Кольца Кокса аффинных многообразий

О теме диссертации.

Диссертация посвящена решению ряда актуальных задач теории алгебраических групп преобразований и аффинной алгебраической геометрии. Основными инструментами исследования является недавно определённый инвариант алгебраического многообразия, называемый тотальным координатным кольцом, или кольцом Кокса, а также связанная с этим инвариантом каноническая фактор-реализация многообразия. Идея диссертации состоит в применении техники колец Кокса к аффинным алгебраическим многообразиям.

Одно из важнейших свойств конструкции Кокса заключается в том, что кольцо Кокса торического многообразия, то есть многообразия с локально транзитивным действием алгебраического тора, является алгеброй многочленов. Это даёт возможность использовать эту конструкцию для решения задачи характеризации торических многообразий в некотором классе многообразий. В диссертации это соображение применено для описания трёхмерных торических аффинных многообразий с локально транзитивным действием группы 8Ь (2) и торических однородных пространств ре-дуктивных алгебраических групп. Центральной идеей является поднятие действие группы С на многообразии до действия на тотальном координатном пространстве, то есть спектре кольца Кокса, и изучение получающегося С-модул'я.

Конструкция Кокса позволяет изучать автоморфизмы многообразия. А именно, можно поднять автоморфизм многообразия до автоморфизма тотального координатного пространства. В случае торического многообразия автоморфизм поднимается до автоморфизма аффинного пространства. Это позволяет естественным образом определить ручные и дикие автоморфизмы торического многообразия по аналогии с ручными и дикими автоморфизмами аффинного пространства. В диссертации построен дикий автоморфизм трёхмерного аффинного квадратичного конуса. Поднятие этого автоморфизма на А4 есть известный автоморфизм Аника четырёхмерного пространства, который является одим из основных кандидатов на то, чтобы быть диким автоморфизмом четырёхмерного пространства. Этот автоморфизм нормализует Ъ-градуировку. В диссертации доказано, что автоморфизм Аника не является композицией элементарных автоморфизмов, нормализующих эту градуировку.

Перейдём к более детальному изложению известных результатов, связанных с кольцами Кокса и их приложениями. В 1995 году Д. Кокс в своей работе [26] сопоставил каждому торическому многообразию X алгебру многочленов 71{Х). Число образующих этой алгебры равно количеству одномерных конусов в веере, соответствующем многообразию X. Алгебра Т^(Х) градуирована группой классов дивизоров С1(Х). В случае, когда многообразие X аффинно, оно реализуется как категорный фактор спектра X алгебры 71{Х) по действию квазитора Нерона-Севери.

М (Х) = К[С1(Х)]. В случае неаффинного многообразия X, оно реализуется как категорный фактор (X Z)//ЛÍ-(X), где ^ —замкнутое М (Х)~ инвариантное подмножество, причём сосЦш^-^ > 2. Более того, Z есть объединение некоторых координатных подпространств коразмерности > 2 в X. Такую фактор-реализацию многообразия X мы называем реализацией Кокса торического многообразия. В той же статье получено другое описание кольца 7£(Х), а именно, доказано, что каждая его однородная компонента %{Х)г, I? С1(Х), изоморфна = {/ € ЩХ) | (Ну (/) + В > 0} для любого дивизора I), класс которого равен I.

В работе [35] рассмотрено обобщение предыдущей конструкции на случай неторических многообразий со свободной конечно порождённой группой Пикара Рк (Х). А именно, для определения 71{Х) использовано второе описание И (Х) из [26]. Более точно, выбирается базис группы Рк:(Х), состоящий из линейных расслоений и рассматривается прямая сумма пространств сечений расслоений.

ЩХ) = 0 Г (Х, Ь^ <8>. <�" Ь®Хк).

Агеж.

Далее на Л (Х) вводится умножение. Для е Г (Х, Ь? Лх ®. ® Ь®Хк) С ЩХ) и д € Г{Х, Ь®-. <8> Ь^к) С ЩХ) умножение этих элементов равно.

0 6 Г (х, (8>. ® .

На остальных элементах умножение определяется по дистрибутивности. Получается Р1с (Х)-градуированпая алгебра.

