Плотность состояний в мезоскопических сверхпроводящих гибридных структурах

В настоящее время во многих научных центрах проводятся активные теоретические и экспериментальные исследования различных структур, состоящих из сверхпроводящих и нормальных элементов субмикронных размеров. Интерес к этим объектам вызван их необычными свойствами, связанными с процессами когерентной электронной динамики [1]. В частности, это открывает возможности для создания на основе таких структур элементной базы квантовых компьютеров, для которых когерентные процессы играют ключевую роль [2].

Характерной особенностью субмикронных систем являются специфические флуктуации, вызванные неконтролируемыми микроскопическими особенностями различных образцов, — мезоскопические флуктуации [1]. Мезоскопические свойства металлов проявляются, когда длина когерентности электронов проводимости сравнивается с характерными размерами образца. Миниатюризация элементов современных компьютеров также достигла масштабов на которых мезоскопические флуктуации становятся существенными. Кроме того, замечательные и необычные свойства мезоскопических структур представляют самостоятельный научный интерес с точки зрения проверки фундаментальных квантовых законов.

В гибридных структурах, состоящих из сверхпроводящих и нормальных частей, наблюдаются специфические эффекты мезоскопической сверхпроводимости. Эти явления известны под общим названием «эффекта близости». Качественно они сводятся к подавлению сверхпроводимости в сверхпроводящих частях и к появлению некоторых сверхпроводящих свойств в нормальных облаг стях. Одним из характерных примеров является эффект Джозефсона [3]. При туннелировании через слой изолятора куперовские пары частично сохраняют свою когерентность, и таким образом могут переносить сверхток через такой слой. Если же два сверхпроводящих контакта соединены областью нормального металла, аналогичный эффект имеет более сложную микроскопическую природу. Фундаментальным явлением в этом случае является андреевское отражение [4, 5].

При падении электрона на границу раздела сверхпроводник — нормальный металл с нормальной стороны не может произойти его переход в сверхпроводник, потому что на соответствующей энергии в спектре сверхпроводника находится щель. Однако в этом случае возможен процесс андреевского отражения: вместо электрона в нормальный металл отражается дырка, а в сверхпроводник уходит куперовская пара [4]. По-другому этот процесс можно рассматривать как туннелирование куперовской пары из сверхпроводника в нормальный металл. Хотя при этом притяжение между электронами пропадает, они все еще несут когерентность, характерную для сверхпроводника. Если нормальный слой достаточно тонок, такая пара может попасть во второй сверхпроводник, перенося тем самым сверхток. Эта ситуация соответствует некоторой электронной траектории, соединяющей два сверхпроводящих берега: пройдя по этой траектории, электрон андреевски отражается в дырку, которая повторяет путь электрона в противоположном направлении, и после повторного андреевского отражения траектория замыкается. Такие траектории разрешены, когда на их протяжении укладывается целое число длин волн — так возникают андреевские состояния. Эти состояния образуют дискретный спектр и располагаются симметрично относительно уровня Ферми (в отсутствие тока). Таким образом, энергии, сколь угодно близкие к фермиевской, запрещены, и система обладает глобальной сверхпроводимостью.

На этом примере видно, как близость сверхпроводника приводит к изменению низкоэнергетического спектра нормального металла. Аналогичные явления, также обусловленные андреевским отражением, могут происходить и в более простом случае контакта одного сверхпроводника с нормальным металлом. При этом в нормальной области также будут возникать андреевские состояния, изменяя его спектр. Характер этих изменений существенно зависит от типа классической динамики электронов в нормальной части контакта [6]. Начнем с примера. Если нормальная область имеет правильную прямоугольную форму и не содержит примесей, то в ней будут существовать сколь угодно длинные траектории электронов между двумя андреевскими отражениями. Это приводит к появлению уровней с произвольно малой энергией, и, как следствие, щель в спектре отсутствует. Однако плотность состояний все же будет линейно стремиться к нулю при приближении к энергии Ферми [6, 7]. В общем случае спектр такого типа возникает, когда классическая динамика электронов в нормальной области интегрируема.

