О полноте и других свойствах некоторых классов функциональных систем в пространствах L и E

Диссертационная работа посвящена рассмотрению нескольких, довольно широких, множеств функциональных систем в пространствах Lp, 0.

Теорема К. Вейерштрасса о приближении непрерывных на отрезке [а, С] функций алгебраическими многочленами послужила началом интенсивных исследований в области приближения функций. В частности, из этого результата следует, что система алгебрамческих многочленов с рациональными коэффициентами является системой представления в пространстве Cta, 63 .

С появлением интеграла Лебега стали актуальны вопросы приближения в пространствах Lp. В первой половине 20 века большую роль в формировании отечественной школы по теории функций сыграли задачи Н. Н. Лузина ш. В этой связи необходимо отметить результаты Л. Н. Колмогорова [2] о рядах Фурье и результаты Д. Е. Меньшова [3,4] о сходимости почти всюду тригонометрических рядов. Пример Д. Е. Меньшова о тригонометрическом нуль-ряде показал, что представление измеримых функций в виде тригонометрического ряда в смысле сходимости п.в. неединственно.

С.М.Никольский [ 5], в частности, рассматривал многомерные алгебраические и тригонометрические полиномы. Рассматривались количественные и качественные оценки приближения суммируемых функций гладкими функциями. Теоремы вложения представлены в [145], [5] .

П.Л.Ульянов в работах [б — 14] исследовал топологические свойства обобщенных классов Орлича и привлек внимание математиков к вопросам приближения в этих классах классическими функциональными системами. Поставил проблемы о возможности представления в виде ряда элементов классов ^(i) и приближения в классах (/>,) другими функциональными системами.

Обобщая результаты Д. Е. Меньшова о тригонометрических рядах и рассматривая вопросы представления функций по произвольным системам функций, А. А. Талалян jl5 — 2lJ ввел понятие системы представления (с.п.) и получил ряд общих результатов о системах представления в пространствах JLр. В частности, было установлено, что в пространствах Lp[o, l], 0< р< i «нет базисов [Г7].

В работах [&2 — 25] Б. С. Кашин исследовал общие свойства ортонормированных (ОН) систем и базисов в пространствах 1 < Р< DO .В частности, исследовалось поведение ряда ZlCUl «где с*к — это коэффициенты разложения по базису.

В конце 80-х С. В. Конягин [2б] решил проблему о представлении п.в. тригонометрическим рядом функции равной бесконечности на множестве положительной меры.

Исследованию условий, когда тригонометрический ряд является рядом Фурье-Лебега, посвящены работы 1X23, 124] С.А.Теля-ковского.

В 80-х В. И. Иванов [27 — 29] ввел линейные симметричные метрические пространства и рассматривал в них вопросы единственности представления по функциональным системам.

Системы представления в пространствах функций комплексного переменного рассматривались в работах А. Ф. Леонтьева [30,31], Ю. Ф. Коробейника [32,33]и их учеников.

В работах [3^-3?] П. Освальд рассматривал классические он системы (тригонометрическая система, система Хаара и др. ОН системы) в классах С L, где f удовлетворяет Лд-ус-ловию и невыпукла на LO, o0), и получил, что тригонометрическая система и система Хаара не являются базисами в этих пространствах.

В работе 16] П. Л. Ульянова показано, что система Фабера-Шаудера является системой представления в классах ф (^) при определенных ограничениях на if. Развивая идеи и задачи П. Л. Ульянова, автором рассмотрены системыj ^ С. Li р удовлетворяющее условиям:

0 I tWdiф о, > а i, а в пространствах^р, 0< р< DQ и Eip .

Теория приближений имеет широкие приложения. Последнее время она получила новый импульс развития в связи с применением в вопросах кодирования и передачи изображений и других сигналов.

38−40, 125]. Применяется также в вопросах реконструкции изображений [41, 42] и в изучении деятельности мозга человека [43 — 47] .

В вопросах сжатия образов возник интерес к системам типа нЧЛ-OUz, СОД) где vy t: Lx.

Я). В работах С. Я)в Вооге.

R. A. SkVortA. Rcm L483, C.K.CUi [5S], S. MaltdLso], Xlevjer L-5ij и других авторов исследуется, когда из систем типа (0.1) можно построить ОН базис, который называется всплесковьтй базис. При этом образующая функция Ч^ «для всплескового ба зиса, формирует систему типа (0.1).

В работах П. Освальда и автора [52, 54J исследуется при каких условиях на ^ система (0.1) является системой представления в пространствах Lp, 0<�р<�оо .В работах [53, 55 — 60] автора рассматриваются системы функций более общего вида.

В вопросах восприятия человеком информации нам представляется актуальным в какой метрике это описывается. Поэтому имеют определенный’интерес исследования систем (0.1) в различных Классах [127 — 131] .

В работах [61 — 63] Т .П.Лукашенко рассматривал всплеско-вые базисы на топологических группах, где предложены конструкции всплесковых базисов на локально компактных абелевых группах • Всплесковые и другие базисы в различных пространствах рассмотрены в работах [135 — 139] .

В работах А. АЬулм и A. OfevSKtt [б4 — бб] исследовалось в каких пространствах DOу системы, получающиеся целочисленными сдвигами одной функции, полны в этих пространствах.

C.K.C.W. иХ-S^t в работах [67 — 7 о] исследовали в каких случаях с помощью системы (0.1) возможно представление в вице ряда элементов из, при этом от системы (0.1) не требуется, чтобы она была ортонормированной. Рассматриваются системы, называемые рамками (-frame.).

XPresiiiv К. О. P? ohKo, TKiegorc [71 — 75] исследова ли возможность построения всплесковых базисов из алгебраических и тригонометрических полиномов.