В работе [24] было определено обобщение этой конструкции на ещё более широкий класс многообразий. Алгебра определена в случае, когда Р1с (Х) имеет кручение. В этом случае необходимо выбрать конечно порождённую подрешётку К С КБ1у (Х) в решётке дивизоров Картье на X, сюръективно проектирующуюся на Рю (Х). Далее строится система изоморфизмов фв, Е: С (Е), где дивизоры И и Е линейно эквивалентны, причём 1рЕ, р ° = После этого можно рассмотреть алгебру.

ЩХ) = 0 ?(?>)//,.

ИеК где I — идеал, порождённый элементами вида / ~'Фп, е (/), более подробно см. раздел 1.1.

В последующих работах, см., например, [25], было осознано, что более полезной является конструкция, когда мы выбираем подрешётку К не в решётке локально главных дивизоров, а в решётке всех дивизоров Вей-ля, а группа Пикара в определении заменяется на группу классов дивизоров С (Х).

Таким образом, каждому алгебраическому многообразию с конечно порождённой группой С1(Х) поставлена в соответствие С1(Х)-градуирован-ная алгебра 'Я (Х). Мы называем её кольцом Кокса многообразия X. Если X торическое, то алгебра свободна. В случае, когда многообразие X аффинно, оно реализуется как категорный фактор спектра кольца Кокса, который называется тотальным координатным пространством многообразия X, по действию квазитора Нерона-Севери. Эту конструкцию мы называем реализацией Кокса аффинного многообразия.

В дальнейшем алгебра активно изучалась различными авторами, см., например, [4], [21], [23], [25], [34]. Однако большинство работ посвящено случаю полного многообразия X. В этом случае каждое пространство С{Б) является конечномерным. Более того, если И = ^Ра^г, где .Д — простые дивизоры, и ^а^ < 0, то С{Б) = {0}. Случай же аффинного X менее изучен. Реализации Кокса аффинных многообразий посвящена работа [22], вышедшая после работы [1]. В ней вычислены кольца Кокса трёхмерных нормальных аффинных многообразий с локально транзитивным действием группы 8Ь (2), что обобщает результат работы [1]. Стоит также упомянуть работу [28], в которой рассматривается реализация поверхности Данилова-Гизатуллина как фактора гиперповерхности в четырёхмерном пространстве по действию одномерного тора, которая на самом деле является реализацией Кокса этой поверхности.

Данная диссертация, кроме последней главы, посвящена изучению и применению колец Кокса аффинных многообразий. В последней главе применена реализация Кокса неаффинных торических многообразий.

Одним из активно изучавшихся свойств колец Кокса является факто-риальность. Если С1(Х) = 0, то алгебра К[Х] регулярных функций на X факториальна, см. [17, гл. 3, § 1] и И{Х) = ЩХ]. Из результатов работ [25] и [30] следует, что если группа классов дивизоров свободна, то алгебра 7&-{Х) факториальна, см. также [4]. В общем же случае имеет место лишь однородная факториальность, то есть однородные элементы однозначно раскладываются на однородные неприводимые множители, см. [4], [34].

Рассмотрим полугруппу Азв (К[Х]) классов ассоциированности элементов алгебры К[Х]. Факториальность алгебры К[Х] эквивалентна тому, что полугруппа А8э (К[Х]) свободна. Для несвободной полугруппы можно определить теорию дивизоров, см. [5, гл. 3, § 3], то есть вложение в свободную полугруппу, удовлетворяющее некоторым условиям. В [5, гл. 3, § 3, теор. 1] доказано, что если теория дивизоров для данной полугруппы существует, то она единствена. Теорией дивизоров для Азз (]К[Х]) служит вложение в полугруппу эффективных дивизоров на X, которая совпадает с полугруппой классов ассоциированности однородных элементов в Первым результатом диссертации является доказательство универсальных свойств теории дивизоров полугруппы и реализации Кокса аффинного многообразия, см. теоремы 2 и 3. Первое из них заключается в том, что вложение данной полугруппы в свободную при некоторых условиях пропускается через теорию дивизоров этой полугруппы. Универсальное свойство для реализации Кокса аффинного многообразия состоит в следующем. Пусть задано сильно стабильное действие квазитора <3 на неприводимом аффинном многообразии то есть существует такое открытое (^-инвариантное подмножество С/ С Z, что сосИт^С/ > 2, действие <2 на ?7 свободно и все (^-орбиты из V замкнуты в Z. Предположим, что алгебра однородно факториальна относительно градуировки группой характеров и действие группы <2 удовлетворяет условию нестягиваемости, то есть для любого простого дивизора И с. X замыкание его образа при морфизме факторизации тт Z ^ Z||Q имеет коразмерность в Z//Q не более 1. Тогда 7 г пропускается через реализацию Кокса фактора Z||Q.

