Аппроксимация целыми функциями на подмножествах полуоси

В процессе решения поставленной проблемы приближения последовательно решается ряд вопросов:

• Каким условиям должна удовлетворять комплекснозначная функция для того, чтобы некоторая сколь угодно хорошая весовая аппроксимация на некотором подмножестве целыми фукнциями из определённого класса была возможна.

• Каким должен быть класс приближающих функций.

• Каким образом строить функции, осуществляющие указанное весовое приближение рассматриваемых функций на заданном подмножестве М+.

• Возможно ли получить конструктивную характеристику функций из рассматриваемого класса непрерывных функций.

Все эти вопросы возникли в ходе исследования общей проблемы аппроксимации целыми функциями на различных областях комплексной плоскости. Ранее ответы на аналогичные вопросы для случая всей полуоси были получены в работе [7]. А именно, там была решена задача о весовом приближении функций класса Гёльдера на всей полуоси целыми функциями порядка из специально подобранного класса. При этом удалось доказать прямую и соответствующую обратную теоремы.

— зприближения, что позволило говорить о конструктивном описании рассматриваемого класса непрерывных функций. Изменение области приближения привело к постановке сформулированных выше вопросов, появилась новая проблема конструктивного описания некоторого класса непрерывных функций, а также оценки скорости их весовых приближений.

Актуальность темы

Несмотря на то, что аппроксимация целыми функциями составляет сейчас большую ветвь комплексного анализа, некоторые вполне естественные вопросы остаются пока без ответов. К числу подобных проблем относится и конструктивное описание классов непрерывных функций, скорость их весовых приближений. Диссертация выполнена в русле этой тематики и потому актуальна.

Цель работы состоит в формулировании и доказательстве соответствующих прямой и обратной теорем приближения целыми функциями, что даёт возможность говорить о получении конструктивного описания класса гладкости функции из классов типа Гёльдера при помощи скорости весового приближения.

Основные результаты работы.

• - класс целых функций порядка | и переменного типа, а > 0, с нормой, задаваемой равенством.

ПРИ 1 + ИМИ) + <7-М" -2).

— функции, являющиеся приближающими агрегатами.

• шкала весового приближения определяется с помощью введения следующей функции рн (г) = (ИзЬ (г, Ьн), г в С, где.

Ьк^{геСЕ: = К], К > О,.

О — гармоническая в С Е функция, обладающая определёнными свойствами.

• Сформулирована и доказана прямая теорема приближения.

• Сформулирована и доказана обратная теорема приближения.

Научная новизна. В диссертации получены утверждения о конструктивном описании классов непрерывных функций на новых типах несвязных множеств. Все основные результаты являются новыми.

Теоретическая значимость. В диссертации конструктивно описаны классы функций в ситуациях, требующих соединения соображений, относящихся к приближениям полиномами на областях комплексной плоскости и соображений, относящихся к приближениям целыми функциями.

Достоверность научных результатов. Все результаты диссертации являются строго доказанными научными фактами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на 1У-й Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу (июль 2008 года), а также на Герценовских чтениях в докладе «Обратная теорема для приближения целыми функциями на подмножествах полуоси,» которые проходили 17 апреля 2008 года в РГПУ им. А. И. Герцена.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, изложена на 71 стр.

Список литературы

включает 21 название.

1. E.M.Dyn'kin. The rate of polynomial approximation in the complex domain // Springer Lecture Notes in Math, Vol.864, 1981, 90−142.

2. K.G.Mezhevich, N.A.Shirokov. Polynomial approximation on the union of conven continua // J.Math.Sci., (132), 2006, No.4, 400 403.

3. N.A.Shirokov. Analityc functions smooth up to the boundary // Springer Lecture Notes in Math., Vol. 1312,1988, 220 p.

4. Н. И. Ахиезер. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965.

5. В. И. Белый. Конформные отображения и приближения аналитических функций в областях с квазиконформной границей // Матем. сборник АН СССР (102) 1977, No.3, 331−361.

6. Г. М. Голузин. Геометрическая теория фукнций комплексного переменного. М., 1961.

7. Т. С. Давыдова, Н. А. Широков. Приближение функций из класса Гёльдера на полуоси // Зап. научных семинаров ПОМИ (262) 1999, 127−137.

8. В. К. Дзядык.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.

9. Е. М. Дынькии О равномерном приближении функций в жордановых областях // Сиб.мат.ж. (18) 1977, N0.4, 775−786.

10. Е. М. Дынькин. Оценки аналитических функций в жордановых областях // Зап. научных семинаров ЛОМИ (73) 1977, 70−90.

11. Е. М. Дынькин. Гладкости интегралов типа Коши // ДАН СССР, 1980, 199−202.

12. Е. М. Дынькин. Конструктивная характеристика классов Соболева и Бесова // Труды мат. ин-та им. В. А. Стек лова (155) 1983, 39−74.

13. Н. А. Лебедев, Н. А. Широков. О равномерном приближении фукнций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами // Известия АН Арм. ССР,(6) 1971, N0.4, 311−341.

14. К. Г. Межевич, Н. А. Широков. Полиномиальные приближения на дизъюнктных отрезках // Проблемы математического анализа 1998, N0.18,118−132.

15. О. В. Силъванович, Н. Л. Широков. Приближение целыми функциями на подмножествах полуоси // Зап. научных семинаров ПОМИ (337) 2006, 233−237.

16. О. В. Силъванович, Н. А. Широков. Скорость приближения и гладкость функций / / Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 1. Математика, механика, астрономия, 2008, Вып.4, 39−45.

17. О. В. Силъванович, Н. А. Широков. Гладкость функции и скорость приближения // Тезисы докладов IV Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу, Петрозаводск, 29 июня 5 июля (2008), 36−37.

18. П. М. Тамразов. Гладкости и полиномиальные приближения, Киев, 1975, 255 с.

19. У. Хейман, П.Кеннеди. Субгармонические функции, М., 1980,.

20. Н. А. Широков. О равномерном приближении функции на замкнутых множествах с ненулевыми внешними углами // Изв. АН Арм ССР,(11) 1974, N0.1,62−80.

21. Н. А. Широков. Приближение многочленами на компактах с бесконечносвязным доплнением // Алгебра и анализ (10) 1998, N0.1, 248−264.