Противоположный предел хаотичной динамики реализуется, например, в случае большой плотности потенциальных (немагнитных) центров рассеяния — примесей. При таких условиях движение электронов будет диффузным. Однако наивная попытка определить характер спектра, изучая вероятность траекторий различной длины приводит к неверному результату. Действительно, при хаотичном движении всегда можно найти сколь угодно длинные траектории, но, тем не менее, в спектре будет наблюдаться щель. Причина ошибки состоит в неучете эффектов квантовой интерференции [8, 9]. Дело в том, что квазиклассические диффузные траектории представляют собой ломаные линии:

• электрон последовательно рассеивается на большом количестве примесей. Для двух достаточно длинных траекторий почти наверняка найдется общая примесь. А значит кроме двух соответствующих андреевских состояний имеются еще как минимум два: электрон, летящий по первой траектории, после рассеяI ния на общей примеси переходит на вторую траекторию, а после андреевского отражения дырка на той же примеси возвращается на первую траекторию, и наоборот. Из-за эффектов квантовой интерференции между описанными про.

• цессами низколежащие андреевские уровни нельзя описывать на наивном языке простых траекторий.

Адекватная квазиклассическая техника для диффузных систем хорошо известна [10, 11, 12] и опирается на уравнение Узаделя. Качественно результат сводится к появлению щели в плотности состояний порядка Н/гс, где тс — характерное время диффузии между двумя андреевскими отражениями [6, 13, 14, 15]. Оно определяется силой и концентрацией примесей, размерами нормальной области и прозрачностью границы со сверхпроводником. Однако такая квазиклассическая теория не учитывает мезоскопические флуктуации. На качественном уровне можно считать, что коэффициент диффузии флуктуирует, и это приводит к отклонению величины щели в каждом конкретном образце от ее среднего значения. В результате усреднения по возможным конфигурациям примесей вместо строгого обращения плотности состояний в ноль будет наблюдаться ее резкое падение при соответствующей энергии, а при меньших энергиях она будет экспоненциально малой.

• Можно сделать следующее общее утверждение. Если положение края спектра определяется физической величиной, которая может флуктуировать, то при усреднении по этим флуктуациям появляется «хвост» плотности состояний в запрещенной области. Подобный «хвост» был впервые рассмотрен Лифшицем в обычном легированном полупроводнике [16]. Локализованные состояния в запрещенной зоне возникают за счет редких флуктуаций случайного потенциала. Для изучения этих явлений используется метод оптимальной флуктуации [16,17,18,19]. Суть метода состоит в отыскании наиболее вероятной флуктуации, дающей определенное значение энергии локализованного состояния. Если такая оптимальная флуктуация найдена, можно пренебречь менее вероятными флуктуациями, дающими такой же результат, а затем усреднить плотность состояний по распределению вероятностей этих оптимальных флуктуаций. На сегодняшний день известно много примеров подобного рода флуктуационных эффектов в различных системах, см. например [20, 21, 22, 23, 24].

Существует другой, чисто феноменологический, метод работы с неупорядоченными системами — теория случайных матриц [25, 26, 27]. В рамках этой теории гамильтониан является случайной матрицей^ причем различные матричные элементы считаются некоррелированными (исключая связи за счет дополнительных симметрий гамильтониана). В главном порядке по большому размеру матрицы средняя плотность состояний случайного гамильтониана представляет собой «вигнеровский полукруг»: (р (Е)) = 5~гу/ — Е2/Е%, где Еь — ширина зоны, а <5 — среднее расстояние между уровнями в центре зоны.

Теория случайных матриц нашла широкое применение для описания спектральных свойств мезоскопических систем [28] благодаря свойству универсальности. Последнее проявляется в том, что, несмотря на различие на уровне микроскопического гамильтониана, спектры мезоскопических систем с хаотической динамикой и случайных матриц с одинаковыми 8 статистически совпадают. Впервые теория случайных матриц была применена для описания спектра металлической гранулы Горьковым и Элиашбергом [29]. Строгое микроскопическое доказательство гипотезы универсальности для этого случая позднее получил Ефетов [30], изучая парный коррелятор уровней энергии. При этом обе системы рассматриваются вдали от края зоны, когда среднюю плотность состояний можно считать не зависящей от энергии [31].

Вблизи края зоны средняя плотность состояний в ансамбле Вигнера-Дайсона в квазиклассическом приближении обращается в ноль корневым образом. При учете поправок к квазиклассическому результату появляется экспоненциально спадающий «хвост» при энергиях Е > Еь [32]. В диффузной гибридной структуре плотность спектра вблизи края щели также имеет корневую особенность.

Если предположить, что форма «хвоста» полностью определяется квазиклассическим поведением плотности состояний около края спектра, то можно распространить результат теории случайных матриц на случай диффузной гибридной структуры. Это было проделано в работе [33].

Другой случай появления экспоненциально малого «хвоста» плотности состояний — сверхпроводник с магнитными примесями. Наличие магнитных примесей подавляет сверхпроводимость [34]. Если их концентрация не очень большая, то щель в спектре становится меньше по сравнению со сверхпроводником без примесей, но не обращается в ноль. Однако концентрация примесей может флуктуировать в пространстве, и, таким образом, есть ненулевая вероятность обнаружить уровень энергии ниже средней величины щели [23]. Метод оптимальной флуктуации в рамках теории случайных матриц для такой системы был развит в работе [35]. При этом концентрация магнитных примесей считалась настолько малой, что можно пренебречь эффектом подавления щели [34]. Для сверхпроводника с сильным потенциальным беспорядком и небольшой концентрацией магнитных примесей в рамках нелинейной а-модели [36, 37] «хвост» подщелевых состояний изучался Ламакрафтом и Саймонсом [38]. Результаты, полученные в работах [35] и [38], противоречат друг другу. В конце раздела 2.3 будет указана причина и способ устранения этого противоречия. Явный вид оптимальной флуктуации магнитных примесей в относительно чистом пределе был получен в работе [24]. Эта флуктуация имеет ферромагнитную структуру и несферическую форму. Переход к диффузному пределу и связь с результатом [38] обсуждается в работе [39].

В обычной статистической физике основной величиной, определяющей свойства системы, является производящий функционал 2[7] = /Т>Ф Различные корреляционные функции, в том числе и плотность состояний, выражаются через логарифмические производные от этого функционала по источникам «7. Если в системе присутствует беспорядок, все корреляционные функции нужно по нему усреднять. То есть требуется среднее значение от Ы2. Однако логарифм нелинейная функция, и его усреднение в общем случае затруднительно. Один из способов обойти эту трудность — метод реплик — был предложен в работе [40]. Он нашел широкое применение в задачах статистической физики, в особенности для описания спиновых стекол [41]. Суть метода заключается в том, что вместо одной системы рассматривается М ее копий (реплик). При этом вычисляется М-тая степень производящего функционала.

ZM. Если удается усреднить ее по беспорядку при произвольном значении М и сделать аналитическое продолжение к точке М = 0, то можно воспользоваться формулой In Z = lim (Zn — 1)/п для вычисления среднего логарифма. п—+0.

Вычисление производящего функционала в общем виде при произвольном числе реплик часто оказывается достаточно сложным. Эта трудность снимается в методе нелинейной суперматричной <�т-модели [36]. Он состоит в добавлении к физическим полям такого же количества грассмановых (антикоммутирую-щих) полей. При произвольном действии системы производящий функционал оказывается равным единице, и корреляционные функции определяются обычными вариационными производными этого функционала, вместо логарифмических. Одним из недостатков метода суперматричной нелинейной а-модели является невозможность учесть эффекты взаимодействия.

Квазиклассическое приближение (уравнение Узаделя) соответствует вычислению производящего функционала методом перевала. Соответствующая сед-ловая точка в действии нелинейной а-модели суперсимметрична, то есть имеет одинаковый вид по коммутирующим и грассмановым переменным. Экспоненциально малый вклад от редких мезоскопических флуктуаций соответствует другим, несуперсимметричным седловым точкам — инстантонам. Впервые такое вычисление было проделано в работе [22] для плотности состояний на высоком уровне Ландау в двумерной системе в магнитном поле. Применимость метода перевала вблизи инстантонов обеспечивалась большим номером уровня Ландау. В случае сверхпроводящих гибридных структур соответствующим большим параметром будет безразмерный кондактанс системы.

Сходное явление наблюдается в нормальных системах при изучении асимптотик функции распределения плотности состояний, кондактанса и времен релаксации [42]. Мезоскопические флуктуации примесей приводят к тому, что в области энергий, отвечающих хорошо делокализованным состояниям, с экспоненциально малой вероятностью можно найти и состояния почти локализованные. Такие состояния обеспечивают аномально медленную релаксацию тока к его равновесному значению на очень больших временах (больше обратного среднего расстояния между уровнями размерного квантования) — то есть они служат в качестве «электронных ловушек». Длинновременная асимптотика кондактанса мезоскопического образца определяется аномально локализованными состояниями [43]. В разделе 3.3 будет продемонстрировано соответствие между этой асимптотикой и плотностью квазилокализованных состояний в сверхпроводящей гибридной структуре глубоко под щелью.

Обобщение а-модели для диффузных сверхпроводящих гибридных структур было предложено в работе [37]. Там же было сделано указание на то, что подщелевая плотность состояний соответствует инстантонам в этой модели и определяется состояниями, аномально локализованными в нормальной области [42, 43, 44, 45]. Возникающие за счет редких флуктуаций случайного потенциала, такие состояния плохо связаны со сверхпроводящими берегами и имеют энергию ниже края щели. Инстантонная конфигурация, ответственная за появление «хвоста» плотности состояний в однородном сверхпроводнике с магнитными примесями была найдена в работе [38].

Современная техника изготовления субмикронных гибридных структур позволяет непосредственно наблюдать появление щели в спектре нормального металла, наведенной за счет контакта со сверхпроводником [46, 47, 48]. Результаты экспериментов удовлетворительно описываются в рамках уравнения Узаде-ля. Подщелевая плотность состояний также заметно проявляется в этих экспериментах, однако вклад мезоскопических флуктуаций трудно отделить от различных факторов декогерентности, которые также влияют на низкоэнергетическую плотность состояний. Кроме того, в некоторых структурах наблюдаются спектры [49, 50], которые не получается объяснить даже простым уравнением Узаделя.

Одной из наиболее существенных причин сбоя фазы в мезоскопических системах является кулоновское взаимодействие. Когда емкость элементов структуры настолько мала, что изменение полного количества электронов на единицу приводит к существенному изменению энергии по сравнению с температурой и другими характерными энергетическими масштабами, становятся важными явления кулоновской блокады [51]. В сверхпроводящих системах заряд и фаза являются канонически сопряженными переменными, для которых справедлив принцип неопределенности Гейзенберга. Невозможность одновременно фиксировать обе величины приводит к конкуренции между когерентными процессами, лежащими в основе эффекта близости и фиксирующими фазу, и кулоновскими явлениями, фиксирующими заряд. Таким образом кулоновское взаимодействие приводит к подавлению эффекта близости. Поэтому учет кулоновской блокады необходим при рассмотрении когерентной динамики в мезоскопических гибридных структурах наряду с мезоскопическими флуктуа-циями.

Обычный метод изучения локальных электронных свойств мезоскопических систем состоит в измерении дифференциальной проводимости между иглой туннельного микроскопа и изучаемым образцом. Дифференциальная проводимость пропорциональна точной функции Грина образца взятой в наиболее близкой к игле точке. Эта величина имеет смысл туннельной плотности состояний. В системах с взаимодействием туннельная плотность состояний оказывается подавленной на низких энергиях [52]. Этот эффект носит название туннельной аномалии. Простое качественное объяснение состоит в том, что после туннелирования электрона в образец требуется определенное время, чтобы дополнительный заряд смог распределиться и «освободить место» для следую*. щего электрона.

Наиболее сильно явление туннельной аномалии проявляется в низкоразмерных системах. Так, в грязной двумерной пленке подавление туннельной плотности состояний около энергии Ферми имеет логарифмический характер [52, 53]. В нульмерном случае маленькой металлической гранулы в туннельной плотности состояний образуется кулоновская щель, величина которой равна зарядовой энергии. Эта щель и является причиной явлений кулоновской блокады. <1 Кулоновская блокада в сверхпроводящих системах изучалось достаточно подробно [54, 55, 56], однако при этом эффект близости не принимался в расчет. Первая работа, в которой рассматривалось взаимовлияние эффекта близости и кулоновского взаимодействия, была выполнена Орегом и др. [57]. Для двумерной нормальной пленки, соединенной со сверхпроводником, в рамках метода ренормгруппы [58] была вычислена зависимость наведенной щели от константы экранированного кулоновского взаимодействия. Оказалось, что подавление ще-^ ли за счет взаимодействия имеет степенной характер, причем щель полностью закрывается, если константа взаимодействия достигает определенного критического значения.

Таким образом, явления мезоскопических флуктуаций и кулоновского взаимодействия играют существенную роль в сверхпроводящих гибридных структурах. Изучение этих явлений имеет большое значение для развития современных представлений о таких системах и их возможного применения в качестве элементной базы квантовых компьютеров и в других электронных устройствах Ф с использованием когерентных свойств.

Основные цели диссертационной работы заключаются в развитии метода нелинейной суперматричной ст-модели для учета мезоскопических флуктуаций в сверхпроводящих гибридных структурахприменении полученных результатов для изучения низкоэнергетического спектра гибридных структур различной геометрии и различных характеристик контактов между элементамипостроении самосогласованной теории кулоновской блокады для сверхпроводящих структур и изучении на ее основе свойств электронного спектра таких структур при наличии кулоновского взаимодействия.

Материал диссертации и полученные результаты организованы следующим образом. Первая глава посвящена вычислению плотности квазилокализован-ных состояний в нормальном металле, соединенном с одним или несколькими сверхпроводниками идеально прозрачными контактами. В начале излагается стандартный квазиклассический подход, основанный на уравнении Узаде-ля [12]. Свойства квазиклассического решения потребуются в дальнейшем для описания возможных инстантонов а-модели. Затем приводится краткий вывод нелинейной суперматричной сг-модели Ефетова для сверхпроводящих гибридных структур [36, 37]. В разделе 1.3 построена явная параметризация многообразия сг-модели в терминах восьми углов. Далее на основе этой параметризации проделан анализ всех возможных седловых точек действия сг-модели, и указана их связь с решениями квазиклассического уравнения Узаделя. Затем предлагается явная параметризация флуктуаций около найденных седловых решений, которая диагонализует квадратичную форму действия. Также проанализированы массы различных мод и выделены наиболее существенные из них. Раздел 1.6 посвящен вычислению главного инстантонного вклада в плотность состояний, который обеспечивает появление подщелевого «хвоста». В последнем разделе главы выполнено точное вычисление плотности состояний с учетом всех возможных седловых точек и получен универсальный результат, описывающий плотность состояний выше и ниже границы щели, а также и во всей переходной области.

В первой части второй главы полученные результаты для плотности состояний обобщаются на случай системы с неидеальными контактами. Показано, что структура седловых точек и флуктуаций около них сохраняется при добавлении в действие граничного члена. Затем выводится нульмерный предел (Т-модели в случае туннельных контактов. Полученное действие позволяет проанализировать зависимость плотности состояний от величины прозрачности контактов и установить различные асимптотические выражения для подщелевого «хвоста» с экспоненциальной точностью. При этом оказывается, что показатель экспоненты существенно изменяется, если прозрачность контактов ниже определенного критического значения. В следующем разделе вычислен пред-экспоненциальный множитель для сильно туннельного случая и показано, что полное число состояний под щелью становится большим в этом пределе. Такая ситуация названа «сильным хвостом» .

Вторая часть второй главы посвящена симметричному контакту с определенной разностью фаз. При протекании тока щель, наведенная в нормальной части контакта, подавляется [14] во многом аналогично тому, как это происходит в системах с туннельными границами. Существенное отличие контакта с разностью фаз заключается в изменении структуры седловых точек сг-модели. Как показано в разделе 2.2.2, если разность фаз превышает определенное критическое значение, главный инстантон, определяющий «хвост» плотности состояний в случае нулевого тока, исчезает. В следующем разделе проделан анализ масс различных флуктуационных мод около оставшейся еедловой точки и получено точное выражение для плотности состояний в этом случае. По мере приближения разности фаз к 7 г происходит переход к режиму «сильного хвоста», полностью аналогичного «сильному хвосту» в системе с туннельными границами. Вывод этого результата приведен в разделе 2.2.4.

В конце второй главы излагаются основные положения метода теории случайных матриц [27] в применении к вычислению подщелевой плотности состояний в гибридных структурах [33]. Продемонстрированы сходства и различия предсказаний этой теории с результатами а-модели.

