Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана

Диссертационная работа посвящена нахождению точных значений различных поперечников компактных классов аналитических в единичном круге функций в пространстве Бергмана. Общеизвестно, что в экстремальных задачах теории приближения функций большую роль играют точные неравенства, позволяющие установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций. Поэтому в последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функции посредством модуля непрерывности высших порядков в различных пространствах аналитических функций. Отметим, что наиболее подробно вопросы приближения аналитических функций и вычисления поперечников классов функций изучены в пространствах Харди. В этом направлении укажем на основополагающие работы К. И. Бабенко [3], В. М. Тихомирова [30], Л. В. Тайкова [29], Ж. Т. Шейка [44], В. И. Белого [4], М. З. Двейрина [13], Н. Айнуллоева и Л. В. Тайкова [2], С. Б. Вакарчука [7], М. Ш. Шабозова [34], М. Ш. Шабозова и Х. Х. Пирова [38,39], М. Ш. Шабозова и Г. А. Юсупова [42], М. Ш. Шабозова и О. Ш. Шабозова [40,41].

В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения классов аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного и проекционного поперечников некоторых классов функций, определяемые модулями непрерывности высших порядков. Первые работы, в которых затронуты вопросы нахождения точных значений поперечников в пространстве Бергмана, являются недавно опубликованные работы С. Б. Вакарчука [8−11].

Основной целью данной работы является:

1. Указать новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усредненными модулями непрерывности высших порядков производных в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо.

2. Нахождение точных значений наилучших приближений конкретных классов аналитических в круге функций в пространстве Бергмана.

3. Вычисление точных значений бернштейновских, колмогоровских, линейных и проекционных поперечников некоторых компактных классов аналитических в круге функций.

Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть реализованы в задачах определения е-емкости и е— энтропии компактных классов аналитических в круге функций.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог, 2000;2005 гг.), на семинарах по вопросом теории функций в Таджикском государственном национальном университете (Душанбе, 2001;2005 гг.), на международной конференции «Развитие горных регионов в XXI веке» (Хорог, Таджикистан, 26−29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, 26−28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции «Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений», посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А. Д. Джураева (Душанбе, 16-октября 2007 г.), на международной конференции «Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ «посвященной 80-летию академика АН РТ Л. Г. Михайлова (Душанбе, 29−30 мая 2008г).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21−24,36,37].

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 44 наименований и занимает 88 страниц машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

1. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2// Докл. АН Тадж. ССР.-1984, т.27, № 8, с.415−418.

2. Айнуллоев Н., Тайков Л. В. Наилучшие приближения в смысле А. Н. Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Мат. заметки, 1986, т.40, № 3, с.341−351.

3. Бабенко К. И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций-Известия АН СССР Сер.матем., 1958, т. 22,№ 5, с.631−640.

4. Белый В. И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном кругеУкр. матем. журнал, 1967, т.19, №, с.104−108.

5. Bergman S. The cernel function and conformal mapping// Math. survays, 5 N. Y.: Amer. Math. soc., 1950, 163 pp.

6. Bochner S. Uber ortogonal systeme analitischen functionen // Mathem. zeitschr., 1922, 14, p. 180−207.

7. Вакарчук С. Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Укр. матем. журнал, 1989, т.41, № 26, с.799−802.

8. Вакарчук С. Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций//Укр. матем. журнал, 1990, т.42, № 7, с.873−881.

9. Вакарчук С. Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций //Мат. заметки, 1995, т.57, № 1, с.30−39.

10. Вакарчук С. Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки, 1999, т. 65, №, с. 186−193.

11. Вакарчук С. Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения. // Мат. заметки, 2002, т. 72. № 5, с. 665−669.

12. Вакарчук С. Б., Щитов А. Н. Наилучшие полиномиальные приближения в ?2 и поперечники некоторых классов функций//Укр. матем.журн., 2004, т.56, № 11, с.1458−1467.