Вопросы наилучшей аппроксимации в пространствах Lp довольно подробно отражены в работах [76, 132 — 134] .

Ряды Фурье в однородных пространствах Банаха рассмотрены в работе [77], а в других пространствах — в [l40 — 144] .

При конструировании всплесковых базисов широко применяются сплайны, В работах [106, 119] сплайны рассмотрены с различных точек зрения.

Приведем некоторые факты, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Определение 0.1 [78, 81]. Линейное пространство Е называется квазинормированным линейным пространством, если каждому элементу Х4&поставлено в соответствие число \Х1, называемое квазинормой элемента X, таким образом, что выполняются условия':

1) || XI>, 0? ||ХЦ = 0<гФ> х^о •.

2) .цэс+уц 4 i*ii+ ии ;

3) H-xlMlxll, MWnxHo, (ton Х4 = 0, llxhh>o.

Квазинормированное линейное пространство Е будем называть V — пространством, если оно полно.

Определение 0.2 [l7]. Система элементов t 10Q i^ivi-si сепарабельного Fпространства (В-пространства) Е называестя системой представления (с.п.) в Е, если со для любого элемента {iE. существует ряд Лс^Хц к=1 такой, что н-i скхл^о. к=.

Определение 0.21. Система элементовj X*] сепарабельного F-пространства E (?., IHl) называется полной си стемой в Е:, если для любого элементаf^E, произвольного £>о.

1 W существует сумма Z. С*Хк, такая, что.

— X c< е.

Важным естественным обобщением пространств JL" р > 4 ^ Р < 00, являются классы и пространства Орлича [79 — 80 J. Основные свойства этих классов и пространств достаточно подробно изложены в работах [81 — 83], где также указана обширная литература по этому вопросу. Идеальные пространства рассмотрены в.

126].

В 1958 г. С. Мазур и В. Орлич [84] предложили более общий класс пространств, содержащий пространства Орлича.

Эти исследования были продолжены.

W.Orlcci, МЛа{ц.

S IZ.WSKQ.

85 — 89] и другими польскими математиками. Наиболее обще эти исследования изложены в работе Ж. Мушелака [8l] и С. Ролевича [82], где приводится достаточно полно литература по этим вопросам. Определим эти пространства и приведем их основные свойства.

Пусть Ф — совокупность четных, конечных, неубывающих на полупрямой t0,00) функций ф таких, что ft. W if [I) = do.

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что для функции iр выполнены следующие условия: ip№>0 U>o), 1р (о) = 0, ^€Cto, oo). (0.2).

Пусть (ТД, /м) — пространство с мерой [81, 90], то есть «Т — непустое множество, X — некоторая.

Всюду в дальнейшем мы полагаем, что 9.

Т= (сЦ&Т J э i , — 00Q< (> 00 ,.

В дальнейшем будем предполагать, что для if> выполнено условие (0.2)..

Через будем обозначать множество всех тех fl — измеримых на множестве *Т функций .J (-t), для которых.

Если и ^(t) принадлежат классу, то величину условно назовем^{-расстоянием} междуf и.

Последовательность функций | из класса ^ N называется сходящейся по^{-расстоянию} к функцииf^^fl*), если для vuto0j при некотором и0 е и.

Класс в общем случае не является линейным. Если класс.

V-p (L) пополнить по линейности, то получим множество в котором можно ввести квазинорму (- норму) элементов с помощью функционала.

Ч u>o: у (±)dju <. а |, так, что замыкание по Ц>-норме станет Fпространством. Замыкание по^-норме будем обозначать символом V^(lv). В этом случае из сходимости по^-норме следует сходимость по f-рассто янию для элементов из класса Ц> (L) [8l] ..

В общем случае включение fL) С. to не имеет места, так как для всякой измеримой и конечной почти всюду на |(<3,6) } функции найдется такая функция, чтоft^M и потому сумма 2. ^(Ц совпадает с множеством измеримых и конечных почти всюду, на С (, ь) [ функций..

Через Е vp будем обозначать замыкание по Vf — норме множества ограниченных измеримых функций в ^f* (L)..

Определение 0.3. Система элементов J пространства Eif (класса (L)) называется системой представления (с.п.) в Eip (в классе (L)), если для любого элементаf? Ei? (-f? ^(L)) существует ряд 21 Ск-f к такой, что v->eo И^соГ к=< 1.

Г Л 1°°.

Система j ^ ^ называется абсолютной системой представления (а.с.п.) в Evj? (Ц> (L)), если существует ряд со.

X С-к { к такой, что для него выполнено (*) и к к=< тому же выполнено условие к to* ||Х UK-MIU (fcw Wl МкО^коо). h-«W И->00 т чк=, ' 1 1.

Легко видеть, что классы Lp, О < р < (X), являются частным случаем классов f (L). При этом функция Ц> li) =, 0< р < оо ..

Определение 0.4. Будем говорить, что функция Ц>? Ф удовлетворяет условию, если.

44U) = О j VW}, t-««..

Определение 0.5. Будем говорить, что функция удовлетворяет СО — условию, если.

If (t + i) =: 0 jt -" 00..

Очевидно, что если функция f £Ф удовлетворяет Л^- условию, то она удовлетворяет и СО — условию..

Пространство не сепарабельно, если не выполнено.

Да. — условие. Класс ^(k) сепарабелен, в смысле топологии определяемой — расстоянием, тогда и только тогда, когда ip удовлетворяет СО — условию [б] ..

Пусть .для vp выполнено условие (0.2) и уц является ^ (Г — конечной и сепарабельной мерой. Тогда пространство Ei (> сепарабельно по соответствующей ^ ~ норме [8l] ..

