Базисы Кете, целевые функции и их приложения

Изучению базисов Кете в отделимом локально выпуклом пространстве (ОЛВП) посвящена обширная литература. Существует, однако, класс последовательностей элементов, не являющихся базисами Кете, но дающих разложения со сходными свойствами в топологиях более слабых, чем исходная. Они названы нами <3-Ке-те базисами и являются объектом изучения в данной диссертации. В первой главе изучаются свойства таких последовательностей в различных типах локально выпуклых пространств, в связи с двойственной свободной проблемой моментов (и сама проблема) и указывается ряд приложений, не требующих больших дополнительных исследований. Основными объектами приложения (в третьей главе) являются: а) задача описания базисных последовательностей из собственных и присоединенных векторов оператора дифференцирования в пространствах аналитических функционалов над модельными топологическими модулями целых функций, б) двойственная интерполяционная задача Эрмита, в) аналитическое продолжение голоморфных функций, аппроксимируемых полиномами из экспонент. Эти приложения нуждаются в дополнительном развитии ряда разделов теории функций. Соответствующие результаты, представляющие нередко и самостоятельный интерес, составляют содержание второй главы.

Ниже мы по главам освещаем историю вопроса, даем мотивировки новых определений и постановок задач, а также формулируем основные результаты.

ГЛАВА I. Пусть (е У есть абсолютный шаудеровский базис в —————- ^ отделимом локально выпуклом пространстве Ер:=(Е, У: р), где Рсемейство преднорм, определяющее отделимую локально выпуклую топологию (ОЛВТ) в векторном пространстве В над полем с. Обозначим ft } биортогональную с (е) последовательность функцить н оналов (БПФ) из сопряженного пространства Ер. Важным подклассом таких базисов являются базисы с дополнительным свойством с".

V реР 3 р, еР? piejcp^x) (1) п= 1 для каждого элемента х из Е. В полном локально выпуклом пространстве последние под именем вполне абсолютных рассматривались в диссертации S. Saxon [205], а под именем абсолютных равностепенно непрерывных — в монографии A. PIetch [199]. В 1973 году N.J.Kalton [184] назвал базисом Кете в ОЛВП Ер такой шаудеровский базис со свойством (I), что для каждой пос.

Lff Ч 00.

У. а е у соответствующий ряд? а л ТЬ ТЬ Iл ть.

— 1 J ть— 1 оо е сходится в К, и V реР 2 ¡-а i Р (е)<0°- в той же работе поп г п=1 п п казано (предложение I), что наличие базиса Кете влечет полноту пространства Ер, то есть данное понятие отличается от предыдущих лишь названием. В работах Ю. Ф. Коробейника [67],[83] такие базисы под именем регулярных определялись на подпространстве полного ОЛВП. В монографии М. М. Драгилева [66] они носят имя Ij-абсолютных, а в монографии В. П. Кондакова [78] - 7—абсолютных базисов. В работах [32], [33] мы придерживались названия «регулярный», но такое имя («regular») уже носит иной тип базисов (C.Bessaga, A. Pelczynskl [163], N.J.Kaiton [183], N.J.Kamthan, M. Gupta [185]). С другой стороны, характеристическим свойством этих базисов в полном ОЛВП Ер является топологическая изоморфность последнего ассоциированному пространству Кете.

Х (Р) := [а:=(ап): V р€Р |а|р: — | |оп|р (ея)<4 при отображении K: EV-+X (P), Rx:={} (А.Пич [130]). Посir 71 ледний факт дает основание ввести следующее общее определение. Пусть (en, tn) — биортогональная система в ОЛВП Ер (согласно V. Klee [186] она всегда существует). Назовем последовательность {е) базисом Кете в замыкании W линейной оболочки п span е, если (е) является базисом в нем, и на W имеет месг ть п то соотношение (I). Нетрудно заметить, что базис Кете в смысле Калтона является таковым и в смысле последнего определения. С другой стороны, Кете базисность (е^} в более широком понимании равносильна топологической изоморфности коэффициентного отображения К из FT в ассоциированное пространство Кете МТ).

Базисы Кете близки к классу абсолютных шаудеровских базисов. Например, в бочечном пространстве эти классы совпадают. В предложении 1.4 мы описываем в пространстве Кете класс согласованных с двойственностью топологий, в которых орты еп:= f0Aii. A0Alf0f.) образуют абсолютный шаудеровский базис, но п не базис Кете.

Существует, однако, класс биортогональных систем, для косо торых ряды 2.

7i=i п п чем vpf, а оценка (I) имеет место не для всех р€Р (они составляют подкласс псевдобазисов в смысле работы [70]).

Обозначим H® ядерное пространство Фреше голоморфных в круге z0, функций с топологией равномерной сходимости на компактах и реализуем сопряженное [187] в виде пространства голоморфных на круге z2R и исчезающих на бесконечности функций. Рассмотрим, следуя J.M.Whittaker ([217], гл. 6, пр.8), последовательность многочленов eQ (z)=1, e2n (z):=z2n+.

2z)2n~1, e2n1(z):=z2ri~ n=1,2,.. (ejz)) полна в каждом пространстве H®, 0< g. Однако такой же ряд для.

1 я функции е H® расходится в точке z=^.

Подобное явление имеет место не только для полиномиальных рядов. Пусть А:=(Х) есть неубывающая измеримая при пока.

ТЬ зателе 1 последовательность попарно различных положительных чисел (то есть существует конечный предел lim) с конечп-*<�х> п ным ненулевым индексом конденсации бд. Обозначим WA замыкание линейной оболочки Spaniern2} в топологии равномерной сходимости на компактах в пространстве H (Ga) голоморфных на фиксированной полуплоскости Ga:=(z: Rez.

00 Г тах из Ga6. Обозначим aA (z):=eaz П ]• Как показано п там же, некоторая подпоследовательность частичных сумм ряда 00 1 х j е nz равномерно сходится внутри Rez.

Особенность обсуждаемых биортогональных систем еще и в том, что может нарушаться свойство единственности разложения в ряд по {е }. Рассмотрим с этой целью последовательность.

ТЬ многочленов 7, 2−7, г2-г,., предложенную А. И. Маркушевичем [117]. Виортогональной с ней будет последовательность функций (г2-г)~1,(г3-г2)~1,., и для каждой функции из Н (Ю, К>1, соответствующий ряд равномерно сходится на компактах из круга г<7. Однако функция, тождественно равная со.

— 7, помимо тривиального имеет и такое разложение? (?п-гп),.

Т1=1 равномерно сходящееся внутри единичного круга.

Во всех приведенных, примерах соответствующие ряды не только абсолютно сходятся в ослабленной топологии, но их суммы допускают оценку типа (I) на определенном подклассе преднорм из Р. Это подводит нас к такому общему определению. Пусть даны биортогональная система Се в ОЛВП Ер и семейство непрерывных преднорм (3, определяющее ОЛВТ г^ в Е. Скажем, что последовательность {е } образует ф-Кете базис в замыкании.

ТЬ своей линейной оболочки Ш, если каждый элемент хеШ предста.

00 ним б виде суммы ряда х =? <�х^п>еп в топологии а>д и ть=1 00.

V де<2 3 реР V хеГГ? <^п>^(еп) < р (х). (2) п— 1.

Последовательности из приведенных примеров удовлетворяют этому определению.

Последнее соотношение равносильно тому, что коэффициентное отображение К определено на 1Гр и непрерывно действует из него в Х (Я). Нетрудно заметить, что различие между классами (З-Кете и Кете базисов сродни различию между классом непрерывных операторов и его подклассом топологических изоморфизмов. Более общим образом, одна из проблем теории базисов состоит в сведении вопроса о базисности к задачам теории операторов-установлению топологической изоморфности или непрерывному расширению оператора. Так, С. Банах доказал [160] для пространств Фреше, а М. М. Драгилев обобщил на бочечные пространства следущий результат [661: последовательность {е) является.

ТЬ базисом Кете в Ер тогда и только-тогда, когда.

N N.

V р€Р 3 р?€Р V х:= J] апеп е зрал еп 2 апР (еп) $ Р^х).

TL- 1 П= 1.

Нетрудно видеть, что последнее требование равносильно линейной независимости (еп) и непрерывности К: span в случае полного локально выпуклого пространства Ер Ю. Ф?Коробейник независимо установил следующее [85]. Пусть дана биор-тогональная система {е, t) в ОЛВП Для того чтобы Се } тъ п Р тг была базисом Кете в F7р необходимо и достаточно, чтобы коэффициентное отображение К непрерывно действовало из J7p в Х (Р). Оказывается, приведенные результаты выдерживают обобщение на Q-Кете базисы (теорема I. I).

Общая теория разрешимости проблемы моментов развивается благодаря ее связям с различными интерполяционными задачами, бесконечными системами линейных алгебраических уравнений, и другими вопросами (S.Banach [160], А. О. Гельфонд [45], Н. И. Ахиезер [6], Ф. П. Васильев, А. З. Ишмухаметов, М. М. Потапов [42] и другие). Для фиксированной правой части критерий разрешимости известен (S.Banach [160], Р. Эдварде [158], Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман [6]). Будем говорить что для данной последовательности элементов {е }сЕ и координатного пространства (гпро.

7Ъ ir странства последовательностей) X в Е^ разрешима^{-свободная} проблема моментов (А.-СПМ) (иначе, проблема моментов (3) разрешима в Ер относительно X), если.

Vb:=fb)е 3 teEi V т&-1 <е, t>=b. (3) п F п п.

Ее логично поставить сначала для двух экстремальных классов: пространства <р финитных последовательностей комплексных чисел и пространства ш всех последовательностей. В последнем случае соответствующую проблему естественно называть эдельгай-товской (по имени автора первоначальной постановки аз-СШ вида <еЛ >=Ь, 1&1, в пространстве Фреше [175]). Мы доказываТЬ ТЬ ем, что ср-СПМ разрешима в Е^ тогда и только тогда, когда {еп) имеет биортогональную последовательность функционалов. А в пространстве Фреше о>-СПМ не разрешима (предложение 1.5).

В неэкстремальном случае правых частей разрешимость свободной проблемы моментов связана с базисностью (еп). На абстрактном уровне (в случае банахова пространства) эту связь впервые обнаружил М. М. Гринблюм (1948). Он показал (теорема 2), что базисность последовательности {еп) в Ер равносильна разрешимости определенной А,-СПМ в сопряженном Е' Метод состоял оо в сведении этой задачи к изучению оператора 1а:= У! а е и л ТЬ ТЬ ть=1 его сопряженного Однако, как заметил Ю. Ф. Коробейник.

