Фредгольмовы уравнения с круговой симметрией и резонансные бифуркации циклов

Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования периодических решений дифференциальных уравнений и изучением их свойств. Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, А. А. Андронова и Э. Хопфа и др.

Несмотря на значительные достижения в развитии теории бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений, многие ее задачи остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения системы вблизи вырожденной точки покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических решений, бифурцирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации многомодового вырождения. Системы с такими особенностями появляются в радиофизике (при исследовании автоколебаний в RC-генераторах), в реальных моделях экономики, популяци-онной динамики, химической кинетики и других разделах современного естествознания.

Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих решений выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В. И. Арнольд, А. Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (Н.Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б. И. Мосеенков, Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов, М. Н. Киоса, С. В. Миронов, В. Г. Задорожний и др.). Большинство созданных на этой идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях систем стандартного вида. Задача же приведения произвольного уравнения к стандартному виду, вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов ее решения. И даже для уравнений стандартного вида трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию бифурцирующих циклов.

Алгоритмы, основанные на применении теоремы Плисса — Кэли о центральном подмногообразии с последующими нормализациями и огрублениями уравнения, суженного на центральное подмногообразие, также не являются универсальными, так как основаны на некоторых упрощающих предположениях.

Таким образом, при наличии большого числа работ по изучению зарождения периодических волн, вихревых структр и циклов динамических систем вблизи сложного фокуса (см., например, [4], [30], [38], [20] и литературу в этих источниках) поиск алгоритмов, эффективных в построении и анализе ветвящихся периодических решений дифференциальных уравнений, остается по-прежнему актуальной задачей.

В данной диссертации изложена процедура приближенного вычисления и анализа ветвления периодических решений ДУ, развивающая и дополняющая вычислительные схемы, опубликованные в [33], [9]. Методологическую основу предлагаемой вычислительной процедуры составляют теория гладких 50(2)—эквивариатных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах.

При рассмотрении дифференциальных уравнений с большим числом параметров зачастую точные или приближенные формулы решений не дают полного представления о происходящих бифуркациях. Картина предстает намного более полной и ясной, когда результат анализа решений дополнен анализом дискриминантного множества (совокупности значений параметров, при которых существуют вырожденные решения и при переходе через которые изменяется состав решений). Дискриминант-ное множество делит пространство управляющих параметров на ячейки, каждой из которых соотвествует состав решений, неизменный по количеству и качеству (при вариациях параметров вдоль ячеек). Изложенная в диссертации процедура позволяет решать в том числе и задачу дискри-" минантного анализа параметрических семейств периодических решений.

В работе использована трактовка дифференциальных уравнений в виде операторного уравнения лО) = ь, weE, be F, (l) в котором fx — гладкое фредгольмово отображение (с параметром) банахова пространства Е в банахово пространство F. Решение такой задачи осуществляется переходом (редукцией) к конечномерному уравнению.

Ш = А? е М, р е N, (2) в котором 0д (£) = (/л ( (?)) — М и N — области в Мп, (р и 4> — гладкие вложения М и N в Е и F соответственно. Идея исследования нелинейных систем посредством сведения к конечномерному алгебраическому уравнению применялась многими специалистами по анализу нелинейных краевых задач (см. работы М. А. Красносельского, П. П. Забрейко, М. М. Вайнберга, В. А. Треногина, Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, J.E. Marsden и др., координаты которых имеются, например, в обзоре [17]). Эта же идея использована в настоящей диссертации.

Проблематика диссертации сгруппирована вокруг уравнений с круговой симметрией. Уравнения с круговой, бикруговой и поликруговой симметриями изучались в работах Б. В. Логинова, В. Г. Звягина, В. Крав-цевича, Ю. И. Сапронова, В. А. Смольянова, А. В. Гнездилова, Е.В. Ла-дыкиной и др.

