Проблемы обоснования сейсмомоделирования на пластинчатых моделях

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Настоящая работа посвящена некоторым неясным вопросам обоснования метода пластинчатого моделирования. Работа разбивается на две части. В первой уточняются вопросы, связанные с «классическим» обоснованием моделирования для безграничной пластины, во второй, путем прямого сопоставления точного решения для эталонных плоских задач с экспериментом, проверяется точность, с которой плоская задача теории упругости реализуется на ограниченных или составных пластинчатых моделях.

Актуальность темы

диссертации.

Метод пластинчатого моделирования (ПМ) — достаточно распространенная и удобная методика, позволяющая практически выяснять многие вопросы распространения волн. Сравнительно большая (чем у способов трехмерного моделирования) гибкость составляет одно из главных преимуществ методаиз самой природы метода вытекает главное ограничение — возможность моделирования только плоских волновых полей. За время существования метода ПМ с его помощью было получено много результатов, касающихся сложных вопросов распространения волн. Некоторые примеры можно найти в библиографии к диссертации.

Вместе с тем сложность природы полезной волны в методе ПМ (интерференционная пластинчатая волна) вызывала обоснованные сомнения в том, что получаемые результаты соответствуют (с известной степенью точности) плоской задаче теории упругости в случае сколь-нибудь нетривиальных моделей.

Здесь открытыми оставались следующие вопросы: а) Характер поля вблизи торцевых поверхностей пластины (в композитных моделях или ограниченных пластинах). Существовали теоретические указания на то, что вблизи кромок пластины (в некоторой неопределенной окрестности торцов) характер поля должен отличаться от возбуждающегося в соответствующей плоской задаче. Точно рассмотреть эту проблему теоретически нет реальной возможности. б) Применяемый при физическом моделировании тип источника (торцевой) не может быть рассмотрен теоретически. По этой причине было неясно, соответствуют ли возбуждаемые таким источником поля задаче Лемба (вертикальная сила на поверхности полупространства). в) При составлении композитных моделей используются различные способы (склейка в торец, дырчатое моделирование, наклейки и т. д.), каждый из которых требует отдельного рассмотрения и контроля. Средства такого контроля до сих пор не были разработаны. г) Выяснение того, каков минимальный размер модедируемого объекта, например, минимальная толщина моделируемого тонкого слоя (сравнительно с толщиной пластины и длиной волны) — этот вопрос нами пока не рассматривался, т. е., мы ограничивались фактически рассмотрением сред, содержащих только толстые слои.

В связи с тем, что эти вопросы оставались до конца не выясненными, неоправданно ограничивалась область применимости очень полезного и интересного по идее методамногие получаемые с его помощью результаты воспринимались только качественно, некоторые же вызывали обоснованные сомнения.

Цель работы. а) Уточнение вопросов, относящихся к классическому обоснованию моделирования. б) Исследование свойств побочных мод задачи об изолированном слое и исследование свойств основной моды в более широкой полосе частот, чем это необходимо для моделирования непосредственно. г) При помощи прямого сопоставления эксперимента с теорией (эквивалентной плоской задачей), обращая особое внимание на окрестности торцевых частей пластины, сделать заключение о качестве получаемого экспериментального материала для важнейших эталонных задач. д) Создание способа, пригодного для контроля различных методов изготовления составных пластинчатых моделей.

Задачи исследования.

Точное количественное определение рабочей полосы частот моделирования, степени постоянства амплитудных коэффициентов в рабочем диапазоне частот, стабильности моделирующего сигнала на больших расстояниях.

Определение влияния на полезное поле мод-помех следующих двух видов:

1) Всей совокупности существующих в пластине неособых мод симметричного воздействия;

2) Мод-помех, связанных с несоблюдением условий возбуждения (прежде всего — изгибной волны).

Проведение сопоставления эксперимента с точным решением плоской задачи для следующих модельных задач:

— Задача Лемба для полупространства.

— Задача об отражении от свободной поверхности полупространства (торца пластины).

— Задача об отраженнии/преломленнии волн на контакте двух (достаточно протяженных) пластин (эмулирующих контакт двух полупространств).

Научная новизна.

1. Исследованы различные моды, существующие в безграничной пластине в случае симметричного и антисимметричного воздействий. Подробно рассмотрены как особые (пластинчатая в случае симметричного, изгибная в случае антисимметричного воздействия), так и неособые моды.

