Почти изоморфные абелевы группы и аналог теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна

Актуальность темы

Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шредера-Бернштейна явилась источником постановки аналогичных задач в различных областях математики, в том числе, и в теории абелевых групп.

Две абелевы группы, каждая из которых изоморфна подгруппе другой группы, называются почти изоморфными ([J]). Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна подгруппе другой группы, обладающей этим свойством.

Естественно возникает вопрос, будет ли из почти изоморфизма групп следовать их изоморфизм. Эта задача привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского ([К]) ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных р-групп эта проблема имеет положительное решение ([К]). Однако П. Кроули привел пример неизоморфных р-групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы ([Сг]). Для групп без кручения примеры такого рода были построены А. Корнером и Е. Сосядой ([Cor], [S]). В [F] для класса сепарабельных групп, играющих значительную роль в теории абелевых групп, Л. Фукс ставит следующую проблему (проблема 28): будут ли изоморфны две се-парабельные группы без кручения, каждая из которых изоморфна сер-вантной подгруппе другой группы. Изучая вполне разложимые группы без кручения, составляющие важный подкласс сепарабельных групп без кручения, де Гроот установил, что вполне разложимые группы без кручения, почти изоморфные по сервантным подгруппам, являются изоморфными ([G1]). Однако А. П. Мишина и Л. А. Скорняков показали, что это утверждение ошибочно, в [МС] построен пример неизоморфных вполне разложимых групп без кручения бесконечного ранга, почти изоморфных по сервантным подгруппам. В ряде работ (например, [Pol], [П], [Пр], [Г2], [Г4], [Г5]) исследуется, когда из почти изоморфизма абелевых групп по сервантным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм.

При выяснении, будет ли верен аналог теоретико-множественной теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна для абелевых групп, удобен подход, когда одна из групп фиксируется, а другая пробегает весь класс абелевых групп.

Группа, А называется корректной, если для любой группы В из того, что, А и В — почти изоморфны, следует, А = В. Группа, А называется f.i.-корректной (сервантно корректной), если для любой группы В из того, что, А и В — почти изоморфны по вполне характеристическим (сервантным) подгруппам, следует, А = В ([Г1]).

Корректные и сервантно корректные абелевы группы выделяются в [G2], [Пр], [Pol]. В работах С. Я. Гриншпона ([Г1], [Г6], [Г7], [Г10]) описываются классы абелевых групп, являющихся f.i.-корректными.

Отметим также, что подобные задачи решались не только в теории абелевых групп. В [Con] изучается теоретико-кольцевой, а в [ТК] теоре-тико-категорный аналоги теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна. Почти изоморфные модули рассматриваются в [В], [НН], [Ро2], [РоЗ]. Аналогичная задача в топологии ставится в [Б].

Цель работы. Целью диссертационной работы является выяснить: будет ли верен аналог теоретико-множественной теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна в некоторых классах абелевых групп, а именно, в классах редуцированных сепарабельных р-групп, редуцированных сепарабельных р-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского, %-групп без кручения, вполне разложимых групп, однородных вполне разложимых групп.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.

• Получение полного ответа на вопрос, когда пара последовательностей задает почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных р-групп, и для каких пар последовательностей, задающих почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам, существуют только изоморфные группы из этого класса, почти изоморфные по вполне характеристическим подгруппам, а для каких — как изоморфные, так и неизоморфные.

• Получение полного описания пар последовательностей, начинающихся с нуля, задающих почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных р-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского, и выяснение, будет ли из этого почти изоморфизма следовать изоморфизм самих групп.

• Получение полного описания пар последовательностей, имеющих конечное число скачков, задающих почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в классе редуцированных сепарабельных р-групп с конечными инвариантами Ульма-Капланского, и выделение пар последовательностей такого вида, задающих почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам в данном классе, для которых из этого почти изоморфизма следует изоморфизм самих групп, и таких пар, для которых изоморфизма не будет.

• Получение критерия задания почти изоморфизма %-групп по вполне характеристическим подгруппам парой характеристик и описание случаев, когда из этого почти изоморфизма следует изоморфизм, а также выделение классов х-групп, являющихся f.i.-корректными.

• Получение критериев корректности и сервантной корректности однородной вполне разложимой группы, критерия корректности произвольной вполне разложимой группы в классе вполне разложимых групп, а также построение вполне разложимых групп, корректных в классе вполне разложимых групп, но не являющихся корректными (в классе всех абелевых групп).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 1997 г.), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997 г.), на XXXV и XXXVII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1997 г. и 1999 г.), на III и IV Сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1998 г. и 2000 г.), на III Межвузовской научной конференции «Молодежь и наука: проблемы и перспективы» (Томск, 1999 г.), на Международном семинаре «Универсальная алгебра и ее приложения» (Волгоград, 1999 г.), на IV Международной алгебраической конференции (Новосибирск, 2000 г.), а также неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры алгебры Томского госуниверситета. По теме диссертационной работы опубликовано 15 работ ([Ш1] - [Ш15]).

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы и списка обозначений. Первая глава содержит четыре параграфа, вторая и четвертая главы — по два параграфа, третья глава — пять параграфов. Работа изложена на 94 страницах.

Список литературы

содержит 49 наименований.