Задачи Коши для некоторых вырождающихся квазилинейных уравнений гиперболического типа

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, а также для гиперболических и эллиптических вырождающихся уравнений возникла сравнительно недавно. Первые основополагающие работы Ф. Трикоми [I] и С. Геллерстедта [2−3] появились лишь в двадцатых годах, хотя предпосеылки к этой теории были заложены ещё в середине прошлого столетия в трактате по теории поверхностей Г. Дарбу [4], а затем в начале нашего века в работах С. А. Чаплыгина [б] и Н. Е. Жуковского [б].

Началом нового этапа в развитии уравнений смешанного типа явились работы Ф. И. Франкля [7], М. А. Лаврентьева [э], М. В. Келдыша [9], А. В. Бицадзе [ю], К. И. Бабенко [II], после которых исследования в данном направлении значительно расширились, а в настоящее время развиваются все более нарастающей интенсивностью. Это обстоятельство вызвано с одной стороны большой теоретической важностью проблемы уравнений смешанного типа, а также её практическим значением, ибо теоретические модели многих физических явлений выражаются краевыми задачами для таких уравнений, как линейных, так и нелинейных.

Особенно следует отметить роль нелинейных уравнений, так как большинство прикладных задач сводятся именно к ним.

Исследования по нелинейным уравнениям смешанного типа были начаты в конце сороковых годов. Обобщая результаты Ф. И. Франкля [12] и И. С. Березина [13], Р. Конти в работе [м] впервые изучил задачу Коши для нелинейных гиперболических уравнений с параболическим вырождением на носителе начальных данных. Впоследствии в многочисленных работах (см. например [1521]) были изучены ряд краевых задач как для вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, так и для уравнений смешанного типа.

Как известно, изучение глобальной разрешимости задач с начальными данными для вырождающихся квазилинейных уравнений гиперболического типа, в отличии от линейных, наталкиваются на допольнительные существенные затруднения. Осложнения имеют место не только в методах решения, но и при постановках задач и, как правило, наряду с параболическим вырождением они объясняются зависимостью характеристических многообразий рассматриваемого уравнения от искомого решения.

Глобальные теоремы разрешимости как для задач с начальными данными, так и для характеристических задач получены в исследованиях А. В. Бицадзе [22−23], в которых предложены методы построения точных решений нелинейных уравнений.

Для определенных классов вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений в работах Д. К. Гвазава [24−27] рассмотрены новые видоизмененные постановки различных начальных и характеристических задач, которые представляют собой обобщения известных линейных постановок. Применением нелинейных аналогов ставления регулярных решений в терминах характеристических переменных, на основании которых проведено глобальное исследование поставленных задач.

Различным задачам для вырождающихся нелинейных гиперболи.

В настоящей работе исследована задача Коши для специального класса гиперболических уравнений инвариантов Римана например получены общие предческих уравнений посвящены работы.

— - о, с коэффициентом конкретного вида. В частности, изучаются случай, когда Ц^и^ни4,) или ц.4х.

Уравнения рассматриваемого класса имеют многочисленные применения в газовой динамике. Так, например, околозвуковое течение баротропного газа описывается известным уравнением именуемым уравнением Кармана (32] .

Начальные условия изучаемой задачи определяют параболическое вырождение исследуемого уравнения на носителе начальных данных. Задачи Коши в аналогичных постановках для квазилинейных уравнений изучались как у нас [33−34], так и за рубежом [35−39].

Полученные результаты носят локальный характер. На основании принципа о неподвижной точке доказаны теоремы разрешимости в областях, которые ограниченны носителем начальных данных и кривыми, выходящими из концов этого носителя, заведомо расположенными под характеристиками, также выходящыми из указанных точек.

В первой главе настоящей работы исследуется квазилинейное уравнение второго порядка дискриминант которого показывает, что принадлежность данного уравнения к классу уравнений того или иного типа зависит от поведения искомого решения и и её производной первого порядка относительно переменной х. Действительно, в тех точках плоскости хф на которых выражение их (х^ обращается в нуль, уравнение (I) параболически вырождается, а во всех остальных точках — оно гиперболично.

— б.

Следовательно, класс гиперболических решений [24] уравнения (I) определяется условием.

Цхи,^0. (2).

В первом параграфе для уравнения (I) в классе гиперболических решений формулируется следующая начальная задача: найти в верхней полуплоскости ^>0 плоскости переменных х,^ регулярное решение уравнения (I), которое на отрезке 1 = ^ = 0} удовлетворяет начальным условиям: ии, 0) = 0, (з).

Наряду с решением и требуется найти и область определения решения начальными данными (з).

Начальную функцию ^ будем предполагать дважды непрерывно дифференцируемой на X, которая удовлетворяет неравенствам: где х^х^ь!, а К — заданные положительные постоянные.