Пусть для vp и 0 выполнено условие (0.2) и существуют К, > 0 такие, что.

6(4) ^ Kvp^) для ±>t0..

Тогда Vp*(b)ce (l) и Еу С Eq и из сходимости по — норме следует сходимость по 9 — норме 181] ..

Определение 0.6. Пусть 0? Ф. Если существуют «to, А, В >0 такие, что для всех t%to.

Avpit) «0№ ^ В то функции ^ и 0 назовем эквивалентными и будем обозначать Ц) ^ 0..

Очевидно, что если для ^ и 0 выполнено (0.2) и !, то Еу =Е©—, = 0 (ь) и сходимость по — норме эквивалентна сходимости по & - норме [311 Оказывается, что в условии (0.2) требование, что? С[0,оо) можно ослабить. Получена.

ТЕОРЕМА 0.1 Ш. Л. Ульянов [б]). Пусть у? Ф, Vp (f)>0. Тогда, чтобы нашлись функция 0£Я? с 0 fcQqeo), для которой необходимо и достаточно существование такой постоянной 50, что.

W+o) ^ гг w^r *s (0−3) при всех t Ъ Z..

При определенных ограничениях на Ц> получаем.

ТЕОРЕМА 0.2 (Ж.Мушелак [8l]). Пусть для у выполнено условие (0.2), а уц является Г — конечной^без атомов, мерой. Тогда следующие соотношения эквивалентны: х) v? U) = -.

2) = ip* IL).

3) vp удовлетворяет Aj, — условию-.

4) сходимость no ip — расстоянию эквивалентна сходимости по.

— норме..

В общем же случае Ец> С (L.) С (Л) • Диссертация состоит из трех глав. Нумерация формул единая. Так, например (3.2.1) означает I формулу 2 параграфа 3 главы, а номер (0.1) обозначает формулу I введения. Аналогичная, но своя нумерация принята для теорем, лемм, замечаний и следствий. В первой главе рассматриваются системы функций J из пространств Lp, 1 ^ р < DQ, и Ецэ для которых i.

I Ф О, И. = 1,2.,.. а.

В этом направлении получены следующие основные результаты. Предположим, что функциональная система j Ш | С Lp О" удовлетворяет следующим свойствам: где = j |Qpp Ili)~ АVI/(t)Bp: /itR, Qcra, 6){..

Если ?>0 такое, что? = <Г'< 1, то существуют U.

Avi^'R, Qw=- Lal, ], такие, что.

ЮП ЛК^-] =0,^j, (0.5) и к тому же sup 4 б" 1 < 1 ..

V.

Пусть система Удовлетворяет также следующему свойству:.

00.

Vл/&euro-// w*s (Cал)) Q* - = 0. (О.б).

1 V=r Л/ '.

Пусть = } Qth ] }.

Обозначим = 5иррЦ = j t: %(t)^of..

Пусть dlvl/J-^O.h-^w, (0.7).

Пусть.

В**sup!}£(<>, 6): Vi>o.

Обозначим.

ТЕОРЕМА I.I.I. Предположим, что система с U (А О, -оо*а< удовлетворяет свойству (0.5) и произвольный ограниченный интервал покрывается в смысле Витали семейством |. Тогда для произвольного Л/€система 1 ^^-л/ является системой представления в L (Q){>). ТЕОРЕМА I.I.2. Пусть система.

Wv^v соо^ск i & р< оо, удовлетворяет следующим условиям: к —^ оо, |Як1 -ф О, и где.

AtR}..

Тогда для произвольного A/GAS система J ^ явля ется системой представления в ?>), тогда и только тогда, когда выполнено условие: VA/ZJV М$(аЛ), 01*1=0. v=V J.

Следствием из теоремы I.I.I. является.

TE0FEMA 0.3 [52] Пусть Y? L (R$)? Тогда система функций.

WUH — 0} (i fe Rs) u2s stiV, является системой представления в Ь1 (R) •.

Изложенные выше результаты могут быть использованы в много-масштабирующей t VvU" ?" tlresofu" tiov") аппроксимации. Следуя S. M (klla{ [50] мы скажем, что последовательность замкнутых подпространств МП формирует многомасштабирую-щую аппроксимацию в ^(R5), если выполнены следующие уеловия:.

Ш VjcVjH VjfeZfU) ft Vj=> Vj /jt 2 ,<*eZs-.

Rj) ft Vj <=> -fCb-) € Vj+i •.

R^) Имеется изоморфизм из Vo > который коммутирует с операторами сдвига..

Rs) A Vj — |о}-.

R Ь) U V- ¦ плотно в Lp (RS). В работе.

R.-Q. 1 lq и С. М есс btth I109] рассматрива ются следующие функции. Пусть ф функция определена на R, пусть X 4 I.

Тогда ф° является I — периодической функцией. Определим.

W)..

Для 1 4 Р 4 00 пусть cC^R*)-' линейное пространство всех функций ф для которых |ф 1р <�• оо. Пространство с нормой I — р становится Банаховым пространст вом..

Очевидно, что Ц <�Мр < | и оСр о Lp..

В работе jl09]? в частности, получена.

ТЕОРЕМА 0.4.(3tQ, iLltcclie tfi [l09]). Если <р? с? р 1? р ^ оо) и ZL — 1, то для любой функции ^ ^ Lp —.

L с (к u) (IT1- -o ()|L⁰- где ац (^rf): = ^ I twdx =r J.

Теорема 0.4 устанавливает свойство (R6), где Vo является образом в /ор при отображении d>—I. cf,(.-d)du), daf[2S), фе оСр.