Разнообразным вопросам анализа дифференциальных уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (см. монографии и статьи JI.B. Овсянникова, Н. Х. Ибрагимова, П. Олвера, A.M. Виноградова (с соавторами), В. Ф. Зайцева, А. Т. Фоменко, В. А. Треногина, Б. В. Логинова и др. [15], [18], [27], [28], [37]). Ряд аспектов теории вариационных и общих операторных уравнений с групповой симметрией развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т. Фоменко, В. В. Шарко и др.) и теории ветвления решений нелинейных эквивариантных уравнений (J.E. Marsden, Н. А. Бобылев, Б. В. Логинов, В. А. Треногин, З. И. Баланов и др.).

Цель работы и основные задачи. Основные научные результаты данной диссертации допускают абстрактную формулировку в терминах фредгольмова уравнения со слабой круговой симметрией, рассмотренного вблизи (порождающей) особой точки с четырехмерным вырождением. Центральная конструктивная идея диссертации — сведение (редукция) задачи об изучении решений уравнения (1) (в условиях круговой симметрии) к аналогичной задаче для конечномерного алгебраического уравнения (ключевого уравнения) (2) с его последующим качественно-численным анализом. Цель работы — реализация этой идеи в задаче резонансного циклогенеза.

К главным составляющим основной задачи отнесены: 1) описание алгебраической структуры главной части ключевого уравнения, 2) описание геометрической структуры дискриминантного множества? уравнения (1), 3) описание раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 4) приближенное построение амплитуд ветвей бифурцирующих периодических решений.

В диссертации предложено решение основной задачи для класса динамических систем, включающего в себя автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамиеского типа, уравнения колебаний упругой балки на упругом основании и др.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных уравнений, современного анализа гладких отображений и теории инвариантов. Методологическая основа — схема Ляпунова-Шмидта, рассмотренная в рамках общей теории гладких SO (2) — эквивариантных фредгольмовых уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах).

Материал диссертации развивает и дополняет более ранние результаты исследований Б. М. Даринского, Ю. И. Сапронова, В. А. Смольяпова и Е. В. Ладыкиной [33], [9], [12].

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Дано описание алгебраических структур главных частей ключевых отображений для класса динамических систем, включающего в себя уравнения колебаний упругой балки, автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений и системы гидродинамиеского типа.

2. Разработаны и обоснованы алгоритмы приближенного вычисления амплитуд периодических решений, бифурцирующих из точек покоя при наличии резонансов.

3. Разработан и апробирован алгоритм приближенного вычисления параметризаций трехмерных сечений дискриминантных множеств (для задачи о периодических решениях ДУ).

4. Проведено вычисление асимптотик амплитуд резонансно бифурцирующих циклов автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамического типа и уравнения колебаний упругой балки на упругом основании.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в бифуркационном анализе циклов динамических систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2006 г.), на конференции «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения» (С-Петербург, 2007, 2008 гг.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ, на семинаре по глобальному и стохастическому анализу (ВГУ, рук. — проф. Ю.Е. Гликлих) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В статьях, написанных с соавторами ([52], [53], [57], [58], [59]), соавторам принадлежат лишь постановки отдельных задач и разбор отдельных примеров. Статья [59] входит в «перечень ВАК» .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 61 наименований. Общий объем диссертации — 106 стр.

1. Арнольд В. И. Особенности дифференцируемых отображений/ В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С.М.Гусейн-Заде — М.: МЦНМО. 2004. -672 с.

2. Арнольд В. И. Топологические методы в гидродинамике/ В. И. Арнольд, Б. А. Хесин М.: МЦНМО. 2007. — 392 с.

3. Бардин Б. С. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании / Б. С. Бардин, С. Д. Фурта // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. — 1998. — С. 13−22.

4. Бибиков Ю. Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации / Ю. Н. Бибиков Ленинград: изд. ЛГУ. 1991. 144 с.

5. Бобылев Н. А. Геометрические методы в вариационных задачах / Н. А. Бобылев, С. В. Емельянов, С. К. Коровин М.: Магистр, 1998. — 658 с.

