Расширение задач на программный максимин в классе конечно-аддитивных мер

Общая характеристика работы.

Представленная диссертация посвящена построению корректных расширений игровых задач с ограничениями асимптотического характера. В частности, рассматриваются игровые задачи программного управления линейной системой с возможной разрывностью в коэффициентах при управляющем воздействии. В качестве обобщенных эцементов используются конечно-аддитивные (к.-а) меры ограниченной вариациисоответствующие компакты упомянутых мер определяются в виде подпространств пространства, сопряженного пространству ярусных функций, в оснащении *-слабой топологией. Конструируемые обобщенные игровые задачи (па максимпн) определяют асимптотику реализуемых значений макспмппа при ослаблении стандартных ограничений. Исследуется постановка, в которой ограничения на выбор управления изначально имеют асимптотический характер.

Актуальность темы

.

В современном мире теория управления играет важную роль. Одна из проблем теории управления состоит в определении оптимального управления в условиях действия помехи, что 'пшичпо дчя задач управления техническими системами Наиболее плодотворным в решении такой проблемы является игровой подход, в котором выбор помехи осуществляет второй (зачастую фиктивный) игрок. Развитие математической теории задач конфликтного управления, прежде всего, связано с работами Н. П. Красовского, Л. С. Понтрягина, Б. Н. Пшеничного, А. И. Субботина. Первые постановки дифференциальных игр были рассмотрены в монографии Р. Айзекса [I].

Существенное влияние на теорию управления п теорию дифференциальных игр оказали работы Р. В. Гамкрелидзе. A.B. Кряжимского, А.Б. Куржан-ского, Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Осинова, Ф Л. Черноуеько, J.P. Aubin, Т. Basar, Р. Bernhard, J.V. Breakwell, L. Berkovitz, M.С. Crandall. R.J. Elliot, A. Friedman N.J. Kalton, G. Leitmann, P.L. Lions, C. Ryll-Nardzewski, P. Varaiya. J. Warga.

Большой вклад в 'георию управления и теорию дифференциальных игр внесли Э. Г. Альбрехт, В. Д. Батухтпн. С. А. Брыкалов. Н. Л. Григоренко, П. Б. Гусятников, М. И. Зелпкпп, А. Ф. Клейменов, Н. Ю. Лукояиов, A.A. Ме-ликян, М. С. Никольский, В. В. Остапенко. B.C. Пацко, H.H. Петров, Л.А. Пет-росян, Е. С. Ноловипкин, H.H. Субботина, A.M. Тарасьев, A.A. Толстоно-гов, В. Е. Третьяков, В.И. У хоботов, В. Н. Ушаков, А. Г. Ченцов, A.A. Чи-крий, C.B. Чистяков. M. Bardi, E.N. Barron. A. Blaquiere, 1. Capnzzo Dolcetta, M. Falcone, L.C. Evans, R. Jensen. M. Ishii, J. Lewin, P. Soravia, P.E. Souganidis и многие другие ученые.

Задачам импульсного управления посвящены работы H.H. Красовского [28], A.B. Куржаиского, Р. Винтера, В. Н. Гурмана [17], М. И. Гусева, В. А. Дыхты и О.II. Самсонюк [20]. С. Т. Завалпщина и А. Н. Сесекина [22,81], А. М. Самойлснко [40], Б. М. Миллера [3G|. В. М. Тихомирова, Т. Ф. Филипповой, А. Г. Ченцова, J. Warga, A. Halanay, D. VVexler и многих других ученых.