Vj=.

Легко видеть, что теорема 0.4 является частным случаем теоремы I.I.I для пространства (RS) при установлении полноты системы j f^ J В.

В параграфе I.I. рассматриваются также системы представления в смысле сходимости почти всюду. Следуя А. А. Талаляну [2l], дадим.

Определение 0.7. Система функций j ^ ^ называется системой представления в смысле сходимости почти всюду в Eip > если Для любой функцииf? Ец> существует ряд °°.

Qv. который сходится к почти всюду на ПГ ..

Получена.

ТЕОРЕМА I.I.I1. Предположим, что система удовлетворяет свойству (0.5) и множество покрывается в смысле Витали семейством j Qvi 1 Тогда для произвольного Л/t tJ система.

00 является системой представления в Li (сцб) ..

В параграфе 1.2 приводятся примеры, которые показывают, что условия в теореме I.I.I важны..

— i<3.

В параграфе 1.3 рассматриваются системы (0.1) со специальными ограничениями на образующую функцию ^ (-i). Получены.

ТЕОРЕМА I.3.I. Пусть Т= ЮД] - /Ц К) = i ..

Л 1 OQ.

Для того чтобы подсистема | J? { системы (1.3.1) была абсолютной системой представления в Е ц>, необходимо и достаточно, чтобы.

Vt>0, V А/6 Д/ 2ун>Л/.

W.

ШЬ ft: X. % U) tO ] >!-?. 1 is л/.

ТЕОРЕМА 1.3.2. Для того, чтобы подсистема | Ч^ | системы (1.3.1) была системой представления в 3 (0,1) в смысле сходимости почти всюду} необходимо и достаточно^ чтобы о, V Л/ € д/ Л м > л/:.

Vv.

6-Л/ J.

Во второй главе рассматриваются системы функций^н (Х) из пространств JLp и Е для которых.

1 -k 1−0 dU ^ 0, и. =. о У.

В этом направлении для пространств Lp (oJi)) о< р< 1, получены.

ТЕОРЕМА 2.1Л. Предположим, что система.

0.

2.1.3) и произвольный огра ниченный интервал (С, d) с (а,?) покрывается в смысле Витали семейством | оо.

Тогда для произвольного N? Jh/ система | ^ j.

00.

А/ является системой представления в Lp > 0< р< 4..

Как следствие из этой теоремы получаем.

Следствие 2.1 Л. (Теорема I в) см. [52])..

Пусть У? U (ОД) } (1 Vp (1^ ф О и Ч7 равна нулю вне.

0,1). Тогда j % ц, является системой представления в Lp (O.I), 0< р <1..

Во втором параграфе рассматриваются возмущения системы Хаара в пространстве J^ (0,1).

Этот результат анонсировался автором в работах [ПО, I2l], Рассмотрим систему Хаара в следующем виде. Пусть.

Л/1 /I L +1.

W = +i, -fc t {T*'lF)-> • [i.) ^ 0, в остальных точках, i= 0,1,.,, (t) = 1..

Получена.

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть | } V { Ч* ], L-O,^,.,^-^, система функций из Ц,(0,1) такая, что ui 11 x: u) — До Yo° (t) Hi = Го, ц nXwLvUuWi^ С ,.

Если.

Г* = < 1, где (Г* = HftQX { С J, VL=U>., т система { (t) ] J j ^U)} = 0,2.,., Я*1−2, является полной системой в Li (Oji)..

В параграфе 2.3 рассматриваются системы функций, получающиеся сжатиями и сдвигами одной функции^при условии, что интеграл от образующей функции равен нулю..

Получена.

ТЕОРЕМА 2.3.3. Пусть [0,1] - уцК) = I, =0 и U) вогнута на [ О 00)..

Пусть функция V|/(i)? С [о, 1], vncs vp (t)= где | Wwx, = K=p-*>o, i€.lo, i] i.

1 VUMt = о, ч’К) = о (t i [o, i]). о '.

Для того чтобы подсистема j V ^ системы.

1 Vh jyU^-t-K) J, 4 = 1,1,., к— 0,1. была системой представления в Е Ц> необходимо и достаточно, чтобы.

Ve>o, V л/&euroА/ 3 w> л/:.

W l^es U: Z. 1%, U) *ol> 1-Е. 1 j.

В четвертом параграфе приводится пример неполной ортонор-мированной системы, получающейся из сжатий и сдвигов одной функции. Образующей функцией для такой системы является в остальных точках..

В третьей главе рассматриваются общие свойства систем представления в пространствах Е ^ ..

В первом параграфе показывается в каких пространствах? ip нет линейных непрерывных ненулевых функционалов. Получены.

ТЕОРЕМА 3.1.1. Для того чтобы в пространстве Ец> с непрерывной мерой /U = /U (^), ty = (^и.), существовали линейные непрерывные ненулевые функционалы, необходимо и достаточно, чтобы и Ш >0..

4- no «t.

0..

ТЕОРЕМА 3.1.3. Пусть fa uw «^ - - О ..

Тогда. если.

— система представления в Е ip с непрерывной мерой, то и система .для любого фиксированного А/£ /У, также является системой представления в Е р..

В случае, если мера Лебега-Стильтьеса раз рывна, то имеем ZH —.

ТЕОРЕМА 3.1.5. Пусть T-(0,i). Пусть мера Лебега-Стильтьеса разрывна в конечном числе точек <>i<—< & - ^ ^ Co, i>,. с ч Ф Ы).

Пусть Uw —j— = 0 • Тогда общий вид линейных непреt->oo ь рывных ненулевых функционалов в Еф следующий: Vv f (X) = Z Х^) <*¦<", с/к} «R.