После постановки задачи вводятся основные обозначения необходимые для дальнейшего.

Пусть I) область, ограниченная отрезком I и кривыми г -?2 I I г, /а г, а г*1 х=— и «1атН'.

При наших предположениях относительно функции, для достаточно малой постоянной $>0, множество точек будет областью гиперболичности решений уравнения (1″). Следовательно, для каждого отдельно взятого гиперболического решения, через фиксированную точку проходят по две характеристических кривых данного уравнения.

Введем в рассмотрение множество трехкомпонентных векторов ^ =, компоненты которых непрерывны вместе со своими производными первого порядка относительно переменной х в {?].

Пусть Хь подмножество множества, элементы которого удовлетворяют следующим дополнительным соотношениям и^^, и-^^Ь^Сх.^, С^-1,2.), (б)? Ц (х. 2хЕ-Чр Сх> г е ЦрСц^О, е ЦС^Н^, с постоянными ^М'ЬЛоЧАНгА' ПР*14*5** 0 ^ * а о.

Введение

м функции и" мы формально допустили существование решения исходной задачи (I),(з). При таких предположениях будет доказано, что рассмотренная задача действительно разрешима в классе Х&и в указанных обозначениях теорема разрешимости имеет вид: при р4*-?/ для каждой дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке I функции^, подчиненной неравенствам (4), задача имеет хотя бы одно регулярное гиперболическое решение в области, которое удовлетворяет соотношениям (б) для достаточно малого значения параметра &>0.

Во втором параграфе исследуется множество К$, решений следующих уравнений первого порядка с начальными условиями.

X, = (9).

Ю) соответственно.

Задачи (7^,(9) и (8),(ю) получаются при помощи следующих рассуждении. Выше мы отметилив области гиперболичности решений квазилинейного уравнения второго порядка через каждую фиксированную точку проходят по две характеристических кривых этого уравнения. Следовательно, если уравнения характеристических кривых обоих семейств уравнения (I), проходящих через точку условно записать соотношениями соответственно, то функции естественно будут удовлетворять задачам (7),(9) и (в),(10). Разрешимость этих задач для каждого вектора при достаточно малой постоянной Ь непосредственно следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см. 41]), то есть, К^ не пустое множество.

Доказывается, что для функции справедливы равенства где.

-(ЦЧи^'^ЦЧСх,/.

Для производных получены оценки, на основании которых, выписываются необходимые при доказательстве основной теоремы соотношения.

В третьем параграфе задача (I),(з) редуцируется к системе интегро-дифференциальных уравнений иЛ*,^ = * о ^"Ц*. (хз) где.

Между системой (13) и исходной задачей (I), (з) существует взаимно однозначная связь.

Доказывается, что задача (1),(з) для всех функций, обра.

-¿-.О.

П) (12) зующих вместе со свойми производными первого порядка вектор пространства Х^, эквивалентна системе (ДЗ).

Исследование самой системы (13) мы проводим в § 4. Обозначая через «У} Справые части уравнений рассматриваемой системы, запишем её в операторном виде.

Т (0- (и, Я, «О,). (14).

Вышеперечисленные оценки дают возможность доказать, что оператор Т отображает множество Х^на само себя. Кроме того, соотношения (II), (12) обеспечивают непрерывность оператора Т и так как множество Х&является компактным подпространством пространства Банаха $ &, на основании теоремы Шаудера [42] непосредственно следует существование неподвижной точки отображения Т. Тем самым доказывается разрешимость системы (13).

Таким образом, установлено справедливость основной теоремы, так как из разрешимости системы (13) и согласно её эквивалентности (к)исходной задаче, непосредственно следует существование решения задачи (1),(з).

Во второй главе рассматривается начальная задача Коши для квазилинейного уравнения с классом гиперболических решений, определяемых условием.

Ф О в следующей постановке: найти вместе со своей областью определения регулярное гиперболическое решение и уравнения (15) удовлетворяющее на отрезке 1 начальным условиям u (х, о) = о, VJ^U.O),^*) (1б) где ^ - заданная в интервале lo, i монотонно возрастающая дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Исследование поставленной задачи методом функционального анализа приводит к локальной теореме разрешимости. С другой стороны, применение метода характеристик дает возможность построить глобальное решение этой задачи, определенное во всем характеристическом треугольнике на плоскости характеристических переменных.

Характеристические переменные выбираются на основании анализа так называемых характеристических систем уравнения (15).

Как известно, (см. например [43]) для квазилинейных гиперболических уравнений вида.

— + ь (р,"0вО (IV) где j>suX) обозначения Монжа, характеристические многообразия описываются соотношениями.

