Голоморфные решения солитонных уравнений

1.1. Гармонические отображения из S2 в U (n) 155.

1.2. Некоммутативный вариант задачи 157.

1.3. Область определения функционала энергии 158.

1.4. Дальнейшее содержание главы 159.

2. Предварительные сведения 160.

2.1. Уравнения экстремалей 160.

2.2. Эллиптическая регулярность 163.

2.3. Решения энергии 0 164.

2.4. Грассмановы решения 164.

3. Теория унитонов 166.

3.1. Топологический заряд проектора 166.

3.2. Добавление унитона 168.

3.3. Канонические унитоны 170.

3.4. Базовые унитоны 172.

3.5. Грассмановы решения 174.

3.6. Диагональные решения £/(1)-модели 176.

4. Пространства решений С7(1)-модели 176.

4.1. Обозначения и предварительные сведения 176.

4.2. BPS-решения 179.

4.3. Грассмановы решения дефекта 2 и сферы неграссмановых решений 184.

4.4. Решения се = 3 188.

4.5. Решения с г = 2 189.

4.6. Решения с е = 4 192.

4.7. Решения с е = 5 194.

4.8.

Заключение

198.

Список публикаций автора по теме диссертации 200.

Список литературы

201.

Настоящая диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 116 наименований. Ее основной целью является изучение вопросов аналитического продолжения голоморфных решений вполне интегрируемых нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными (солитонных уравнений). Отметим, что эти вопросы нетривиальны только для эволюционных уравнений параболического типа. Достижению указанной цели посвящены главы 1-Ш, где для ростков таких решений установлены теоремы о принудительном аналитическом продолжении и описаны все возможные оболочки мероморфности, причем основным инструментом для этого служит развитый автором локальный вариант метода обратной задачи рассеяния для голоморфных потенциалов. В главе IV внешне совсем другими методами дается описание всех голоморфных (а также антиголоморфных и смешанных) решений достаточно малой энергии для некоммутативного (квантового) аналога одного из важнейших солитонных уравнений гиперболического типа: уравнения гармонических отображений двумерной сферы в унитарную группу. Объединяющей идеей всех глав работы является общая геометрическая основа солитонных уравнений (калибровочные преобразования плоских связностей), с которой и начнется наше изложение в § 1 главы I. Но введение удобнее будет начать с формулировки некоторых результатов главы III, а точнее, с их классических предшественников.

1. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков и J1. П. Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи рассеяния, Наука, Москва, 1980.

2. JL А. Тахтаджян и JI. Д. Фаддеев, Гамилътонов подход в теории солитонов, Наука, Москва, 1986.

3. С. П. Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза, Функц. анализ и его прилож. 8 (1974), вып. 3, 54−66.

4. В. Е. Захаров и А. Б. Шабат, Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II, Функц. анализ и его прилож. 13 (1979), вып. 3, 13−22.

5. Н. П. Векуа, Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, 2-е изд., Наука, Москва, 1970.

6. A. Н. Паршин, К главе X «Проблема Римана в теории функций комплексного переменногоВ книге: Д. Гильберт. Избранные труды. Том II, Факториал, Москва, 1998, стр. 535−538.

7. К. Clancey and I. Gokhberg, Factorization of matrix functions and singular integral operators, Birkhauser, Basel, 1981.

8. Ф. Уорнер, Основы теории гладких многообразий и групп Ли, Мир, Москва, 1987.

9. В. Malgrange, Sur les deformations isomonodromiques. I. Singularites regulieres, Mathematique et Physique. Sem. Ecole Norm. Sup. 1979;1982 (L. Boutet de Monvel et al., eds.), Progress in Math. no. 37, Birkhauser, Basel, 1983, pp. 401−426.

10. А. А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений, МЦНМО, Москва, 2009.

11. Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ, Том II, Наука, Москва, 1985.

12. И. М. Кричевер, Аналог формулы Даламбера для уравнений главного киралъного поля и уравнения sine-Gordon, Докл. АН СССР 253 (1980), 288−292.

