Обнаружение, разрешение и оценивание числа источников сигналов антенной решеткой в случае коротких выборок и неизвестных волновых фронтов

Актуальность темы

Многоэлементные антенные решетки находят все более широкое применение для пространственной обработки сигналов в системах радиосвязи, пассивной радио и гидролокации. Задачу оценки параметров источников сигналов, принимаемых многоэлементной антенной решеткой, можно разбить на две частиоценка числа действующих источников и оценка их направлений и мощностей.

Для решения второй задачи оценки угловых направлений на источники сигналов и их мощностей предложено большое число методов [1−5]. Среди них наиболее известными являются методы проекционного типа [3−5]. Эти методы обладают достаточно высокой чувствительностью к слабым сигналам и при увеличении длины выборки дают асимптотически несмещенные оценки параметров сигналов. Однако проекционные методы основаны на построении матрицы проектора на шумовое подпространство и, строго говоря, требуют априорного знания размерности шумового подпространства. Таким образом, при использовании проекционных методов, первоначально требуется решить первую задачу, то есть оценить число внешних источников.

Следует отметить, что применение классических методов максимума правдоподобия и байесовского [8−12] к решению задачи оценивания числа источников вызывает серьезные затруднения. Метод максимального правдоподобия (в обычной постановке) не применим, поскольку функция правдоподобия является монотонно неубывающей от числа источников. Использование байесовского метода требует априорного знания распределения числа источников, которое обычно неизвестно.

Поэтому для оценки числа источников сигналов, принимаемых антенной решеткой, было предложено множество специальных методов [40, 69, 70, 22−38]. Среди них наиболее широкую известность получили «Akaike Information Criterion» (AIC) [35, 38] и криетрий «Minimum description length» (MDL) [36−38]. Суть данных методов заключается в следующем: поскольку функция правдоподобия является монотонно неубывающей от числа источников, то необходимо модифицировать функцию правдоподобия путем добавления к ней некоторой штрафной функции, зависящей от числа источников. Исследованию статистических характеристик данных методов посвящено достаточно много работ [38, 39, 59−61, 22, 30]. Однако, полученные в большинстве этих работ аналитические результаты, являются асимптотически справедливыми для больших объемов выборок. Также, недостатком данных методов является то, что AIC дает несостоятельную оценку, а критерий MDL имеет тенденцию к переоценке числа источников сигналов в случае небольших объемов выборок.

Также были предложены другие методы оценки числа источников сигналов, основанные на анализе собственных векторов и собственных чисел выборочной корреляционной матрицы сигналов, снимаемых с элементов антенной решетки. Например, в работе [40] предлагается использовать тот факт, что при определенных условиях структура сигнальных собственных векторов известна, и в качестве оценки числа источников выбирается наибольшее число собственных векторов, наилучшим образом совпадающих с данной структурой. Для этого вводится некоторая мера близости собственных векторов к известной структуре и производится последовательное ее сравнение с некоторым порогом. Однако выбор этого порога затруднен, поскольку неизвестно распределение введенной статистики.

В работах [69, 70] был предложен метод оценки числа внешних источников сигналов, основанный на оценке степени минимального многочлена выборочной корреляционной матрицы. Параметры этого многочлена находятся из среднеквадратичного критерия, согласно которому для выборочной корреляционной матрицы отыскивается матричный многочлен наименьшей степени с минимальной евклидовой нормой, не превышающей заданный порог. Недостатком данного метода является тот факт, что интегральная функция предложенной статистики неизвестна и величина порога выбирается исходя только из среднего значения и дисперсии.

Широко известен метод последовательного сравнения собственных чисел выборочной корреляционной матрицы с порогами [1]. Данный метод основан на том факте, что количество собственных чисел точной корреляционной матрицы, превышающих единицу (при единичной мощности внутреннего шума), совпадает с числом внешних источников сигналов. Данный метод оценки числа источников сигналов заслуживает внимания, поскольку шумовые собственные числа не зависят от вида волнового фронта источников сигналов, принимаемых антенной решеткой, следовательно, данный метод инвариантен к направлению на источники сигналов, к виду волнового фронта и к взаимному расположению элементов антенной решетки. Статистические характеристики данного метода напрямую зависят от распределения максимального «шумового» и минимального «сигнального» собственных чисел. Шумовыми и сигнальными собственными числами выборочной корреляционной матрицы являются соответственно N-k младших и к старших собственных числа. Где Nразмерность корреляционной матрицы, а к — ранг корреляционной матрицы сигналов только от внешних источников. Исследованию статистических характеристик шумовых и сигнальных собственных чисел посвящено много работ [14, 13, 41−44]. Однако, полученные в большинстве этих работ аналитические результаты для максимального шумового собственного числа являются асимптотическими и справедливы для большого числа выборок или получены с помощью численного моделирования.

Таким образом, исследование статистических характеристик шумовых собственных чисел выборочной корреляционной матрицы сигналов антенной решетки является актуальной задачей.

Цель работы. При проведении исследований, отраженных в диссертации, были поставлены следующие цели:

1. Исследовать статистические характеристики максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы при любой длине выборки входного вектора сигналов и произвольного числа внешних источников.

2. Провести сравнительный анализ классических методов обнаружения многомерных сигналов и метода, основанного на сравнении максимального собственного числа с порогом для любого размера выборки.

