Управление нелинейными магнитными волновыми структурами методом автосинхронизации

Актуальность работы. Колебательные процессы занимают в современной физике и технике весьма важное значение. Почти в любой области этих наук колебания играют ту или иную роль, не говоря уже о том, что ряд областей физики и техники всецело базируется на колебательных явлениях. Это относится, например, к теории электромагнитных колебаний, включающей в себя и оптику, микроэлектронике и радиотехнике.

Благодаря такой востребованности, математический аппарат теории колебаний и соответствующие физические представления активно развиваются вот уже несколько столетий. Особенно это относится к так называемым линейным задачам. В результате мы имеем средства для исчерпывающего исследования практически любой линейной задачи.

Примерно с конца девятнадцатого века и, особенно, в середине двадцатого, пристальное внимание ученых обратилось на нелинейные проблемы. Сейчас все больше утверждается мнение о нелинейности окружающего нас мира. Здесь, однако, пришлось столкнуться с трудной проблемой: чрезвычайное разнообразие нелинейных явлений, происходящее из отсутствия такого фундаментального упорядочивающего принципа, как принцип суперпозиции. В попытке упорядочить имеющиеся факты о нелинейных явлениях природы к настоящему моменту удалось создать ряд новых теорий (например, теория солитонов, теория динамического хаоса), а также существенно развить классические разделы физики. Последнее относится и к теории колебаний, из которой мы теперь можем выделить теорию нелинейных колебаний. Несмотря на все эти достижения, нелинейная: наука еще далека от завершения.

В центре данной диссертационной работы находится автосинхронизация (в другой терминологии, авторезонанс, автофазировка) — относительно новое нелинейное явление, имеющее тот же порядок универсальности, что и широко известный нелинейный резонанс. При определенных условиях автофазировка может произойти в большинстве нелинейных колебательных систем. Как будет показано в работе, в состоянии автофазировки нелинейная система становится эффективно управляемой при помощи внешнего воздействия. Для нелинейных систем вопрос управления особенно сложен (ввиду сложности таких систем) и актуален благодаря их особым свойствам и распространенности.

Несмотря на то, что первые работы по автосинхронизации были сделаны в сороковых годах двадцатого века, описание этого явления до сих пор довольно трудно найти в учебниках. Так, в ставшей уже классической книге [1] термин авторезонанс хотя и употребляется, но в другом смысле. Между тем, авторезонанс можно использовать не только для управления нелинейными системами, но и как более эффективный вариант нелинейного резонанса, позволяющий передавать энергию колебательной системе более экономичным способом, что, безусловно, может найти применения в технике.

В данной работе рассматривается вопрос об автосинхронизации в распределенных системах, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных. Мы исследуем авторезонанс в нелинейном уравнении Шредингера (НУШ) — широко распространенной модели, описывающей нелинейные волны в магнетиках, оптических системах, плазме и многих других системах. Уравнение НУШ имеет решения в виде локализованных волн — солитонов. Такая волна называется солитоном огибающей, так как зачастую уравнение НУШ описывает не саму волну, а огибающую волнового пакета, распространяющегося в некоторой среде. Для модели НУШ будет предложен авторезонансный метод управления амплитудой и скоростью солитона огибающей. Данный метод позволяет управлять солитоном огибающей в магнитоупорядоченной среде.

В современной физике магнитных явлений большую роль играют нелинейные эффекты и, в частности, связанные с ними локализованные структуры, такие как солитоны, которые интенсивно исследуются в настоящее время как экспериментально, так и теоретически [2−4]. В связи с этим задача генерации таких структур с заданными амплитудно-фазовыми характеристиками и последующее управление их динамикой представляет особый интерес. Актуальной является также разработка принципиально новых методов управления такими структурами, особенно в связи с активными экспериментальными исследованиями свойств солитонов в магнитных пленках [5, 6].

Цель диссертационной работы состояла в построении теории авторезонансного управления амплитудой и скоростью солитона намагниченности в одноосных ферромагнетиках с анизотропией типа «легкая ось». Были поставлены следующие конкретные задачи:

1. Построить адиабатическую теорию захвата фазы (автосинхронизации) солитона внешней волновой накачкой с медленно изменяющимися параметрами в рамках модели нелинейного уравнения Шредингера.

2. Сформулировать условия управления малоамплитудным солитоном намагниченности и возможные сценарии такого управления.