Далее в диссертации классифицируются трёхмерные аффинные неприводимые торические многообразия с локально транзитивным действием группы 8Ь (2). В 1973 году в работе [12] В. Л. Попов классифицировал трёхмерные нормальные аффинные многообразия с локально транзитивным действием группы 8Ь (2), см. также [10]. Доказано, что все они, кроме однородных пространств ЭЬ (2)/Н, находятся в биекции с парами чисел (2,г), где ^ 6 (0,1]ПО, г € N. Соответствующее многообразие называется 8Ь (2)/2г-вложением, а число ^ — его высотой. В работе [11] Д.И. Паню-шев вычислил группу классов дивизоров ЭЬ (2)/^-вложения высоты.

Задача, решаемая в диссертации, заключается в том, чтобы выбрать те пары (у, к), которые соответствуют торическим многообразиям. Для этого используется то, что тотальное координатное пространство торического многообразия есть аффинное пространство, а само многообразие реализуется как категорный фактор этого аффинного пространства по действию квазитора Нерона-Севери. Квазитор Нерона-Севери мы знаем, так как знаем группу классов дивизоров 8Ь (2)/2^г-вложения. Далее действие группы 8Ь (2) на 8Ь (2)/2г-вложении X поднимается до 8Ь (2)-действия на его тотальном координатном пространстве X. Поднятие действия на тотальное координатное пространство ранее изучалось, например, в [20] и [21]. Ключевой момент дальнейшего изучения действия 8Ь (2) X = состоит в доказательстве того, что данное действие эквивалентно линейному, то есть существует такой автоморфизм, а многообразия X, что действие, сопряжённое с помощью а, линейно. Доказательство этого факта базируется на теореме Крафта-Попова, см. [40], которая утверждает, что если редук-тивная группа действует на аффинном пространстве, и регулярные инварианты этого действия суть только константы, то действие эквивалентно линейному. В диссертации доказано, что 8Ь (2)/^г-вложение X является торическим тогда и только тогда, когда (д-р) делит г, см. теорему 6. Заметим, что доказательство этой теоремы в одну сторону, а именно то, что 8Ь (2)/^г-вложение является торическим при условии (д-р) | г, может быть получено из результатов работы [11].

Заметим, что теорему 6 можно рассматривать как первый шаг в направлении изучения группы (неэквивариантных) автоморфизмов произвольного 8Ь (2)/йг-вложения. А именно, вычислен ранг этой группы. Для торических 8Ь (2)/^-вложений он равен 3, а для остальных — 2, так как на любом 8Ь (2)/^г-вложепии эффективно действует двумерный тор, см. [10, гл. 3, п. 4.8].

В последнее время активно изучается вопрос о вырождениях произвольного алгебраического многообразия в торическое, см., например, [18]. В случае аффинного 8Ь (2)/йг-вложения уже стандартная процедура стягивания действия, см. [14], приводит к торическому многообразию. Интересно отметить, что если исходное вложение само было торическим, то торическое многообразие, возникающее после стягивания, никогда не изоморфно исходному.

В 2008 году, после публикации работы [1], в которой были классифицированы торические 8Ь (2)/2г-вложения, В. Батырев и Ф. Хаддад вычислили кольцо Кокса произвольного аффинного 8Ь (2)/^г-вложения, см. [22]. Согласно этого результата, тотальное координатное пространство 8Ь (2)/йг-вложения высоты | есть гиперповерхность в пятимерном пространстве с координатами жо, ж4> заданная уравнением ь и Ч~ V.

Жд = хх± — Х2Х3, где 6 =.

НОД (др, гУ.

Отсюда следует, что X есть аффинное пространство тогда и только тогда, когда Ь = 1, то есть (д — р) | г, что совпадает с результатом теоремы 6.

