22. — № 1. — С. 171 — 174.
  49. , А. И. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением/ А. И. Прилепко, А. Б. Костин // Математический сборник. 1992. — Т. 183. — № 4. — С. 49 — 68.
  50. , А. И. Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением/ А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. — Т. 43. — № 9. — С. 1392 — 1401.
  51. , Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения/ Л. С. Пулькина, //Математические заметки. 1992. — Т. 51. — № 3. — С. 91 — 96.
  52. , Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения/ Л. С. Пулькина, // Дифференциальные уравнения. 2000. — Т. 36 — № 2 (8). — С. 279 — 280.
  53. , Л. С. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения/ Л. С. Пулькина, //Неклассические задачи математической физики. 2002. — С. 176 — 184.
  54. , Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения/ Л. С. Пулькина, // Математические заметки. 2003. — Т. 74. — № 3. — С. 435 — 445.
  55. , Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения/ Л. С. Пулькина, // Дифференциальные уравнения. 2004. — Т. 40. — № 7. — С. 887 -892.
  56. , Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности/ JI.C. Пулькина, //Неклассические задачи математической физики. ИМ СО АН. Новосибирск — 2005. — С. 231 — 239.
  57. , Л. С. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения/ JT.C. Пулькина, // Современная математика и её приложения. Институт кибернетики АН Грузии- 2005. Т. 33. С. 88 — 96.
  58. , Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами/ JI.C. Пулькина // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 3-й Всероссийской научной конференции. Ч. З Самара: СамГТУ. — 2006. — С. 190- 192.
  59. , Л. С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости/ JI.C. Пулькина, / / Неклассические задачи математической физики. ИМ СО АН. Новосибирск — 2007. — С. 232 — 236.
  60. , Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике/ JI.C. Пулькина, О.М. Кечина//Вестник Самарского государственного университета. 2009. — № 2 (68). — С. 80 — 88.
  61. , O.A. Краевая задача для уравнения влагопереноса/ O.A. Репин, // Дифференциальные уравнения. 1990. — Т. 26. -№ 1. — С. 169 — 171.
  62. , А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений/ A.A. Самарский//Дифференциальные уравнения. 1980. -Т. 16. — № 11. — С. 1221 — 1228.
  63. , М. П. О некоторых краевых задачах с нелокальным условием/ М. П. Сапаговас, Р. Ю. Чегис // Дифференциальные уравнения. 1987. — Т. 23. — № 7. — С. 1268 — 1274.
  64. , А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач/ А. Л. Скубачевский // Математический сборник. 1982. ~ Т. 117(159). ~№ 4,-С. 548 — 558.
  65. , А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром/ А.Л. Скубачевский//Математический сборник. -1983. Т. 121(163). — № 2(6). — С. 201 — 210.
  66. , А. Л. Разрешимость эллиптических задач с краевыми условиями Бицадзе-Самарского/
  67. A.Л. Скубачевский // Дифференциальные уравнения. 1985.- Т. 21. № 4. — С. 701 — 706.
  68. , С. Л. Уравнения математической физики/ С.Л. Соболев//М.: Наука 1966. — 444 с.
  69. , В. А. Основные задачи математической физики/
  70. B.А. Стеклов.- М. Наука, 1983. 432 с.
  71. , В. И. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений/ В.И. Тихонов//Известия РАН. Серия математическая- 2003. Т. 67. — № 2. — С. 133 — 166.
  72. , А. Н. Уравнения математической физики/ А. Н. Тихонов, А. А. Самарский //М.: Наука 1972. — 736 с.
  73. , Л. В. Интегральная краевая задача в слое/ Л. В. Фардигола //Математические заметки. 1993. — Т. 53. -№ 6. — С. 122 — 129.
  74. , Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т./ Г. М. Фихтенгольц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1966.
  75. , Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения./ Ф. И. Франкль // ПММ. 1956. — Т. 20. -№ 2. — С. 196 — 202. — М.: Наука, 1973.
  76. , Н. И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений/ Н.И. Юрчук//Дифференциальные уравнения. 1986. — Т. 22. — № 12. — С. 2117 — 2126.
  77. Al-kadhi, М. A. A class of hyperbolic equations with nonlocal conditions/ M.A. Al-kadhi //Int. Journal of Math. Analysis. 2008 — Vol. 2 — № 10. — pp. 491 — 498.
  78. Beilin, S. A. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions/ S.A. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations 2001(2001).- № 76. — pp. 1 — 8.
  79. Beilin, S. A. On a mixed nonlocal problem for a wave equations/ S.A. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations -2006(2006).- № 103. pp. 1 — 10.
  80. Bouziani, A. On the solvability of nonlocal pluriparabolic problems./ A. Bouziani//Electronic Journal of Differential Equations -2001(2001).- № 21. pp. 1 — 16.
  81. Bouziani, A. On the solvability of a nonlocal problem arising in dynamics of moisture t ransfer/ A. Bouziani // Georgian Mathematical Journal 2003.- № 4. — pp. 607 — 622.
  82. Bouziani, A. Probleme mixte avec conditions integrates pour une classe d' equations hyperboliques/ A. Bouziani, N. Benouar//Bull. Belg. Math. Soc. 1996.- № 3. — pp. 137 — 145.
  83. Bouzit, A. A Class of Third Order Parabolic Equations with Integral Conditions/ A. Bouzit, N. Teyar//Int. Journal of Math. Analysis -2009.- Vol. 3 № 18. — pp. 871 — 877.
  84. Cannon, J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy/ J. R Cannon // Quart. Appl. Math. 1963 — Vol. 21 — № 2. — pp. 155 — 160.
  85. Denche, M. High-order mixed-type differential equations with weighted integral boundary conditions./ M. Denche, A. Marhoune // Electronic Journal of Differential Equations -2000(2000).- № 60. pp. 1 — 10.
  86. Mesloub, S. Mixed problem with integral conditions for a certain class of hyperbolic equations/ S. Mesloub, A. Bouziani // Journal of Applied Mathematics 2001- № 1:3.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!