6. Борисович Ю. Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю. Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю. И. Сапронов // Успехи матем. наук. Т.32, вып.4. 1977. С.3−54.

7. Глушко А. В. Асимптотическаие методы в задачах гидродинамики/ А. В. Глушко Воронеж: ВорГУ, 2003. — 300 с.

8. Голубицкий М. Устойчивые отображения и их особенности/ М. Голу-бицкий, В. Гийемин М.: Мир, 1'978. — 290 с.

9. Даринский Б. М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов // Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57−64.

10. Даринский Б. М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны / Б. М. Даринский, Е. В. Ладыкина, Ю. И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 52−67.

11. Даринский Б. М. Дискриминантные множества и расклады бифур-цирующих решений фредгольмовых уравнений / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов // Современная математика и ее приложения. Тбилиси. 2003. Т.7. — С.72−86.

12. Даринский Б. М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов, С. Л. Царев С.Л.// Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12 (2004). С.3−140.

13. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория / П. Жермен М.: Высш. шк. 1983. — 399 с.

14. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Зайцев Л.: ЛГПИ, 1989. — 80 с.

15. Зайцев В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Точные решения / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин М.: Физ-матлит, 1995. — 560 с.

16. Зачепа В. Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В. Р. Зачепа, Ю. И. Сапронов Воронеж: ВГУ, 2002. — 185 с.

17. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов М.: Наука, 1983. 280 с.

18. Изюмов Ю. А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю. А. Изюмов, В. И. Сыромятников Москва, Наука. 1984. — 247 с.

19. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Йосс, Д. Джозеф М.: Мир. 1983. — 302 с.

20. Коллатц Л. Задачи на собственные значения / Л. Коллатц М.: Наука. 1998. 504 с.

21. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко М.: Наука, 1969. — 456 с.

22. Красносельский М. А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М. А. Красносельский, Н. А. Бобылев, Э. М. Мухамадиев // ДАН СССР. 1978. — Т. 240, N 3. — С. 530−533.

23. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко М.: Наука, 1975. — 512 с.

24. Матвеев С. В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем / С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко, В. В. Шарко // Математический сборник. 1988. Т. 135, N 3. С. 325−345.

25. Обухов A.M. Турбулентность и динамика атмосферы / А.М.ОбуховJL: Гидрометеоиздат. 1988. 414 с.

26. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников М.: Наука, 1978.

27. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер М.: Мир, 1989. 639 с.

28. Постон Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И.СтюартМ., Мир. 1980. 608 с.

29. Рабинович М. И.

Введение

в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков М.: Наука. 1984. 432 с.

30. Сапронов Ю. И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю. И. Сапронов // Матем. сборник. 1989. Т.180, N 10. — С. 1299−1310.

31. Сапронов Ю. И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю. И. Сапронов // Успехи матем. наук. Т. 51, вып. 1. 1996. С. 101−132.

32. Сапронов Ю. И. Обобщенная редукция Каччиополи и бифуркация решений уравнений при разрушении непрерывных симметрий / Ю. И. Сапронов, В. А. Смольянов // Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: изд-во ВГУ, 2001. — С. 125−139.

33. Свиридюк Г. А. Линейные уравнения соболевского типа / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров Челяб. гос. ун-т. 2003. 179 с.

34. Стрыгин В. В. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами / В. В. Стрыгин, Г. Ю. Северин // Вестник ВГУ. Сер.: физика, математика. 2006, № 2.

35. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам М.: Мир. 1981. — 408 с.

36. Треногин В. А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В. А. Треногин, Н. А. Сидоров, Б. В. Логинов // ДАН СССР. 1989. Т.309, N 2 — С.286−289.

37. Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн М.: Мир. 1985. 280 с.

38. Царев С. Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией / С. Л. Царев // Современная математика и ее приложения. Тбилиси, 2003. Т.7. — С. 87−91.