821, более общая теорема I [55] в части необходимости, вообще говоря, не верна. Теорема двойственности между Кете базисностью и разрешимостью к'(Р)-С1М в в случае пространства Фреше установлена в работе [67] М. М. Драгилева, В. П. Захарюты и Ю. Ф. Коробейника, а в случае ^^-пространства — в работе Ю. Ф. Коробейника [83]. Обобщая теорему 2 [67], последний ввел понятие ¿—базиса в общем ОЛВП и доказал, в частности, теорему двойственности для пространства Фреше и сильно сопряженного к пространству Фреше [82].

В случае произвольного ОЛВП ф-Кете и тем более Кете базисность Ге) всегда влечет разрешимость А. ГФ—СПМ, однако обрат.

ТЬ ная импликация имеет место далеко не всегда (в диссертации строится контрпример весьма общего характера). В этой связи возникает проблема описания пространств, для которых обращение всегда имеет место. Последняя осложняется тем, что нельзя работать с парой 1,1', так как ввиду vQdvp оператор L, вообще говоря, не только не определен на X (Q), но даже разрывен на области определения. Поэтому мы работаем с парой ЙД'. Тогда. в «чистом виде» проблема выглядит так: когда для любой биортогональной системы (e^t^) непрерывность коэффициентного отображения К: (span е, оО •-" MQ) следует из того факта,.

ТЬ if что К': X (Q) -* f7p? Более общим образом, какими топологическими свойствами должно обладать Ер, чтобы каждое линейное взаимно однозначное отображение К с плотной в Ер областью определения и областью значений в произвольном ОЛВП F было непрерывным всякий раз, когда определено его сопряженное К* :F'~* Е^ ?

Скажем, что Ер является пространством моментного типа, если для каждого плотного в нем подпространства F любое o (Ep, F) -компактное множество в Ер будет относительно о (EpfE)-компактным. Таковыми являются, например, пространство Фреше и инфра-бочечное пространство с фундаментальной последовательностью ограниченных множеств. В диссертации показано (лемма I. I), что относительно сильные ОЛВП моментного типа дают ответ на поставленный вопрос. Выделены более простые достаточные условия.

Для Q-Кете базисов в известном смысле является точной.

ТЕОРЕМА I.I. Пусть fe^J есть последовательность в ОЛВП Ер. Сформулируем утверждения:

I) (е) есть Q-Кете базис в замыкании своей линейной оболочтг ки.

— 12.

N N.

2) V qeQ 3 peP V span en 2 n=1 n=/.

3) A, rfQ/-свободная проблема моментов разрешима в.

Тогда имеют место импликации I) * 2) 3). Если дополнительно известно, что FFp является относительно сильным пространством моментного типа, то 3) =>1).

ЗАМЕЧАНИЕ. В диссертации мы вводим более общее определение Q-шаудеровского базиса (в частности, для разбора понятия i-базиса) и получаем для него аналогичный результат (предложения IЛ и 1.6).

Если последовательность (е } является слабым шаудеровским.

ТЪ базисом в локально выпуклом пространстве, то биортогональная последовательность (t), очевидно, является таким же базисом в сопряженном. Если же она является слабым базисом на замыкании своей линейной облочки F7, не совпадающей со всем пространством, то свойство единственности разложения в сопряженном теряется, а поточечная сходимость этих разложений имеет место лишь на упомянутом замыкании. Так, в работе [853 для базиса Кете показано, что решение двойственной проблемы моментов с правой частью {Ь } представимо на FT в виде суммы поточечно.

ТЬ.

00 сходящегося ряда J? b t. Последний естественно назвать МОМеНтг^ 1 тным рядом. Между сходимостью этих рядов в том или ином смысле и топологическими свойствами ассоциированного координатного пространства существует тесная связь. В случае шаудеров-ского базиса Геп} и свойства рефлексивности такая зависимость изучена в работах R.C.James, J.R.Retheriord, E. Dubins-ky и Я. М. Цейтлина [182],[201],[173],[147]. Мы прослеживаем ее в теореме 1.2. Особенно выпукло эта зависимость видна в случае свойства ядерности. Здесь оказалось целесообразным определить специальный подкласс ф-Кете базисов — ф-ядерные базисы.

ТЕОРША 1.2. Пусть последовательность (е) является Кете базисом в замыкании своей линейной оболочки Тогда равносильны следующие две пары утверждений: Iг) УГр полурефлексивно,.

2?) УГр секвенциально полно (а значит и полно) и где Тп есть сильный базис в Ш'- пУ1 Р.

I") РГр шварцевское,.

2″) БПФ (Т } образует индуктивный базис в 1пй ((А, р)'р') в п р€Р.

00 ^ следущем смысле: V Т^' Т=? <е УТ>Т в некотором баналГ л ТЬ ТЬ ховом пространстве ((№, р)', р').

Пусть теперь дана биортогональная система {еп^п) в Ер. Тогда равносильны утверждения: со.

I) (е) является О-ядерным базисом (то есть V х^Т! х =? <х,.

00 t >е в топологии т. и V аеЦ 3 реР У. а (е)р' (Т)< оо) га га У ч л тъ 1 ть ть— 7 в замыкании своей линейной оболочки,.

2) V даЯ 3 БПФ 3 реР V Ь^к'(ц) моментный ряд? Ьп ть-1 тг абсолютно сходится в банаховом пространстве ((Е, р)', р').

В § 1.2 собраны приложения СЗ-Кете базисов. Пусть ОЛВП Ер реализуется в виде внутреннего индуктивного предела пространств Фреше Ер:= (Е, ур):= 1 М (Е1,у1), где топология уг задается последовательностью преднорм Р1:={р1 3('Ж ЕгсЕг + 1, I= •/,.. Такие пространства составляют класс ЬР-пространств, а в частном случае банаховых пространств Ег~ класс ЬВ-прост-ранств [165]. ¿-¿-'-пространством является, например, пространство бесконечно дифференцируемых в области ^ек&tradeфункций с компактным носителем, a LBпространством — пространство ростков голоморфных функций на компакте. Индуктивный предел секвенциально стягивающий (sequentially retractive), если каждая сходящаяся в Ер последовательность необходимо содержится в некотором Ег и сходится в топологии а>г.

В работе В. Ньюнса [196] последовательность элементов (е) названа абсолютным базисом в секвенциально стягивающем ОЛВП Е, если каждый элемент хеЕр единственным образом представим оо в виде суммы ряда? а е, абсолютно сходящегося в некотором ть ть N п~1 N.

Е1: хеЕ^, V N Еае € -? а е х в топологии v.- V a t Ir j ТЬ ТЬ ir j ТЬ ТЬ 9 тъ=1 п=1.

Т |а |р7 (е) < со. М. Арсов и Р. Эдварде [159] показали, что п= 1 п 1,3 п каждый базис в секвенциально стягивающем регулярном индуктивном пределе является шаудеровским. Ю. Ф. Коробейник [83] распространил определение Ньюнса на общий внутренний индуктивный предел последовательности ОЛВП под именем абсолютного индуктивного базиса, а результат Арсова и Эдвардса — на произвольное LP-пространство. А. В. Абанин показал [I], что абсолютный индуктивный базис является базисом Кете и, обратно, в полном LF-пространстве с абсолютным индуктивным базисом каждый базис Кете будет абсолютным индуктивным.

В диссертации с помощью возрастающей последовательности метризуемых пространств (ЕгУ вводится понятие Q-Кете индуктивного базиса (е) в замыкании своей линейной оболочки W. ть.

Для получения содержательных результатов мы предполагаем последнее хорошо локализованным. Интерес к таким подпространствам объясняется, например, тем, что вопрос о разрешимости уравнения в частных производных или уравнения свертки в пространстве обобщенных функций z>*(QJ тесно связан с хорошей локализуемостыо области значений сопряженного оператора: если оператор свертки S: s>(Q1)*£>(П2), Q1 + supp S с q2, имеет ступенчато замкнутую область значений в &(Q2), то его хорошая локализуемость равносильна равенству S’z>'(Q2) = ®*(Q2) CI651. Ассоциируем с (е } и (Fltт.- LF-пространство XJQ):=imi.

ТЬ if, lr т" ^.

МЯг)* где Qz — определяемая топологией %г фундаментальная последовательность преднорм. Обозначим FFзамыкание в Е1 лиi 4 нейной оболочки span еп с индуцированной из Ег топологией vz.

Задача о двойственности между абсолютной индуктивной ба-зисностью и разрешимостью СПМ в сопряженном пространстве поставлена Ю. Ф. Коробейником и решена им и А. В. Абаниным для Ш*-пространства С83], Ш.

Из первой части следующей теоремы следует, что вопрос об индуктивной Кете базисности сводится к задаче установления Q-Кете базисности в составляющих пространствах. Вторая часть дает интересный и несколько неожиданный ответ на вопрос, когда базис Кете будет индуктивным в IB-пространстве.

ТЕОРША 1.3. Пусть Ге, i } - биортогональная система в отп П 00 делимом LF-пространстве Ер, fe^Jc п Ег и подпространство W хорошо локализовано. Сформулируем утверждения:

1) fe i — Q-Кете индуктивный базис в W,.

7Ъ.

2) V I 3 m (е) — QКете базис в JL,, п 771 Р z.

3) V I 3 m X' С<�Зт.)~свободная проблема моментов (3) разрешима в Е'.

4 00 Имеют место импликации 1)=>2)<*3). Если f = U L, то 2)=>1). i=i г.

В случае ЬВ-пространства Ер равносильны утверждения: I') (е } - Q-Кете индуктивный базис в W,.

7Ъ.

2') A-J (QJ-свободная проблема моментов (3) разрешима в Е.

При этом для каждой правой части из сильного замыкания в оо.

П X'(Q,) подпространства span е соответствующее ре-1 г=1 1 п шение представимо в виде суммы моментного ряда, сходящегося равномерно на каждом ограниченном в (W, vp множестве. При дополнительном предположении VI 3 т F с Ет утверждения I') и 2') равносильны такому:

3') {е } - базис Кете в I, и индуктивный предел ind W1 регуп г I лярен.

В следующей теореме исследуется связь мевду топологией в IB-пространстве с индуктивным базисом Кете и характером сходимости моментных рядов в сопряженном. Пусть (en, tn) — биортогональная система в отделимом LB-пространстве. Последова.

00 тельность элементов (е П Е7 назовем Q-ядерным индуктивным п г=1 4 базисом в замыкании своей линейной оболочки 17, если оо.

VI 3 БПФ 3 ш S qjen) < со. п=1.

По предыдущей теореме для хорошо локализованого W Q-ядерный индуктивный базис является Q-Кете индуктивным. Такую же последовательность {е } назовем ядерным индуктивным базисом, 00 если VI 3 БПФ ft Ц 3 m? pjej p{(t) < п=1.