— VA* ^ 0, Cl8).

J^+x^.O, (19) если и) г корни характеристического уравнения йХ1+ Н + с =0.

Уравнения (18), (19) вместе с условием согласованности Р АхV Avj, составляют характеристические системы уравнения (17). В зависимости от возможности явного построения независимых первых интегралов построенных характеристических систем, применяют различные методы исследования начальных и характеристических задач для рассматриваемого уравнения.

Независимо от начальных данных, на основании теоремы Якоби о полных системах линейных дифференциальных уравнений в частных производных (44), устанавливается, что каждая из характеристических систем.

Ах — р<�Ц = О, сЦ — рАр. О, (20) — р Ах — суА^ - О,.

А х + р — о ^.

Ц + р<*р = 0, (21) уравнения (15) допускает только по одному перЕых интеграла. Более того, построенные первые интегралы являются одновременно и инвариантами Римана [45] рассматриваемого уравнения, так как они постоянны вдоль соответствующих характеристических систем.

Известно, что квазилинейное уравнение вида (17) можно линеаризовать с помощью преобразования, именуемого преобразованием Лежандра. Это преоборазование соответствует переходу от физической плоскости х5к так называемой плоскости годографа, где координатами служат компоненты скорости ихи. В шестом параграфе показывается, что и в том случае, когда в качестве независимых переменных.

ЬгКV VTt' (22) подобраны первые интегралы рассмотренных характеристических систем, которых естественно называть характеристическими переменными, исходное квазилинейное уравнение (15) редуцируется к линейному уравнению Эйлера-Дарбу относительно функции у .

Решение уравнения Эйлера-Дарбу как известно представляется при помощи двух произвольных функций. Начальные условия (16) дают возможность определить эти произвольные функции, так как задача (15),(1б) в терминах характеристических переменных (22) выражается следующей линейной задачей^Jp ^ «= ° 5.

UO-o. (23).

Решение задачи (23) выписывается в явном виде Фл^"^- UU. wCvOll-lni-O^iV. (24) О.

Для определения величины х как функции переменных воспользуемся дифференциальными соотношениями характеристических систем? j и.

Выражая производные функции х относительно переменных при помощи соответствующих производных функции^, получим выражение dx, которое действительно является полным дифференциалом и его интегрирование в любой точке характеристического треугольника, А •• ш плоскос" «ти дает 1 -¿-С (Ф) где.

Определенные при помощи последних соотношений функции х,^ подставим в условие согласованности <�Аи=р<�Ах+. Непосредственным интегрированием полученного равенства находим решение исходной задачи в явном виде в терминах характеристических переменных.

Следует отметить, что указанное решение можно выразить и при помощи первоначальных переменных х,^, если функциональная система.

26) х = где К1 и Кг — операторы, определенные правыми частями равенств (24),(25) разрешима. При наших предположениях относительно функции ^ сформулированных выше, обеспечивается локальная разрешимость системы (2б).

Что же касается вопроса о возможности явного обращения этой системы, оно зависит от начальной функции^, различные значения которой, в качестве примеров рассматривается в § 7. В частности, изучаются случай, когда (х") = ах Л, -5(х) = /.

Получены решения указанных задач в терминах первоначальных переменных и указаны области определения этих решений на начальной плоскости.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4850].

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук Гвазава Джон-до Константиновичу за постоянное внимание и поддержки при выполнении настоящей работы.

1. Трикоми $>. О линейных уравнениях смешанного типа. М.-Л., Гостехиздат, 1947.

2. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partilles du second orde de tipe mixte. Thesis Uppsala, 1935.

3. Gellerstedt S, Quelques problemes mixtes pour l’equation^klv Mat., Astr. och Fysik, 1938, B26A, No .3,.

4. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. -Paris.: Gautier-Villars, 1894.

5. Чаплыгин С.A. О газовых струях. Полное собрание сочинений, т.2, M., 1933.

6. Жуковский Н. Е. Полное собрание сочинений, т.6, ОНТЙ, 1936.

7. Франкль Ф.й. О задачах Чаплыгина для смешанных до и сверхзвуковых течений, Известия АН СССР, Сер. матем., 1942, т.9, № 2.

8. Лаврентьев М. А., Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа, ДАН СССР, 1950, т.70.

9. Келдыш М. В. 0 некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области, ДАН СССР, 1951, т.77.

10. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа. Труды математического института АН СССР, 1953.

11. Бабенко К. Й. К теории уравнений смешанного типа, УМН, 1953 т.8, W 2.

12. Франкль Ф. И. О задаче Коши для уравнения смешанного эл-липтико-гиперболического типа с начальными данными на переходной линий, Известия АН СССР, Сер. матем., 1944, т.8,5, с. 195−224.