К— (.

В параграфе 3.2. рассматриваются общие свойства систем представления в пространствах Evp, в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов. Получены.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть Т= -j (а, 6) ^ t>Q 4 Q< i? + (Х). Пусть мера /и — непрерывная мера. Для того чтобы система элементов | пространства с h W) А.

Uw> г— - О } была системой представления в этом про—fc-хя странстве, необходимо и достаточно, чтобы для произвольных.

-f (^)? Eip, натурального числа А/ и положитель ного числа ?>0 существовала линейная комбинация.

W.

Л M* 1ч), кЛ/Н, а удовлетворяющая условиям:.

Vf.

III — X L.

Ivp.

K=/V+< T.

Vu.

II Z 4* L $ с* |Ц I /Al ^ к ^ w} T где C^ - постоянная, зависящая только от vp..

Так как в случае vf (t) = |i|p } о < р< ± } условие UW —— - Q выполнено, то для пространств.

-Ь-Ъ 60 ^.

Lp> о'< р< 4- «имеем.

Следствие 3.2.1. Пусть ~Т*= •[ (tf, j ,.

— ЪО 40 < & 4 Ч- 00 ^ k.? т Пусть уц — непрерывная мера. Для того чтобы система элементов j (ij) ^ пространства Lyu (T), О < р < 4., была системой представления в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы для произвольных ^ L) u (Т) } 0< р < i > натурального числа /V и положительного числа? >О существовала линейная комбинация.

W.

С кfv< > Л/ удовлетворяющая условиям:.

Ili-Z к=//+{ г.

И/.

112. L 4 Ср)| j L У-fi^Vt ^.

K=//-M г ' где Сp — постоянная, зависящая только от р ..

В параграфе 3.3. устанавливается при каких условиях система представления в одном пространстве является системой представления в других пространствах..

Получены.

ТЕОРЕМА 3.3.2. Пусть Т= |(0,i)h]. Пусть |Ц — непрерывная мера. Пусть у у vy? ^ ,.

М* Н) < Ч7 (-t) • Для всех i >, i0 > О, где р. Ф К) to — некоторое число, И uw —т— ~ 0 • Если.

1 «» система представления в Ef, то j ^(у) является системой представления в Eif..

Для пространств 1*р следствием является Следствие 3.3.1. Пусть — непрерывная мера..

Если. j система представления в пространстве l?/w (М*, 0< %< W, * k А/ >™ j *f< является также системой представления в пространствах Lju ^ (0,l) | ?0<чр<1 7 р ^ fy, k t.

В параграфе 3.4. рассматривается более общая система, чем система Хаара, в пространствах Ец) без линейных непрерывных ненулевых функционалов. Получены.

ТЕОРЕМА 3.4.2. Пусть Uw ^^ = О, Т = [О, l), boo ^ yUU) ~ ^ «Для V выполнено условие (0.2)..

Тогда для того чтобы подсистема j | системы.

3.4.3) — (3.4.4) была системой представления в Е^ необходимо и достаточно, чтобы zx —.

Vt>0, V//€ N Л Л/ такое, что.

Va.

We5 11: Z Ke J >d-?. e=/V I. л oO.

ТЕОРЕМА 3.4.4. Для того чтобы подсистема ] Ц/ I 1 системы (3.4.3) — (3.4.4) была системой представления в пространстве 5(0,1) в смысле сходимости по мере, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:.

Vt >0 V л/£ // 3 W > а/ такое, что.

VY ws Z. Фо } > i-г ..

1 Lл/ L J.

В параграфе 3.5. рассматриваются системы представления в пространстве 5(0,i) в смысле сходимости по мере..

Получены.

ТЕОРЕМА 3.5.1. Пусть УН) € U (o, L) и ^ || ^ = ^ ф О, f К) = 0 (t 4 (0-l)j. Тогда система является системой представления в i), пространстве почти всюду конечных измеримых на (0,1) функций, в смысле сходимости по мере..

ТЕОРЕМА 3.5.2. Предположим, что система Уи ^Vie/У ^ (0,1 удовлетворяет условию.

2.1.3) и множество (0,1) покрывается в смысле Витали семейством -1 Qv, • Тогда для.

1 JK=1 сО произвольного Л/? Ж/ система I Уи ] является.

I и J системой представления в о (ОД) ..

1. Лузин Н. Н. Интеграл и тригонометрический ряд. ГИТТЛ, Москва-Ленинград. 1951..

2. Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. -М.: Наука, 1985..

3. Меньшов Д. Е. Зцг la re present a Uovt dtSfoKC-tCovxS vvesura^{es par series trC^owovvtirc^ue // Мат. сб. 1941. № 9. C.667−692..

4. Меньшов Д. Е. О сходимости по мере тригонометрических рядов// Тр. матем. инст. им. В. А. Стеклова. 1950. Т. 32. С.1−98..

5. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977..

6. Ульянов П. Л. Представление функций рядами и классы // УМН. 1972. Т. 27. В.2 (164). С.3−52..

7. Ульянов П. Л. Представление функций класса рядами // Труды МИАН СССР. 1971. Т. 112. С.372−384..

8. Ульянов П. Л. Замечание о сходимости в среднем // Матем.заметки. 1977. Т. 21. № б. С.807−816..

9. Ульянов П. Л. 0 некоторых аппроксимативных и топологических свойствах пространства функций НЧ k) // ДАН СССР. 1972. Т.203. № 3. С.534−536..

10. Ульянов П. Л. О некоторых свойствах рядов по системе Шауде-ра // Матем. заметки. 1970. Т. 7. № 4. С.431−442..