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть (е } есть индуктивный базис Кете в замыкании своей линейной оболочки W в отделимом LB-пространст-ве Ер, и W хорошо локализовано. Тогда равносильны такие группы утверждений:

I') (W, vp полурефлексивно (и монтелевское), 2') биортогональная с fеп) последовательность функционалов {Т У является базисом в пространстве Фреше proj Wl, n г ь.

3х) V ЪбЛ,! (Р) решение проблемы моментов (3) представимо на W.

— 17 -00 в виде суммы моментного ряда? Ь t, сходящегося равномер

1 ТЬ ТЬ гь=1 но на единичных шарах из 1Гг, 1=1,2,. I") (Ш^р) — Ш*-пространство,.

2″) каждая сходящаяся на функционалах, а)'к ограниченная последовательность элементов сходится по норме некоторого подпространства РГг.

1) (е) — (З-ядерный индуктивный базис в 17,.

ТЬ.

2) V Ъак'.(Я) 3 БПФ, а) еЕ1 ряд ^ ^ абсолютно сходится в.

1 ТЬ х. 71″ ТЬ ть=1 пространстве Фреше ргоЗ Е' и его сумма является решением г i проблемы моментов для Ь,.

3) VI 3 БПФ 3 т, С УЪе'(Ят) Е |ЬП1 р{ап) $ Iъ'. п=1 т.

1°) (е) — ядерный индуктивный базис в Ж,.

2°) индуктивный предел Ьпй (Ш1,р1) регулярен и (е) — ядерг ь 1 п ный базис в нем,.

3°) индуктивный предел Ьтгй (и1,р1) регулярен, 7! полно и ядерг 1 но, и V I 3 БПФ П) аЕ' 3 т, С V п р (е) рап) с,.

ТЪ 1 Г Ш То ь ТЬ, а в случае 1°)-3°) равносильны такому:

4°) а } - сильный Кете базис в пространстве Фреше рго$ Е^: оо 1.

V I 3 т, С V teEp 2 <�епЛ>р{(гп) $ С"епЛ>}'. гь=1 т.

Следуя В. П. Захарюте [70] последовательность элементов {еп} в ОЛВП Е назовем псевдобазисом, если для некоторой ОЛВТ V I 00 ' г? ур V хеЕ х=? апеп в V. Если Я=Р и каждый такой ряд абсоть=1. лютно сходится, то псевдобазис называют еще абсолютно представляющей системой [83]. Критерий псевдобазисности последовательности (еоорК г) в пространстве Н (П) функций, голоморф.

ТЬ ных на замыкании ограниченной выпуклой области О в топологии равномерной сходимости на компактах из G установлен А. Ф. Леонтьевым [108]. В таком же пространстве, но для более широкого класса областей G последовательности вида {z^r} изУчались Ю. Ф. Коробейником [87]. Вышесказанное служит основанием для введения такого определения. Последовательность элементов Се } назовем Q-Кете представляющей в EL, если она имеет биор

ТЪ лГ тогональную последовательность функционалов {tn}<=Ep, ЧхеЕ х=.

00 00.

У! 1 а (е") тъ ть у. п * п.

П- 1 п=1 р (х). Очевидно, Q-Кете представляющая последовательность есть специальный случай псевдобазиса, и в свою очередь является Q-Кете базисом в FL Обратно, Q-Кете базис в W будет Q.

Кете представляющей последовательностью в EL, если разложе.

00 ние х= ?

В.П.Громов в работе [60] и последующих в качестве представляющей последовательности в общем локально выпуклом пространстве предложил брать собственные векторы линейного непрерывного оператора, спектральная функция которого локально голоморфна в некоторой области. Для таких последовательностей в предположении существования БСФ С. М. Мелихов [1203 обобщил упомянутый выше критерий А. Ф. Леонтьева на бочечное ОЛВП. Уместно заметить, что исследование разложений по собственным и присоединенным векторам линейного непрерывного оператора, обладающего локально голоморфной спектральной функцией, составляют одно из важных направлений в современной спектральной теории операторов (Н.К.Никольский [128] и более близкие к диссертации работы В. И. Мацаева [118], А. П. Хромова [1543, В. А. Ткаченко [1423 и других).

Подход к результатам А. Ф. Леонтьева с позиций двойственности и ф-Кете базисов позволяет рассмотреть более широкий класс последовательностей и критерий получить в терминах разрешимости двойственной свободной интерполяционной задачи. Обозначим пространство голомофных в области О функций, порождаемое #р и спектральной функцией е (к), через ^/(к):=<�е (к), 1>, Ммеет место.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7. Пусть Ер есть квазиполное ОЛВП, В: Е^Ер — линейный непрерывный оператор, спектр которого прост и содержит некоторую область Gсемейство ХеС, собственных значений полно в Ер и порождает локально голоморфную в О функцию е (к):=ехдля последовательности (ех3п}}, ¿-т п е (а)(к), где А. з Ю, э фз, если к =А, существует в Е' п Т1 ТЬ & ТЬ В С биортогональная последовательность функционалов, а) со свой.

СО п ством V деЯ 3 ЈРV хеЕ? <�х, г >|д (е³^) ^ р (х). Тогда.

TЬ п равносильны следущие утверждения:

1) последовательность } (2-Кете представляющая в Ер, тг.

2) в топологии V функция е (к) представима в виде суммы ряда со г л.

Ъ 8пСк) е13п где 8пМ:=<�е^п>, гь-1 п.

3) последовательность функций ^ (к)} является интерполяци.

ТЬ онной в пространстве Ап, в топологии поточечной сходимости:

00 ^.

V таа т ()= 2 /(3п>(п) 8п (к). п=1 п'.

Фиксируем тот же оператор Г>, обозначим А:=(кп, рп) последовательность попарно различных точек X кратностей рп области О, и зададимся вопросом, когда последовательность собственных и присоединенных векторов вида n v n J 1=1, n= 1 оператора D будет Q-Кете базисом в замыкании своей линейной оболочки W. Отметим, что не может (в силу критерия Банаха полноты последовательности) быть шаудеровским базисом во всем пространстве Е. Так как сопряженный D? реализуется в AQ в виде операции умножения на независимую переменную, то Ап есть топологический модуль над кольцом многочленов в ела-бой, Макки и сильной топологиях. В предположении, что операг N 1 N f1) тор S: span e^span ex, S 2 a e := S anen непРеРывен" no~ g x? g чг= 1 n n-> n=1 П П казывается., что в An определена операция дифференцирования, а двойственная проблема моментов принимает вид интерполяционной задачи Зрмита (ИЗЭ).

7t^T7T/1';

Отметим, что связь между разложениями по экспоненциальным мономам и разрешимостью ИЗЭ присутствует в работах А. Ф. Леонтьева. На нее как на частный случай двойственности «Кете базис-ность — СГШ» обратили внимание М. М. Драгилев, В. П. Захарюта и Ю. Ф. Коробейник [67]. В различных пространствах эта двойственность систематически исследовалась Ю. Ф. Коробейником [83], [84], А. В. Братищевым [II] и другими.

С помощью теоремы 1.2.несложно сформулировать критерий Q—Кете ядерной базисности последовательности Это можно делать в разных формах. Можно фиксировать инвариантное (относительно D) подпространство W, допускающее спектральный синтез [92], [95], [128] и ставить вопрос о базисности собственных и присоединенных вектороЕ в нем ([83], [21] и другие). Можно смотреть на базисность с точки зрения обобщенной краевой задачи [118], [142], [154]. Можно говорить о разложении аналитических периодических в среднем в смысле Л. Шварца функций в ряды по «элементарным периодическим в среднем функциям» [162], [174], [209]. Наконец, можно говорить о представлении решений однородных уравнений свертки (или их систем) в ряды по элементарным решениям ([83], [109], [1743 и многие другие). В данной работе даже в случае более конкретных пространств мы предпочитаем говорить, просто о «базисности в замыкании своей линейной оболочки WA» .

На этом уровне абстракции уже можно получать содержательные результаты о представлении элементов из У7 и в случае, когда Зд не является Q-Кете базисом. Заметим, что в конкретных пространствах проблема существования базисов из линейных комбинаций элементов ъА в ядре оператора свертки исследовалась R. Meise [192], В. В. Напалковым [126], Ю. Ф. Коробейником [83], проблема конструктивного задания — в работах [27], [35], [135], [1713.

С этой целью мы определяем в общем виде биортогональную систему, которая ранее использовалась В. Д. Головиным ([54], 1964 г. На эту работу обратил наше внимание А.М.Седлецкий) при изучении базисов Рисса из линейных комбинаций экспонент в L2(-%,%) и позже ([27]г 1987 г.) нами в задаче об аналитическом продолжении рядами экспонент. Разобьем, А напоследовате-льность (А) попарно непересекающихся конечных групп и входящие в них точки спектра вместе с кратностями переобозначим так:), х (2ш),., х (ш) — r? fm-f:=pnf г (2т),., г (ш т m m m.

По собственным и присоединенным векторам е (т), где Кг- ,.

1Щ, т =1,2,. определим элементы из Е по формуле 6 1 г ^ г ——i— аг, Ыд, кг (гш), п£ т 1,3 г 1 где сор- := П.

Ш).

— 7 3 Г — простой замкнутый спрямляемый контур, лежащий в области б и охватывающий лишь узлы.

По голоморфной функции а (г) из Ар, обращающейся в нуль на.

Л с учетом кратностей, построим функции.

1 исгт) г а (г), . ж ¡-с аш г=Г .

771. , г (ш).

Они образуют биртогональную с гЛ П0СЛ6Д°~ вательность функционалов.

Обозначим 1Уд замыкание в Ер линейной оболочки последовательности элементов «А и := П к и (.т). Как по-называет тот же результат В. П. Головина, последовательность может не быть базисом в 17 В то время как последователь.

ГУ ность линейных комбинаций базисом уже является.

В заключение этого контекста заметим, что сопряженное можно реализовать в виде пространства функций и более общим образом [893, С1931, но в данной работе нас интересуют разложения по собственным и йрисоединенным векторам оператора.

Наряду с пространствами Е, сопряженные к которым удается реализовать в виде пространства функций часто встречаются обратные ситуации, когда Ер задается в виде сопряженного к некоторому пространству голоморфных функций. В последнем случае его элементы принято называть аналитическими функционалами (обобщенными функциями). В работах L. E3orenpreis, J. Wloka, В. А. Ткаченко, R. Meise, Р. Haslinger и других Ер определялось как сопряженное к индуктивному или проективному пределу последовательностей весовых пространств целых функций, и отыскивались достаточные условия ядерности пространств в терминах весов. В диссертации нас интересует случай, когда такие порождающие Ер пространства являются топологическими модулями над кольцом многочленов и тем самым в Ер определен оператор обобщенного дифференцирования как сопряженный к операции умножения на независимую переменную. В случае проективного предела веса удовлетворяют условию P. Haslinger'а [1803, и потому Е как сильно сопряженное является ядерным Шпространством. Результаты по Q-Кете базисности, ИЗЗ и проблеме представления решений для этого типа пространств собраны в предложении 1.8.