Следующая тема, изучаемая в диссертации, касается автоморфизмов торических многообразий. Пусть задано торическое многообразие X. Его тотальное координатное пространство X есть аффинное пространство, на котором действует квазитор Нерона-Севери Л/*(Х). Если задан автоморфизм с/? пространства Х) нормализующий действие М{Х), то он естественным образом спускается до автоморфизма многообразия X. Обозначим полученный автоморфизм через т (ср). В работе [2] доказано, что, наоборот, любой автоморфизм X получается из некоторого автоморфизма X, нормализующего С1(Х)-градуировку. Таким образом, автоморфизмы то-рического многообразия X тесно связаны с автоморфизмами аффинного пространства X.

Одна из проблем, связанных с группой автоморфизмов аффинного пространства, это проблема существования диких автоморфизмов. Напомним, что автоморфизм А71 называется элементарным, если он есть аффинное преобразование или автоморфизм вида.

Ь • • • > (•?].) • • • Я’г—1> /О^Ъ • • • > ^?—1) ^г+1- ¦ ¦ ¦ ¦> ^п) — ^г+1) • • •).

Автоморфизм аффинного пространства называется ручным, если он есть композиция элементарных. Автоморфизмы, не являющиеся ручными, называются дикими. В 1942 году Юнг доказал, что любой автоморфизм аффинной плоскости является ручным, см. [36]. В 1972 году М. Нагата высказал гипотезу, что автоморфизм трёхмерного пространства ж, у, г) (х + (х2 — у г), у + 2х (х2 — у г) + г{х2 — у г)2, г) являестя диким, см. [44]. В 2004 году эта гипотеза была доказана И.П. Ше-стаковым и У. У. Умирбаевым в работе [47]. До этого было известно, автоморфизм Нагаты является стабильно ручным, что означает, что если к нему добавить четвёртую неподвижную переменную, то полученный автоморфизм четырёхмерного пространства х, у, г, т) н->. (х + (ж2 -уг), у + 2х{х2 — у г) + г (х2 — у г)2, г, и)) будет ручным, см. [49]. Проблема существования диких автоморфизмов аффинных пространств Ап при п > 3 остаётся открытой.

Одним из кандидатов на то, чтобы быть диким автоморфизмом А4, является автоморфизм Аника, см. [49] и [31]:

С: (2/1,2/2,2/з, 2/4) (2/1,2/2 + 2/1(2/12/4 — 2/22/з), 2/3,2/4 + 2/з (2/12/4 — 2/г2/з)).

В диссертации, используя конструкцию Кокса, вводятся определения ручных и диких автоморфизмов торического многообразия, и рассматривается проблема существования диких автоморфизмов аффинных тори-ческих многообразий. Назовём автоморфизм ср многообразия X элементарным, если среди его прообразов т~1{<~р) есть элементарный автоморфизм пространства X. (Несложно убедиться, что в этом случае все автоморфизмы из т-1(</?) являются ручными.) Аналогично случаю аффинного пространства, определим ручные автоморфизмы как автоморфизмы, разлагающиеся в композицию элементарных, а все остальные автоморфизмы назовём дикими.

В диссертации изучаются автоморфизмы трёхмерного аффинного квадратичного конуса X, заданного в четырёхмерном пространстве уравнением Х1Х4 — Х2Х3 = 0. Многообразие X является торическим с действием трёхмерного тора.

• (^1,^2,^3,^4) = (?1¹, ?2²,^3, 13.

Группа классов дивизоров многообразия X изоморфна Ъ. Кольцо Кокса И{Х) есть кольцо многочленов от четырёх переменных, которые мы обозначим 2/1>У2, уз, у4. Градуировка задана так: degyl = = 1, —1. Записав координаты хг в матрицу, получаем, что X есть многообразие вырожденных 2×2-матриц. Легко вывести, что группа ручных автоморфизмов X порождается транспонированием матрицы, умножениями строк на константы и автоморфизмами вида.

В прообразе г-1 (о-) лежит автоморфизм Аника.

Основной результат этой части диссертации заключается в том, что автоморфизм, а является диким автоморфизмом многообразия Х1Х4 — Х2Х3 = 0. Это утверждение эквивалентно тому, что автоморфизм Аника не может быть разложен в произведение элементарных автоморфизмов А4, нормализующих градуировку. Заметим, что доказательство этого факта получено элементарными методами и не использует результаты работы [47].

Интересно заметить, что автоморфизм Аника, также как и автоморфизм Нагаты, является стабильно ручным, см. [49]. Более того, если добавить пятую переменную степени 0, то полученный автоморфизм будет.