2. Произведены расчеты полей мод в различных диапазонах относительно низких частот (как при нормальном, так и касательном симметричном и антисимметричном воздействиях).

3. Впервые произведена сверка точного решения эталонных плоских задач с результатами модельных экспериментов и показана высокая (в некоторых случаях превышающая 90 процентов) корреляция между ними. Это (после необходимых уточнений) открывает дорогу для прямого количественного использования метода ПМ.

4. Создан способ проверки методик изготовления двумерных пластинчатых моделей.

Практическая ценность:

1. Уточнены вопросы, относящиеся к классическому обоснованию метода пластинчатого моделирования:

— связанные с влиянием мод-помех (как вызванных несоблюдением условий возбуждения, так и неособых мод, соответствующих симметричному воздействию);

— связанные со стабильностью моделирующего сигнала на больших расстояниях;

— связанные с частотным диапазоном и постоянством амплитудных коэффициентов.

2. Показанная высокая корреляция точного решения для эталонных задач с экспериментальным материалом значительно расширяет границы применимости метода ПМ.

3. Разработан способ контроля методик изготовления составных пластинчатых моделей.

Защищаемые положения.

— Исследованы свойства основной (пластиночной) моды. Определены количественно погрешности моделирования, связанные с дисперсией скоростей основной моды и непостоянством амплитудных коэффициентов (в зависимости от соотношения скоростей 7 и полосы частот локализации сигнала). Установлена степень стабильности моделирующего сигнала на больших расстояниях в зависимости от 7 и от полосы частот, в которой локализован сигнал.

— Дана количественная оценка волн-помех, как связанных с побочными модами симметричного (относительно срединной плоскости пластины) воздействия, так и появляющихся при несоблюдении условий (симметричного) возбуждения.

— Поставлено теоретико-экспериментальное исследование, имеющее целью установить границы применимости метода пластинчатого моделирования в особых областях поля (окрестности внутренних и внешних торцевых поверхностей пластинчатой модели).

— Показано на примере плоских границ раздела, что структура поля не испытывает заметных нарушений при приближении к торцевым частям пластины на расстояния, малые в сравнении с длиной волны.

— Создан способ проверки методик изготовления двумерных пластинчатых моделей.

Личный вклад автора.

Все результаты, изложенные в диссертации, принадлежат лично автору или автору на равных правах с соавторами, за исключением аналитических представлений, приведенных без вывода во второй главе диссертации. Эти представления, полученные Г. И. Петрашенем, приводятся по совместной работе [1].

Аппробация работы.

Результаты исследований, представленных в работе, докладывались на международных конференциях «Problems of Geocosmos» (Санкт-Петербург Россия, 29 июня-3 июля 1997 г.), «Геофизика-99» (Петродворец, Россия, 912 ноября 1999 г.), а также на семинарах кафедры физики Земли НИИФ СПбГУ и семинарах Г. И. Петрашеня в ПОМИ РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.

Автор благодарит своего научного руководителя Георгия Ивановича Петрашеня, доктора Н. А. Караева (ВИРГ) за консультации и помощь в работе, сотрудника ВИРГ Кашкевича В. И. за сотрудничество и помощь при проведении экспериментов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:

В первой главе дается обзор литературы.

В п. 1.1 описываются цели и методы физического моделирования, дается общее представление о двумерном моделировании и приводятся примеры задач, решавшихся в разное время при помощи метода пластинчатого моделирования.

В п. 1.2 дается краткое описание различных методик пластинчатого моделирования, использующихся при реализации составных моделей (склеивание в торец, дырчатое моделирование, модели с наклейками, би-морфные модели и композитные модели). Дискутируется (кажущееся) противоречие, возникающее при использовании в модели листов различной толщины (одному и тому же листу, рассмотренному отдельно или же в составе модели, должны приписываться различные приведенные плотности для моделируемой среды).

В п. 1.3 дается оценка степени обоснованности пластинчатого моделирования к настоящему моменту, обсуждаются основные работы, относящиеся к обоснованию метода.