Приведем соответствующие результаты для индуктивного предела. Пусть последовательность непрерывных в с вещественно-значных функций из (г) обладает свойствами:

1) V s 3 С V 2 тах и (t) $ и, А Jz)+C, t-z& 3 8+1.

2) V з 3 р Г expiu (t)-u х (t))uX (t) < со. с 3 р

Определим банаховы пространства целых функций г f (z) л т) — i/f-s:= 8 Т ехр (ив (г)) < и пространство Hl:=tnu Н. Последнее является инвариантным и 3 3 относительно операций дифференцирования и деления. Кроме того оно является ядерным (в случае радиальных и (z): u (z)= 3 3 su (z), это ранее позаказал Р. Майзе), Шпространством. Обозначим (V (z)} последовательность непрерывных в с функ ций со свойством: V з 3 р, С V г и (г) < V (г)+С. Из поср ® леднего вытекает непрерывность вложения Я с # Отождествим ир а.

V с топологией проективного предела нормированных простран-у ь ств Я 'ЛЯ'. Имеет место и V i.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.9. Пусть пространство Ни является непрерывным модулем над кольцом многочленовА:=(Х — неубываю.

ТЬ ТЬ щая по модулю и уходяшая в бесконечность последовательность точек комплексной плоскости. Равносильны следующие утверждения:

1) последовательность собственных и присоединенных векторов зл:={5| образует <3-ядерный базис в Ш, ТЪ '.

2) X'(Я)-свободная интерполяционная задача Эрмита (4) разрешима в Я', причем V з 3 БПФ (а п (г), р) еН1 3 р V СЪ 7.

ТЬ $ Ь ТЪ ТЬ у и.

00 рп р }е'(1 1) интерполяционный ряд 2 2 Ь 7а Лг) абть из п=11=1 п' п' солютно сходится в банаховом пространстве Я к решению. и> р 1.

Если же г> совпадает с топологией пространства Фреше Я, то.

ЬЬ последние утверждения равносильны такому: V в 3 БПФ (а -.(г),.

ТЬ § V ир, (1−1)! «^Р }<*• р) ея* з р вир гг и Г, РП’Г&1., и а.

Допустим далее, что Л разбивается на группы узлов Л, которые можно поместить в области В со следующими свойствами: а) В ГШ =:0, если ш Ф пг та п ^ б) V з 3 р, С V й гпах и (г) й С+т1п и, (г), геВ 3 г^В 3+р т т в) граница Гт области Вт спрямляема, и V б 3 р, С V т.

1(Тт) $ Сехр (и)-%(Хп)), ш ш г) V, а 3 т, С V т С~1ехр (и (X)-и ^ (X)} ^.

1 З П 3+р ТЪ т т г min *&euro-Г тах u[m>(z) t, j zer mm j Ceopfu fA.)-u (%)), m m д) для каждого s существует ограниченная в Я последователь ность обращающихся в нуль на Л функций fa (z)} со свой.

Q % 771 ством 3 С V и min la ГгЛ ^ С еоорСи (X)}. геГт 3 Пт.

Тогда.последовательность «Л:= fOjmj, r[m/)J образует ядерный V базис в W, X'(Р)-свободная интерполяционная задача Эрмита (4) разрешима в Ни, причем Va 3 БПФ fa[mj (z), r[m>)аНи 3р

V Ь&euro- 3 а зир l’J tf <�"j i u.

Q T*, oo^m i, , fv интерполяционный ряд ESE 0? m* CL) mJ.(z) абсолютно cxom=U=1J=1-, J 'J дится в банаховом пространстве Я к решению. ир

В диссертации Р. Л. Сандлера (1981) частный случай последоrv вательностей £А использовался для представления в виде суммы ряда со скобками решений однородного дифференциального уравнения бесконечного порядка в пространстве [р, 0) целых функций порядка <р. Биортогональной последовательности вида т) a. .(z)} он не знал. ««J.

Предложения 1.8 и 1.9 применяются в главе 3 к получению более тонких результатов в модельных топологических модулях [р (г), Н (в)1 и [р (г), Н (в)).

Если в качестве Е брать координатное пространство, то топологическое сопряженное нередко реализуется тоже в виде пространства последовательностей. При этом разрешимость проблемы моментов трансформируется в задачу о разрешимости бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (ВСЛАУ) а1, 1Х1 * а1,2Х2 + *'' ~ а2.1Х1 + а2.2Х2 + = Ь2 (5) в последнем пространстве.

Историю постановки задач и ряд результатов теории БСЛАУ можно найти в [1991, [203], [75], [148]. Например, для так.

1 00 называемых регулярных БСЛАУ: V, а :=(а I- 2! а ,|<

ТЬ л 4 ть 9 л.

Пг= 1.

1, удается рассмотреть достаточно полно вопросы единственности, существования и редукции к конечным системам. При.

00 этом решение х=(хп) ищется в I, а на свободные члены накладывается ограничение вида: 3 С>О V 1&1 < С 2 а п= 1 п'.

В работе М. М. Джрбашяна [62] и несколько позже М.А.Евграфо-ым [68] проблемы единственности и сходимости в задачах интерполяции голоморфных функций были переформулированы на языке соответствующих БСЛАУ и на этой основе получены результаты в обоих этих разделах. В работе [II] мы получили критерий разрешимости БСЛАУ в терминах базисности последовательности строк этой системы в ядерном коэшелонированном пространстве. В свою очередь, в ([179]. теорема Б) в специальном ядерном эшелонированном пространстве критерий базисности последовательности элементов сформулирован в терминах равностепенной непрерывности порождаемой ею биортогональной системы.

В предложении 1.10 мы .с помощью теорем 1.2 и 1.4 формулируем достаточные условия разрешимости и даем представление решений БСЛАУ в эшелонированном и коэшелонированном пространствах.

ГЛАВА 2. Как уже отмечалось, во второй главе собраны вспомогательные результаты по теории (в основном, целых) функций.

Поскольку вопросы, предъявляемые проблемами базисности и интерполяции к целым функциям, имеют и самостоятельный интерес для самой этой теории, мы даем ответы на них по возможности в виде связных микроисследований.

§ 2.1 является «побочным продуктом» интерполяционной задачи Эрмита в классе целых функций, описываемых нулевым уточненным порядком [II], [38]. В связи с проблемой определения последнего доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Для произвольной субгармонической функции нулевого порядка u (z) существует непрерывно дифференцируемая и логарифмически выпуклая на (0,ю) функция h® такая, тЬ ' (т) ^ ^ что щр) монотонно Убывает и Um. Для произвольной целой функции нулевого порядка f (z) с нулями А:=(к, р } суще.

71 7Ъ п (г) ствует нулевой уточненный порядок р (г) со свойством 11тг^, г г—"СО 1 ^.

П (Г) П (Г-0) / тогда и только тогда, когда lim lim.

Для таких целых функций становится принципиальным следующий факт (имеющий место и для целых функций конечного и бесконечного порядков): если рост максимума модуля Mf®:= тах.

7 ! z I — f*.

Г T) ft) f (z) или функции Неванлинны tf.fr- :=J ЦМШ сравнивается с.

Т о 1 h®, то рост считающей функции ее нулей п (г) целесообразно сравнивать с rh'®. Это соображение очевидно в силу правила.

Лопиталя и родственных ему оценок:

NJr) f > (} f (T) n® m ЩгГ > Ш rFTTr].

Сделав замену переменных r:=exp x и переобозначения f (x):= exp x), g (x):=h (exp x), мы приходим к соотношениям, у которых в числителях левой части стоят выпуклые функции f (x), а в знаменателях — функции g® со стремящейся кfco производной. Для нужд, в частности, теории целых функций нулевого уточненного порядка важен" вопрос, для каких g (x) эти соотношения-утверждения допускают обращения на классе всех выпуклых функций f (x). В п.2Л.2 он исследуется в несколько более широкой постановке (предложения 2.2 — 2.8). В п. 2.1.3 выделяются четыре встречающихся в приложениях класса функций g (x), для которых подобные обращения имеют место (предложения 2.9 — 2.12). Приведем характерный результат. Обозначим Соп (а, Ъ) класс неубывающих выпуклых на (а, Ь) функций f (x), причем под производной подразумеваем их правую производную. От g (x) потребуем непрерывную дифференцируемость на (а, Ь) и.

Л' lim g'(x)=Ho. g (x) — наибольшая выпуклая миноранта g (x) на х-*Ь (а, Ь).

ТЕОРЕМА 2.1. Для того чтобы для некоторого (а значит и для всех) Kz (0,°o) Mf (x)eCon (a, b) lim U~l=K => lim ?!&}= К g lxrv необходимо и достаточно, чтобы lim § jS =1 и V ее (0,1) а Je) ТШ V < где x'^maxft: tъ g'(t)=eg'(x)}.

Заметим, что частные результаты по обращению правила Лопи-таля в указанном смысле имеются в монографиях [99], [150].

Изучением роста целых и субгармонических функций нулевого порядка занимались R. Mattson, G. ValIron, А. Ф. Гришин, А.А.Го-льдберг, И. В. Островский, Н. В. Заболоцкий и другие. TaK, R. Mat-tson [191] установил связь между ростом максимума модуля целой функции и ростом считающей функции ее нулей относительно функции сравнения h®:=lnr (1п"Лпг)% где р>1, р>0. Эту же р задачу, но для более общего класса функций сравнения рассматривал G. Valiron [211].

В цикле работ А. А. Гольдберга ['48] для целых функций положительного порядка установлены точные оценки верхнего и нижнего индикаторов в терминах считающей функции нулей. В п. 2.1. 4 теория обращения правила Лопиталя, развитая в п.2Л.2, применяется к установлению подобных оценок для субгармонических функций нулевого порядка. Здесьже описываются классы функций сравнения h®, для которых из той или иной оценки типа субгармонической функции следует определенная оценка плотности распределения масс (теоремы 2.2 — 2.9). Результаты подобного рода для функций ненулевого порядка получены в п. 2.1.3 (предложение 2.13).

В § 2.2 собраны вспомогательные результаты о свойствах тригонометрически выпуклых функций (класс Рти-периодических ограниченных р-тригонометрически выпуклых фуннкций обозначим ВТ) и о выпуклых областях комплексной плоскости. г~.

Применение общих критериев базисности и разрешимости проблемы моментов к тому или иному классу последовательностей в конкретном функциональном пространстве состоит в обнаружении или выработке имманентных этому классу и пространстранству характеристик, на языке которых можно наиболее просто и эффективно формулировать и использовать соответствующие критерии. В рассматриваемом случае таковыми оказались максимальная плотность и индекс конденсации.

