Сходимость вполне и предельные теоремы в схеме серий

Предельные теоремы для сумм случайных величин являются традиционной областью теории вероятностей, имеющей разнообразные приложения. Обзор ее основных результатов содержится, например, в монографиях [1], [4], [6], [7], [8], [14]. Наряду с классической теорией суммирования случайных слагаемых, где рассматриваются последовательности нарастающих сумм, большое внимание уделяется суммированию в схеме серий и возникающему в связи с ним понятию сходимости вполне.

Напомним, что под суммированием в схеме серий обычно понимают рассмотрение сумм вида Sn = J2f=i Xnj, где {Xnj: 1 < j < Nnj n? N}-набор случайных величин, индексируемый двумя индексами, a Nnнекоторая последовательность натуральных чисел, в то время как классическая теория суммирования имеет дело с последовательностью нарастающих сумм, т. е. Sn = E" =i Xj, где {Хп: п Е N}- последовательность случайных величин. Разумеется, от схемы последовательностей легко перейти к схеме серий, положив Xnj = X^j — 1,., п (п 6 N).

Отметим также, что используются различные понятия сходимости последовательностей (должным образом нормированных) сумм случайных величин. Понятие сходимости вполне (complete convergence) появилось в работе Хсу и Роббинса [40]. Согласно ей, последовательность случайных величин Yn сходится вполне к величине У, если.

00 yр{|кг — > < оо для любого? > 0. п=1.

Здесь и, если не оговорено противное, всюду далее рассматриваются действительные случайные величины. Применив известную лемму Бореля-Кантелли (см., напр., [17], стр. 271), легко видеть, что сходимость вполне влечет за собой сходимость почти наверное, а для случая, когда величины Yn независимы между собой, эти два вида сходимости совпадают.

Классический результат Хсу и Роббинса заключается в следующем:

Теорема 1 ([40]). Пусть Х,., Хп,.- независимые одинаково распределенные случайные величины, Зп = Тогда условие.

ЕХ2 < оо (1) является достаточным для того, чтобы последовательность сходилась вполне к 0 при п —)• оо.

Как доказал Эрдеш [31], условие (1) является также и необходимым.

На этот результат можно смотреть с нескольких точек зрения: во-первых, как на закон больших чисел относительного нового вида сходимости — сходимости вполне, которая, вообще говоря, сильнее сходимости почти наверное. Последнее замечание объясняет усиление мо-ментных требований, налагаемых на случайные величины, по сравнению с усиленным законом больших чисел. Напомним (см., напр., [17], стр. 376), что необходимым и достаточным условием для выполнения классического усиленного закона больших чисел Колмогорова для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин является конечность абсолютного первого момента случайных величин.

Во-вторых, теорема Хсу-Роббинса представляет собой оценку скорости сходимости в законе больших чисел. В основании этой трактовки теоремы 1 лежит идея, что скорость сходимости к нулю последовательности ап можно измерить в терминах показателя 7, для которого ряд п7ап сходится. Важнейшим обобщением в этом направлении теоремы Хсу-РоббинсаЭрдеша является результат БаумаКаца [19], [20].

Теорема 2 ([19]). Пусть {Хп, п? М}— независимые одинаково распределенные случайные величины. вп = ½ < а < 1, сф > 1. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

ЕХпр < оо и ЕХп = ^.

00 пар-2Р{|5п — пцI > £па} < оо для любого е > 0- (2) g nap2P{max l5*? >s}< oo для всех? > 0. (3) n=l ka.

И, наконец, в-третьих, теорему 1 можно рассматривать как усиленный закон больших чисел в схеме серий. А именно, используя лемму Бореля-Кантелли, переформулируем теорему 1 и ее обращение, доказанное Эрдешем [31], в следующем виде.

Теорема 3. Пусть {X, Xnj, 1 < j < п, п Е N}- независимые одинаково распределенные случайные величины, Sn = E" =i Xnj. Тогда условие (1) является необходимым и достаточным для усиленного закона больших чисел, т. е. для сходимости последовательности Sn~^Sn к 0 почти наверное.