Во второй главе проводится подробное исследование интерференционных волновых полей в свободном упругом слое в области относительно низких частот. По результатам исследования дается количественная формулировка требований, предъявляемых к моделированию на безграничной пластине. Исследование проводится и результаты формулируются в терминах безразмерной частоты к = о-^-, (где 1 г — полутолщина пластины), при этом единственный параметр, от которого зависит задача — соотношение скоростей 7 = ^ < 1. Приводятся представления решения (в форме метода Лемба) для случаев симметричного и антисимметричного (относительно срединной плоскости пластины) воздействий и соответствующие им дисперсионные уравнения.

Полное поле в задаче представляется в виде суммы вычетов, соответствующих различным корням дисперсионных уравнений симметричного и антисимметричного воздействий, среди которых выделяются так называемые особые моды, соответствующие пластинчатой волне (в случае симметрического воздействия) и изгибной волне (в случае антисимметричного воздействия). Указанные корни отличаются тем, что при нулевой частоте только они находятся на вещественной оси комплексной плоскости ¦(?), т. е., им соответствуют незатухающие моды.

Для прочих корней дисперсионных уравнений приводятся явные асимптотики в области низких частот1. Удается сделать также некоторые выводы о их движении по мере увеличения частоты. Коротко, при малых частотах они находятся на бесконечности (в районе мнимой оси), по мере увеличения частоты они спускаются вниз, последовательно проходя через начало координат и выходя на вещественную ось ©. При малых частотах, таким образом, им соответствуют быстро затухающие моды.

В силу указанных обстоятельств способ вычисления полей по вычетам в корнях дисперсионных уравнений оказывается крайне удобным в области низких частот (что, в частности, соответствует нуждам пластинчатого моделирования), когда требуется учитывать лишь небольшое число корней, успевших подойти достаточно близко к вещественной оси. По мере увеличения полосы частот число корней возрастает, соответствующие им поля сложно интерферируют между собой и требуется применять другие методы вычислений.

Численными методами исследуется движение особых корней и поведение амплитудных коэффициентов для случаев нормального и касательного симметричного воздействий. Полученные результаты позволяют сделать выводы о верхней границе рабочей полосы частот моделирования (в зависимости от соотношения скоростей 7), степени постоянства скорости пластинчатой волны и погрешностях, связанных с изменением скорости и амплитудных коэффициентов от их нулевых значений. Некоторые результаты приведены в следующей таблице и коротко прокомментированы ниже:

Полученные Г. И. Петрашенем т 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7.

7 0.53 0.54 0.58 0.63 0.71 а 2.0 • 10~2 1.5- Ю-2 4.0 • Ю-3 1.6 -10~3 з. о • ю-5 тах 0.51 0.57 0.68 0.75 1.12 лМС) М (Со) 2 2.5 3 3 1.

В первых двух строках таблицы приведены, соответственно, соотношения скоростей 7 = ^ для пластины и 7 = ^ для моделируемой среды.

Ур Ур

В области низких частот линии особого корня (7(к) хорошо описываются выражением (7(к) = Со + Значения а7 приведены в третьей строке таблицы. В четвертой строке приводится безразмерная частота, для кото-рои отклонение (, 7 от начального значения (, 7 достигает одного процента. Наконец, в пятой строке приводится относительное отклонение От начального значения (в процентах) для амплитудного множителя радиальной компоненты симметричного касательного воздействия на конце означенной выше частотной полосы. Соответствующие данные для нормального воздействия не приводятся, так как отклонение оказывается принебрежи-мо малым. Видно, что ширина рабочей полосы частот быстро растет с увеличением 7.

Переход от низкочастнотной ветви асимптотики Су^) (скорости пластиночной волны) к высокочастотной (скорости волны Релея) происходит достаточно резко, что придает графикам С-у (к) ВИД характерной ступеньки, тем более крутой, чем больше величина 7.

Рассматривается изменение формы полезной волны с расстоянием из-за имеющейся дисперсии скоростей. Оценивается верхний предел расстояний при пластинчатом моделировании (расстояние, на котором форма сигнала начинает заметно меняться) — в зависимости от полосы частот, в которой локализован сигнал. Показывается, что это расстояние достаточно велико даже при относительно широкой частотной полосе (г < 600-Н при «о < 1) и быстро растет с уменьшением ширины частотного диапазона.

Прослеживаются особые корни антисимметричного дисперсионного уравнения.

Подробно исследуется численными и аналитическими методами движение неособых корней дисперсионных уравнений. Производится оценка погрешностей, связанных с соответствующими волновыми модами симметричного воздействия в рабочем диапазоне частот моделирования. Показывается, что связанное с такими волнами поле в указанном частотном диапазоне на несколько порядков меньше, чем поле, соответствующее особой моде.

Производятся численные расчеты полей в пластине в различных диапазонах частот. Исследуется поведение отдельных мод в возрастающих частотных промежутках, особое внимание уделяется пластинчатой и из-гибной волнам, но и поля неособых мод также рассматриваются.

В третьей главе приводятся необходимые представления и алгоритмы, составляющие математическое обеспечение теоретико — экспериментального исследования по обоснованию метода пластинчатого моделирования. Представления приводятся в форме метода контурных интегралов и затем переводятся в представления метода Лемба, в каковой форме и используются для расчетов.

В п. 3.2 приводятся в единообразной форме представления для основных сосредоточенных плоских источников — вертикальной и горизонтальной сил, плоского центра давления и плоского центра вращения, пар сил.

В п. 3.3 приводятся представления для вертикальной и горизонтальной сил на поверхности полупространства, для полей волн, отраженных от свободной поверхности полупространства (при источниках из п. 3.2), для полей волн, отраженных/преломленных на границе полупространств (при жестком либо скользящем контакте, также для любых источников из п. 3.2).

В п. 3.4 коротко описывается процедура перехода от первичных представлений метода контурных интегралов к представлениям метода Лемба.

В п. 3.5 дается краткое описание метода стационарной фазы для метода Лемба и приводится пример построения путей интегрирования (серия рисунков для все увеличивающегося угла падения, преломленная волна РР при параметрах среды, заимствованных из наших экспериментальных данных, см. ниже). Своеобразие нашего случая (скорость продольных волн в первой среде меньше скорости поперечных волн во второй) приводит к тому, что при достаточно больших углах падения один из разрезов (экранированная волна) идет при деформации вверх, а не вниз.

В п. 3.6 приводится перечень программ, составленных для обеспечения сопоставления с экспериментом. Здесь уместно упомянуть программу, производящую интегрирование по методу Лемба с автоматическим выбором путей интегрирования при любых параметрах среды и удалениях точки приема (т.е., и для запредельных углов падения) для модельных задач из пп. 3.2, 3.3 с источниками из п. 3.1.

В четвертой главе описывается опытная часть работы и приводятся результаты сопоставления с теорией. При выполнении опытов использовались следующие материалы:

— плексиглас (ив = 1280 ± 10 ур = 2220 ± 10 р = 1220 (^)) — дюраль {ур = 5700 ± 50 г-8 = 3150 ± 50 (*), р = 2700 (?)) Доминирующая длина волны в плексигласе порядка 5 см., примерная протяженность сигнала экспериментальной установки 250 мс. Толщина пластин всюду 3 мм.

В п. 4.2 приводятся опыты с торцевым приложением источника (задача Лемба). Снимались смещения X и й по серии горизонтальных профилей (параллельно торцу пластины). Минимальный горизонтальный вынос от источника 5 см., шаг по профилю 5 см., по десяти точек в профиле. Минимальное расстояние от торца пластины 1 см. (1/5 длины волны), максимальное — 30 см. (6 длин волн). Всего снято семь профилей.

Сравнение с теорией производилось путем визуального сопоставления трасс и путем рассчета коэффициентов корреляции теоретической трассы на экспериментальную.

Визуальное сопоставление показало хорошее совпадение кинематических и динамических характеристик наблюдавшихся в эксперименте волн и областей их зарождения. Помимо прямых волн Р и Э наблюдались (на близких к торцу профилях) интенсивная Релеевская волна и (на больших удалениях) достаточно выраженная головная волна (связанная с точкой ветвления радикала Б).

Вычисленные коэффициенты корреляции оказались довольно велики. Для некоторых трасс величина коэффициента корреляции превышала 0.9. Опыты не показали систематического уменьшения коэффициента корреляции на ближайших к торцу профилях. Тем не менее надо отметить, что наихудшее совпадение имело место для компоненты X ближайшего к торцу профиля (А^=1 см.). Это может быть связано с тем, что величина горизонтального смещения на этом профиле очень мала.

Большинство наблюдающихся расхождений экспериментальной и теоретической трасс объясняются, если принять во внимание невязку мел-еду диаграммами направленности теоретического и экспериментального источников. Так, практически везде наблюдается хорошее совпадение форм парциальных волн, но отношения амплитуд между различными группами, волн на теоретической и экспериментальной трассах могут значительно различаться. Это именно и может объясняться различием в амплитудах волн, выходящих из источника под разными углами. Следует отметить, что выбранный нами критерий сравнения должен в известной степени нивелировать именно это различие в трассах, более чутко реагируя на разницу в фазовых характеристиках.

Вероятно, какие-то расхождения следующего порядка малости могут быть связаны с поглощением в материале пластины, но отдельно поставленный опыт выявил, что величина его невелика и в расчетах оно не учитывалось. Тем не менее оно, очевидно, также может приводить к изменению отношения амплитуд волн, прошедших разные пути.

В п. 4.3 приводятся опыты на отражение от свободной поверхности. Так как в нашем распоряжении не было способа создать настоящее симметричное воздействие (иногда вместо него используют пассивный демпфер), то мы ограничились (а) постановкой опыта при одностороннем приложении воздействия и (б) опытами с закреплением источника на боковом торце пластины, рассматривая его (не вполне корректно, но с достаточной степенью точности, так как поле снималось в дальней зоне) в качестве горизонтальной силы.

В первом случае возникала интенсивная изгибная волна, в несколько раз превосходящая по амплитуде полезный сигнал. Однако разница в кинематических характеристиках пластиночной и изгибной волн позволила зафиксировать отражения от торца пластины в некотором (не очень большом) временном окне.

Пользуясь случаем, мы поставили также отдельный опыт на наблюдение изгибной волны. Расчет (по способу гл. 2) показал достаточно хорошее визуальное совпадение теоретической и экспериментальной трасс как по кинематическим и динамическим характеристикам отдельных волн, так и по соотношению амплитуд волн. Вместе с тем низкие частоты на теоретической трассе (для изгибной волны) оказались выраженными значительно сильней. В оправдание надо сказать, что изгибная волна довольно неустойчива по отношению к условиям возбуждения.

В первом случае был поставлен один опыт по наблюдению отраженной волны на вертикали (источник на расстоянии 68 см. от торца, минимальное расстояние профиля от торца 0.5 см., шаг по профилю 4 см.), во втором было снято два вертикальных профиля (вертикальное расстояние от торца 1 см., шаг по профилю 4 см., источник на высоте 43 см., вынос от источника по горизонтальному торцу 35 и 69 см., соответственно).

В обоих случаях выявилось хорошее совпадение теоретической и экспериментальной трасс.

Высказывается предположение, что организовать симметричный прием по сторонам листа, возможно, легче, чем симметричное возбуждение (эти операции теоретически эквивалентны). Кроме того, можно предположить, что изгибная волна, обладающая целым рядом отличительных свойств, должна успешно подавляться специфическими фильтрами.

В п. 4.4 описываются опыты на отражение — преломление волн на границе раздела. Опыты проводились на клееной модели плексиглас/дюраль. Склейка проводилась с помощью эпоксидной смолы. Длина модели 80 см., ширина листа плексигласа 33.5 см., ширина дюралевого листа 30.5 см. Снято было шесть горизонтальных профилей (по три с каждой стороны от границы) от вертикали с шагом в 2 см., по двадцать точек в профиле, компоненты X и Ъ. Удаление профилей от границы 1.5, 5 и 10 см.

Источник в этих опытах располагался главным образом на торце плексигласового листа, так как дюралевый лист сильно резонировал при прикреплении источника к нему.

Что касается склейки, то после нескольких попыток удалось достичь достаточно хорошего качества контакта, и формы полей, зарегистрированных на малых расстояниях от границы по разные стороны от нее были достаточно близкими как для горизонтальной, так и для вертикальной компонент. Мы наблюдали, однако, скачок амплитуд горизонтальной и вертикальной компонент смещений при переходе через границу. Частично, но не полностью, он может объясняться разными условиями приема для плексигласа и дюралюминия. Таким образом, контакт на границе отличался от жесткого.