3. Провести численное моделирование процесса управления солитоном намагниченности.

Научная новизна. Впервые показано, что солитонами в НУШ можно эффективно управлять при помощи внешнего возмущения («накачки») с использованием эффекта автосинхронизации. Процесс управления позволяет изменять как амплитуду солитона, так и его скорость, то есть контролировать все параметры солитона. Предложена новая методика управления солитоном намагниченности в одноосном магнетике, возможные сценарии такого управления и необходимые конфигурации полей накачки.

Практическая значимость. Авторезонансное управление солитоном намагниченности может найти применение в реализации устройств на базе магнитных пленок, например, предназначенных для передачи и хранения информации. Также результаты работы могут найти применение при создании солитонных линий связи на оптических волокнах. В частности, в таких устройствах остро стоит проблема усиления солитонных импульсов без искажения их формы. Существующие методы усиления приводят (в отличие от разработанного нами) к искажению формы импульсов и, в результате, к появлению шумов.

Соответствие диссертации Паспорту научной специальности. Содержание диссертации соответствует формуле и пункту 1 Паспорта специальности 01.04.11 — физика магнитных явлений: «Разработка теоретических моделей, объясняющих взаимосвязь магнитных свойств веществ с их электронной и атомной структурой, природу их магнитного состояния, характер атомной и доменной магнитных структур, изменение магнитного состояния и магнитных свойств под влиянием различных внешних воздействий» .

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Адиабатическая теория управления солитоном огибающих волн в рамках модели НУШ, основанная на эффекте автосинхронизации (авторезонанса).

2. Типы накачек, позволяющие осуществить авторезонансное управление солитоном и возможные сценарии такого управления.

3. Пороговые значения амплитуды и фазы накачки, достаточные для управления солитоном.

4. Конфигурации внешних магнитных полей накачки и их критические значения, позволяющие управлять амплитудой солитона намагниченности в одноосном магнетике.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались и обсуждались на Международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, 2006) — Международной конференции «Frontiers of nonlinear Physics» (Нижний Новгород, 2007) — Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (Уфа, 2008) — Международной конференции «Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems» (Италия, 2009) — Международной конференции «Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives» (Черноголовка, 2009) — Российской конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (Уфа, 2009).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [7−9], входящих в перечень ВАК, 1 статья в сборниках трудов конференций [11] и 1 тезисы докладов [10].

Личный вклад автора. Результаты, приведенные в данной диссертационной работе, были получены при непосредственном участии автора. Все численные расчеты, а также разработка теории двухпара-метрического управления солитоном (изложенная в главе 5) были выполнены автором диссертации самостоятельно. Результаты, изложенные в главе 3, получены совместно с Е. М. Масловым. В частности, в указанной главе в параграфе 3.3 использовался метод, впервые опубликованный в работе [12].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

5.6. Выводы к главе 5.

1. В данной главе мы показали, что полное управление солитоном, т. е. управление всеми независимыми параметрами — амплитудой и скоростью солитона, возможно с помощью накачки вида (5.4) с двумя независимыми фазами.

2. Дифференциальные уравнения для параметров солитона были получены с помощью лагранжева формализма. В предположении, что имеет место захват обоих фаз, при помощи двухмасштабно-го разложения были получены упрощенные уравнения типа двух связанных нелинейных маятников, адекватно описывающих эффект авторезонанса. Определены условия, при которых в четырехмерном фазовом пространстве этой динамической системы существуют устойчивые стационарные точки, что определяет необходимые условия существования захвата фазы солитона внешней накачкой.

3. Все теоретические результаты были проверены прямым численным интегрированием исходного уравнения НУШ. Также была продемонстрирована возможность управления параметрами соли-тона, если имеет место авторезонанс по обоим фазам и параметры возмущения в каждый момент времени удовлетворяют полученным нами необходимым условиям.

Рис. 5.2. Результаты численного интегрирования уравнения (5.1) при д = 0.081 > дст (рисунки а, с) и при д = 0.078 < д&bdquo- (рисунки Ь, с!), где дсг = 0.0799. Прочие параметры: е = 2 х Ю-4, = а2 = 0.1 е, к = 1, 6(0) = 0, 0(0) = 1.63, Л (0) = 1, У" (0) = 0. Величина 6А представляет собой отклонение амплитуды от начального значения: 8А = А — 1.

1.1 1.