11. Ульянов П. Л. О некоторых свойствах пространства функций if (Lj // ДАН СССР. 1974. Т. 216. № 2. C.278−28I..

12. Ульянов П. Л. О метризуемости одного топологического пространства // ДАН СССР. 1977. Т. 234. № 4. С.768−771..

13. Ульянов П.JI. О различных видах сходимости в классах м) // Труды МИ АН СССР. 1975. Т. 134. С.327−352..

14. Ульянов П. Л. О счетной базе и сопряженном классе одного топологического пространства // матем. сб. 1976. Т. 100. № I. С.14−36..

15. Талалян А. А. Представление измеримых функций рдцами по функциям системы Шаудера // Изв. АН Арм. ССР, сер. матем.1959. Т. 12. № 3. С.3−14..

16. Талалян А. А. О сходимости и суммируемости почти всюду общих ортогональных рццов // Изв. АН Арм. ССР, сер. матем.1960. Т. 13. № 2. C.3I-60..

17. Талалян А. А. Представление функций классов Lp0, l., 0< р < 1, ортогональными рядами // Лс±с vvaH. Acad. Set. Wv^. 1970. Т. 21. «» 1−2. P. 1−9..

18. Талалян А. А. О системах, рдды по которым представляют любые измеримые функции // Матем. сб. 1968. Т. 76 (118).С. 39−51..

19. Талалян А. А. О существовании нуль-рдцов по некоторым системам функций // Матем. заметки. 1969. Т. 5. В. I. С.3−12..

20. Талалян А. А. О системах функций, ряды по которым представляют в метрике LptO, i. функции пространства L^lo.i], i 4 р ^ О/ // Изв. АН СССР. 1968. Т. 3. №№ 4−5. С. 327.357..

21. Талалян А. А. Об аппроксимационных свойствах некоторых неполных систем // Матем. сб. 1981. Т. 115 (157). В. 4.С. 499−541..

22. Кашин B.C. О некоторых свойствах пространства тригонометрических полиномов с равномерной нормой // 1980. Труды МИ АН. Т. 145. C. III-II6..

23. Кашин Б. С. О некоторых свойствах функциональных и ортогональных рядов (кавд. диссерт.). М.: МИ АН. 1976..

24. Кашин Б. С. О коэффициентах разложения одного класса функций по полным системам // Сибир. Мат. Журн. 1977. Т. 18. № I. C. I22-I3I..

25. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука. 1984..

26. Конягин С. В. О пределах неопределенности тригонометрических рядов // Матем. заметки. 1988. Т. 44. № 6. С.770−784..

27. Иванов В. И. Представление измеримых функций кратными тригонометрическими рядами // ДАН СССР. 1981. Т. 259. № 2.С. 279−282..

28. Иванов В. И. Представление функций рядами в метрических симметричных пространствах без линейных функционалов // ДАН СССР. 1986. Т. 289. № 3. С.532−535..

29. Иванов В. И. Представление функций рддами в метрических симметричных пространствах без линейных функционалов // Труды МИ АН. 1989. Т. 189. С.34−77..

30. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976..

31. Леонтьев А. Ф. Последовательность полиномов из экспонент.-М.: Наука. 1980..

32. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР, сер. матем. 1978. Т. 42. С.325−355..

33. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // УМН. 1981. Т. 36. В. I (27). С.73−126..

34. Освальд П. Ряды Фурье и сопряженная функция в (L) // AmtySH JUaiU. 1982. № 8. P. 287−303..

35. Oswafd P. тНег die Kon^ergewi von. Haar-RecKen Ы // Preprint Til SrestUn. OV^S.ma..

36. OsVaCd P. ULr комсгуенг iron orUogowafcrdikenж if (L-) Ц Wbss. 2tlUскг. ТЦ Dresden. Ш1. л/30, p. ньнз..

37. Oswald P. On sovwe covw/ergence propertieso-f HaarFourier series in tke c2a SS? S 4>(l) //Acta ШЗ. T.. л/л/З-Ч.Р. Ш-293.38. i?>ctu?ecUes I. Теи &.ctures on u/av/e?etsSIATU. PkiMefcptua. mi..

38. PapoufisA. Sijuag ana sis. JUtGRAW-HILL BOOK С0МРАЮ. Singapore. </926..

39. С U ul C.K. Wave Ills: A Malh e py" a iica г Тооб |or Sdjnafc ProtdSsUj. eiAM. Phihddphti-Mel.

40. V/ivwdic Iw*ajje Random Fieldsavd S^namic JUonte Carto AlethocU. Springer-Vfcrfoj.bereivu HcldeWerj ..

41. G-renander M. Lectures on pattern tkeonj (3vo0s).SprCh^er. Шск HeideM*^ A/ew.

42. Schur^ann M6a$ar- ?ro^(?u C., Ba$ar 6. frawNvna responses си tke? E tltv^ih tqrj signals wtiK vnuHcpte |ukcttoK.a? correlates ЦЛ/euro Report. <99?. //J. P. ШЗ-ИЗб..

43. ScUurmaun At. > 6a$ar-?rocj?u C., Ba$ctr ?. Evoked EEG a^pka ostii&xliokb in ike cat IraLvi a corre^aie o{ primary sensory processing ?// Л/euro science Letters. 2. V. W ..

44. XlUaskar H. Л/., cmd Preston 1 0 к choice. o|Sav^p^hj nofor opUma? appro-XLtoattoit, of si^oolk functions genera ЕСгг<{ irahsEatcon, networks//Ш?. Arte{dccaC A/tural A/ctworKs, Conference. Pu^fccaitow. л/ЧЧО, IEE. PHO-US,.