13. И. М. Кричевер, Нелинейные уравнения и эллиптические кривые, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Том 23, ВИНИТИ, Москва, 1983, стр. 79 136.

14. В. Г. Дринфельд и В. В. Соколов, Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега-де Фриза, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Том 24, ВИНИТИ, Москва, 1984, стр. 81−180.

15. L. A. Dickey, Soliton equations and Hamiltonian systems, 2nd ed., World Scientific, Singapore, 2003.

16. P. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон и X. Моррис, Солитоны и нелинейные волновые уравнения, Мир, Москва, 1988.

17. C.-L. Terng and К. Uhlenbeck, Backlund transformations and loop group actions, Comm. Pure Appl. Math. 53 (2000), 1−75.

18. В. E. Захаров и А. Б. Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, Журнал экспер. и теор. физики 61 (1971), вып. 1, 118−134.

19. М. J. Ablowitz, D. J. Каир, А. С. Newell and H. Segur, The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math. 53 (1974), no. 4, 249−315.

20. Б. А. Дубровин, Вполне интегрируемые гамилътоновы системы, связанные с матричными операторами, и абелевы многообразия, Функц. анализ и его прилож. 11 (1977), вып. 4, 28−41.

21. G. В. Segal and G. Wilson, Loop groups and equations of KdV type, Publ. Math. IHES 61 (1985), 5−65- Русский перевод в книге: Э. Прессли и Г. Сигал, Группы петель, Мир, Москва, 1990, стр. 379−442.

22. G. Wilson, The т-functions of the gAKNS equations, Integrable systems. The Verdier memorial conf. (O. Babelon et al., eds.), Progress in Math. no. 115, Birkhauser, Basel, 1993, pp. 131−145.

23. D. H. Sattinger and J. S. Szmigielski, Factorization and the dressing method for the Gel’fand-Dikii hierarchy, Physica D 64 (1993), 1—34.

24. А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, Наука, Москва, 1967.

25. Y. Sibuya, Linear differential equations in the complex domain: problems of analytic continuation, Amer. Math. Soc., Providence, 1990.

26. P.-F. Hsieh and Y. Sibuya, Basic theory of ordinary differential equations, Springer, Berlin et al., 1999.

27. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, Москва, 1972.

28. В. П. Потапов, Мультипликативная структура J-нерастягивающих матриц-функций, Труды MMO 4 (1955), 125−236.

29. Э. Прессли и Г. Сигал, Группы петель, Мир, Москва, 1990.

30. И. Ц. Гохберг и М. Г. Крейн, Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов, Успехи матем. наук 13 (1958), вып. 2, 3−72.

31. К. Uhlenbeck, Harmonic maps into Lie groups: classical solutions of the chiral model, J. Diff. Geom. 30 (1989), 1−50.

32. А. В. Ефимов и В. П. Потапов, Jрастягивающие матрицы-функции и их роль в аналитической теории электрических цепей, Успехи матем. наук 28 (1973), вып. 1, 65−130.

33. I. Mcintosh, Global solutions of the elliptic 2D periodic Toda lattice, Nonlinearity 7 (1994), 85−108.

34. И. В. Чередник, О регулярности «конечнозонных» решений интегрируемых матричных дифференциальных уравнений, Докл. АН СССР 266 (1982), 593−597.

35. X. Zhou, Zakharov-Shabat inverse scattering, Scattering (R. Pike and P. Sabatier, eds.), Academic Press, San Diego etc., 2002, pp. 1707−1716.

36. R. Beals, P. Deift, and X. Zhou, The inverse scattering transform on the line, Important developments of soliton theory (A. S. Fokas and V. E. Zakharov, eds.), Springer, Berlin et al., 1993, pp. 7−32.

37. Б. А. Дубровин, И. M. Кричевер и С. П. Новиков, Интегрируемые системы. I., Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 4. Динамические системы-4, ВИНИТИ, Москва, 1985, стр. 179−285.