В третьей главе рассматриваются различные ситуации, когда плотность состояний нельзя описывать в рамках нульмерной сг-модели. Первый раздел посвящен структурам с достаточно большой площадью контактов, когда размер инстантона меньше размера системы. В следующем разделе решается задача о сверхпроводнике с магнитными примесями и воспроизводится результат [38]. В конце главы с логарифмической точностью вычисляется плотность квазилока-лизованных состояний в гибридной структуре глубоко под щелью. Обсуждается связь полученных результатов с длинновременной асимптотикой кондактанса [43].

Четвертая глава посвящена изучению кулоновских эффектов в нормальной грануле, соединенной туннельным контактом со сверхпроводником. Для рассмотрения временных флуктуаций потенциала гранулы, вызванных взаимодействием, используется динамическая репличная а-модель Финкелыптейна.

58], вывод которой изложен в первом разделе главы. В разделе 4.1.2 разработан самосогласованный метод учета эффекта близости и кулоновской блокады, который основан на адиабатическом приближении: энергия флуктуаций фазы считается большой по сравнению с величиной щели в спектре гранулы. Уравнения, выведенные в этом разделе, позволяют находить любые физические характеристики системы в указанном приближении. В разделах 4.1.3 -4.1.5 вычислена величина термодинамической и туннельной плотности состояний, а также среднего заряда гранулы. В двух предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады получены приближенные аналитические выраг жения, а также приведены результаты численного расчета в общем случае. В разделе 4.1.6 изучается зависимость наведенной щели от температуры. Значение критической температуры вычислено аналитически в двух, указанных выше, предельных случаях и проанализирован общий результат, полученный численно. Оказывается, что при определенных значениях параметров системы возможна немонотонная, и даже возвратная, температурная зависимость величины щели.

Во второй части четвертой главы рассматривается случай, когда к грануле присоединены два сверхпроводника. В рамках развитого самосогласованного подхода вычисляется зависимость протекающего через систему сверхтока от разности фаз между сверхпроводниками. Из-за влияния кулоновского взаг имодействия характеристика ток — фаза оказывается резко несимметричной. Последний раздел посвящен вычислению величины критического тока и ее зависимости от температуры.

Заключение

.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Построена явная параметризации многообразия суперматричной ст-модели для гибридных структур и классификация всех седловых точек. Вычислен главный инстантонный вклад в подщелевую плотность состояний. С учетом всех возможных седловых точек найдена точная зависимость плотности состояний от энергии около края спектра, включая всю флук-туационную область.

2. Изучено влияние туннельных контактов и разности фаз на спектр квази-локализованных состояний в гибридной структуре. Показано, что количество квазилокализованных состояний возрастает по мере уменьшения щели ниже определенного критического уровня как за счет туннельных контактов, так и за счет протекающего через систему джозефсоновского тока. Продемонстрированы сходства и различия результатов микроскопической теории с предсказаниями теории случайных матриц для плотности состояний около края спектра в случае ортогонального и унитарного ансамблей Вигнера — Дайсона.

3. В рамках ненульмерной сг-модели изучены различные случаи неуниверсальной зависимости плотности состояний в гибридной структуре от энергии. Получены результаты для структур с контактами большой площади. Вычислена плотность состояний вдали от квазиклассического края спектра.

4. Построена самосогласованная теория для учета кулоновских эффектов в нормальной металлической грануле, соединенной со сверхпроводником туннельным контактом. Найдена зависимость щели в электронном спектре от емкости гранулы. Показано, что кулоновское взаимодействие приводит к двухступенчатой зависимости туннельной плотности состояний от энергии. Изучена зависимость величины щели в спектре от напряжения на затворе и квантование заряда гранулы в режиме кулоновской блокады. Вычислена температурная зависимость щели и найдено значение критической температуры. При определенных значениях параметров получена возвратная температурная зависимость щели. Для гранулы, присоединенной к двум сверхпроводникам, получена зависимость тока от разности фаз и вычислено значение критического тока.

Я глубоко благодарен своему научному руководителю М. В. Фейгельману за интересные научные задачи, постоянное внимание и поддержку, М. А. Сквор-цову за многочисленные полезные идеи и советы и готовность вникать в самые мелкие подробности вычислений, а также всем сотрудникам ИТФ им. Л. Д. Ландау за ценные обсуждения и замечания и за уникальную творческую атмосферу.