Суммируя все сказанное выше, отметим, что все три подхода к рассмотрению теоремы Хсу-Робинса-Эрдеша: как закона больших чисел относительно нового вида сходимости, как оценки скорости сходимости в законе больших чисел и как усиленного закона больших чисел в схеме серийявляются методологически разными и представляют различные области исследований.

Более подробно остановимся на обзоре предшествующих результатов, полученных в каждой из этих областей.

Первый подход разрабатывался множеством авторов. Появился целый «пласт» теорем о сходимости вполне. Мы укажем лишь несколько направлений обобщения теоремы ХсуРоббинса-Эрдеша.

Прежде всего, это обобщения на всевозможные виды зависимых величин. Тут следует отметить работы Шиналя [69] и Пелиград [56]. Для перемешивающихся величин результаты были получены для а-перемешивания Key [71], для рперемешивания Конгом и Цангом [45]. Работы Ю [72], Госала и Чандра [33] посвящены сходимости вполне для мартингалов, а Су [64] и Лианга [51] для отрицательно ассоциированных величин. На последних остановимся подробнее.

Понятие отрицательно ассоциированной последовательности случайных величин введено в 1983 г. Иоаг-Дев и Прошаном ([44]).

Случайные величины Х,., Хп, (п > 2) называются отрицательно ассоциированными, если для любых двух непустых непересекающихся множеств, А и В С {1,., п}, и пары покоординатно невозрастаю-щих (неубывающих) функций / и д, имеет место неравенство когда ковариация существует.

Нетрудно видеть, что любое семейство независимых случайных величин автоматически будет отрицательно ассоциированным. Интересные примеры величин, обладающих отрицательной зависимостью, можно найти в [44].

В некотором смысле, отрицательно ассоциированные величины очень близки по своим свойствам к независимым. А именно, многие предельные теоремы (см., напр., [51], [64], [66], [50], [23], [2]) могут быть перенесены с независимых величин на отрицательно ассоциированные без добавления каких-либо дополнительных условий. Подобное обобщение теоремы Хсу-Роббинса-Эрдеша получил Су в работе [64].

Теорема 4 ([64]). Пусть {Хп, п Е М}- отрицательно ассоциированные одинаково распределенные случайные величины, 5″ = Е" =1 Х^. Тогда условие (1) является необходимым и достаточным для того, чтобы последовательность 3п~Е5п сходилась вполне к 0. п.

Другое направление обобщений теоремы 1, трактуемой как теорема о сходимости вполне, есть обобщения на случай неодинаково распределенных случайных величин. Здесь возникла очень интересная ситуация, так как до сих пор необходимые и достаточные условия для сходимости вполне сумм разнораспределенных величин не найдены.

Условие (1), очевидно, эквивалентно условию оо пР{|Х| > еп} < оо. (4).

71—1.

Возможное обобщение этого условия на разнораспределенные величины:

00 п.

Е ?Р{№ 1>шКоо (5) п-1 3=1 было предложено Спатару в работе [63]. А именно, он доказал, что (5) является необходимым и достаточным условием для сходимости вполне нормированных сумм независимых разнораспределенных случайных величин, в случае, если распределения этих величин выбираются из некоторого конечного набора распределений с некоторыми дополнительными ограничениями на свободу выбора. При этом он полагал, что эти ограничения являются несущественными, и в дальнейшем от них можно будет избавиться.

Однако, Сунг [67] построил пример, показывающий, что предположения Спатару неверны, и условие (5) не является достаточным для сходимости вполне.

Дункан и Шиналь [29] дополнили условие (5) еще тремя требованиями, в совокупности достаточными для сходимости вполне суммы разнораспределенных величин. Однако, если условие (5), как нами будет доказано в теореме 1.2, является необходимым, то ничего подобного нельзя сказать в отношении остальных требований, предложенных Дунканом и Шиналем.

Тем не менее, в некоторых частных случаях получить условия являющиеся одновременно необходимыми и достаточными для сходимости вполне сумм разнораспределенных величин все же удается. Примером тому могут служить работы Прусса [57] и [58].