Рассмотрим автоморфизм, а конуса X, определённый формулой: разлагаться в произведение элементарных автоморфизмов, нормализующих градуировку.

В препринте 2011 года [42] изучаются автоморфизмы многообразия 8Ь (2). Там введены определения аналогичные введённым нами для многообразия вырожденных матриц 2×2. А именно, группа ручных автоморфизмов X порождается транспонированием матрицы и автоморфизмами вида.

Основной результат статьи [42] состоит в том, что предъявлен дикий автоморфизм многообразия 8Ь (2), причём основное поле предполагается полем. комплексных чисел. Однако дословно повторяя доказательство того, что автоморфизм, а — дикий автоморфизм многообразия вырожденных матI риц порядка 2, мы получаем, что автоморфизм, заданный теми же формулами, что и а, является диким автоморфизмом многообразия 8Ь (2), причём это верно для любого основного поля.

Следующая тема, изучаемая в диссертации — это описание однородных торических многообразий, то есть однородных пространств полупростых групп С, являющихся торическими многообразиями. Для этого действие группы б поднимается с многообразия X до действия на тотальном координатном пространстве X, коммутирующего с действием квазитора.

Нерона-Севери, см. [21]. Доказывается, что поднятое действие на X имеет орбиту, коразмерность дополнения к которой не меньше 2. Переходя к конечному накрытию, можно считать, что группа есть прямое произведение простых <2 = х. х Поскольку многообразие X то-рическое, тотальное координатное пространство является аффинным пространством. Применяя теорему Крафта-Попова, см. [40], можно считать, что действие С на У = X линейно. Пусть У = У (В. 0 Уч — разложение У на простые модули. Доказывается, что па каждом У^ действует ровно одна компонента Ог, и наоборот, каждая действует ровно на одном У3, в частности к = й. Более того, показано, что действие Сг на множестве ненулевых векторов из Уг транзитивно. Далее доказывается, что из условия транзитивности действия Сг на V* {0} следует, что Уг есть либо тавтологический ЭЬ (п) или 8р (2п)-модуль, либо двойственный к тавтологическому 8Ь (п)-модуль. Итоговым результатом является то, что торическое многообразие с транзитивным действием полупростой группы х. х есть факторпространство.

К? {0} х. х КПт {0})//5, где 5″ — подквазитор в т-мерном торе, действующем на каждом сомножители К" 1 {0} гомотетиями, каждая простая компонента О^ действует нетривиально только на К" 4 {0}, причём КПг с действием есть либо тавтологический модуль 8Ь (п) или 8р (2п), либо двойственный к тавтологическому 8Ь (7г)-модуль.

Результаты диссертации близки к результатам работы Э.Б. Винбер-га [7], в которой классифицируются алгебраические группы преобразований максимального ранга. Напомним, что алгебраическая группа преобразований максимального ранга — это такое эффективное локально транзитивное действие алгебраической группы С на алгебраическом многообразии X, что сИтХ = гкС, где гкС — это ранг максимального тора Т группы С. В этой ситуации индуцированное действие тора Т на X эффективно и локально транзитивно, см. [29]. Если группа С полупроста, то открытая (7-орбита в X является однородным торическим многообразием. Оказывается, что в этом случае X является произведением проективных пространств и С действует на X транзитивно. Из классификации однородных торических многообразий следует, что каждое однородное торическос многообразие задаёт редуктивную группу преобразований максимального рангаздесь есть группа (СЬ (п1) х. х СЬ (пто))/5.

Приведём аналог полученного нами результата в торической топологии. Гладким торическим многообразием назовём такое гладкое вещественное многообразие М2п с эффективным действием компактного тора (б4)", что множество (5'1)неподвижных точек непусто. В работе [41] изучаются однородные гладкие торические многообразия, то есть гладкие торические многообразия М2п с транзитивным действием компактной группы Ли К такие, что индуцированное действие максимального тора группы К совпадает с данным (¿-¡-^" -действием. Доказано, что любое однородное гладкое торическое многообразие может быть реализовано как.

М = С? щ х. х С? Пт х (Я2*1 х. х б'2*1)/^ где 82к — сфера размерности 2к, Г — подгруппа в Ъч х. х Ъч (I копий), и каждая копия Ъч действует на соответствующей сфере центральной симметрией. Компактная группа Ли.

