Изоморфизмы тензорных произведений модулей и Т-модули

В разное время интерес многих алгебраистов привлекал вопрос об изучении взаимосвязей между свойствами абелевых групп и модулей. В этом направлении имеется большое количество работ. В рамках этой проблематики находится изучение Е-копец и^{-модулей.} Первые публикации о^{-кольцах} и Е-модулях относятся к 1970;м годам. Е'-модуль, А над кольцом R определяется равенством групп гомоморфизмов Homz{R, А) = Homn (R, А). В частности, если рассматривать кольцо R как правый регулярный модуль, приходим к изоморфизму R = E (R+), который задает класс Е-колец. Впервые понятие Е-кольца появилось в 1973 г. в работе [Scl]. Затем оно было перенесено на класс модулейтакие модули назывались в [Bowl]^{-группами.} ^-модулям посвящены работы [Mai], [Piel] и другие.

В настоящее время Е-модули и .Е-кольца находят широкое применение в теории абелевых групп. Например, в [Gol] изучаются саморефлексивные группы G, которые определяются условием G = Hom (Hom (G, G), G). Группа является саморефлексивной тогда и только тогда, когда она является^{-модулем} над своим кольцом эндоморфизмов. Е-модули существенно используются при изучении абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов. Так, для абелевой группы G без кручения конечного ранга верно, что G — циклический проективный модуль над своим кольцом эндоморфизмов E{G) тогда и только тогда, когда G — R ® А, где R есть Е-кольцо и, А — Е-модуль над R [Nel],[Arl]. В [К4] дан обзор результатов об абелевых группах как модулях над своими кольцами эндоморфизмов, показывающий пользу^{-модулей} и Е-копец в этих вопросах.

С другой стороны, активно изучаются тензорные произведения абелевых групп и модулей. Тензорное произведение является второй (после группы гомоморфизмов) важнейшей конструкцией. Описание строения тензорных произведений абелевых групп и модулей является актуальной проблемой. Представляет интерес изучение взаимосвязей между тензорными произведениями модулей над разными кольцами. В общем случае для модулей Ад и цС тензорные произведения A 0z С и, А С — различные объекты. Однако при некоторых условиях между ними может существовать канонический изоморфизм.

В диссертации вводится новое понятие — Т-модуль, или Т (е)-модуль, который определяется условием A R — А R в предположении, что задан гомоморфизм колец е: S —> R. В частности, рассматривается условие A ®z R — A R. Заметим, что для каждого кольца R есть единственный кольцевой гомоморфизм Z R.

Рассматривается следующая задача: получить описание классов модулей, для которых существует канонический изоморфизм A (g>s R = A tg>R R. В некотором смысле это направление можно считать двойственным к изучению Е'-модулей. Здесь вместо функтора Нот рассматривается функтор тензорного умножения. Оказывается, что естественно, классы Еи Т-модулей тесно взаимосвязаны.

Для колец изоморфизмы Я z R — R или R R — R изучались в работах [Bowl], [Si 1] и других. Кольцо R со свойством R®z R — R называется Т-кольцом [Bowl]. Вопрос о взаимосвязи между модулем Ar и тензорным произведением A R исследовал Сильвер [Si 1] в предположении, что е: S —R — эпиморфизм в категории колец. В диссертации исследуются соответствующие конструкции без этого ограничения. В [Sil] доказано, что существование канонического изоморфизма R (g>s R = R эквивалентно тому, что е: S —> Rэпиморфизм в категории колец. (При S = Z это в точности класс Т-колец в смысле [Bowl].).

Настоящая работа посвящена изучению Т-модулей. В отличие от подхода в [Piel], где фиксируется кольцо R и рассматриваются классы абелевых групп, являющихся ?(.й)-модулями, здесь удобно применять также и другой метод исследования. Он состоит в том, что фиксированная абелева группа, А рассматривается как модуль над различными кольцами, например, над Z, R, над кольцомЕ'(А) всех эндоморфизмов группы Л и его центром Z{E{A)). Известно, что каждая абелева группа Л естественным образом является модулем над кольцом Е (А). Все модульные структуры на группе, А над кольцом R могут быть ассоциированы с гомоморфизмами колец р: R —> Е (А). При этом группа, А может быть превращена в притягивающий R-модуль [Ф1]..

Исследование развивается по двум направлениям..

1. Изучение общих свойств Т-модулей, нахождение связей этих объектов с группами гомоморфизмов, кольцами эндоморфизмов и другими конструкциями..