13. Двейрин М. З. Поперечники и е—энтропия классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып.23. Изд-во Харьк. ун-та, 1975, с.32−46.

14. Двейрин М. З., Чебаненко И. В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев. Науково думка, 1983, с.62−73.

15. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М: Наука, 1977, с. 151.

16. Duren P.L., Shields A.L. Properties of Hp 0 < р < 1 and its containing Banach spase// Frans. Amer. Math., 1969, 141, July, p.255−262.

17. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals of Hp spaces with 0 < p < 1 //I. reine und angew fur Math., 1969, 238, p. 32−60.

18. Carleman F. Uber die Approximation Functionen durch lineare Aggregate von vorgegebenen Potenzen // Ark. von Math., Astr. Fysik, 1922;1923, 17.

19. Корнейчук H.П. Точные константы в теории приближения. М. «Наука», 1987, 424с.

20. Корнейчук Н. П. О наилучшем равномерном приближении дифференцируемых функций. // Докл. АН СССР, 1961, т. 141, с. 304−307.

21. Лангаршоев М. Р. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана В2 // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, № 2, с.63−69.

22. Лангаршоев М. Р. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана//Докл. АН. Респ. Тадж., т. 48, № 3−4, 2005, с.12−17.

23. Лангаршоев М. Р. О наилучшем приближении функций полиномами в пространстве Бергмана//Докл. АН. Респ. Тадж., т. 49, № 9, 2006, с.798−802.

24. Лангаршоев М. Р., Саидусайнов М. С. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана.//ДАН. Респ.Тадж., том 50,№ 8,2008,стр.653−659.

25. Лигун A.A. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Ь2 //Мат. заметки, 1978, т.24, № 6, с.785−792.

26. Pinkus A. nwidth in approximation theory Berlin: Springer — Verlag., 1985.

27. Тайков JI.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77−85.

28. Тайков Л. В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций //Мат. заметки, 1967, т.1, № 2, с.155−162.

29. Тайков Л. В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки, 1977, т. 22, Ш, с. 285−295.

30. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений //Усп. матем. наук, 1960, т.15, вып.З.

31. Тихомиров В. М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фундам. направления / ВИНТИ. -1987, т. 11, с.103−260.

32. Hardy G.H., Littlewood I.E. Some properties of fractional integrals II // Math. Z., 1931, 34, № 3, p. 403−439.

33. Черных Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 //Мат.заметки, 1967, т.2, № 5, с.513−522.

34. Шабозов М. Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Респ. Таджикистан, 1998, т.41, № 9, с.48−53.

35. Шабозов М. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // ДАН России, 2002, т. 383, № 2, с 171−174.

36. Shabozov M.Sh., Abdul Hasan Siddiqi, Langarshoev M.R. Diameters of some classes of analytical functions in Bergman’s space// Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, № 4, с.67−75.

37. Шабозов М. Ш., Лангаршоев М. Р. Приближение некоторых классов аналитических функций в пространстве Вр // Вестник ХоГУ, 1999, серия 1, № 1, с.45−50.

38. Шабозов М. Ш., Пиров Х. Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Респ. Таджикистан, 1999, т.42, № 4, с. 19−24.

39. Шабозов М. Ш., Пиров Х. Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Щ, 1 < р < 2 // ДАН России, 2004, т. 394, № 4 с. 19−24.

40. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций // ДАН Респ. Таджикистан, 1997, т.40, № 9−10, с.54−61.

41. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // Мат. заметки, 2000, т.68, № 5, с.796−800.

42. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН Росии, 2002, т.382, № 6, с.747−749.

43. Шабозов О. Ш., Абдулофизов Ш. Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана // Вестник ХоГУ, 1999, серия 1, т, с.51−54.

44. Scheick J.Т. Polinomial approximation of functions analytic in a disk, Proc. Amer. Math, soc., 1966, 17, № 6, 1238−1243.

45. Юссеф X. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в .¿-^//Применение функционального анализа в теории приближении: Сб. научн. тр.-Калинин, 1998, с.100−114.