Понятие максимальной плотности для последовательности положительных чисел относительно порядка р=1 было введено Д.

Пойа [200]. В работе А. А. Кондратюка [80] дано его обобщениепонятие максимальной угловой плотности (МУЛ) последовательности комплексных чисел относительно уточненного порядка. Мз опредления следует, что МУЛ есть Рти-инвариантная мера Лебега—Стилтьеса DA () на единичной окружности. Конечность этой меры Da ([0,2%))<со равносильна существованию функции вполне регулярного роста, обращающейся в нуль на Л. Причем индикатор Н (В) любой такой функции f (z) согласован с Л в том смысле, е что для порожденной им возрастающей функцией H’foJ+JHftpJdcp меры АС) заряд AffC)~DA () необходимо также есть мера Лебе-га-Стилтьеса. В § 2.3 (леммы 2.6 — 2.9, теорема 2.10) для согласованной пары ЯСв-, А строится так называемая присоединенная функция a (z) (вполне регулярного роста с индикатором H (Q), с нулями соответствующей кратности на Л и обладающая рядом других замечательных свойств, отличающих ее от построения, допускаемого работами Л. Ю. Пасичныка, В. С. Бойчука [10] и Г. Л. Лунца [115]). Функции именно с такими свойствами нам понадобились при изучении рядов экспонент.

Для последовательности положительных чисел с конечной максимальной плотностью при показателе р=1 понятие индекса конденсации было введено В. Бернштейном [161]. Однако специфика первоначального определения не позволяла произвести его обобщение на произвольную последовательность комплексных чисел А:={ &bdquo-р } с предельной точкой на бесконечности. Обсуждению.

71 ТЬ границ такого обобщения посвящены наши работы [23],[24].

В направлении упрощения определения индекса конденсации А. Ф. Леонтьев ([103], 1957 г.) для {,)ес ввел величину.

ТШ —Ц ln?~l где? := П (1- бе (0,1).

Эта характеристика оказалась весьма эффективной при решении свободной ИЗЗ задачи в классах целых функций, являющихся топологическими кольцами (fp, со-, Гр, 07 и так далее) и служила признаком интерполяционности в работах самого А. Ф. Леонтьева, Г. П. Лапина, А. В. Братищева и других.

В 1980 году Г. М. Пасечник определяет индекс концентрации последовательности нулей целой функции экспоненциального типа. Близкие по форме характеристики локальной сгущаемости были предложены также Г. К. Малютиным [116], В. Сквайрзом [208] и А. В. Братищевым [19]. Связь между ними и характеристикой А. Ф. Леонтьева осуществляется формулой Менсена. Следуя [19], назовем индексом конденсации произвольной последовательности комплексных чисел А:={п, рп)-*со относительно уточненного порядка, «x (V-Pn р (г) величину o.:= lim lim ¦) J* —- c2t, где.

С-«О П~*CO (? п,' О п^ (t) — число точек из А, попавших в круг Ь (Х, t). п.

В п. 2.4.1 (теореме 2. II) мы показываем, что для последовательности (к } положительных чисел с конечной максимальной п плотностью 6в=ал. Здесь же для присоединенной функции а (г) последовательности Л с индикатором Н (в) доказывается тождество ел — та щг~17 1п .Л р — *(6) а (к д |.

1 4 п п 1 где 8 :=аг£ А, и индекс конденсации сравнивается с индексом ть ть концентрации И. Ф. Красичкова.

При переходе от изучения рядов экспонент с положительными показателями к рядам с комплексными возникает необходимость в характеристике локальной сгущаемости, учитывающей распределение аргументов показателей. В 1965 году Ш43 Г. Л. Лунц дал определение лучевого индекса конденсации. Однако эта величина не наследует в случае комплексных А, той точности, которую давал индекс конденсации o? в теореме о полосе сверхсходимости. Обозначим 8д множество предельных точек последовательности ГQn:-argXn} и назовем угловым индексом конденсации [169] функцию 0Л (9):= lim 5Л, 9.

8->0 0−8, o+s.

Л05 Q+g подпоследовательность (с учетом кратностей) тех Кп из, А для которых ?9 -9|.

Для правильно распределенной последовательности Л аналогично (6) имеет место равенство.

1 Рп.

JQ)= lim lim hnM In —,—"-2- +H (9 КО.

Л |а «fx — хР-| «.

П п 1.

Характеристика, стоящая в правой части соотношения (6), встречалась ранее в вопросе об оценке снизу целых функций вполне регулярного роста (в.р.р.) вне попарно непересекающихся кружков. Так, А. Ф. Леонтьев доказал [107], что для целой функции a (z) экспоненциального типа вполне регулярного роста с простыми нулями } из соотношения и1 тх~т ы То4гтг + = 0 (Т> п-*х> 1 п1 1 п' 1 следует асимптотика (при. pfrjs?).

In a (z) | ~ H (Q) h®, z:=reiQ, z — oo (8) вне попарно непересекающихся кружков с центрами в^и конечной суммой радиусов. Б. Я. Левин заметил. [100], что для целой функции в.р.р. с Я-множеством нулей (X } асимптотика (8) име.

ТЪ ет место вне С°-множества попарно непересекающихся кружков с центрами в нулях. В п. 2.6.1 выявляется геометрическая природа такого рода асимптотик в общем случае.

ТЕОРЕМА 2.16. Пусть a (z) — целая функция нормального типа с индикатором ЯГ8- относительно уточненного порядка р (г) -" - рЮ и нулями А:=(к, р }. Тогда равносильны утверждения: ть ть.

1) последовательность нулей, А правильно распределена и бЛ=0,.

2) вне некоторого С°~ множества попарно непересекающихся кружков с центрами в нулях имеет место асимптотика (8);

I') последовательность нулей Л правильно распределена, бА=0 р 1711 а. | л и li± -wwir= °> тг-юо 11 п1.

2') вне некоторого множества попарно непересекающихся кружков с центрами в нулях и конечной суммой радиусов имеет место асимптотика (8). Аналогичные результаты для функций с более грубой характеристикой роста получены в п. 2.6.2 (теоремы 2.17, 2.18).

Если Л не является правильно распределенной, то равенство (6), вообще говоря, нарушается. То есть величина, стоящая справа, становится автономной. В диссертации она названа индексом конденсации в смысле Леонтьева o А, поскольку, им бы.

О/ j ** ла выявлена ее важность в теории рядов экспонент. C.A.Bernstein и B.A.Taylor [1621 использовали ее в решении свободной МЗЭ в топологических кольцах целых функций. Какое влияние конечность индекса конденсации бд оказывает на рост числа точек из, А в кольце? r.

Какова связь между индексами бд и ба л? На эти вопросы мы отвечаем в п. 2.5.1 (предложение 2.16, теоремы 2.13, 2.14). Основным инструментом решения здесь, как и в предыдущем пункте, являются формулы Менсена и Шварца.

В 1972 [1053 году А. Ф. Леонтьев сформулировал следующую проблему. Пусть a (z) — целая функция экспоненциального типа с индикатором H (Q), min H (Q)+H (Q+%) > О, и простыми нулями в.

X). Будет ж из соотношения (7) следовать полная регуляр

ТЬ ность a (z)7 Это будет так, например, в случае, когда последовательность точек } инвариантна относительно вращения вокртг руг начала координат на угол S23 (Ю.И.Мельник [1223), или при достаточно хорошей оценке снизу a (z) на расширяющейся системе окружностей (А.Ф.Леонтьев [1053, Ю. И. Мельник [1243).

В действительности, этот вопрос представляет интерес и в общем случае уточненного порядка, кратных нулей и H (Q)eBTf>. В этом направлении Ю. И. Мельник доказал [1213, что из соответствующего равенства для целой функции a (z) с простыми нулями и индикатором H (Q) относительно p€(0,pj следует ее полная регулярность роста. В 1983 году [123 мы построили контрпример в случае p€fi, ooj на классе ВТ (в этом примере при р =1 min.

С. р ?

H (Q)+H (Q+%)=0). В п. 2.5.2 доказана такая.

ТЕОРЕМА 2.14. Пусть a (z) — целая функция с нулями A:=fA, ,.

ТЬ рп) и индикатором H (Q)iBTp относительно уточненного порядка р (г). Если индикатор строго положителен, р (г)->ре[0,1), 7Л=0, In min a (z) р t.

Jim —-= oo, 6 lim hnl n In————-— f юг а. л ^ Ы\) a (pn}(Xn)Xpnn.

H (B) = 0, то вне некоторого С°-множества попарно непересе.

ТЬ кающихся кружков с центрами в нулях функции a (z) имеет место асимптотика (8). Если jA=o и oa Л=0, то последовательность, А имеет конечную максимальную угловую плотность, согласованную с А, и нулевой индекс конденсации.

ГЛАВА 3. Кете и 5-Кете базисы присутствуют среди различных кон^етшх классов функций ([73], [83], [137], [179] и др.), и каждый такой класс нуждается в самостоятельном рассмотрении. В третьей главе мы ограничиваемся изучением рядов по экспоненциальным мономам и их непосредственных обобщений. Актуальность их изучения подтверждается нашими беседами со специалистами в других областях математики и, например, таким мнением из обзора [65]: «Изучение рядов экспонент и свойств функций, определяемых этими рядами, составляют в настоящее время целый раздел теории функций. Наиболее значительные результаты имели место в последнее время [108],[109], [ПО]. Эти достижения безусловно приведут к прогрессу в различных областях математики, в том числе и в развитии асимптотических методов решения нелинейных уравнений» .

В третьей главе также систематически изучается свободная интерполяционная задача Эрмита (4) в пространствах целых функций [р (г), Н (в)], [р (г), Н (д)) с индикатором относительно р (г) не больше (строго меньше) Н (в).

История возникновения и становления интерполяционной задачи Эрмита [181] хорошоизложена в монографии [72] и статье И. А. Головинского [47]. Начиная с работы Э. Вореля ([167], 1897 г.), эта задача для бесконечной последовательности узлов в различных пространствах целых функций привлекала в разное время внимание многих математиков ([403, [83], [101], [144], [162],[190], [1943, [2083, [2163 и другие). Достаточно полный современшй обзор дан А. А. Гольдбергом, Б. Я. Левиным, И. В. Островским [513.

Первые интерполяционные результаты в пространствах [р (г), Н (В)], [р (г), Н (В)) получены Б. Я. Левиным ([981, 1940 г.) и Ф. Пфлюгером ([1981, 1941;42г.г.). Так, Б. Я. Левин показал, что для Я-множества (X } с канонической функцией а (г) и индикато.

ТЬ ром Я (0) интерполяционная задача с простыми узлами.

СЬ.