2. Описание классов абелевых групп, на которых есть структура Т-модуля над каким-либо кольцом и описание колец, над которыми существуют Т-модули..

Цель работы: исследовать условия существования канонического изоморфизма a ®s r — a ®r r', получить характеризации модулей, для которых справедлив данный изоморфизмописать различные классы таких модулей..

Научная новизна и практическая ценность. Основные полученные результаты являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие..

1. Получен критерий, характеризующий Т-модули с помощью групп аддитивных и модульных гомоморфизмов (теорема 4.6) и некоторые его следствия, обобщающие ряд фактов из [Bowl],[Piel] о Еи Т-свойствах модулей над Т-кольцами..

2. Исследована взаимосвязь между условием Т-модульности As Я = А <8)д Я и свойствами кольца Я (теорема 6.1, следствие 6.2)..

3. Получено полное описание колец, над которыми существуют Т-модули относительно гомоморфизма е: Z Я (теоремы 8.3 и 10.2)..

4. Описаны абелевы группы, на которых может быть задана структура Т-модуля над кольцами Я, Е (А), Z (E (A)) в классах периодических групп (теорема 9.1, следствие 9.2), групп без кручения (теоремы 8.3, 10.3, 10.5, следствие 10.7), в частности, сепарабельных групп без кручения (следствие 10.7, теорема 10.9)..

Работа имеет теоретическое значение. Проведенное исследование Т-модулей вносит определенный вклад в нахождение взаимосвязей между аддитивными и модульными свойствами. Полученные результаты о Т-модулях могут быть использованы при изучении Е-модулей. Так, из результатов § 4 и § 7 видно, что можно изучать группы Homz (A, В) как^{-модули} над кольцом Я или над Е{А). Результаты диссертации могут применяться при исследовании строения тензорных произведений абелевых групп..

Все встречающиеся в работе кольца — ассоциативные с единицей, модули — унитарные. Под словом «группа» понимается «абелева группа». Конец доказательства отмечается символом ?..

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы и содержит 90 страниц..

1. Приходовский М. А. Некоторые свойства Т-модулей // Тезисы докладов II областной конференции «Молодежь и наука: проблемы и перспективы.» Томск, 1998. С. 11−12..

2. Приходовский М. А. Т-модули и их кольца эндоморфизмов// Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск, 1998. С.196−200..

3. Приходовский М. А. Модули, изоморфные своему тензорному произведению на кольцо // Материалы XXXVII международной конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 1999. С. 125−126..

4. Приходовский М. А. Необходимые и достаточные условия для Т (Д)-модуля // Доклады III межвузовской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 1999. С.74−75..

5. Приходовский М. А. Обобщённые Е-модули и Е-кольца // Уни-верс. алгебра и её приложения. Тезисы докладов межд. семинара памяти Л. А. Скорнякова. Волгоград, 1999. С.55−56..

6. Приходовский М. А. Некоторые свойства обобщенных Т-модулей и Т-колец // Исследования по математическому анализу и алгебре. Выпуск 2. Томск, 2000. С.105−110..

7. Приходовский М. А. Об одном критерии Т-модульности // Тезисы докладов IV международной алгебраической конференции памяти Ю. И. Мерзлякова. Новосибирск, 2000. С. 150−151..

8. Приходовский М. А. О некоторых естественных изоморфизмах, связанных с функторами ф и Нот // Тезисы докладов Четвертого Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Новосибирск, 2000. С. ИЗ..

9. Крылов П. А., Приходовский М. А. Обобщенные Т-модули и Е-модули// Труды межд. семинара памяти Л. А. Скорнякова «Универсальная алгебра и ее приложения». Волгоград, 2000. С.153−169..

10. Приходовский М. А. О некоторых свойствах е-расширений модулей// Труды Второй сибирской школы молодого ученого. Томск, 2000. С.35−39..

11. Приходовский М. А. О некоторых классах обобщенных T®-модулей // Абелевы группы и модули. Томск, 2000. Вып.15. С.75−87..

12. Приходовский М. А. О каноническом изоморфизме модуля и его ковариантного расширения // Тезисы докладов международного алгебраического семинара, посвященного 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре. Москва, 2000. С.45−46..

13. Приходовский М. А. Строение классов Т-модулей // Тезисы докладов межд. семинара по теории групп. Екатеринбург, 2001. С.189−192..

14. Приходовский М. А. Подкольца и факторкольца как обобщенные Т-модули // Исследования по матем. анализу и алгебре. Выпуск 3. Томск, 2002. С.235−239..