Конструкции расширений задач оптимальною управления с геометрическими ограничениями рассматривались многими авторами, отметим здесь исследования Р. В. Гамкрелидзе [15|. L. С. Yong [71], J. Warga [14]. Конструкции расширений играют важную роль в игровых задачах управления (см., например, [30,31,43]). Отметим, что для построения методов решения позиционных дифференциальных игр использовались результаты, полученные для игровых задач программного управления. В упомянутых игровых задачах программного управления применялись конструкции расширений на базе управлений-мер (см. например, «смешанные» программные управления [31]), что сыграло важную роль при построении вспомогательных программных конструкций для решения нелинейных дифференциальных игр и при исследовании условий регулярности, которые позволяют осуществлять прямой переход от более простых) игровых задам программного управления к построению процедур управления по принципу обратной связи. Заметим, что в регулярных дифференциальных играх программный максимип играет основную роль в определении функции цены (см. |29]). Данное направление получило развитие в работах Н. Ы. Красовского и его учеников. Важным этапом в исследованиях являлось построение обобщенных игровых задач программного управления, в том числе п при фазовых ограничениях. В последнем случае часто возникает скользящий режим управления, при котором фазовые ограничения соблюдаются «па грани фола». Напомним здесь же, что в определении фундаментального свойства стабильности II. Н. Красовским было предложено использовать обобщенные реакции па обычные и, более того, постоянные управления одного из игроковнаряду с правилом экстремального сдвига это сыграло важную роль в доказательстве фундаментальной теоремы II. Н. Красовского п Л. И. Субботина об альтернативе в нелинейной дифференциальной игре. Заметим, что расширение «совокупной» игровой задачи может не сводиться к сочетанию индивидуальных расширений игроковсоответствующие примеры, касающиеся вспомогательных программных конструкций для позиционных дифференциальных игр. приведены в (-15 47].

Идеи, связанные по существу с конструкциями расширений, использовались и в других разделах математики (см. например, [16, 19,21] в связи с задачами математического программирования). В качестве одного из самых известных вариантов конструкций расширений следует отметить использование смешанных стратегий в антагонистических играх, благодаря чему в широком классе игровых задач удается решить проблему существования седловой точки (см. [38,39] и др.).

В настоящей работе целенаправленно пепедуются вопросы корректных расширений абстрактных игровых задач программного управления с ограничениями асимптотического характера, которые, в частности, могут возникать при ослаблении стандартных ограничении пли быть заданными изначально. Данные построения связаны с постановками, в которых истинное качество процесса реализуется при соблюдении ограничении «па грани фола» (с высокой, но все же конечной степенью ТОЧНО («1 п).

Конструкции расширения в классе ка. мер использовались в работах Е. Г. Белова, А. И. Жданка, А. И. Короткого, В. П. Серова, С. И. Тарасовой. А. Г. Чеицова, Ю. В. Шапарь. В связи с расширением задач с ограничениями асимптотического характера отметим работы [53,70,79]. Целый ряд работ (см. [65−68]) посвящен рассмотрел! по игровых задач программного управления, где упомянутые ограничения определяются релаксацией краевых и промежуточных условий.

Большой вклад в развитие к.-а. теории меры внесли работы: Г. Гильде-брандта. Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца [18], Л. В. Канторовича, Г. М. Фихтен-гольца, Е. Хыоитта и К. Иосиды (80], Б. Pao К. и Б. Pao М. [73].

Цель работы.

Построение расширений абстрактных задач программного управления на максимин, реализуемых в соответствующих классах к.-а. мер. Построение асимптотики значений программного макспмпна в классе обычных управлений при ослаблении стандартных ограничении. Исследование задачи на программный максимин в классе импульсов управления с «исчезающе малой» продолжительностью.

Методы исследования.

Используются методы теории управления, математического программирования, функционального анализа, общей топологии, теории игр, теории меры.

Научная новизна.

Для абстрактных игровых задач с различными ограничениями импульсного хараюера п режимами управления построены расширения в подходящих классах к.-а. мер. Данный подходпозволяет решить проблему компактифи-кацпп пучка траекторий и области достижимости. Другим важным следствием данного подхода является возможность исследовать асимптотику значений (реализуемого) макснмипа в случаях, когда каждое упомянутое значение соответствует множеству-элементу некоторой базы фильтра (в терминах упомянутых баз фильтров задаются ограничения асимптотического характера). Ограничения асимптотического характера в виде баз фильтров могут, в принципе, возникать по разным причинам. Например, это может происходить при ослаблении стандартных ограничении, задаваемых требованием принадлежности множеству некоторой «оценки» возможного решения. При этом реализуется семейство множеств допустимых обычных решении, отвечающих каждое соответствующей «степени» ослабления стандартного ограничения. В других случаях «асимптотические ограничения» задаются изначально, а их соблюдение приводит к реализации предельных значений функции стоимости. В рамках предполагаемого подхода, связанною с расширением исходной задачи, удаехся исследовать асимптотпм реализуемых значений максимина в случае, когда игровая задача пс обладает устойчивостью при ослаблении исходной системы стандартных ограничений.