3. Исследовать статистические характеристики разрешения двух источников сигналов, принимаемых антенной решеткой, для метода сравнения максимального шумового собственного числа с порогом.

4. Исследовать статистические характеристики известных методов AIC и MDL оценки числа источников для любого размера выборки сигналов, принимаемых антенной решеткой.

Методы решения.

При решении поставленных задач использовались методы теории случайных матриц [15, 16], а также общие методы теории вероятностей и статистической радиофизики [1, 8−12].

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Найдено точное аналитическое выражение для интегральной функции распределения максимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы при отсутствии источников для любого размера выборки.

2. Найдено асимптотическое выражение для интегральной функции распределения максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы для любого размера выборки при наличии произвольного числа мощных источников сигналов.

3. Найдено асимптотическое выражение для интегральной функции распределения минимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы для любого размера выборки при наличии произвольного числа мощных источников сигналов.

4. Проведен сравнительный анализ классических методов обнаружения многомерных сигналов и метода, основанного на сравнении максимального собственного числа с порогом, для любого размера выборки вектора сигналов.

5. Исследованы статистические характеристики разрешения двух источников сигналов, принимаемых антенной решеткой, для метода сравнения второго собственного числа с порогом.

6. Исследованы статистические характеристики двух известных методов оценки числа источников сигналов AIC и MDL для любого размера выборки сигналов, принимаемых антенной решеткой.

Практическая ценность.

Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при проектировании и исследовании эффективных систем обработки многомерных сигналов в радиолокации и гидроакустике.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заклю.

Основные результаты диссертационной работы и следующие из них практические выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Найдено точное выражение для интегральной функции распределения максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы сигналов антенной решетки при отсутствии внешних источников. Предполагалось, что собственные шумы элементов антенной решетки некоррелированны и являются гаус-совскими с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями. Выражение для интегральной функции распределения справедливо для любого размера выборки сигналов, снимаемых с элементов антенной решетки, в том числе и в случае, когда число выборок меньше числа элементов антенной решетки. Полученный результат позволяет вычислять пороговое значение для максимального собственного числа в задаче обнаружения источника. Это пороговое значение обеспечивает заданную вероятность ложного обнаружения сигнала для любого размера антенной решетки и любого размера выборки вектора сигналов.

2. Получено асимптотическое выражение для интегральной функции распределения максимального шумового собственного числа, в случае присутствия одного или более источников сигналов. Данное выражение справедливо для мощных источников сигналов и любого размера выборки. Это позволяет вычислять пороги для собственных чисел по заданной вероятности переоценки числа источников для любого размера антенной решетки и произвольного размера выборки вектора сигналов.

3. Проведен сравнительный анализ статистических характеристик классических методов обнаружения многомерных сигналов и метода основанного на сравнения максимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы с порогом («max — Л» тест) Для пространственной согласованной обработки, х2-критерия и «max теста получены кривые обнаружения для многомерных сигналов с различной степенью пространственной корреляции. Показана высокая эффективность «max — Л» теста при обнаружении как пространственно коррелированных, так и пространственно некоррелированных многомерных сигналов.

4. Проведен анализ влияния земной поверхности на статистические характеристики двух различных методов обнаружения источника сигнала — метода пространственной согласованной обработки и метода сравнения максимального собственного числа с порогом («max — Л» -тест). Показано, что «max — Л» -тест является существенно более устойчивым к влиянию земной поверхности критерием, чем согласованная обработка. Также показано, что «max —Л» -тест в большинстве случаев является более эффективным чем согласованная обработка. Исключение составляет ситуация, когда антенная решетка расположена на высоте, обеспечивающей совпадение фаз прямого и переотраженного сигналов в ее приемных элементах, отражение от земной поверхности является идеальным и угол между направлением на источник сигнала и поверхностью земли существенно меньше ширины диаграммы направленности.

5. Поскольку метод оценки числа сигналов с помощью собственных чисел не зависит от вида волнового фронта источников, то полученные результаты можно использовать для решения задач разрешения источников, расположенных как в дальней, так и в ближней волновой зоне. В работе проведен анализ статистических характеристик метода разрешения двух источников сигналов, основанного на сравнении второго собственного числа с порогом. Анализ проводился как для случая расположения источника сигнала в дальней волновой зоне (плоский волновой фронт), так и для случая расположения источника сигнала в ближней волновой зоне (цилиндрический волновой фронт). Для случая плоского волнового фронта получены зависимости между мощностью источников и угловым разрешением. Для случая цилиндрического волнового фронта получены области разрешения для различных мощностей и местоположений источников.

6. Среди различных методов оценки числа источников сигналов наиболее широкую известность получили «информационный критерий Акаике» («Akaike Information Criterion» (AIC)) и критерий «минимума длины описания» («Minimum description length» (MDL)) (1974;1985, H. Akaike, J. Rissanen, G. Schwarz, M. Wax, T. Kailath). Показано, что при некоторых условиях, методы AIC и MDL являются эквивалентными методу сравнения максимального шумового собственного числа с определенным порогом. Следовательно статистические характеристики данных методов напрямую связаны с функцией распределения максимального шумового собственного числа. В работе, для случая известной мощности внутреннего шума элементов антенной решетки, найдены аналитические выражения для вероятностей переоценки числа источников сигналов с помощью AIC и MDL методов. Данные выражения справедливы для любого размера выборки сигнала. Проведены численные эксперименты, подтверждающие полученные теоретические результаты.

Заключение

.