45. B>o or С. } jD^Vorc R.A., qyc (Ron A. JippoxLVAQt? OH, ¦froул aU-fttwa rCant Smispaces of Lx Ц TranS. o{ tKe aуюе r. watK. soctebj. H. V. 3Hi .Л/. P. ?" — 306..

46. CKul С. K. Ah^troduticovi to wave his. Acaclev^tc Pr^ss. Boston. 4 99 A..

47. Mattai S. Mxti. Lre?>otu±Lo^ anaa*o (Trans, УИа-fck Soc. <{<$ 2 3.)/. US'.P. 69−22..

48. ЛАемег У. Wavtitis a? aorc-tWs owol app&ccvtCons.SI АЛА. PKifcadlelplua: ^993..

49. FcEcppov v. i.^a oswaU p. Rep.

50. Lp series o| -translates and diBaie. s o| 0ve, function // 3. apprtKeorn,. Ш5″. V. П. л/1P. (F-aff..

51. Филиппов В. И. Некоторые вопросы теории функций // 3 Суслин-ская конференция. Саратов. Тез.докл. 1994. С.8−9..

52. Филиппов В. И. Функциональные системы, получающиеся сдвигами и сжатиями одной функции // Тез. докладов Воронежской конференции по современным вопросам теории функций и применениям математики и механики. Воронеж. 1995. С.214−215..

53. Филиппов В. И. Некоторые вопросы классификации всех функциональных систем & L р // Труды конференции по теории• функций и приближений. Махачкала. 1994. С.103−106..

54. Филиппов В. И. 0v re prt ьсьtatCOh SjjS*te^dn // Тезисы докладов 8-й Саратовской зимней школы по современным проблемам теории функций и их приложениям. Саратов. 1996. С. 116..

55. Филиппов В. И. Oh represewtaicovu Lp, o.

56. Rflppov v. I. Oh sovne. C0Vnp? eic Sy^iewi-к 1ъ Ц Abstracts of Conference, 0V Spextrat w v^e, dicai Stjhat processonj. GrSF, Л/euWr4erj. C-er^nj. Ш8. P. 30..

57. Fiecppov /. I. Ok tKe c. owi ptaichtss and olherproperties of so^efuwctlovt S^iei^s in Lp, 0.

58. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // Изв. РАН, серия математическая. 1994. Т. 58. № 3. C.88-I02..

59. Лукашенко Т. П. Система разложения на пространствах с мерой // Изв. РАН, серия математическая. 1996. Т. 60. № I.С.165−174..

60. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // ДАН. 1993. Т. 332. № I. С. 15−17..

61. AW wow А. — Qhd (HtvsKll A. Cowp6e.-tevve.?S о{ LHte^ertrahs?qie? tv •fuwc-tcow spaces ov R IIW nal ^ oppr.. < 936. V. S?. P. 2,9b 327..

62. СЛцС C.K., avc) 5k X. Se. and-fravnts II Apptiii a^d co^puxqtConaE U-vnohtc awafysts. 133Ь. V. I. P..

63. СVvuL С. К., ачс (SlitX. Iht^ua ?cfctes o.

64. Kit gore Т., Pres-tivi T, Sett’a K. OrtUoQorat a^e^raic poC^woiwiaC Schauder lasts o{opiiv*al decree /Iх. Fourier Аьа1. Лрр£.4396.V. 2>U). P. £в}~ 640..

65. РЬика &. Generated Splint Wavelets//Cohstr У? рргох. -(9.96. V. <2. P..

66. Pres-tin T, and Quak E. Tri^ovvovne-tric interpolation, awd wavthi decomposition// /Vuvw. rf&j. 4995″. V! p. из-за..

67. Prestlw avid Wig K. OntKe бгаж i^a-?rcof traws^ates de 6a Vallfo Poussin Kernels// Rostock. /Hath. Kotlo^. ms", V. 43. P. 405″ - НЧ.76. ?kVW R. A., avd Loreni^ G. G. Constructive approximation. Spriv^erVer?a^. BerEcvt ИеСсW&-rg..

68. Lasser R. Iwtroduc/Uonto Fourier series. Marcef! Йеккег, 1ьс. A/ew Уогк. 1396..

69. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967.79. (Hcci V tlW Rciuvne. UM // Ви К, A cad. Po^ow./sercc A. С га со v Се. /932..

70. Oritc-г V/. Шег eive gewisse, K^asse von Rauweh voh T^pus В / 6u??. Acad. Pofon., serie A. Cracovie. f932. P. Ш-220..

71. MubLttaK 3. 0r^ic2. spaces a*d moWqr spaces. Spriv^cr-Ver?aj. Berfow. HeideWer^. 435b. V.4054..

72. Ro? ewic2. S. «/Uetrcc spaced. Waszawa. i<3U..

73. Красносельский М. А.,^{утицкий} Я. В. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз. 1958..

74. Магиг S., avdi Огйаг V. Ои, so mi cEa&ses o{ iiwarwitiric spaces / Studca ЛЫК. 1353. V..

75. JUaius^ewsKa У., av4 OrEccz. V. A vvote ovt tW «tVieor^ o| s-viorvvied spaces» o{ Mt «/икс-bcohs //S-Mia AUtk. 1961. Л/U P. fO?-.

76. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977..

77. Олевский A.M. Об устойчивости оператора ортогонализации Шмидта // Изв. АН СССР, сер. матем. 1970. Т. 34. С.803−826..

78. Крейн М., Мильман Д., Рутман М. Об одном свойстве базиса в пространстве Банаха // Записки матем. т-ва. Харьков. 1940. Т. 16. № 4. С.106−108..