Интересен также целый ряд работ, относящихся к сходимости вполне некоторой подпоследовательности сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. А именно, Асмуссен и Куртц [18], с помощью неравенства Куртца [47] рассмотрели вопрос о сходимости вполне к 0 последовательности > 1}, где А^- строго возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая некоторым условиям (в частности, она должна расти не медленнее степенной, но не быстрее показательной последовательностей), здесь сумма независимых одинаково распределенных случайных величин.

Интересно необходимое и достаточное условие, полученное для этого случая Асмуссеном и Куртцем [18]: оо.

X А^"Р{|Х| > е1У"} < оо для любого е > 0. (6) п= 1.

Очевидно, что в частном случае ЛТп = п оно сводится к (4), которое эквивалентно (1). Здесь же заметим, что для = [па], а > 1, где [•] обозначает целую часть числа, условие (6) равносильно тому, что ЕХ^ < оо. Таким образом, чтобы получить сходимость вполне степенной подпоследовательности сумм независимых случайных величин требуется налагать меньшие моментные требования на слагаемые, нежели при сходимости в указанном смысле всей последовательности. и.

Далее Гут ([34], [37]), основываясь на неравенстве ХофманаИорген-сена [39], дополнил результат Асмуссена и Куртца, рассмотрев иные классы последовательностей ]УП, а также использовав более общую нормировку > 1}, где р > ½.

Тут следует сделать несколько замечаний. Совокупность результатов Асмуссена, Куртца ([18]) и Гута ([34], [37]), вообще говоря, не охватывает все множество строго возрастающих последовательностей Мп. К тому же в работах Гута ([34], [37]) рассматривается два класса последовательностей которые условно назовем «быстро растущими» и «медленно растущими». Для «медленно растущих» последовательностей им получены условия, являющиеся необходимыми и достаточными. В то же время, для «быстро растущих» последовательностей достаточные условия, предложенные упомянутым автором, вообще говоря, не являются необходимыми, как показали Кусмазевска и Шиналь.

46]).

Наконец, есть еще работы, обобщающие теорему Хсу-Роббинса на случайные величины со значениями в банаховом пространстве [43].

В основании второй из упомянутых выше точек зрения на теорему 1, а именно как на оценку скорости сходимости в законе больших чисел, как мы уже говорили, лежат работы БаумаКаца [19], [20].

К настоящему времени существует также некоторое количество обобщений теоремы БаумаКаца на слабозависимые величины [56], [48].

Отметим в этой связи работу Пелиград [56], посвященную аналогам теоремы Баума-Каца для зависимых величин, подчиняющихся различным условиям перемешивания. Не будем здесь останавливаться на определениях и свойствах различных коэффициентов перемешивания, отошлем лишь к монографии Дукана [28]. Система условий, предложенных Пелиград [56] в качестве достаточных для выполнения (2), состоит из некоторого условия суммируемости коэффициентов перемешивания и моментного требования, налагаеваемого на слагаемые.

Доказанная во второй главе данной диссертации, теорема 2.4 является обобщением теоремы Баума-Каца на аперемешивающиеся величины. Она существенно отличается от результатов, полученных Пелиград, тем, что предлагаемое в ней достаточное условие является оптимальным и представляет собой требование суммируемости смеси коэффициентов перемешивания и квантильной функции, и, таким образом, содержит в себе множество утверждений, аналогичных предложенным в работе [56].

А сейчас остановимся на еще одной группе работ, посвященных обобщениям теоремы БаумаКаца для случайных полей, заданных на целочисленной решетке = {0,1,2,. .}Л Основной результат в этой области получил Гут [35], [36], [38], доказав следующую теорему:

Теорема 5 ([36]). Пусть {X, Хп, п Е — независимые одинаково распределенные центрированные случайные величины. 5(п) = ½ < а < 1, сф > 1. Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

Е|Х|р (1об+|Л'|)<'-1<�оо- (7) для любого е > 0. (8) п еЦ.

111 ар—2.

Р{тах|5(к)| > епа} < оо.

В случае ар > 1 они к тому же равносильны тому, что.

Е Гр~гР{тах.

1 Н>' п1 е) < оо для всех е > 0.

9).