0.8.

I 1−1-1−1-1 I-1-г.

0 ftl 02 аз 04 V.

Рис. 5.3. Эволюция скорости V и амплитуды, А солитона (а), полученные численным интегрированием возмущенного уравнения НУШ (5.1) при Q (t) и U (t), имеющих вид (Ь). Прочие параметры: е = 2×1(Г4, д — 0.1, к = 1, <5(0) = -0.033, 0(0) = -тг — 0.033, А (0) = 1, F (0) — 0. пъ.

Заключение

.

В диссертационной работе аналитическими и численными методами исследована задача авторезонансного управления солитоном нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). Управление осуществляется при помощи малого внешнего возмущения, входящего в правую часть НУШ. При помощи лагранжева формализма получены дифференциальные уравнения, описывающие динамику параметров солитона в адиабатическом приближении, а также исследованы условия захвата фазы солитона возмущением. С помощью численного интегрирования показано, что найденные уравнения хорошо описывают динамику солитона при условии, что выполнены условия адиабатичности, в частности при достаточно слабом возмущениии. Мы рассматриваем два варианта управления солитоном. В первом случае требуется управлять лишь амплитудой солитона. Во втором случае требуется независимо управлять как амплитудой, так и скоростью солитона.

Развитая теория управления амплитудой солитона НУШ используется в задаче управления солитоном намагниченности в одномерном ферромагнетике с анизотропией типа легкая ось. Найдены конфигурации внешних магнитных полей, необходимые для осуществления управления, ограничения на амплитуду этих полей. Также найдены ограничения на скорость, с которой могут меняться параметры поля накачки (частота циркулярно поляризованной компоненты и амплитуда компоненты поля вдоль оси анизотропии), так, что возможен захват фазы солитона и эффективное управление его амплитудой. Обосновывается возможность аналогичного управления при учете магнитостатических эффектов.

Полученные результаты могут быть использованы и в других приложениях, где волновая накачка может иметь иную физическую природу. Так, в нелинейной оптике это может быть квазистационарная плоская световая волна, инжектируемая в волоконный световод [88, 89], или эффективное внешнее возмущение, вызванное взаимодействием волн в асимметричном двужильном световоде [77]. При описании волн плотности заряда в конденсатах накачка возникает, например, при наложении внешнего переменного электрического поля [42], а в плазме — при воздействии на ленгмюровские солитоны высокочастотного электрического поля [76, 90, 91]. Во всех этих случаях изменение параметров накачки также позволит управлять динамикой солитона.

В работе получены следующие новые результаты:

1. Показано, что управление амплитудой солитона в рамках модели НУШ может осуществляться накачкой типа бегущей волны с медленно изменяющейся частотой, если начальная частота накачки совпадает с частотой солитона и ее амплитуда превышает некоторое критическое значение. Сценарий управления определяется зависимостью частоты накачки от. времени и позволяет как увеличивать, так и уменьшать амплитуду солитона в широких пределах. Разработана адекватная теория явления, основаная на эффекте автосинхронизации (авторезонанса).

2. Обязательным условием управления амлитудой солитона намагниченности в одноосном магнетике является наличие компоненты внешнего поля накачки, перпендикулярной к оси анизотропии, величина которой превышает некоторое пороговое значение. Для усиления солитона намагниченности необходимо либо медленно увеличивать амплитуду компоненты внешнего поля, направленной вдоль оси анизотропии, либо медленно уменьшать частоту вращения компонент внешнего поля, перпендикулярных к оси анизотропии.

3. Показано, что одновременное управление амплитудой и скоростью солитона возможно при двухфазной накачке, представляющей собой линейную комбинацию двух волн с разными волновыми числами. Параметрами управления в данном случае являются частоты этих волн. Параметры накачки должны медленно меняться со временем по определенному сценарию, обеспечивая, при наличии захвата фаз, возможность управления обоими параметрами солитона.

Автор хотел бы выразить глубокую признательность научному руководителю — доктору физико-математических наук Шагалову А. Г. за внимательное отношение и поддержку. Также автор признателен д.ф.-м.н. Борисову A.B., д.ф.-м.н. Киселеву В. В. за плодотворные дискуссии и соавтору к.ф.-м.н. Маслову Е. М. за терпение при подготовке публикации.

Работа частично поддержана грантом для молодых ученых и аспирантов УрО РАН за 2009 г. 6.