ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ
Muchnik An.A., Shen A., Romashchenko A., Vereshchagin N.K. Upper semi-lattice of binary strings with the relation x is simple conditional to Ρ. // Preprint DIMACS TR 97β74, Rutgers University, 1997. Π§ΠΈΡΠ°Ρ Π., ΠΠ΅ΡΠ½Π΅Ρ Π―. Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π±Π΅Π· ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ. // Π.: ΠΠΈΡ. 1985. Hammer D., Romashchenko A., Shen A., Vereshchagin N. Inequalities for Shannon Entropy and… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
- 1. Π -ΡΠΈΠΏΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈ Π -ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎΡΡΡ
- 2. ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ½ΠΎΠ²-ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ½ΡΡΠΎΠΏΠΈΠΈ
- 3. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ
- 4. ΠΠ°ΡΡ Ρ Π½Π΅ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ
- 4. 1. Π‘ΡΠΎΡ Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ
- 4. 2. ΠΠ°ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²
ΠΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ Π. Π. ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²Π° ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π»Π°ΡΡ «Π’ΡΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ „ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ“». ΠΠ²ΡΠΌΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ½ΡΡΠΎΠΏΠΈΡ Π¨Π΅Π½Π½ΠΎΠ½Π° ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎ-Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠ°Ρ) ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ. Π ΡΡΠΎΠΉ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ ([3, 4]) ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π» Π½Π° ΡΠ²ΡΠ·Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΈΠ·ΠΌ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ². ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΈΠ·ΠΌΠ° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ½ΡΡΠΎΠΏΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ — ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²Ρ. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌ, Π½Π΅ΡΡΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ — Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ Π. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΈ Π―. ΠΠ΅ΡΠ½Π΅ΡΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠ² [9]. ΠΠ°Ρ ΠΈ ΠΡΡΠ½Π΅Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ ΡΠ»ΠΎΠ² ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. Π ΡΡΠ΄Π΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ [5, 13, 15] ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ ΡΠ»ΠΎΠ² ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ½ΡΡΠΎΠΏΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ². Π ΡΠ΄ Π½Π΅ΡΡΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡ
ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ Π² [10, 11]. Π [16] ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π»Π°ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌΡΠΌΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ½ΡΡΠΎΠΏΠΈΠΈ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π½Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Ρ. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°. ΠΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΈΠ·ΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉΡΡ Π½Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½ — ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ.
Π¦Π΅Π»ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΠΈΡ ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ»ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ½ΡΡΠΎΠΏΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΠΈΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΠ°ΡΠ° ΠΈ ΠΠ΅ΡΠ½Π΅ΡΠ° [9] ΠΈ ΠΠ½. Π. ΠΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° [5, 13], ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ° ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ.
ΠΠ°ΡΡΠ½Π°Ρ Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ·Π½Π°. ΠΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ:
1) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΠΈΡ ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ½ΡΡΠΎΠΏΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½.
2) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΠ½Π³Π»Π΅ΡΠΎΠ½Π° Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ½ΡΡΠΎΠΏΠΈΠΈ.
3) ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² [15] ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ.
4) ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Ρ Π΄Π²Π° Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΏΠ°Ρ ΡΠ»ΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΈ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΠ½. Π. ΠΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° [13] ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ Π΄ΠΎ ΠΏΠ°ΡΡ Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ.
ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π Π°Π±ΠΎΡΠ° Π½ΠΎΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΠΏΡΠΎΠ±Π°ΡΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΠ°ΡΡΠ½ΠΎ-ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ Π² ΠΠΠ£ (ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΊ Π ΠΠ ΠΏΡΠΎΡ. Π‘. Π. ΠΠ΄ΡΠ½ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡ. Π. Π. Π£ΡΠΏΠ΅Π½ΡΠΊΠΈΠΉ), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π΄ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΌΠ΅Ρ .-ΠΌΠ°Ρ. ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΠΠ£ (ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡ. Π. Π. ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Π³ΠΈΠ½, Π΄. Ρ.-ΠΌ. Π½. Π. Π. Π‘Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ ΠΊ. Ρ.-ΠΌ. Π½. Π. X. Π¨Π΅Π½Ρ).
ΠΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ [15, 16, 17, 18].
ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 2 ΠΈ 3, Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π°Π²ΡΠΎΡΡ. ΠΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π. Π. ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Π³ΠΈΠ½ΡΠΌ, Π. X. Π¨Π΅Π½Π΅ΠΌ ΠΈ Π. Π₯Π°ΠΌΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ (ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π² ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ [16]). ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π² Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π. X. Π¨Π΅Π½Π΅ΠΌ.
Π‘ΡΡΡΠΊΡΡΡΠ° ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ. Π Π°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, 4 Π³Π»Π°Π² ΠΈ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ° Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎ 18 Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ — 88 ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
1. ΠΠ²ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠ½ Π. Π., ΠΠ΅Π²ΠΈΠ½ Π. Π. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². // Π£ΠΠ. 1970. Π’. 25, № 6, Π‘. 85−127.
2. ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ² Π. Π. Π’ΡΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ «ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ». // ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ, 1965. Π’. 1, № 1, Π‘. 3−11.
3. ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ² Π. Π. Π Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. // ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ. 1969. Π’. 5, 'β, Π‘. 3−7.
4. ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ² Π. Π. ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. // Π£ΠΠ. 1983. Π’. 38, № 4, Π‘. 27−36.
5. ΠΡΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ½.Π. Π Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠ². // Π’Π΅Π·. Π΄ΠΎΠΊΠ». ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΡΠ΅ΠΌΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΠΎΠ½Π³ΡΠ΅ΡΡΠ° ΠΠ±Ρ-Π²Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌ. ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡ, ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠΌ. ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°. 1986. Π‘. 453.
6. Π§ΠΈΡΠ°Ρ Π., ΠΠ΅ΡΠ½Π΅Ρ Π―. Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π±Π΅Π· ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ. // Π.: ΠΠΈΡ. 1985.
7. Π¨ΡΠ½ΡΠΈΠ»Π΄ ΠΠΆ. Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ. // Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°. 1977.
8. Π¨ΠΈΡΡΠ΅Π² Π. Π. ΠΠ΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ. // Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°. 1989.
9. Gaes P., Korner J. Common Information is Far Less Then Mutual Information. // Probl. of Control and Inform. Theory. 1973. V. 2, № 2, P. 149−162.
10. Hammer D., Shen A. A Strange Application of Kolmogorov Complexity. // Theory of Computing Systems. 1998. V. 31, P. 1−4.
11. Hammer D. Complexity inequalities. Wissenschaft & Technik Verlag, Berlin, ISBN 3−89 685−479−8, 1998. 143 pp.
12. Ingleton A. W. Representation of matroids. In: Welsh D.J.A., editor. Combinatorial Mathematics and its applications. Academic Press (London), 1971. P. 149−167.
13. Muchnik An.A. On Common Information. // Theoretical Computer Science. 1998. V. 207, P. 319−328.
14. Uspensky V.A. Shen A. Relations between varieties of Kolmogorov complexities. // Mathematical system theory. 1996. V. 29, № 3, P. 271−292.
15. Muchnik An.A., Shen A., Romashchenko A., Vereshchagin N.K. Upper semi-lattice of binary strings with the relation x is simple conditional to Ρ. // Preprint DIMACS TR 97−74, Rutgers University, 1997.
16. Hammer D., Romashchenko A., Shen A., Vereshchagin N. Inequalities for Shannon Entropy and Kolmogorov Complexity. // Journal of Computer and System Sciences. 2000. V. 60, P. 442−464.
17. Π ΠΎΠΌΠ°ΡΠ΅Π½ΠΊΠΎ A.E. ΠΠ°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠ² Ρ Π½Π΅ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ. 2000. Π’. 36, ΠΡΠΏ. 1, Π‘. 3−20.
18. Π ΠΎΠΌΠ°ΡΠ΅Π½ΠΊΠΎ Π. Π. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ² Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ. // ΠΠ΅ΡΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π£Π½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠ°, 2000. ΠΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡ.