Аддитивные задачи с числами, имеющими заданное число простых делителей из прогрессий

Настоящая диссертация посвящена доказательству того, что множество значений арифметических функций при подходящих условиях на эти функции и множество чисел, имеющих заданное число простых делителей из арифметических прогрессий, равномерно распределены по арифметическим прогрессиям в среднем, а также решению бинарных аддитивных задач.

Одна из них — это задача о нахождении числа решений уравнений вида

N = х2 + у2 + п (0.1) и п-х2 — у2 = а, (0.2) где, а ф 0 — фиксированное число, х, у € х2 -{- у2 < N, N —юо, а п может принимать значения из некоторого множества Е С N. Вопрос о числе решений уравнений вида (0.1) и (0.2) получил название задачи типа проблемы Харди-Литтлвуда (определенный и неопределенный аналоги соответственно).

В мемуаре [1] 1923 года Г. Харди и Дж. Литтлвуд высказали гипотезу.

Гипотеза. Всякое большое число N есть сумма простого числа и двух квадратов. При этом имеет место асимптотическая формула: для числа решений уравнения

N = х2 + у2 +р имеем ц*) п (х+п+"•¦"> р р|ЛГ 1

Х4(р) «неглавный характер по модулю четыре,

R (N) — остаточный член.

В одной из работ более позднего периода Г. Харди и Дж. Лит-тлвуд, заметили, что доказать существование такого представления для почти всех чисел можно используя расширенную гипотезу Ри-мана. Г. Стенли [2] доказала, что почти все числа представимы в виде суммы простого и двух квадратов, применяя круговой метод. Она же вывела асимптотические формулы для количества представлений натурального числа в виде суммы большего числа квадратов и простых, в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана. Однако результаты, полученные Г. Стенли, зависели от недоказанных гипотез. Этот недостаток впоследствии был устранен Т. Эстерманом [3] и другими математиками.

В 1957 году К. Хооли [4] вывел асимптотическую формулу (0.3) используя расширенную гипотезу Римана. В 1959 году Ю. В. Линник [5] доказал справедливость гипотезы Харди-Литтлвуда без условия справедливости расширенной гипотезы Римана. В 1963 году Б. М. Бредихин [6], применяя созданный Ю. В. Линником [7] дисперсионный метод, решил неопределенный аналог проблемы Харди-Литтлвуда, то есть вывел асимптотическую формулу для числа решений уравнения (0.2), когда п принадлежит множеству простых чисел.

В эти годы многие математики, такие как Х. Халберстам [8] и С. Човла [9], занимались решением задач типа проблемы Харди-Литтлвуда. Так Ю. В. Линник [10] нашел число решений уравнения (0.1), когда Е — множество чисел, представимых в виде ррг, где рj и р2 — простые числа. Он доказал.

Теорема А. Пусть Qi (N) — число решений уравнения

N = х2 + у2 + PlP2, где pi > exp (lnlnn)2, i — 1,2, тогда ят ~ п {p-21){p~xff, pN P P + X*(P) д, = n (i + .

А.А.Полянский посвятил несколько работ задачам типа проблемы Харди-Литтлвуда [11], [12], [13]. в которых ранее полученные результаты уточнялись и обобщались (см. [14]), снимались различные ограничения (см. [15]), а остаточный член уменьшался.

Ж.В.Пиядина [16] вывела асимптотическую формулу для числа решений уравнения (0.2), где, а ф 0 — любое фиксированное число и п — числа из множества Е, Е — {п: I2(n) > 6, Vp|n => р > Ишу. Здесь и далее Г2(тг) — количество простых делителей п, считая их кратность.

И.Мотохаши (Y.Motohashi) [17] решил задачу (0.2), когда, а = 1, а п пробегает множество чисел равных pi. .pk, где к > 1 — фиксированное число.