38. G. Haak, М. Schmidt, and R. Schrader, Group theoretic formulation of the Segal-Wilson approach to integrable systems with applications, Reviews Math. Phys. 4 (1992), 451—499.

39. А. Ф. Леонтьев, Целые функции. Ряды экспонент, Наука, Москва, 1983.

40. И. Ц. Гохберг, О линейных операторах, аналитически зависящих от параметра, Доклады АН СССР 78 (1951), вып. 4, 629−632.

41. С. Ленг, SL2(), Мир, Москва, 1977.

42. М. Рид и Б. Саймон, Методы современной математической физики, том IV: Анализ операторов, Мир, Москва, 1982.

43. Д. Р. Яфаев, Математическая теория рассеяния, Изд-во СПГУ, С.-Петербург, 1994.

44. М. U. Schmidt, Integrable systems and Riemann surfaces of infinite genus, Memoirs Amer. Math. Soc. no. 581, Amer. Math. Soc., Providence, 1996.

45. P. Курант, Уравнения с частными производными, Мир, Москва, 1964.

46. О. Форстер, Римановы поверхности, Мир, Москва, 1980.

47. А. В. Комлов, Аналитические свойства решений некоторых классических и некоммутативных интегрируемых систем, Дисс. на соискание уч. степени к.ф.-м.н., МРУ, Москва, 2010.

48. Г. С. Салехов, О задаче Коши-Ковалевской для одного класса линейных уравнений с частными производными в области сколь угодно гладких функций, Изв. Акад. Наук СССР Сер. матем. 14 (1950), 355−366.

49. Г. С. Салехов и В. Р. Фридлендер, К вопросу о задаче, обратной задаче Коши-Кова-левской, Успехи матем. наук 7 (1952), вып. 5, 161—192.

50. Э. Л. Айне, Обыкновенные дифференциальные уравнения, ОНТИ, Харьков, 1939.

51. Э. Гурса, Курс математического анализа, ГТТИ, Москва—Ленинград, 1933—1934.

52. Е. Hopf, The partial differential equation щ + uux = ¡-лихх, Comm. Pure Appl. Math. 3 (1950), no. 3, 201−230.

53. H. А. Кудряшов, Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Ин-т компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2004.

54. A.-L. Cauchy, Memoire sur les systemes d’equations aux derivees partielles d’ordre quelconque et sur leur reduction a systemes d’equations lineaires du premier ordre, C. R. Acad. Sci. Paris 40 (1842), 131−138.

55. C. Moussy, Theoreme du point fixe et theorems de Cauchy-Kowalewsky—Lednev pour les systemes semi-lineaires, Ann. Fac. Sci. Tolouse 8 (1999), 491−535.

56. S. von Kowalevsky, Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen, Inaugural Dissertation zur erlangung der Doctorwurde bei der Philosophischen Facultat zu Gottingen, Georg Reimer, Berlin, 1874- J. reine angew. Math. 80 (1875), 1−32.

57. О. A. Олейник, Теорема С. В. Ковалевской и современная теория уравнений с частными производными, Соросовский образовательный журнал 8 (1997), 116—121.

58. J. Le Roux, Sur les integrales analytiques de l’equation d2z/dy2 — dz/dx, Bull. Sci. Math. 19 (1895), 127−128.

59. G. Mittag-Lefiler, Sur une transcendante remarquable trouvee par M. Fredholm, Acta Math. 15 (1891), 279−280.

60. D. Khavinson and H. S. Shapiro, The heat equation and analytic continuation: Ivar Fred-holm's first paper, Expo Math. 12 (1994), 79−95.

61. Письма Карла Вейерштрасса к Софье Ковалевской, Наука, Москва, 1973.

62. Л. Берс, Ф. Джон и М. Шехтер, Уравнения с частными производными, Мир, Москва, 1966.