Г (Хп)=ап, п=1,2, — (9) разрешима в [р (г), Н (В)1 для каждой правой части из { (а): а I ть 1па | л.

ТШ ?1 < °г и решение представимо в виде суммы п-*оо ' п' о. п) интерполяционного ряда Лагранжа, сходящегося равномерно на компактах из с (топология более слабая, чем в [р (г), Н (В))).

В 1958 году [1451 О. С. Фирсакова для правильно распределенной последовательности доказала, что разрешимость интерполяционной задачи (Э) в Гр (г), Н (В)] относительно {(а): ТШ.

7&bdquo-|л, а ^ п п-х".

1п|а I л равносильна выполнению условия 5а А=0.

В 1981 году [151 А. В. Братищев получил аналогичный критерий для произвольного пространства [р (г), Н (В)]. А в 1984 году [57] А. Ф. Гришин освободился и от предположения правильной распределенности.

Критерий разрешимости свободной ИЗЭ (4) в Гр (г), 01 доказан А. В. Братищевым в 1976 году [13]. В 1984 году [21] он был обобщен на [р (г), Н (в)], в предположении правильной распределенности, а в работах [19],[20]- без этого предположения при условии 7л=0. В 1985 году критерий разрешимости свободной.

ИЗЭ получен также А. Ф. Гришиным и А. М. Руссаковским [589], по р 1пХ | существу, при более жестком ограничении Ит х ] = п-юо (' п'.

Используя результат 0.С.Фирсановой и установленную им теорему двойственности, Ю. Ф. Коробейник в 1975 году [831 сформулировал критерий базисности последовательности экспонент (ехр Хпг) в замыкании своей линейной оболочки в Н (К), где Квыпуклый компакт с опорной функцией Н (-В). Используя резульсь тат из [13], мы сформулировали критерий базисности последовательности? А:=(г1~1 ехркпг, рп) в ?1А<=:Н ({0}) [12]. Общий случай рассмотрен в [21]. В § 3.2 нами доказана.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть Н (в)^ВТ, р (г) (-*р>0) — уточненный порядок, А:=(Х, р }<ес и Тл=0. Тогда равносильны утверждения: п п л (11).

1) последовательность >Р У образует ф-ядерный инп дуктивный базис в замыкании своей линейной оболочки №дс.

2) интерполяционная задача Зрмита (4) разрешима в [р (г), Н (&)] для любой правой части (Ь из п п Рп.

3) V е>0 3 БПФ {а .(г)}<=[р (г), Н (в)] 3 5, С>0 V Ш, Ыр„

7Ъ § Ь то.

Хп]1−1ехр{(0(впН0)П (Хп)} ?ап>2(г)1н+? «С.

В частном случае С (в)=Н (В) утверждения 1)-3) равносильны такому: 4) последовательность Л имеет конечную МУП, согласованную с Н (в), и нулевой индекс конденсации.

Как следует из предыдущей теоремы конечность МУП у Л и ее согласованность с Н (д) не обеспечивают, вообще говоря, базисности^ в йд. В этих условиях естественно ставить вопрос о СЬядерной индуктивной базисности £Л в Г/л. В диссертации В. А. Ткаченко [143] рассмотрены подпространства когда Л совпадает с нулями какой-либо функции <�р (г)?[р (г), Н (В)]. В предаюложении хорошей оценки снизу lnq (z) на расширяющейся системе окружностей он доказывает представимость каждой функции из УКЛ в виде предела последовательности частичных сумм формального ряда в, вообще говоря, более слабой топологии. В следующей теореме мы рассматриваем иной класс пространств и v имеем иной характер представления (по системе £Л). Кроме того, она вскрывает базисную и интерполяционную природу понятия максимальной угловой плотности.

Обобщая определения V. Bernstein'а И 611 «относительно узких групп» на последовательность комплексных чисел Л, будем говорить, что Л разбита на «относительно малые группы», если она представлена в виде объединения попарно непересекающихся групп {i (tn), r (n)fa, Л, :=i[ml причем Um т^-r ш^н^Ч^ пт яг+оо ' п' Ij^j т qm 0, Um ?^{7ГТ7 Е r[n) =0 т.

ТЕОРЕМА 3.5. Следующие три утверждения равносильны:

1) существует такое разбиение Л на относительно малые группы, что ИЗЭ (4) разрешима в [р (г), Н (&)3 относительно.

Ь-=Л". 1'Рп, — ^ тЬги1п Ощвп14т '.

2) существует такое разбиение Л на относительно малые группы, что последовательность является ядерным индуктивным базисом в 1Ч^[р (г), Е (Ъ)Г.у.

3) последовательность Л имеет конечную МУП согласованную с Н (д).

Пусть Н (в)аВТ и имеет место последнее утверждение. Тогда для того чтобы являлась^{-ядерным} индуктивным базисом в ?7Л необходимо, а в случае р =1 и достаточно, чтобы V 9 5Лсе- $ Н (в)-в (в).

Первоисточником эквиваленции 1)"чЗ) (естественно, более грубым) является критерий А. Ф. Леонтьева разрешимости ИЗ в пространстве [р, оа) [103, 1958 г.), получивший дальнейшее развитие в работах [II], [21], [40], [97], [162] и ряде других.

Необходимость условия конечности МУП в теореме 3.3, мы доказываем методом статьи [57]. Но последний плохо работает в случае пространства [р (г), Н (Э)) и вообще неприменим в случае нулевого уточненного порядка. 0. целью отыскания альтернативных методов доказательства в теореме 3.4 диссертации приводится критерий разрешимости свободной ИЗЭ в пространстве [р (г), о7, где р (г) — нулевой уточненный порядок.

Наряду со свободной интерполяционной задачей, когда фиксировано пространство, можно ставить и задачи, в которых фиксирована последовательность узлов и класс правых частей. При этом требуется определить минимальное пространство, в котором соответствующая задача разрешима для любой правой части. Примером такого рода является теорема 2.4.4 из монографии А. Ф. Леонтьева [109]. Следующая теорема уточняет и обобщает последний результат.

ТЕОРЕМА 3.6. Пусть А:=(Хп) есть последовательность попарно различных положительных чисел с плотностью В относительно порядка р=1 и индексом конденсации 6:=дл<�ю, число о фиксиротельность, А является интерполяционной в классе Г/, тсО]д?пв 1 + +осозд] относительно В. При этом функцию Н0(В):= %ВзМ + +о сов0 нельзя заменить на меньшую из ВТ .

Свободная интерполяционная задача (9) в пространстве Гр, со^ вано и конечно, В,.

Тогда последовато есть, когда H (Q)su>, решена А. Ф. Леонтьевым ([1033, 1957 г.). В 1965 году О. П. Чухлова [1493 установила критерий базисности последовательности {expk^J, Хп>0, в Wh (G) одновременно для всех выпуклых областей G. Результат А. Ф. Леонтьева использован в работе М. М. Драгилева, В. П. Захарюты, Ю. Ф. Коробейника [673 в качестве примера применения доказанной ими теоремы двойственности к установлению критерия базисности последовательности обобщенных экспонент {е (Х z)) в fLfcj. тъ л.

В 1965 году ИЗЭ в [р, со) для’Специального класса правых частей рассмотрен Г. П. Лапиным [973, а более простую форму этому результату придал В. Сквайрз [2083. В общем случае свободная МЗЗ в [р (г), оо) решена А. В. Братищевым [21].

В 1976 году А. В. Братищев получил критерий разрешимости свободной ИЗ (4) в И, ЯГе— в предположении lim -^-=0 [II].

П-+С0 тъ.

Там же сформулирован двойственный результат о базисности в Wa.

ТЕОРЕМА 3.7. Пусть Н (В)еТ', р (г) (-*р>0) — уточненный пог* рядок и 7Л=0. Тогда равносильны следующие утверждения. i~i).

I) Последовательность, р } образует Q-ядерный бате.

— 41 зис в замыкании своей линейной оболочки WA с [p®, H (Q))',.

2) ЙЗЭ (4) разрешима в Гр (г), Н (В)) для любой правой части.

Ь 7, р — из h*(Q):= ¡-(Ъ 7, р }: 3s ТШ hnl ¦ Лп mar 1Ь 7 n. i'fn t гь. г'^п №Щ\Т) 1 п. г ть.

А, l~1 -G (Q где последовательность fG (Э))сВТ* возра.

ТЬ 3 7Ь I 3 (Э стает и исчерпывает G (Q),.

3) V s 3 БПФ (а, 3 m, C V, Up.

ТЬ, I л., Ь ТЬ n'-lexp{Gjen)h (T, n)} «С. m.

В условиях утверждений 1)-3) последовательность Л имеет конечный индекс конденсации 5Л<�оо и oA (d)^H (Q)-G (Q) на, а при дополнительном условии G (Q)=H (Q)eBT' она имеет конечную максимальную угловую плотность, согласованную с H (QJ, и нулевой индекс конденсации. Если при этом Л измерима, то она необходимо сильно согласована с H (Q).

Обратно, если последовательность Л сильно согласована с II (G), ее индекс конденсации конечен и 5A (Q) место утверждения 1)-3) для G (Q)=H (Q). Если в последнем утверждении отказаться от условия равенства нулю индекса конденсации, но потребовать р =1 и oAfoKH (8j-Gf0,) на то имеют место утверждения 1)-3).

В монографии 1951 года [1023 А. Ф. Леонтьев по-существу дал критерий базисности последовательности (етр knz) в WA (GT),.

G := (z: Re t<0J в предположениях Г8 J-«0 и limr^—r сущестп п-*а> I вует. В свете предыдущей теоремы ожидалось, что необходимым условием базисности в WA (Gr) последовательности, А с ВА=(0) будет конечность максимальной плотности. Однако это оказалось не так, как показывает следующая теорема и приводимый в диссертации контрпример. v =О, то имеют я.

ТЕОРЕМА 3.8. Пусть А:=(Х, р } для р (г)=1 удовлетворяет усп 71 ловиям 0 -Ю и 7Л=0. Тогда равносильны следующие утверждения:

1) последовательность %A:={zl~1exp Xnz, рп} образует базис.

В ГДе Об (-оо, со), '.

2) для каждой последовательности из.

7,р): ТТтrl—r In max lb 71 < o X гь. г^п t7tj г > п. г' i n существует целая функция экспоненциального типа со свойст-lnf® (1−1) вами: lim —=-<о, / (К)=К 7> T&U Ырп, п.-ко ' Tb n, i п f п.

3) А имеет конечную верхнюю плотность Ал:= ТШ уд—г 2 pk< оо n-+oo i п' 7 и нулевой индекс конденсации. Под теоремой Бернштейна-Леонтьева мы понимаем следующий первоначальный результат и его дальнейшие обобщения и уточне-нения.