Для одного конкретного варианта измеримою пространства с полуалгеброй множеств (а именно для пространства-стрелки) дано конкретное описание к.-а. мер, реализующих вспомогательное множество притяжения в пространстве обобщенных элементов, что позволяет находить асимптотику реализуемых значений максимина (асимптотический макспмин).

Теоретическая и практическая значимость.

Для игровых задач па макспмин (с разтпчпымп типами ограничений на выбор программного управления игроками) были реализованы конструкции расширения в классе конечпо-аддптивных мер. что позволяет в упомянутых задачах корректно описать эффекты, возникающие при условиях разрывности в коэффициентах при управлении и имеющие смысл произведения разрывной функции на обобщенную Результаты работы представляются полезными для исследования конкретных постановок игровых задач управления линейными системами с импульсными oi раппченпямп и разрывностью в коэффициентах при управляющих воздействиях. Соответствующие примеры такпх постановок доставляют инженерные задачи, связанные с управлением техническими системами при наличии ресурсных ограничении. Ограничения такого типа возникают в задачах космической навигации. При этом вышеупомянутая разрывность может, в некотором естественном смысле, отражать процесс резкого изменения массы управляемого объекта. В работе построены корректные расширения абстрактных задач управления на максимин, в которых присутствуют ограничения асимптотического характера, которые могут быть порождены ослаблением традиционных ограничений либо возникать изначально (пример такого рода задач рассмотрен в 4 главе).

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: международная школа-конференция «Современные методы качественной теории краевых задач — Понтрягпнскпе чтепия-XXI» (г. Воронеж, 3−9 мая 2011) — 42-я всероссийская молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики» (г. Екатеринбург 30 января-6 февраля 2011);

43-я всероссийская молодежная школа-конферепцпя «Современные проблемы математики» (г. Екатеринбург, 29 япваря-5 февраля 2012) — всероссийская научная конференция с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование» (г. Ижевск, 14−18 мая 2012);

44-я всероссийская молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики» (г. Екатеринбург, 27 ян варя-2 февраля 2013).

Результаты диссертации докладывались па семинарах отдела управляемых систем МММ УрО РАН, па семинаре кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университет, на семинаре отдела оптимизации управляемых процессов Института Кибернетики им. В. М. Глушкова HAH Украины.

Публикации.

Основной материал диссертации опубликован в работах [3−11,72]. В совместных с А. Г. Ченцовым работах [10,11,72] А. Г. Ченцову принадлежат постановкп задач, общая схема исследования и некоторые идеи доказательствконкретные доказательства основных положении проведены автором диссертации самостоятельно.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 4 i пав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов и утверждении сквозная. Нумерация формул тройная. Объем работы 168 страниц и включает 5 рисунков. 1 таблицу. Библиография содержи'! 81 наименование.

Заключение

.

В диссертационной работе дано развитие конструкциям расширения в классе к.-а. мер для случая игровых задач программного управления с импульсными 01 ранпчениямп и их абсчрактных аналогов. Рассматривалось также применение конструкций для некоторых «статических» задач игрового характера (см. главу 2). Основные усилия были направлены на расширение задач с ОАХ, которые могут возникать непосредственно (изначально) либо получаться в результате построения релаксации исходной невозмущенной задачи. В рамках формализации, предсма і рпвающей использование приближенных управлений (подобных предложенным Л. YYarga в [14, гл. 3]), эти два случая удается объединить и свести построение к рассмотрению ОАХ весьма общего вида. Для получившейся в ni oie абстрактной задачи конструируется расширение в соответствующем классе к.-а мер. Возникающие при этом обобщенные задачи со стандартными ограничениями доставляют в виде своего эктремума (макспмипа) асимптотику реализуемых значений макспми-на, каждое из которых соответствует' некоторым множествам из семейств, задающих ОАХ. Таким образом, на основе расширений удается определить «истинное качество» соответствующих игровых задач, ограничения которых определены в виде упомянутых семейств множеств.