63. J. В. McLeod and P. J. Olver, The connection between partial differential equations soluble by inverse scattering and ordinary differential equations of Painleve type, SIAM J. Math. Anal. 14 (1983), 488−506.

64. E. Holmgren, Sur l’equation de la propagation de la chaleur, Arkiv fiir Math. Astr. Phys. 4 (1908), no. 1−2, pp. 1−11- no. 3−4, pp. 1−28.

65. M. Gevrey, Sur la nature analytique des solutions des equations aux derivees partielles. Premier memoire, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 35 (1918), 129−190.

66. Г. E. Шилов, Математический анализ. Второй специальный курс, Наука, Москва, 1965.

67. L. Rodino, Linear partial differential operators in Gevrey spaces, River Edge, NJ, World Sci., 1993.

68. C. Kiselman, Prolongement des solutions d’une equation aux derivees partielles a coefficients constants, Bull. Soc. Math. France 97 (1969), 329−356.

69. Ю. Ф. Коробейник, Представляющие системы экспонент и задача Коши для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, Изв. Росс. Акад. Наук Сер. матем. 61 (1997), вып. З, 91−132.

70. S. Rigat, Application of functional calculus to complex Cauchy problems, Comput. Meth. Funct. Theory 7 (2007), 509−526.

71. J. Leray, Probleme de Cauchy I: Uniformisation de la solution du probleme de Cauchy pres de la variete qui porte les donnees de Cauchy, Bull. Soc. Math. France 85 (1957), 389⁴²⁹.

72. P. Schapira, Sheaves: from Leray to Grothendieck and Sato, Seminaires et Congres 9 (2004), 173−183.

73. M. Zerner, Domaines d’holomorphie des fonctions verifiant une equation aux derivees partielles, C. R. Acad. Sci. Paris 272 (1971), 1646−1648.

74. Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Мир, Москва, 1986;1987.

75. J. Persson, Some results on classical solutions of the equation D™u = xqD™u, m < n, Boll. Unione Math. Ital. Ser. IV 3 (1970), 426−440.

76. G. M. Henkin, Jean Leray and several complex variables, in J. Leray, Oeuvres Scientifiques, vol. Ill, Springer-Verlag and SMF, Berlin and Paris, 1998, pp. 1−31.

77. D. Khavinson, Holomorphic partial differential equations and classical potential theory, Univ. de la Laguna Press, La Laguna (Tenerife), 1996.

78. Ю. А. Дубинский, Задача Коши в коиплексной области, Изд-во МЭИ, Москва, 1996.

79. F. Linares and G. Ponce, Introduction to nonlinear dispersive equations, Springer, New York, 2009.

80. A. Rybkin, The Hirota r-function and well-posedness of the Korteweg-de Vries equation with an arbitrary step-like initial profile decaying on the right half-line, Nonlinearity 24 (2011), 2953−2990.

81. A. Cohen and T. Rappeler, Non-uniqueness for solutions of the Korteweg-de Vries equation, Trans. Amer. Math. Soc. 312 (1989), 819−840.

82. N. Hayashi and K. Kato, Regularity in time of solutions to nonlinear Schrodinger equations, J. Funct. Anal. 128 (1995), 253−277.

83. H. Tahara, On the singularities of solutions of nonlinear partial differential equations in the complex domain, Microlocal analysis and asymptotic analysis (T. Kawai, ed.), RIMS Kokyuroku 1397 (2004), pp. 102−111.

84. R. Gerard and H. Tahara, Singular nonlinear PDE, Vieweg, Braunschweig, 1996.

85. S. Kichenassamy, Fuchsian reduction, Birkhauser, Boston, 2007.

86. N. Joshi, J. A. Petersen and L. M. Schubert, Nonexistence results for the Korteweg-de Vries and Kadomtsev-Petviashvili equations, Stud. Appl. Math. 105 (2000), 361−374.