Обобщение этого результата на случай ассоциированных величин было получено Вронским [3]. В предложенных Вронским оптимальных условиях достаточных для выполнения (8) моментные требования, налагаемые на случайные слагаемые, тесно связаны со скоростью убывания зависимости между «далекими» слагаемыми. Тут следует еще раз напомнить о замечании, сделанном нами ранее, относительно того, что отрицательно ассоциированные величины по своим свойствам оказываются наиболее близкими к независимым. Так в теореме 2.1, приведенной во второй главе данной диссертации, доказан аналог теоремы Гута на случай отрицательно ассоциированных случайных величин. При этом условия теоремы 2.1 полностью аналогичны случаю независимости слагаемых, и никаких требований об убывании зависимости не понадобилось.

Относительно аналогов теоремы Баума-Каца для случайных полей, заданных на целочисленной решетке, дополнительно отметим работу Денга [26], в которой он использовал более общий тип нормировок и весовых функций.

Теорема 6 ([26]). Пусть {Х, Хп, п Е 2ц.}— независимые одинаково распределенные центрированные случайные величины. Пусть причем ½ < аг- < 1, гг- > —1(1 < г < с?) — р = тахг (гг- + 2)/с*г-, г = #{г р = (гг- + 2)/аг-}. Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

Наконец, остановимся на третьей точки зрения на теорему Хсу-Роббинса, которая трактует ее как усиленный закон больших чисел в схеме серий. Впервые она была предложена в работе [41], где был установлен аналог классического закона Марцинкевича-Зигмунда [52] для схемы серий.

Суммирование в схеме серий естественным образом возникает в статистике. Показательной в этом сысле является работа Прусса [58],.

10).

Е|Х|" (1о8+ |Х|Г> < оо;

П) где схема серий возникает при построении случайных римановских сумм и приближении интегралов.

Задача ставится так: найти приближенное значение интеграла от непрерывной интегрируемой функции / на некотором отрезке [а, Ь]. Алгоритм, использующий случайность, очевиден: разбиваем каким-либо образом отрезок [а, Ь] на п частей [жо, а^],., [х^ ., [#п-ъ хп где, а = хо < х <. < хп = 6, Дг- = Х{ — Далее независимо друг от друга бросим на каждый отрезок случайным образом точку с заранее заданным распределением. Приближенным значением интеграла будет сумма 5П = ?" =1 Дг/(£") = ?™=1 независимых, вообще говоря, разнораспределенных слагаемых (здесь = Состоятельность данной оценки дает усиленный закон больших чисел в схеме серий.

Вторым примером применения предельных законов (действующих с вероятностью 1) в схеме серий может служить работа Ху и Тэй-лора [42], в которой с помощью усиленного закона больших чисел в схеме серий устанавливается состоятеьность оценки бутстреповских средних.

Предельные теоремы в схеме серий обладают рядом особенностей, а именно, как и усиленный закон больших чисел (теорема 1.1), так и закон Марцинкевича-Зигмунда [52] в схеме серий, налагают на случайные слагаемые большие моментные ограничения, нежели в классической схеме суммирования нарастающих сумм. Мы уже упомянали ту особенность, что в усиленном законе больших чисел в схеме серий для одинаково распределенных независимых случайных величин требуется конечность дисперсии слагаемых, в то время как для выполнения классического закона Колмогорова достаточно существование конечного математического ожидания. Аналогично этому, как было доказано в [41], при установлении аналога закона Марцинкевича-Зигмунда моментные требования на слагаемые удваиваются.

Очень красивый результат, устанавливающий аналог закона повторного логарифма в схеме серий, получен в [59].

Теорема 7 ([59]). Пусть {X,< ] < п, п Е №}- независимые одинаково распределенные случайные величины, Тп = тогда где log+ t — logmax (i, е), t? Ж.

Здесь необычным выглядит моментное требование на слагаемые, которое тем не менее является необходимым и достаточным. Опять-таки следует заметить, что оно «выше», чем в классическом законе повторного логарифма. Строго говоря, сам термин «закон повторного логарифма» является неприменимым к теореме 7, так как именно «повторный логарифм» в данной теореме отсутствует. Вместо классической нормировки л/2п log log п, отвечающей последовательности н. о. р. величин (см., напр., [17], стр. 424), в схеме серий возникает другая, вообще говоря, более сильная нормировка. Логарифмическому закону в схеме серий посвящены также работы [68], [25]. Точный характер флуктуаций приращений сумм независимых случайных величин, восходящий к закону Эрдеша — Реньи, исследовался многими авторами (см., напр., [32]).