ТЕОРМА [102]. Пусть последовательность попарно различных чисел (X } удовлетворяет условиям ж limД-г =:DA <оо. п 71 П-* со ' п'.

Тогда каждая голоморфная на некотором параллельном мнимой оси отрезке К длины 2%DA функция y (z), которая равномерно аппроксимируется на окрестности К линейными комбинациями экспонент (expX^z), будет представима в некоторой левой полуплооо f т+1 скости G С^К) в виде суммы ряда Ц 1? <�у, а > expX z, У т=1 Чъ=п +1 п п }.

771 где Га (z)} есть биортогональная с ъ.<=Е (К) последовательность.

ТЬ функций. При. этом на каждом отрезке длины 2%DA границы области G есть особая точка функции y (z), а последовательность зу п } зависит лишь от К и А. то.

В 1972 году для произвольной правильно распределенной последовательности комплексных чисел А:=(Хп, рп) М.Ф.Красичковым-Терновским [92] (А.Ф.Леонтьев, [106]) получен такой результат. Пусть К — сопряженная индикаторная диаграмма канонической функции последовательности Л, функция у (г) голоморфна на некотором (плоскопараллельном) сдвиге компакта К и равномерно аппроксимируется на некоторой окрестности этого сдвига линейными комбинациями экспоненциальных мономов г1~1ехр Кр^,, Тогда область Б, заметаемая при движении К по ри-мановой поверхности функции у (г), однолистна и выпукла, и у (г) представима в виде предела равномерно сходящегося внут п +1 р со / ш п,. л ри нее ряда? -I Е 2 <У"< г>% ехрК г к Как и выше та=1 ^ тг=п,. 1 = 1 ' ' т+ 1 подпоследовательность (пт) зависит лишь от Я и Л.

Отрезок и компакт К из приведенных результатов обладают двумя замечательными свойствами: I) их опорная функция к (В) согласована с последовательностью Л в том смысле, что разное сть к (-в) ~[81п (д-ф)сША (ф) тригонометрически выпукла, 2) они о являются наименьшими среди выпуклых компактов, опорные функции которых согласованы с Л. В предложении 2.14 доказано, что для последовательности Л с конечной МУП также существует наименьший (с точностью до сдвига) среди выпуклых компактов, опорные функции которых согласованы с Л, и дается явная формула вычисления его опорной функции.

Фиксируем последовательность Л с конечной МУП £>Л (•) относительно р (г)=1 и введем такую ее характеристику dA (B):= 6ij «x (V'Pn р-1 |.

7 г тг. п п1 lim lim lim j О 6|0 тг-юо, |8 -6| <�¦" d" ргт if-at + «ПП» ln~3.

1 тг1 О 1 гг' n > - ~.

Величина dA (Q) совпадает с угловым индексом конденсации в важных частных случаях: а) р =1, то есть, когда %A=(expnz}, б) если limЗзу in bJ если oA (Q)=0.

ТЬ-*0О • П' ' п'.

Пусть теперь функция y (z) голоморфна на каком-либо минимальном согласованном с, А компакте К. Обозначим его опорную функцию kA (Q) и образуем присоединенную функцию aA (z) последовательности, А с индикатором кА (-в). По aA (z) построим биrv ортогональные соответственно с «Л, зд последовательности фунfm- ! fmкций (а (z), p), (а ,(z), r}, и сопоставляем функции i t fl t i j tr yfzформальные ряды co pn.

2 2 zL^xpK z, (10) n=ii=i, n:1 n oo qm i, ., .

E? E e{Mj (z). (11).

Vi=1 1=1 3 = 1 l, J b, J.

Область сходимости ряда (10) совпадает с областью его равномерной сходимости и определяется формулой.

2: V (pe-6A Reze~li> < lim limгДу In —s-*o n-h"7]o j' n1 mcur| Tb nt t предложение 3.1). Обозначим ее G .

G 3?

Область равномерной сходимости ряда (11) и вычисляется по формуле (замечание к теореме 3.2) jz: V.

< lim limrJ—r In-1 (12).

-+0 т-*"7ТВ I М1Х<�у, а (, Ш).>. пт т 1,3.

Обозначим ее? и назовем областью голоморфизма функции у. х л.

ТЕОРЕМА 3.9. Пусть последовательность А, р } комплексных чисел имеет конечную МУЛ при показателе 1, функция у (г) голоморфна на некотором сдвиге КА минимального согласованного с, А компакта и равномерно аппроксимируется на некоторой окрестности этого сдвига линейными комбинациями экспоненциальных мономов гг~1 ехр К z, 1ф, г&-1. Тогда опорная функция.

ТЬ 7Ъ к Г В) области сходимости ряда Дирихле функции у (г) и опорная сх функция k^n (Q) области голоморфизма G этой функции связаны znJQ) ^ KJ®) < сх ' г л ' сх гл^ ' ^ гл неравенствами V8 €-0y ^ brjl (Q) < + dA (-Q), а область голоморфизма содержит сдвиг КА и вычисляется по формуле (12).

На примере показывается, что величину бА (в) нельзя заменить на 8дС9-. Теорема усиливает первоначальный результат Бернштейна-Леонтьева, давая формулу вычисления абсциссы голоморфизма. Отмечается существенность предположения о конечности МУЛ Л. Отмечается максимальность в определенном смысле области голоморфизма Сгл.

Помимо внутренних приложений' результаты диссертации нашли применения и развитие в исследованиях авторов [2],[86],[87], [140], [37] и ряда других.

Основные результаты главы I опубликованы в [28],[30],[32], [34],[33],[36],[171], главы 2 — в [16],[18],[19],[21]-[24], [29],[38], главы 3 — в [15],[19],[21],[29],[31],[33],[35]. В совместной статье [38] авторство результатов указано.

Результаты работы докладывались на семинаре Б. Секефальви-Надя (Сегед, Венгрия, 1984,1985), на Международном симпозиуме по комплексному анализу (Югославия, 1988), на Всесоюзных конференциях в г. Уфа (1980, 1987) и г. Сыктывкар (1993), Республиканской конференции в г. Харьков (1990), Всесоюзных школах (Теберда, 1985, Воронеж, 1983, Саратов, 1984, 1988, 1992, Черноголовка, 1979,1987, 1989), в Математическом институте г. Уфа (1991, 1992), ЛОМИ-(семинар .К.Никольского-В.П.Хавина, 1990), в МГУ (семинар Е. П. Долженко, 1991, семинары А.Г.Витуш-кина, Ю. А. Казьмина, О. Г. Смолянова, П. Л. Ульянова, 1992,1994 и В. А. Садовничего, 1993), в МЭИ (семинар А. М. Седлецкого, 1994) на Городском семинаре по теории функций в г. Харьков (1984, 1990), в Львовском госуниверситете (семинар А. А. Гольдберга,.

1989), в Ростовском госуниверситете (неоднократно на семинарах Ю. Ф. Коробейника и М.М.Драгилева-В.П.Захарюты).

Автор благодарен профессору А. П. Хромову и доценту В. И. Шевцову за большой труд по ознакомлению с диссертацией и критически доброжелательному ее обсуждению. Автор благодарен также профессору Ю. Ф. Коробейнику за введение в круг проблем, по которым под его руководством была выполнена кандидатская диссертация, и решению которых посвящена настоящая диссертация.

1. Абанин A.B. Некоторые свойства представляющих систем и базисов. Каннд. дисс. Ростов-на-Дону: РТУ.- 1981.

2. Абанин A.B. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент// Изв. ВУЗов. Математика.- 1991, — Я2. С.3−12.

3. Азарин В. С. Теория роста субгармонических функций. Курс лекций. Харьков: ХГУ. Ч.1. 1978. 72 с. 4.2. 1982. 76 с.

4. Азарин B.C., Гинер В. Б., Содин М. Л. Минимально субгармонические функции и полнота системы экспонент в выпуклых областях// Сб. тезисов «Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций» .- Уфа: БФАН СССР.- 1987. С. 169.

5. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов.- М.: ГИФМЛ.-1961. 312 с.

6. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Линейные операторы в гильбертовом пространстве.- М.: Наука.- 1966.

7. Ахиезер Н. И., Левин Б. Я. Об интерполяции целых трансцендентных функций конечной степени// Зап. Харьков, матем. об-ва.- 1952. Т.23. С.5−26.

8. Балашов С. К. О функциях вполне регулярного роста по кривым правильного вращения// Известия АН СССР, серия матем.-1976. Т.40. №.- С.338−354.

9. Банах С. Курс функц! онального анал1зу.- Ки1в: Радянська школа.- 1948. 216 с.

10. Бойчук В. А. Простое построение целой функции с заданным индикатором относительно заданного уточненного порядка// Сб." Теория функций, функ. анализ и их приложения" .- Харьков: ХГУ.- 1988. Jfc 50. С.136−138.

11. Братищев A.B. Кратная интерполяционная задача в пространствах целых функций и ее приложения в теории базиса. Канд. дисс.- Ростов-на-Дону: РТУ.- 1976. 102 с.

12. Братищев A.B. Кратная интерполяционная задача в пространствах целых функций// Известия СКНЦ ВШ, серия естеств. наук.- 1976. Т.4. М.- С.39−42.

13. Братищев A.B. Об интерполяционной задаче в некоторых классах целых функциЙ//Сиб. матем. ж.- 1976. Т.17. Ш.-С.30−43.

14. Братищев A.B., Коробейник Ю. Ф. Кратная интерполяционная задача в пространствах целых функций заданного порядка// Изв. АН СССР, сер. матем.- 1976. Т.40. Jfo.- C. II02-II27.

15. Братищев A.B. О разрешимости интерполяционной задачи в пространствах p®, H (Q)) и Гр®, H (Q).// Сб. «Механика сплошной среды» .- Ростов н/Д: РТУ, — 1981. С.49−54.

16. Братищев A.B. Несколько замечаний о субгармонических функциях нулевого порядка// Матем. заметки.- 1982. T.3I.-JB3. С.363−373.

17. Братищев A.B. Об инвариантных подпространствах в АСб. «Теория функций и приближений», Ч.2. Саратов: СГУ.- 1983.-С.42−44.

18. Братищев A.B. К одной задаче А.Ф.Леонтьева// Доклады АН СССР.- 1983. Т.270. Ш.- С.265−267.

19. Братищев A.B. Достаточные условия интерполяционности множества в классах целых функций, характеризуемых индикатором// Доклады АН СССР.- 1984. Т.279. Jfo.- C. I036-I039.

20. Братищев A.B. Кратная интерполяция в весовых пространствах и целые функции с индикатором не выше данного по логарифмическим спиралям. Деп. ВИНИТИ 05.06.84 г.- Jfo656−84.-25 с.

21. Братищев A.B. Один тип оценок снизу целых функций конечного порядка и некоторые их приложения// Известия АН СССР, серия матем.- 1984. Т.48. J63. С.451−475.