87. H. Hannach, A. A. Himonas and G. Petronilho, Gevrey regularity in time for generalized KdV type equations, Recent progress on some problems in SCV and PDE (S.Berhanu et al., eds.), Contemp. Math. 400 (2006), Amer. Math. Soc., Providence, pp. 117−127.

88. J. J. Duistermaat and F. A. Griinbaum, Differential equations in the spectral parameter, Comm. Math. Phys. 103 (1986), 177−240.

89. Б. Witten, Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space, Surveys in diff. geom. (Cambridge MA, 1990), vol. 1, Lehigh Univ., Bethlehem PA, 1991, pp. 243−310.

90. А. К. Звонкин и С. К. Ландо, Графы на поверхностях и их приложения, МЦНМО, Москва, 2010.

91. M. L. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. Math. Phys. 147 (1992), 1−23.

92. А. В. Комлов, Оценки классов Жеврея данных рассеяния для полиномиальных потенциалов, Успехи матем. наук 63 (2008), вып. 4, 189−190.

93. И. М. Кричевер, Алгебраические кривые и коммутирующие матричные дифференциальные операторы, Функц. анализ и его прилож. 10 (1976), вып. 2, 75—77.

94. И. М. Гельфанд и Л. А. Дикий, Дробные степени операторов и гамильтоновы системы, Функц. анализ и его прилож. 10 (1976), вып. 4, 15−29.

95. R. Beals, P. Deift and С. Tomei, Direct and inverse scattering on the line, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.

96. Ю. И. Манин, Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Том 11, ВИНИТИ, Москва, 1978, стр. 5−152.

97. F. Gesztesy, D. Race, К. Unterkofler and R. Weikard, On Gelfand-Dickey and Drinfeld-Sokolov systems, Reviews Math. Phys. 6 (1994), no. 2, 227−276.

98. И. M. Кричевер, Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии, Функц. анализ и его прилож. 11 (1977), вып. 1, 15—31.

99. R. Weikard, On commuting differential operators, Electron. J. Diff. Eq. 19 (2000), 1−11.

100. А. П. Веселов и А. Б. Шабат, Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера, Функц. анализ и его прилож. 27 (1993), вып. 2, 1−21.

101. Г. Полна и Г. Сеге, Задачи и теоремы из анализа, 3-е изд., том II, Наука, Москва, 1978.

102. I. V. Cherednik, Basic structures of soliton theory, World Sci., Singapore, 1996.

103. W. J. Zakrzewski, Low dimensional sigma models, Adam Hilger, Bristol, 1989.

104. И. Давидов и А. Г. Сергеев, Твисторные пространства и гармонические отображения, Успехи Матем. Наук 48 (1993), вып. 3 3−96.

105. G. Valli, On the energy spectrum of harmonic 2-spheres in unitary groups, Topology 27 (1988), no. 2, 129−136.

106. M. J. Ferreira, B. A. Simoes and J. C. Wood, All harmonic 2-spheres in the unitary group, completely explicitly, Math. Z. 266 (2010), 953−978.

107. J. M. Gracia-Bondia, J. C. Varilly and H. Figueroa, Elements of noncommutative geometry, Birkhauser, Boston, 2001.

108. R. Rochberg and N. Weaver, Noncommutative complex analysis and Bargmann-Segal multipliers, Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), no. 9, 2679−2687.

109. И. фон Нейман, Математические основы квантовой механики, Наука, Москва, 1964.

110. В. И. Арнольд, A. H. Варченко и С. М. Гусейн-заде, Особенности дифференцируемых отображений, МЦНМО, Москва, 2004.

111. А. М. Переломов, Обобщенные когерентные состояния и их применения, Наука, Москва, 1987.

112. А. В. Комлов, Некоммутативная грассманова U (1) сигма-модель и пространство Баргманна-Фока, Теор. Матем. Физика 153 (2007), 347−357.

113. А. В. Домрина, Петлевые поднятия в некоммутативной сигма-модели, Труды МИ АН 279 (2012), 72−80.