Одной из последних работ, посвященных решению задач типа проблемы Харди-Литтлвуда, является статья Н. М. Тимофеева [18], в которой найдено число решений уравнения (0.1), когда Е есть множек ство чисел, равных р*1. .р^к, где оц — к. Причем к может расти вместе с N п лежит в следующих пределах: 2 < к < (2 — e) lnlniV и (2-f-e) lnlnN < к < blnlniV, где с > 0, Ь — положительная постоянная.

Вторая аддитивная проблема, изучаемая в диссертации состоит в отыскании асимптотической формулы для числа решеиий уравнений вида

N = md + n (0.4) и n — md = а, (0−5) где, а ф 0 — фиксированное число, т, d 6 N, md < N, N —> оо, а п принадлежит некоторому множеству Е С N. Вопрос о числе решений уравнений вида (0.4) и (0.5) получил название задачи типа проблемы Титчмарша (определенный и неопределенный аналоги соответственно).

В 1930 году Е. Титчмарш [19] решил задачу (0.5) в предположении, что расширенная гипотеза Римана верна, когда, а > 1 — заданное число, а п пробегает множество простых чисел. Он доказал.

Теорема В. Если верна расширенная гипотеза Римана, то илгеет место асилттотическая формула т (ра) = сФ (а)М + BN p

Ф («0 = П (1-*) (1 + ЙЬуГр|а

Безусловное решение проблемы Титчмарша получил Ю.В.Лин-ник [20] в 1961 году. Используя дисперсионный метод Ю. В. Линник доказал, что асимптотическая формула для числа решений уравнения (0.5), когда Е есть множество простых чисел, а, а = 1, имеет вид p 0 — любая константа, меньшая 1, ?(s) — дзета-функция Римана.

В 1963 году Б. М. Бредихин [21] решил задачу (0.5), когда п — простое число, а, а — любое фиксированное число. Е. Фуври (E.Fouvry) [22] улучшил результат Б. М. Бредихина, уменьшив остаточный член:

Теорема С. Для любого, А > 0, и натурального а, 1 < а < 1пл х верна асимптотическая формула Ф ~ а) = Ta (0)N + 2 (7Гв (0) + Тд (0)) И N + О (N Ы~Л N), p

7 — постоянная Эйлера.

С.Б.Хазелгров [23] доказал, что оценка снизу для числа решений уравнения (0.5), когда п пробегает множество простых чисел, а, а (Е Z, равна, где С (&-) — постоянная, зависящая от а.

Решением проблемы Титчмарша, а также вопросов, близких к ней, занимался П. Эрдёш [24], [25].

В 1976 году А. Фьюджи (A.Fujii) [26] решил задачу (0.5), когда Е есть множество чисел, представимых как РР2, & а = 1. Он получил

Теорема D. Пусть 6 — любое положительное число, не превосходящее |, и SlnN —" оо, если N —у оо. Тогда имеем ч 315 Ф) N / N Д л дг

Pl

Ж.В.Пиядина [27] получила асимптотическую формулу для количества решений уравнения (0.5), когда о — любое фиксированное отличное от нуля число, а п? Е, где Е = {п: 12(п) > 6,/р|п р >

Г 883 .

А.К.Каршиев [28] решил задачу (0.5), когда, а не равно нулю, а п пробегает множество Е, Е = {п: п = р. .рд., р1 < ТУ4*', с^ = 1, 1 = 1,., /с, 0 <�"!<.< < 7} •

И.Мотохаши (Y.MotohasЫ) [17] нашел асимптотическую формулу для числа решений уравнения (0.5), когда п принадлежит множеству чисел, имеющих к простых делителей, к — фиксированное число, а, а = 1.

Из последних работ, посвященных решению задач типа проблемы делителей Титчмарша, упомянем работу Х. Гедири [29]. Он доказал

Теорема Е. В предположении справедливости расширенной гипотезы Римапа выполняется асимптотическая формула к,)' пеэ П (1 + *) О-*)" 1, р—— Цшоа 4)

5 = {п? Ъ: п — х2—у2, (х, у)? Z } - множество гауссовых чисел.

Н.М.Тимофеев и М. Б. Хрипунова нашли асимптотические формулы для числа решений уравнений (0.5) (статья [30] 1994 года) и (0.4) (статья [31] 1996 года), где, а = 1, а п принадлежит множеству чисел, имеющих к простых делителей, причем к < (2 — с) 1п1п N .

Для решения задач типа проблемы Титчмарша и проблемы Хар-ди-Литтлвуда, как следует из упомянутых выше работ [5]-[18], [20]-[28], [30], [31], принципиальную роль играет тот факт, что множество Е равномерно распределено по арифметическим прогрессиям в среднем. Значимость этого факта была отмечена Ю. В. Линником [32] в 1958 году. Результаты показывающие, что-то или иное множество равномерно распределено по арифметическим прогрессиям в среднем, получили название утверждений типа теоремы А. И. Виноградов аБомбьери.

В 1965 году А. И. Виноградов [33], улучшив результаты А. Реньи

34] и М. Б. Варбана [35], [36], доказал, что ж х, где Л (п) — функция Манголъдта, определяемая равенством. ч Г 1пр, если п = рт — степень простого числа,

Л (п) = 1 п 4 ' I 0, в противном случае.

В > 0 — любая постоянная, ф = х?~е, с > 0.

В том же году Е. Бомбьери [37] доказал данное соотношение с ф = у/х 1п~зв~23 х. С тех пор доказательство Бомбьери многократно упрощалось, & - увеличивалось.

Аналог теоремы А.И.Виноградова-Бомбьери для некоторых арифметических функций был получен в 1973 году Д. Вольке [38], который доказал следующую теорему.

Напомним, что функция /: N —> С называется мультипликативной, если /(п ¦ га) = }{п) • /(га) для любых (п, т) = 1 и д: N —" С будем называть аддитивной, если д (п-т) = д{п)—д{т) при (п, т) = 1.

Теорема Г. Пусть /(п) — мультипликативная функция, удовлетворяющая условиям для всех простых р и натуральных г, р<�у для любого, А > 0 и у > 2, где т — колшлексное число,

А, ?>2 положительные постоянные. Тогда для каждого В > О существует зависящее от В и / положительное число С такое, что для х > 2 и <3 = а/е 1п~с ж Е 3 шах шах а,£^)=1 у<�х Е

2/ п<�у, п—а (тос! р ((1)

7 тах та. х (<�м)=1 1

Е Е /(«) п<�у, п Еа (шос1 п, а) = 1

С ж1п в ж.

Значительное расширение класса мультипликативных функций, для которых справедливо соотношение, аналогичное утверждению теоремы Вольке, дает теорема, доказанная Б. В. Левиным и Н. М. Тимофеевым [39].

Теорема G. Пусть f (n) G Ma (D) и F (d: E) max max

T /(p)inp—^у D Лр) ыР

P

P

0.6) тогда F (di?) max max /w-^E/w n

2+a где F{dE) — характеристическая функция множества E,

E — любое множество натуральных чисел, все делители которых входят в D,

D — подмножество натуральных чисел, В — произвольная положительная постоянная, Q1 = min (Q (a-), /х ln~Bl х), Вг = SB + 2а + § .

Остановимся подробнее на определении условия: /(п) принадлежит классу Ma (D) .

Мультипликативная функция f (n) входит в указанный класс, если она удовлетворяет двум условиям: х1п4°х> а>° (°-7) пКх и для всех примитивных характеров модуля q, где q? D, q < In52 х,

X*q{p)f (p)lnp t

0.8) где В?, В3 — произвольные положительные постоянные, у < = ехр (1па-(1п1пж)1е), е > 0 .

Такое определение класса Ма{В) можно найти у Б. В. Левина и Н. М. Тимофеева [39].

В настоящей диссертации получены результаты типа теоремы А.И.Виноградова-Бомбьери, а также решены проблема делителей Титчмарша и проблема Харди-Литтлвуда для чисел, имеющих заданное число простых делителей из арифметических прогрессий.

Введем следующие обозначения:

Пусть (??, ¿-о) = 1, — простое число, г — 1,., к. Обозначим Е1и., 1к, ¿-о) = {п ¦ п = рга1. .ркак, < < < • - • < рь, р{ = ¿-,(тос1 ¿-о), а, > 0, г = 1,., к, П (тг) = к}, I = ?1. 1к (тос1 ¿-о), 1п2 х = 1п1па, 1п3 х = 1п1п1пж.

Перейдем к изложению содержания каждой из глав диссертации.

Первая глава диссертации посвящена доказательству того, что множество значений арифметических функций при подходящих условиях на эти функции и множество ., в, 0) раномерно распределены по арифметическим прогрессиям в среднем.

В первом параграфе первой главы приведены вспомогательные результаты.

Во втором параграфе первой главы сформулирована и доказано утверждение типа теоремы в. Доказательство проводится тем же методом, что и доказательство теоремы 4 работы [39].

Теорема 1.1. Пусть /(п)? Ма (И), выполняется условие (0.6), тогда у Е) тах тах м=1 у<�х а<41

Е /(«) п< у, п = а (тос! Ы), В (п)=к рЫ)

Е я") п <�у, (п, й)=1, Я (п) = к

Б, 4а

2+а где Е) — характеристическая функция множества Е,

Е — любое лтожество натуральных чисел, все делители которых входят в И,

И ~ подлшожество натуральных чисел, д (уь) — аддитивная функция, принимающая целые значения, и д (р) = 1, для всех простых чисел р, В — произвольная положительная постоянная,

1 = 1шп (ф (:г), х) ?

Вг = ЗВ + 2а + | .

Новым в теореме 1.1 по сравнению с теоремой G, является то, что добавляется условие д (п) = к. Это позволяет изучать распределение, но арифметическим прогрессиям множеств значений мультипликативных функций f (n), где п таково, что аддитивная функция д{п) принимает заданное значение. Теорема G такой возможности не дает.

Далее привен ряд следствий из теоремы 1.1, являющихся новыми или обобщением ранее полученных резульататов.

Следствие 1.1.1 эквивалентно теореме 2 работы [30], если д (п) равно С1(п) или си (п), где Q (n), ш (п) — число делителей п с учетом и без учета их кратности.

Следствие 1.1.1. Пусть f (n) = 1 — тогда

У max max

1 n

V{d) i n

Следствия 1.1.2 и 1.1.3 показывают, что множества чисел, имеющие либо только «большие», либо только «маленькие» простые делители, равномерно распределены по арифметическим прогрессиям в среднем.

Следствие 1.1.2. Пусть fin) мультипликативная функция такая, что f (pr) = 1, если р > v, f (pr) = 0, если р < v и /(1) = 1, тогда

У max max m=I у<�х d

Е /(-) — щ Е /(-) п< у, n=o (mod d),

S (n) = to

-в+% n< у, (n, d)=l, в (n) = fe

С х1п~в+" х (Ь2(10х))2, где у — произвольное положительное число, дх = х,

В — произвольная положительная постоянная.

Теорема, аналогичная следствию 1.1.2, доказана в статье [39] (см. теорему 5).

Следствие 1.1.3. Пусть f{n) мультипликативная функция такая, что /(рг) = 1, если р < V, /(рг) = 0, если р > V и /(1) = 1, тогда m ах шах m)=i у<* d

Е Е /(«) п<�у, n = a (mod d), i (n)=fc n

Подобный результат для чисел, имеющих простые делители лишь меньшие или равные V, без условия д (п) = к, получен в теореме 6 работы [40]. И он вытекает из следствия 1.1.3.

Полагая /(тг) =, где г (п) — число представлений гг в виде суммы двух квадратов, из теремы 1.1 получаем

Следствие 1.1.4. Пусть г (п) — число представлений п в виде суммы двух квадратов, тогда

5 S r (n) n = a (mod d), (n, d)=l, n)=fc i (n) = fc z (ln2(10x))^, где Qr = x ,

В — произвольная положительная постоянная.

Утверждение следствия 1.1.4 справедливо и для более общего случая, а именно

Следствие 1.1.5. Пусть f (n) мультипликативная функция такая, что f (pr) = 1, если р = ?(mod do), (l, d0) = 1, f (pr) = 0, в противноль случае, /(1) = 1, тогда Е d<�х Е d

E /(«) n

E /w n

В третьем параграфе первой главы доказано равномерно распределение множеств чисел, имеющих заданное число простых делителей из арифметических прогрессий, по арифметическим прогрессиям в среднем.

Теорема 1.2. Пусть 2 < ^ < а/ж, С^с1о < х, к <

Д1п2(1(Ь), (¿-о < 1пСо X и

Е1 V—

-Щ)? 1

1.'*.<�"о). !. пЕЕа (шо (3 d) (п, Ы)=1 тогда при? > ]пззв+162 х

Э (х, мо) < (?у/х 1п5+5 х + х 1п~в х, при

2 < (З^Д ы2В+& Х + Х хгв+2 х, где В, Со, Я — произвольные положительные постоянные.

Доказательство проведено по методу работы [39]. Следствия из теоремы 1.2 полезно использовать при решении аддитивных задач типа проблемы Титчмарша и проблемы Харди-Литтлвуда. Приведем одно из них.

Следствие 1.2.2. Пусть г > 1пв+1 х, ?0 < 1пс° х, <2 = у/х ж, к < К 1п2(10ж), тогда

Q (x, t, d0) = У тахтах t-—* (a,<�х d, d0)=l d<�х

Е 1 п<�у, пещу 1. ifc, d о). rt ~ а (mod d) т Е

С х In в х п<�у, ne-BO.'i.-.'fc^o) где А{В) = min (ЗБ + 12, В + С0 + f) ,

В, Со, R — произвольные положительные постоянные.

Вторая глава посвящена решению бинарных аддитивных задач типа проблемы делителей Титчмарша.

В первом параграфе второй главы приведены вспомогательные результаты относительно чисел с малыми простыми делителями. Оценены некоторые суммы, которые встречаются одновременно и при исследовании проблем типа проблемы Титчмарша и проблемы Харди-Литтлвуда.

Во втором параграфе второй главы получена асимптотическая формула для

Е т (К-п), n

Теорема 2.1. Пусть г > 1п5+1 N, ?0 <�ЫСо N, (?0, N — I) = 1, к < Д1п2(Ю#), В, Со, Я — произвольные положительные постоянные, тогда

Е пея («,)1, ¿-о)

Е 1

О +3 N + А:)), с = П (1 +, р

Ф (т)=П (1-^) (1 + рт

Ф (т)<1, А, >0,

Д (ЛГ, Ь, к) = 0, если г > ехр ((1л,(10]У))3+3') и к > 6 ,

Я (ЛГ, 4, 4) = + «» ЧЕЗГН & 1п2(10ЛГ), в остальных случаях.

Здесь и далее с > 0 — сколь угодно малое число.

Асимптотическими формулы для количества чисел, принадлежащих множеству ., 1к,(1 о), в случае ?0 = 1, приведенны в статье [41]. Воспользовавшись ими можем записать такие следствия:

Следствие 2.1.1. Пусть N > 3, 1 < fc < Шпи, и =, lns+1 N < t < exp ^(lniV)s^, В, R ~ произвольные положительные постоянные, тогда к-1

1пц)'

-1).' V ' ~ V (b2(ioiv)).

Е T (N ~п) = t) N1 + О pn-*p>t, и>(п) = к

0 (n ln-f+3 N + R (N, t, fc)), где с, Ф (т), R{N, t, k) — те же, что и в теореме 2.1,

3(z, t) = ^ ((М'П (1 — О") П (1 — 0* + А). — fc-1 г = -?—

1п u

Следствие 2.1.2. Пусть N > 3, 1 < к < Rlnu, и exp ((ln2 iV)3) < t < N — (2″? тогда п-с'М. V hli)'

IniV lni fe! p|n-tp><, w (r") = fc

0 iVln" ^+3 N + R (N, t, fc)), где с, Ф (ттг), R (N, t, k) — me: ж:е, что и в теореме 2.1, fl (u) = 1 при и > 1, и-1 fk+i (u) = f fk (v)^ при и > к + 1, к = 1, 2,., к

В, R — произвольные положительные постоянные.

В третьем параграфе второй главы найдена асимптотическая формула для числа решений уравнения р" j*1. .р^к = mdfа, pi — простые числа из арифметических прогрессий по модулю do, У^ aj = к, i = 1,., к, md < х, то есть исследована сумма

Е г (п-а), а|<�п<�",

1.ifc.do)

Получен, в частности, следующий результат

Следствие 2.2.1. Пусть t > ln5+1 х, d0 < lnCo x, 1 < |a| < xn~A x, a? Z, (d0,l — a) — 1, к < i? lii2(l0x), Л, B, Co, R — произвольные положительные постоянные, тогда r (n — a) a|

O (х 1п~^+3 х + R (x, t, fc)), где с, Ф (тп), R (x, t, k) me otee, что и в теореме 2.1.

В случае d0 = 1, асимптотика для количества чисел п < х и п? E{t, li,., lk, do) получена K. Alladi [41], поэтому можем записать еще два следствия из теоремы 2.2.

Следствие 2.2.2. Пусть х >3, 1 < к < Rnu, u = jjjf, lnB+1 х < t < ехр, 1 < |а| < х]л~л х, а? Z, А, В, R — произвольные положительные постоянные, тогда а|<�п<�®, p|n-«p>t, ш{п) — к

0 (х 1п~^+3 ж + R (x, i, fc)), где с, Ф (т), R (x, t, k) — те сисе, что и в теореме 2.1, g (z, t), г — те э*се, что и в следствие 2.1.1.

Следствие 2.2.3. Пусть х > 3, 1 < к < Rnu, и = ~, exp ((ln2(10x))3) < t < я&trade-«<2,*), 1 < |а| < ха~А х, а? Z, тогда хVk{lriu)k, а | <�п <�ю, ^ а"(п) — к

0 (х ln~f+3 X + R (x, t, k) J, где с, Ф (гп), R{x, t, k) — те же, что и в теореме 2.1, fk+i (u) — та же, что и в следствие 2.1.1,

А, В, R — произвольные положительные постоянные.

В третьей главе выведены асимптотические формулы для количества представлений натурального числа в виде суммы (или разности) числа, имеющего заданное количество простых множителей из прогрессий и суммы квадратов двух целых чисел.

В первом параграфе третьей главы сформулировано вспомогательное утверждение.

Во втором параграфе третьей главы с использованием метода работы [18] получена асимптотика числа решений уравнения N = х2 + У2 + Pi1 • • -Рь* 5 Pi ~ простые числа из арифметических прогрессий по модулю d0, ai = к •>? = 1,., fe, х, у Е Z, то есть величины v (N, E)= Е r (TV-n), n

Теорема 3.1. Пусть v (N, E) — число представлений натурального числа N в виде суммы двух квадратов целых чисел и числа, принадлежащего E (t, 1Ъ ., lk, d0), t> lns+1 N, d0 < lnCo N, (d0, N — l) = 1, 2 < k < Rln2(10N), тогда v (N, E) = ixDE{Ndo)8(do) 1 + O (n ln~f+3 N 4- R (N, i, kfj, n

E (m)= П (1-Х (Р)/(Р)). p|m

Ы = p2 p+x (p)> do) = 1, если 4 = 2r?? Q, r < 1, K, 2) = 1, d0) = (1+ x (-/V — 0), ?o = 2, r>2, (d'0J 2) = 1- x (a) — неглавный характер по модулю четыре,

R (N, t, k) = 0, если t > exp ((ln2(10TV))3+3c) и k> 6, mti k) = (((з+зе)1пз (2)Г))^ + ((3+3g)iny))—) J^in2(i07V), в остальных случаях,

В, Со, R — произвольные положительные постоянные.