Хочется упомянуть также об одной задаче, связанной с законом повторного логарифма, которую для классической схемы суммирования решил Вебер [70]. Вопрос состоит в следующем. Если рассматривать суммы случайных величин Sn не все, а лишь с номерами, принадлежащими некоторому подмножеству натуральных чисел, п Е Д С N, как изменится верхний предел нормированных (как в законе повторного логарифма) сумм? Очевидно, он может только уменьшиться, но насколько редким должно быть подмножество Д чтобы верхний предел уменьшился?

Вебер [70] ввел величину, характеризующую плотность множества Д по сравнению с множествами Да = {2″ °: п Е N}, и в терминах этой величины получил ответ. Так, например, оказалось, что 1 1 еда л/ЪЛо^Щп у/а п.н.

Возникает вопрос об аналоге результата Вебера для схемы серий, интересный еще и с точки зрения условий, налагаемых, на случайные слагаемые. Нельзя ли уменьшить моментные требования, при рассмотрении не всех сумм, а лишь сумм с номерами принадлежащими некоторому подмножеству? Напомним, что при рассмотрении усиленного закона больших чисел в схеме серий для подпоследовательности моментные требования уменьшить можно. Теорема 3.3, доказанная в третьей главе данной диссертации, дает ответы на поставленные вопросы.

Перейдем к более подробному рассмотрению результатов диссертационной работы.

Данная диссертация посвящена сильным предельным теоремам в схеме серий и сходимости вполне. Основу диссертации составляют работы автора [9], [10], [11], [12], [24], [13], [54]. Результаты диссертации докладывались на Первых и Вторых Колмогоровских чтениях в МГУ (1999г., 2000 г.), на Петербургском Городском семинаре по теории вероятностей (рук., акад. И.А. Ибрагимов) в мае 2000 г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ (рук., член-корр. РАН А.Н. Ширяев), на Седьмой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (1998).

Диссертации состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, насчитывающей 72 наименования.

1. Булинский А. В. Предельные теоремы в условиях слабой зависимости. М.: изд-во МГУ, 1989, 135 с.

2. Булинский A.B., Шабанович Э. Асимптотическое поведение некоторых функционалов от положительно и отрицательно зависимых случайных полей// Фунд. прикл. математика, 1998, т.4, вып. 2, с.479−485.

3. Вронский М. А. Скорость сходимости в УЗБЧ для ассоциированных последовательностей и полей.// Теория вероятн. и ее примен., 1998, т.43, вып. З, стр.439−455.

4. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин// M.-JI. Гостехиздат., 1949.

5. Давыдов Ю. А. О сходимости распределений, порожденных стационарными случайными процессами. //Теор.вероятностей и прим., 1968, v. 13, рр. 691−696.

6. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин// «Наука», Москва, 1986.

7. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины //" Наука", Москва, 1965.

8. Круглов В. М., Королев В. Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: изд-во МГУ, 1990, 269 с.

9. Микушева А. Е. Аналог теоремы Баума-Каца для отрицательно ассоциированных полей// Вестник МГУ, 2001.

10. Микушева А. Е. Аналог теоремы Баума-Каца для слабо зависимых случайных величин// Мат. заметки, 2000, т.67, вып. З, стр. 360−368.

11. Микушева А. Е. Закон больших чисел и логарифмический закон в схеме серий// Фунд. прикл. математика, 2000, т.6, вып.1, стр. 195−206.

12. Микушева А. Е. О сходимости вполне сумм отрицательно ассоциированных случайных величин// Мат. заметки, 2000, т.68, вып. З, с.411−420.

13. Микушева А. Е. Закон больших чисел и логарифмический закон в схеме серий// Теор. вер. и прим., 1999, т.44, вып. З, стр.699−700. Тезисы докладов, отмеченных премиями на «Колмогоровских чтениях14.