79. Качмаж С. и Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз. 1958..

80. Кротов В. Г. О рядах по системе Фабера-Шаудера и по базисам пространства С С 0,1. // Матем. заметки. 1973. Т. 34. № 2. С. 185−195..

81. Кротов В. Г. Об универсальных рядах Фурье по системе Фабера-Шаудера // Вестник МГУ, сер. матем. 1975. № 4. С.53−57..

82. Данфорд H., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИИЛ. 1962..

83. Кашин Б. С., Темляков В. Н. О наилучших vn членных приближениях и энергии множеств в пространстве L // Матем. заметки. 1995. Т. 56. № 5. С.57−86..

84. Слепченко А. Н. О некоторых обобщениях базисов банаховых пространств // Матем. сб. 1983. Т. 121. № 2. С.272−285..

85. Филиппов В. И. Критерий существования линейных непрерывных ненулевых функционалов и неединственность представления в пространствах Ец> // Труды 3-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. Саратов. 1986.Ч. 3. С.74−76..

86. Филиппов В. И. О подсистемах системы Хаара в пространствах Ei? с. tcw = 0 //Матем. заметки. 1992. Т. 51. t-«oo tВ. 6. С. 97−106..

87. Филиппов В. И. 0 подсистемах системы Фабера-Шаудера в функциональных пространствах // Изв. ВУЗов. Математика. 1991. № 2. С.78−85..

88. Филиппов В. И. Свойство систем представления в пространствах в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов // Тезисы докладов всесоюзной школы-конференции о современных проблемах теории функций. Баку. 1989. С. 104 105..

89. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж.Е. и Полна Г. Неравенства. М.: ГИИЛ. 1948..

90. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 5 изд. 1981..

91. Габег UUr clce Ortkojoha?|uhkiconen dt%{aar//Wes (сг. MaiV. Vtr. <9¹⁰. V49. SMOWU..

92. ScWuder X 2ur Theoriesieiicjer ./ШсЫии^еи in Fuvikiiowalrauvntw //Maih. {ПЬл/ZG. S. 6b" .

93. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука. 1978..

94. Толстое Г. П. Мера и интеграл. М.: Наука. 1976.119. £)е ВоогС. A practical guide *to Splines. SpringerVer^aj. Л/ew %гк. fg? S..

95. Price S.1., cuol «Eihk R. Ои se is ^j? сo^plzkheesfor |awu?ces К a ar (unctions //Trans. MaiU. Sec. /965». V.^g. л/й. P. Ш-Ш..

96. Филиппов В. И. О сильных возмущениях системы Хаара в пространстве Li //Матем. заметки. бб.- 6. Ч~ C. S36−602..

97. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир. 1969..

98. Теляковский С. А. Условия интегрируемости тригонометрических рядов и их приложения к изучению линейных методов суммирования рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28. С.1209−1236.т.

99. Теляковский С. А. Об одном достаточном условии Сидона интегрируемости тригонометрических рядов// Матем. заметки. 1973. Т. 14. С. 317−328..

100. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М. Наука. 1987..

101. Бережной Е. И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных пространствах// Тр. МИРАН. 1993. Т. 204. С. 3−34..

102. Филиппов В. И. Системы функций, получающиеся сжатиями и сдвигами одной функции, в пространствах Ev с lim*-+co ^ = 0 // Изв. РАН, сер. матем.2001. Т. 65. N 2. С. 187−200..

103. Filippov V.I. P.L. Ul’yanov’s problem on representation by series on arbitrary function systems in the classes.

104. Черных Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2// Матем. заметки. 1967. Т. 2. N 5. С. 513−522..

105. Арестов В. В. О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемыхmфункций одной переменной// Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 3−28..

106. Бердышев В. И., Нетрак Л. В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения. Екатеринбург. УрО РАН. 1999..

107. Субботин Ю. Н., Черных Н. И. Всплески в пространствах гармонических функций// Изв. РАН, сер. матем. 2000. Т. 64. N 1. С. 14−5-174..

108. Бочкарев С. В. Построение интерполяционного диадического базиса в пространстве непрерывных функций на основе ядер Фейера// Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 172. С. 29−59..

109. Strelkov N.A. Z^-spline-trigonometrical bases// Тезисы докладов международной конференции «Теория приближений и гармонический анализ». Тула. 26−29 мая 1998. С. 294−295..

110. Strelkov N.A. Wavelets arid widths// Тезисы докладов международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» посвященной 90-летию академика С. М. Никольского. Москва. 27 апреля 3 мая 1995. С. 364−365..

111. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основные конструкции всплесков// Фунд. и прикладная математика. 1997. Т. 3. В. 4. С. 999−1028..

112. Бадков В. М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам// УМН. 1978. Т. 33. В. 4. (202). С. 51−106..

113. Седлецкий A.M. Аппроксимативные свойства систем экспонент в 6)// Диф. уравнения. 1995. Т. 31. N 10. С. 1675−1681..

114. Родин В. А. Тензорное ВМО-свойство последовательности частных сумм кратного ряда Фурье// Мат. сб. 1993. Т. 184. N 10. С. 91−106..

115. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных иинтегральных операторов// Мат. сб. 1981. Т. 114(156). N 3. С.378−405. *.

116. Antonov N.Yu. Convergence of Fourier series// East Journal of Approximations. 1996. V.Z. Л/2. P, Шm.

117. Бесов O.B., Ильин В. П. и Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М. «Наука». 1975..

118. Филиппов В. И. Линейные непрерывные функционалы и представление функций рядами в пространствах Е9Ц Annalysis Mathematica. 2001. Т. 27.С. 2.53— 260..