Список сокращений и основных обозначений.

Список сокращений: в/з (нощсствсмнозпачная), к-а (копечно-аддитпвпая), к.-п. (кусочно-постоянная), МП (множество притяжения), МТ (материальная точка), ОАХ (ограничения асимптотического характера), п. спр. (непрерывная справа), ОД (область достижимости), ОЭ (обобщенный элемеш). и/а (полуалгебра), п/м (подмножество), с.-а. (счетно-аддитивная), с н. м (с некоторого момента), Т11 (топологическое пространство) Список основных обозначений: М — множество действительных чисел, г;

N множество на I ура льпых чисел чисел, {.г} сипглетоп. содержащий х а, Ь) — упорядоченная пара с первым элементом, а и вторым 6,.

7^(5) семейство всех п/м множества Б.

Р'(5) семейство всех непустых п м множества 5,.

0^[М] — открытая («-окрестность множества М в М3(см. (1.2.1)), семейство всех открьттых окрестностей 10чкп x. Хт (х) — семейство всех окрестностей точки х (см. (1.2.3)). (г — сотр)[Х] — семейство всех непустых компактных в ТП (Х.т) п/м X, Тг — семейство всех замкнутых в (А/ г) п м X,.

С (Х, Т], У, то) — множество всех (т, -^-непрерывных отображений, действующих из А' в У,.

С{Х, т) = С (А, г, М, гк) для всякого ТП (А, г), /) — направленность [20, гл. 2| в множестве Н, где (V, — непустое направленное множество [26, гл. 2], а / отображение из В в Н.

С — какая-либо измеримая структура, зафиксированная заранее (чаще всего полуалгебра-стрелка), ас! с1)[?] — множество всех к.-а. мер на ас! с1) + [?] - множество всех неотрицательных к.-а. мер на С. А (С) — множество всех к.-а мер па С. имеющих ограниченную вариацию, Р (£) — множество всех к.-а вероятностей на С (см. (1.2.4)),.

Т (£) — множество двузначных к.-а. (ОД)-мер (см. (1.2.4)). 5Х — мера Дирака, варпаппя к.-а. меры ¡-л Є А © как (функция множества, Во (Е.С) множество всех ступенчатых, в смысле (Е, С), в/з функций на множестве Е7.

Вц (Е, С) — множество всех неотрицательных ступенчатых в/з функций на множестве Е,.

В (Е, С) — множество всех ярусных, в смысле (Е,£), в/з функций на множестве Е,.

В+(Е, С) — множество всех неотрицательных ярусных в/з функций на множестве Е, — неопределенный д-пптеграл [59. § 3.7| ярусной функции / Є В (1,£), /І Є А (£), т*(£) — *-слабая топология.

Гп^(£) = т+(?)|х (?) — сужение *-с.лабой топологии на Т (£), ис{С) — шара в А (£) с (сильной) пормой-варпацпен (см. (1.3.2)), [/+(?) — неотрицательная часть шара ис© (см. (1.3.3)). (асІсІ) + {?] /і] множество всех неотрицательных к-а. мер, слабо абсолютно непрерывных [73] относительно ?.і Є (аскІ)+£] (см. (1.3.4)),.

Л/([£] множество всех к-а. мер с ограниченной вариацией, слабо абсолютно непрерывных относительно меры /і Є (аЛ (?)лС] (см. (1.3.5)), А — след меры Лебега на полуалгебру? пространства-стрелки, (??)[/] — функция множеств, см. (1.7.20) Хь — индикатор множества Ь (см. (1.7.21)).