Асимптотика ^ (-/V, Е) в случае do = 1, согласно результатам работы [41], может быть записана так:

Следствие 3.1.1. Пусть N >3, 2 < к < Япи, и = 1пя+1 N < I < ехр ((1пЛ0*), В, II — произвольные положительные постоянные, тогда lnJV (fc-l)! V иммло) p|n-«p>f, w (n)=fe 0 где D, Е (т), R (N, t, k) — те otee, что и в теореме 3.1, g (z, t), г — те otee, что и в следствие 2.1.1.

Следствие 3.1.2. Пусть N > 3, 2 < к < Rnu, и ехр ((1п (107V))3) < t <, тогда np>i, w (n)=fc ln TV ln t

0 (n ln-JV + R (N, t, fc)), где D, E (m), R (N, t, k) — me otee, что и в теореме 3.1, //¡-.(и) — та otee, что и в следствие 2.1.2, В, R — произвольные положительные постоянные.

В третьем параграфе третьей главы тем же методом найдено решение неопределенного аналога проблемы Харди-Литтлвуда, то есть асимптотическая формула для числа решений уравнения р" 1. .р^к — у2 — г2 — а, где pi — простые числа из арифметических прогрессий по модулю

Полученный результат сформулирован в виде теоремы.

Теорема 3.2. Пусть @(х, а, Е) — число представлений целого, а в виде разности числа п? E (t, ?i,. ., d0) и суммы двух квадратов, t > lnB+1 X, d0 < lnCo X, 1 < |a| < хЫ~А X, 2 < к < Д1п2(10а?), а € Z, d0, l — a) = 1, А, В, С0, R — произвольные положительные постоянные, тогда е (х, а, Е) = TrDE (ado)6{d0) Е l + o (xln-i+3x + R (x, i, kf), где D, Е{т), R (x, t, k) — определяются так otee как и в теореме 3.1, 8{d0) = 1, если d0 = 2rd'0, г < 1, (df0, 2) = 1, 6 (do) = (1 + x (? — а)), если do = 2 rd'0, г >2, (d'0, 2) = 1, х (ггг) — неглавный характер по модулю четыре.

Воспользовавшись асимптотическими формулами, полученными K. Alladi [41] для суммы по п < х, получим следующие следствия.

Следствие 3.2.1. Пусть х>3, 2 < к < Rlnu, и =, 1пв+1 х < t < exp ^(lnx)i^, В, R — произвольные положительные постоянные, тогда V ^ K m (к- 1)! V UMioz)) — p|n—>p>t, u>(n)=k

0 (x lrT ж + R (x, t, fc)), где D, E (m), R (x, t, k) — те же, что и в теореме 3.1, g (z, t), г — те otee, что и в следствие 2.1.1.

Следствие 3.2.2. Пусть х > 3, 2 < к < Rlnu, и —, ехр ((1п2(10ж))3) < t < a: mttX (2.fc), тогда п<�в, 4 4 ' ' p|n—>p>t, 0 (z 1п~ 2 +3 Ж + fc)^? где D, Е{т), R (x, t, k) — те же, что и в теореме 3.1, fk (u) — та ж. е, что и в следствие 2.1.2, В, R — произвольные положительные постоянные.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах автора [42] - [47].

Результаты диссертации докладывались на II международной конференции «Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел» (Воронеж, 1995 г.), на III международной конференции «Современные проблемы теории чисел и ее приложения» (Тула, 1996 г.), а так же неоднократно обсуждались на научном семинаре по теории чисел во Владимирском государственном педагогическом университете под руководством профессора U.M.Тимофеева.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Н. М. Тимофееву за научное руководство и помощь в работе.