13. Березин И. С. О задаче Коши для линейного уравнения второго порядка с начальными данными на линии параболичности. -Матем. сборник, 1949, т. 24, № 2, с. 301−320.

14. Lasota A. Sur les problemes lineaires aux limites pour un systeme d’equations differentielles ordinaires. Bull. Acad.Polon. Sci. Ser Sci.Math.Astron.et Phys, 1962, v.10До*11.

15. Nagumo M. On singular perturbation of linear partial differential equations with constant coefficients. Proceedings of the Japan Academy, 1959, v.35, No.8,.

16. Гвазава Д. К. К теории краевых задач для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений с вырождением типа на границе области. Дифференциальные уравнения, 1966, т. 2, № I, с. 24−32.

17. Алиев М.й. О задаче Дирихле для одного класса квазилинейных вырождающихся уравнений. Дифференциальные уравнения, 1967, т. 3, № I, с. 3−9.

18. Майоров И. В. Об одной нелинейной системе уравнений смешанного типа. Докл. АН СССР, 1968, т. 183, № 2, с. 280−283.

19. Бицадзе А. В. К теории одного класса нелинейных уравненийв частных производных. Дифференциальные уравнения, 1977, т. 13, № II, с. 1994; 2008.

20. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. — 448с.

21. Гвазава Д. К. 0 некоторых классах квазилинейных уравнений смешанного типа. Тбилиси: Мецниереба, 1981. — 94 с.

22. Гвазава Д. К. 0 глобальной разрешимости задачи Коши для одного нелинейного уравнения. Сообщения АН ГССР, 1980, т. 99, Р 3, с. 553−556.

23. Гвазава Д. К. Об одной видоизмененной постановке задачи Гурса для квазилинейного вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, 1982, т. 18, № 2, с. 285−290.

24. Гвазава Д. К. 0 задачах с начальными и характеристическими условиями для гиперболических уравнений с линейной главной частью. Дифференциальные уравнения, 1983, т. 19, I, с. 22−27.

25. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. — 830 с.

26. Джохадзе О. М. 0 задаче Коши для квазилинейного уравнения. Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, 1, с. 45−49.

27. Джохадзе О. М. 0 разрешимости задачи Коши в целом для одного квазилинейного гиперболического уравнения с параболическим вырождением. Сообщения АН ГССР, 1982, т. 105, Н? 2, с. 257−260.

28. Гегия Д. И. 0 характеристической задаче для уравнения Монжа-Ампера гиперболического типа. Дифференциальные уравнения, 1983, т. 19, № I, с. 166−169.

29. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. — 208 с.

30. Чи Минь Ю. 0 задаче Коши для одного класса гиперболических уравнений с начальными данными на линии параболического вырождения, — Acta Math.Sin., 1958, v.8, p.521−530.

31. Ларькин H.А. Краевые задачи в целом для нелинейного гиперболического уравнения. В кн.: Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск, 1975, вып. 21, с. 62−69.

32. Protter M.H. The Cauchy problem for a hyperbolic second order equation with data on the parabolic line. Canad. J. Math., 1954, v. 6, No.4, p. 542−553.

33. Ogawa H. The singular Cauchy problem for a quasi-linear hyperbolic equation of second order. J. Math. Mech., 1963, No. 12, p 847−856.

34. Ogawa H. A non-linear singular Cauchy problem. J. of Math, analysis and applications, 1966, v.13,No.3,p.56−65.

35. Lick P.W. A quasi-linear singular Cauchy problem. Ann. mat. pura et appl., 1966, v.74, p. 113−128.

36. Singer S. The singular Cauchy problem for a non-linear hyperbolic equation. Ann.mat.pura ed appl., 1971, v.89,P.1 -29.

37. Гурса Э. Курс математического анализа. M.-Л.: ГТТЙ, 1933, т. 2, — 563 с.

38. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1982. 332 с.

39. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. — 744 с.

40. Goursat Е. Lecons sur l’integration des equations aux derivees partielles du second ordre. Paris: Herman, 1898.

41. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. M.-JI.: ОНТИ-ГТТИ, 1934. — 359 с.

42. Рождественский Б. Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. — 687 с.

43. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. -М.: ИЛ, 1957. 443 с.

44. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. -432 с.

45. Бежанишвили Д. А. Задача Коши для одного квазилинейного уравнения. Сообщения АН ГССР, 1980, т. 99, Р 2, с. 301−304.

46. Бежанишвили Д. А. Задача Коши для одного квазилинейного уравнения. Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, № I, с. 18−24.

47. Бежанишвили Д. А. 0 начальной задаче Коши для уравнения Кармана в целом. Дифференциальные уравнения, 1983, т. 19, W I, с. 18−22.