К = PSU (m + 1) х. х PSU (nTO + 1) х SO (2&i + 1) х. х SO (2kt + 1) действует на М транзитивно. Более того, гладкое многообразие М ориентируемо тогда и только тогда, когда F С SO (2A:i +. + 2k? + l).

Далее в диссертации классифицированы торические многообразия, являющиеся однородными пространствами редуктивных групп. Пусть X — торическое многообразие с транзитивным действием редуктивной группы G. Можно считать, что G = Gs х L, где Gs — полупростая группа, a L — тор. Тогда существуют такие квазитор I/, 6?5-эквивариантно действующий па X, и замкнутое вложение L' С L, что X = (Х0 х L)/L где Х0 — однородное торическое (^-многообразие.

Кроме однородных торических многообразий аналогичный метод позволяет описать торические многообразия с локально транзитивным действием полупростой группы G. По лемме 17 они являются факторами открытых подмножеств в локально транзитивных G х S'-модулях по действию S где S — квазитор. Для явного описания таких многообразий необходим список таких модулей. Известны результаты классификации только при определённых условиях на группу и модуль. Например, если группа G проста и количество неприводимых компонент в разложении модуля не превосходит 3, такие модули классифицированы в серии работ М. Sato, Т. Kimura, К. Ueda, Т. Yoshigiaki, и других.

Если дополнение к открытой G-орбите в торическом многообразиии X имеет коразмерность не менее 2, то X является фактором по квазитору G-модуля с открытой орбитой, см. предложение 20. Если группа G проста, то список таких G-модулей получен в [6, теоремы 7,8], и соответствующие торические многообразия описаны в [20, предложение 2]. В отличии от однородного случая тут возникают особые [20, пример 5.8] и не квазипроективные [20, пример 5.9] многообразия.

Базовыми ссылками диссертации являются: по алгебраической геометрии [16] и [17], по теории инвариантов [9] и [10], по теории алгебраических групп [8] и [15], по теории торических многообразий [32] и [27], по теории колец Кокса [19].

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1], [2] и [3]. Содержание работы.

Здесь будет кратко описана структура работы. Диссертация разбита на главы, а главы — на разделы. В разделах 1.1, 1.2, 1.3, 2.1 и в разделе 3.1 до определения 23 изложены ранее известные факты. Остальные разделы посвящены результатам диссертации. Нумерация лемм, теорем, следствий, определений и замечаний сквозная. В конце введения приведён список наиболее часто встречающихся обозначений.

1. Аржанцев И. В., О факториальности колец Кокса, Мат. заметки 85 (2009), 623−629.

2. Боревич З. И., Шафаревич И. Р., «Теория чисел» 3-е изд., Наука, М., 1985.

3. Винберг Э. Б., Инвариантные линейные связности на однородных пространствах, Труды Моск. Мат. Общ. 9 (1960), 191−210.

4. Винберг Э. Б., Алгебраические группы преобразований максимального ранга, Мат. сборник 88 (1972), 493−503.

5. Винберг Э. Б., Онищик А. Л., «Семинар по группам Ли и алгебраическим группам», Москва, Наука, 1988.

6. Винберг Э. Б., Попов В. Л., «Теория инвариантов», Алгебраическая геометрия — 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 55, ВИНИТИ, М., 1989, 137−309.

7. Крафт X., «Геометрические методы в теории инвариантов», Москва Мир, 1987.

8. Панюшев Д. И., Канонический модуль аффинного нормального квазиоднородного 5Х2-многообразия, Мат. сборник 182:8 (1991), 569−578.

9. Попов В. Л., Квазиоднородные аффинные алгебраические многообразия группы SL (2), Изв. акад. наук СССР, сер. мат. 37:4 (1973), 792−832.

10. Попов В. Л., Группы Пикара однородных пространств линейных алгебраических групп и линейные однородные расслоения, Изв. акад. наук СССР, сер. мат. 38:2 (1974), 294−322.

11. Попов В. Л., Стягивания действий редуктивных алгебраических групп, Мат. сборник 130:3 (1986), 310−334.

12. Хамфри Дж., «Линейные алгебраические группы», Москва, Наука, 1980.

13. Хартсхорн Р., «Алгебраическая геометрия», Москва, Мир, 1981.

14. Шафаревич И. Р., «Основы алгебраической геометрии» 3-е издание, Москва, МЦНМО, 2007.