По приведенным цифрам видно, что модель имеет слишком малый размер. Это приводит к тому, что волны не успевают в достаточной степени разойтись. Поле отраженных волн перекрывается прямой волной от источника, кроме того, что важнее, из-за того, что скорость в дюрале значительно выше, чем в плексигласе, мы не можем принебрегать волнами, отраженными от дна модели и быстро распространяющимися кратными волнами в дюрале, которые приходят вскорости за первым вступлением Р-волны и совершенно затеняют оставшуюся часть полезного поля. На еще больших временах начинают приходить и отражения от боковых торцов пластины. Таким образом, мы ясно видим (на трассах преломленных волн) только первое вступление Р-волны и соответствующей головной волны, но не можем наблюдать ни конвергированных волн, ни волну ББ, ни, тем более, медленных Стонлеевских волн. Все это в значительной степени подрывает ценность проведенного сопоставления. Для улучшения визуального совпадения трасс к полученному точному решению добавлялись поэтому поля кратных волн (ррР, ррБ, ррРр и т. д), расчитанные в нулевом приближении лучевого метода.

Оказалось при этом, что при данных параметрах модели теоретически расчитанные поля для случаев жесткого и скользящего контакта отличаются незначительно. С учетом указанной выше значительной зашумлен-/ ности экспериментальной трассы, пришлось отказаться от первоначального плана, который состоял в том, чтобы, оценив принципиальную пригодность материала для сопоставления, применить критерий из п. 4.2, расчитав коэффициенты корреляции экспериментального материала к теоретическому для случаев жесткого и скользящего контактов, выяснив количественно большую или меньшую близость эксперимента к одному из этих случаев. Такая оценка в данной конкретной ситуации оказалась бы неустойчивой. Решено потому было ограничиться визуальным сопоставлением, результаты которого для начальных частей трассы (первых трех-четырех вступлений) можно считать удовлетворительными.

Так как проведенный по этому разделу эксперимент нужно признать далеким от совершенства по многим параметрам, учитывая очень хорошие результаты применения аналогичной техники в п. 4.2, можно иметь достаточную уверенность в том, что указанный выше подход позволит выяснить окончательно все оставшиеся открытыми вопросы при проведении следующих, более тщательно организованных экспериментах (на моделях больших размеров и при не столь разительно различающихся скоростных параметрах сред).

В заключении сформулированы результаты диссертации и отмечены некоторые нерешенные задачи, решение которых могло бы служить продолжением представленной диссертационной работы.

В приложениях собраны части, не вошедшие в основной текст диссертации, дабы не прерывать основную линию изложения, но имеющие тесную связь с ее содержимым. Так, материал первого приложения полезен при анализе результатов, полученных при экспериментах с составными моделямиматериал второго приложения непосредственно относится к получению основных представлений первой части работы (приведенных там без вывода).

В первом приложении рассмотрена несколько более гибкая модель контакта, зависящего от нескольких параметров.

Во втором приложении показано, что метод получения представлений для источника типа касательной силы (в цилиндрических координатах 2), может быть представлен в форме, характерной для матричного метода с матрицами [6×6] и без очевидной физической интерпретации элементов строк.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Петрашень Г. И., Пивоваров B.C., «Нестационарные интерференционные волновые поля типа SV в свободном упругом слое и проблема ультразвукового моделирования плоских сейсмических волновых полей на пластинчатых моделях», Записки Научных Семинаров ПОМИ, т. 225, стр. 121−239.

2. George I. Petrashen, Basil S. Pivovarov, «The problem of total quantitative physical-mathematic proof of plate modelling methods», Abstracts, «Problems of Geocosmos», SPb, 1997, стр. 142.

3. Пивоваров B.C., Кашкевич В. И., «К обоснованию двумерного физического моделирования на упругой пластице», тезисы, «Геофизика-99», Санкт-Петербург, 1999, стр. 104.

2описанный, в частности, в [2].

1 Обзор литературы.

4.5 Выводы.

В разделе описываются результаты сопоставления точного решения эталонных плоских задач (задача Лемба, отражение от свободной границы, контакт двух полупространств) с результатами модельных экспериментов.

Показаывается, что корреляция теоретических и экспериментальных трасс не испытывает заметного уменьшения при приближении к торцу пластины (как в случае свободного торца, так и для внутренних торцов).

Показано также, что нормальная сила, приложенная к торцу пластины, с высокой точностью соответствует источнику типа нормальной силы на поверхности полупространства.

Установлено (с некоторыми оговорками) достаточно высокое качество сопоставления теоретических и экспериментальных полей в случае контакта двух пластин и предложен способ контроля качества различных методик изготовления составных пластинчатых моделей.