39. Cacciopolli R. Un principio diinversioni per le corrispondenze funzionali e sue applicazioni able equazione a derivate parzidle / R. Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei. 1932. V.16. — P. 390−395, P. 484−489.

40. Cacciopolli R. Sulle corrispondenze funzionali inverse diramate: teoria generale e applicazioni ad alcune equazioni non-lineari e al problema di Plateau / R. Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei.- 1936. V.24. P. 258−263, P. 416−421.

41. Conley C.C. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conyecture of V.I.Arnol'd/C.C. Conley, E. Zehnder / C.C.Conley // Invent. Math. 1983. V.73. P.33−49.

42. Eilbeck J.C. Numerical studies of solitons / J.C.Eilbeck // Solitons and condensed matter physics. Berlin and New York: Springer.

43. Elworthy K.D. Differential structures and Fredholm maps on Banach manifolds / K.D.Elworthy, A.J.Tromba // Proc. Sympos. Pure. Math. -15, A.M.S. 1970. P.49−94.

44. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls// Ferroelectrics / Y.J.Ishibashi 1989. — V.98. — P.193−205.

45. М1тропольский Ю. О. Дослщження коливанъ в системах з розподь леними параметрами (асимптотичш методи) / Ю. О. Мггропольский, БЛ. Мосеенков Б.1. Видавництво Кшвського ушверситету. 1961. 123 п.

46. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Marsden // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. V.84, N 6.

47. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt procedure / J.E. Marsden // Lect. Notes in Math. 1979. V.755. — P.77−82.

48. Poenaru V. Singularites C°° en Presence de Symetrie / V. Poenaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. — P. 61−89.

49. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E. Schmidt // Math. Ann. 1908. V.65. -P. 370−399.

50. Zemlyanukhin A. Exact solutions of the fifth-order non-linear evolution eqyations/A. Zemlyanukhin // Regular and chaotic dynamics. 1999. V. 4. N 3. P.67−69.

51. Карпова А. П., Сапронов Ю. И. Методы теории фредгольмовых отображений в нелокальном анализе бифуркаций циклов / А. П. Карпова, Ю. И. Сапронов // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2006. Тез. докл. Воронеж: ВГУ, 2006. С.49−50.

52. Карпова А. П. Фредгольмово уравнение с круговой симметрией в окрестности резонансной особой точки / А. П. Карпова, Н. А. Копытин, Ю. И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 4. Воронеж: ВГУ, изд-во «Созвездие», 2007. С.69−90.

53. Карпова А. П. О резонансных бифуркациях решений фредгольмова уравнения с квадратичной нелинейностью / А. П. Карпова // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып. 2. Воронеж: ВГУ, 2007. С.43−58.

54. Карпова А. П. Бифуркации периодических решений четвертого порядка с резонансом 1:2 / А. П. Карпова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Гер-ценовские чтения 2008. — СПб., 2008. С.58−59.

55. Карпова А. П. Бифуркации решений в резонансной особой точке фредгольмова уравнения с круговой симметрией/ А.П.Карпова// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2007. — СПб., 2007. С.65−72.

56. Карпова А. П. Бифуркационный анализ фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и его приложения / А. П. Карпова, Е.В. Jla-дыкина, Ю. И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Т. 5, ч. 1. Воронеж: ВорГУ, 2008. С.45−90.

57. Карпова А. П. Резонансные бифуркации решений фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и нелинейная динамика/ А. П. Карпова, Ю.И. Сапронов// Вестник ВГУ. Том 1. Воронеж: ВГУ, 2008. С.184−194.

58. Карпова А. П. Приближенное вычисление амплитуд циклов, бифур-цирующих при наличии резонансов/ А. П. Карпова, Ю.И. Сапронов// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008, вып. 3. С.12−22.

59. Карпова А. П. Зарождение волновых движений несжимаемой вязкой жидкости на двумерном торе/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ Вор-ГУ № 28. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 10 с.

60. Карпова А. П. К вычислению амплитуд периодических волн в упругой балке на упругом основании/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ ВорГУ № 29. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 16 с.