15. Alexeev V., Brion М., Toric degenerations of spherical varieties, Selecta Math. (N.S.) 10:4 (2004), 453−478.

16. Arzhantsev I.V., Derenthal U., Hausen J., Laface A., Cox rings, arXiv: 1003:4229.

17. Arzhantsev I.V., Hausen J., On embeddings of homogeneous spaces with small boundary, J. Algebra 304 (2006), 154−172.

18. Arzhantsev I.V., Hausen J., Geometric Invariant Theory via Cox rings, J. Pure Appl. Algebra 213 (2009), 154−172.

19. Batyrev V., Haddad F., On the geometry of SL{2)-equivariant flips, Moscow Math. J. 8:4 (2008), 621−646.

20. Batyrev V., Popov O., The Cox ring of a Del Pezzo surface, In: Arithmetic of higher-dimensional algebraic varieties, Progr. Math. 226 (2004), 85−103.

21. Berchtold F., Hausen J., Homogeneous coordinates for algebraic varieties, J. Algebra 266:2 (2003), 636−670.

22. Berchtold F., Hausen J., Cox rings and combinatorics, Trans. AMS 359:3 (2007), 1205−1252.

23. Cox D.A., The homogeneous coordinate ring of a toric variety, J. Alg. Geometry 4 (1995), 17−50.

24. Cox D., Little J., Schenck H., «Toric varieties», American Mathematical Society, Vol. 124, Graduate Studies in Mathematics, 2011.

25. Donzelli F., Algebraic density property of Danilov-Gizatullin surfaces, arXiv 1009.4209.

26. Demazure M., Sous-groupes algebriques de rang maximum du groupe de Cremona, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 3 (1970), 507−588.

27. Elizondo J., Kurano K., Watanabe K., The total coordinate ring of a normal projective variety, J. Algebra 276 (2004), 625−637.

28. A. van den Essen, «Automorphisms and the Jacobian Conjecture», Progr. Math. 190, Birkhauser, 2000.

29. Fulton W., «Introduction to toric varieties», Annals Math. Studies 131, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.

30. Hausen J., Geometric invariant theory based on Weil divisors, Compos. Math. 140 (2004), 1518−1536.

31. Hausen J., Cox rings and combinatorics II, Moscow Math. J. 8 (2008), 711−757.

32. Hu Y., Keel S., Mori dream spaces and GIT, Michigan Math. J. 48 (2000), 331−348.

33. Jung H., Uber ganze birationale Transformationen ger Ebene, J. Reine Angew. Math. 184 (1942), 161−174.

34. Knop F., Kraft H., Luna D., Vust Th., Local properties of algebraic groups actions, Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie, DMV Seminar, 13, Birkhauser, Basel (1989), 63−75.

35. Knop F., Kraft H., Vust Th., The Picard group of a G-variety, Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie, DMV Seminar, 13, Birkhauser, Basel (1989), 77−87.

36. Koras M., Russell P., Linearization problems, In: Algebraic group actions and quotients (J. Wisniewski, Ed.), Hindawi Publ. Corp. (2004), 91−107.

37. Kraft H., Popov V.L., Semisimple group actions on the three-dimensional affine space are linear, Comment. Math. Helv. 60 (1985), 466−479.

38. Kuroki Sh., Classification of homogeneous torus manifolds, Preprint, Fudan University, 2007.

39. Lamy S., Venereau S., The tame and the wild automorphism of an affine quadric threefold, arXiv 1103.4291.

40. Nagata M., On rational surfaces II, Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, Ser. A Math. 33 (1960/61), 271−293.

41. Nagata M., On the Automorphism Group of kx, y], Department of Mathematics, Kyoto University, Tokio, Lectures in Mathematics, 5 (1972).

42. Ramanujam C.P., A note on automorphism group of algebraic varieties, Math. Ann. 156 (1964), 25−33.

43. Shafarevich I.R., On some infinitedimensional groups. In: Simposio Int. di Geom. Algebraica, Roma (1967), 208−212.

44. Shestakov I., Umirbaev U., The tame and wild automorphisms of polynomial rings in three variables, J. Amer. Math. Soc. 17 (2004), 197 227.

45. SkulaL., Divisorentheorie einer Halbgruppe, Math. Z. 114:2 (1970), 113— 120.

46. Smith M. K., Stably tame automorphisms, J. Pure Appl. Algebra, 58:2 (1989), 209−216.