22. Братищев A.B. Обращение правила Лопиталя// Сб. «Механика сплошной среды» .- Ростов-на-Дону: РТУ.-1985. С.28−42.

23. Братищев A.B. Возникновение' и развитие понятия индекса конденсации// Сб. «Актуальные вопросы теории функций» .-Ростов-на-Дону: РТУ.- 1987. С.50−55.

24. Братищев A.B. Об индексах конденсации последовательностей с конечной максимальной плотностью// Сб. «Исследования по теории аппроксимации функций», т.2. Уфа: БФАН СССР.- 1987. С.15−23.

25. Братищев A.B. Об интерполяционной задаче Эрмита в р (г), яге— и [p®, H (Q)l// Тезисы Всесоюзой конференции по теории функций. Уфа: БФАН СССР.- 1987. С. 21.

26. Братищев A.B. Об индексах конденсации последовательностей с конечной максимальной плотностью// Тезисы Всесоюзной конференции по теории функций. Т.2. Уфа: БФАН СССР.-1987. С.28−29.

27. Братищев A.B. Последовательности с конечной максимальной угловой плотностью и некоторые их применения. Деп. ВИНИТИ 14.12.87 г.- Л8703-В87. 90 е.- РЖМат 1988, М Б108.

28. Братищев A.B. О базисности в рефлексивном пространстве Фреше с ослабленной топологией// Изв. ВУЗов. Математика.-1990. С.13−17.

29. Братищев A.B. О применении последовательностей с угловым индексом конденсации// Сб." Теория функций и приближений", ч.2. Саратов: СГУ.- 1990. С.52−53.

30. Братищев A.B. О регулярной базисности последовательности дельта-функций в ^^-пространстве аналитических функционалов// Деп ВИНИТИ 30.07.90 г.- Я4317-Б90. 20 с.

31. Братищев A.B. Базисы из экспонент в полуплоскости и полосе// Доклады АН СССР.- 1991. Т.331. № 4. С.657−659.

32. Братищев A.B. Q-регулярные базисы в локально выпуклых пространствах и их приложения// Деп. ВИНИТИ 13.06.91 г.-,№ЭЭ8-БЭ1. 42 с.

33. Братищев A.B. О регулярной базисности и проблеме моментов в пространстве Фреше с ослабленной топологией// Сб. «Теория функций, функ. анализ и их приложения» .- Харьков: ХГУ.- 1993. № 58. С.125−138.

34. Братищев A.B. Q-Кете индуктивные базисы// Труды V Семинара памяти А. Ф. Леонтьева.- Сыктывкар: СГУ.-1993.-С.7−8.

35. Братищев A.B. Об аналитическом продолжении функций, равномерно аппроксимируемых экспоненциальными полиномами// Доклады РАН.- 1994. Т.335. JH.- С.5−8.

36. Братищев A.B. О двойственности регулярной базисности и проблемы моментов//Сб." Линейные операторы в комплексном анализе" .- Ростов-на-Дону: ИРУ.- 1994. C. I7−26.

37. Братищев A.B., Калиниченко Л. И. Описание области сходимости ряда обобщенных экспонент// Доклады РАН.- 1993.-С. 331. -JG6. -С. 661−667.

38. Братищев A.B., Коробейник Ю. Ф. О некоторых характеристиках роста субгармонических функций// Матем сб.- 1978.Т.103. J§ I.- С.44−65.

39. Вратвдэв A.B., Костылев A.A. О росте и интерполяции целых функций относительно кривых правильного вращения// Изв. СКНЦВШ. Сер. естеств. наук.- 1985. JH.- С.14−16.

40. Борисович А. И., Лапин Г. П. Об интерполировании целых функций// Сиб. матем. ж.- 1968. Т.9. J63. С.522−529.

41. Бурбаки Н. Функции действительного переменного.- М: ГИФЛМ.- 1965. 424 с.

42. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. З., Потапов М. М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления.- М.: МГУ.- 1989. 144 с.

43. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. Изд.2. М.: Наука.- 1988. 512 с.

44. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической фи-физике. Изд.2. М.:Наука.- 1979. 320 с.

45. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. Изд.З.- М.: Наука.- 1967. 376 с.

46. Глазман И. М., Любич Ю. И. Конечномерный линейный анализ.-М.: Наука.- 1969. 476 с.

47. Головинский И. А. К предистории интерполяционной задачи с кратными узлами// История и методология естественных наук. М: Изд-во МГУ.- 1980. Вып.25. С.67−75.

48. Гольдберг A.A. // Интегральное представление монотонныхмедленно меняющихся функций// Изв.ВУЗов. Математика.-1988. М.~ С.21−27.

49. Гольдберг A.A., Заболоцкий Н. В. Индекс концентрации субгармонической функции нулевого’порядка// Матем. заметки.-1983. Т.34. Ж.- С.227−236.

50. Гольдберг A.A., Левин Б. Я., Островский И. В. Целые и ме-роморфные функции// Итоги науки и техники. Серия: современные проблемы математики. Фундаментальные направления.-М.: ВИНИТИ.- 1991. С.5−186.

51. Гольдберг A.A., Островский И. В. О производных и первообразных целых функций вполне регулярного роста// Сб. «Теория функций, функ. анализ и их приложения» .- Харьков: ХГУ.- 1973. Л 18. С.70−81.

52. Гольдберг A.A., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций.- М.: Наука.- 1970. 592 с.

53. Головин В. Д. О биортогональных разложениях в L2 по линейным комбинациям показательных функций// Записки мех.-мат.фак. ХГУ и ХМО.- 1964. Т.30. сер.4. С.18−29.

54. Гринблюм М. М. Один признак базиса// Доклады АН СССР.-1948. Т.59. Ж.- C.9-II.

55. Гришин А. Ф. О функциях, голоморфных внутри угла и имеющих там нулевой порядок// Сб." Теория функций, функ. анализ и их приложения" .- Харьков: ХГУ.- 1965. I.- С.41−56.

56. Гришин А. Ф., Руссаковский A.M. Свободная интерполяция целыми функциями// Сб." Теория функций, функ. анализ и их при-приложения" .- Харьков: ХГУ.- 1985. J6 44. С.32−42.

57. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства.-М.:ГИФМЛ.~ 1961. 472 с.

58. Громов В. П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям// ДАН СССР.- 1986.-Т.288. С.27−31.

59. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные опрераторы. T.I.- М.: ИЛ.- 1962. 896 с.

60. Джрбашян М. М. Теоремы представления и единственности для аналитических функций// ИАН СССР. Серия матем.-1952.-Т.16.-ЖЗ.- С.225−252.

61. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука.- 1967.672 с.

62. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами.- М.: Наука.- 1977. 512 с.

63. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Многомерные ряды Дирихле в задаче об асимптотике спектральных серий нелинейных эллиптических операторов. «Современные проблемы математики. Т.23» .- М.: ВИНИТИ.- Г983. С.33−78.

64. Драгилев М. М. Базисы в пространствах Кете.- Ростов-на-Дону: РГУ.- 1983. 140 с.

65. Драгилев М. М., Захарюта В. П., Коробейник Ю. Ф. Двойственная связь между некоторыми вопросами теории базиса и интерполяции// ДАН СССР.-1974. Т.215. № 3. С.522−525.

66. Евграфов M.А. Интерполяционная задача Абеля-Гончарова.-М.: ГИТТЛ.- 1954. 128 с.

67. Епифанов О. В. Дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами в классах целых функций с заданной оценкой индикатора// Матем. сб.- 1981. Т.114. Ш.- с.89−109.

68. Захарюта В. П. Функции от оператора и базисы, связанные с данным, в пространствах аналитических функций. Канд. дисс. Ростов-на-Дону: РТУ.- 1964. 123 с.

69. Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их приложения.- М.: Наука.- 1971. 520 с.

70. История математики. Математика XIX века. Ред. А. Н. Колмогоров, Ю. П. Юшкевич.- М.: Наука.- 1987. 308 с.

71. Казьмин Ю. А. О базисных семействах в некоторых пространствах аналитических функций. Сб. «Исследования по теории приближения функций» .- Уфа: БФАН.- 1987. С.133−175.

72. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.- М.: ГИТТЛ.- 1959. 560 с.

73. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.- М.-Л.: ГИФМЛ.- 1962. 708 с.

74. Коломийцева Т. А. Об асимптотическом поведении целой функции с правильным распределением корней// Сб. «Теория функций, функ. анализ и их приложения» .- Харьков: ХГУ.- 1972.-JH5. С.35−43.

75. Комаров A.B. О существовании базиса в ядре сверточного оператора в весовом пространстве аналитических функций// Деп. ВИНИТИ 15.03.89. J§ I685-B89. 20 с.

76. Кондаков В. П. Вопросы геометрии ненормируемых пространств.- Ростов-на-Дону: ИРУ.- 1983. 72 с.

77. Кондратюк A.A. Целые функции с положительными нулями, имеющими конечную максимальную плотность// Сб. «Теория функций, функ. анализ и их приложения» .- Харьков: ХГУ.- 1968.-№.- С.37−52.

78. Кондратюк A.A. Целые функции с конечной максимальной плотностью нулей// Сб." Теория функций, функ. анализ и их приложения" .- Харьков: ХГУ.- 1970. Л 10. С.57−70.

79. Кондратюк A.A. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста. III.// Матем. сб.- 1983. Т.120. Ж, — С.331−343.

80. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной связи// Сб. «Математический анализ» .- Ростов-на-Дону.-РТУ:1975. С.200−208.

81. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. I.//Матем. сб.- 1975. Т.97.-Ш.- С. 194−229- Об одной двойственной задаче. 2.// Матем.сб.- 1975. Т.98. Ш.- С.3−26.

82. Коробейник Ю. Ф. Проблема моментов, интерполяция и базис-ность// Известия АН СССР, серия матем.- 1978. т.42. $ 5.-С.989−1020.

83. Коробейник Ю. Ф. Канонические биортогональные системы// Доклады АН СССР.- 1985. Т.280. J66. C. I298-I302.

84. Коробейник Ю. Ф. Метод канонических биортогональных систем. Приложения к вопросам базисности и интерполяции.-М., 1985. Деп. в ВИНИТИ 13.02.85, Jfo057−85, 102 с.

85. Коробейник Ю. Ф. Уравнение свертки в комплексной области/ Матем. сб.- 1985. T. I27. №.- С.173−197.

86. Коробейник Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки// Матем. сб.- 1991. Т.182. Jfo.- С.661−680.

87. Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Реализация сопряженного пространства с помощью сопряженного преобразования Фурье-Боре ля// Сб." Комплексный анализ и мат. физика" .- Красноярск: КрГУ.-1Э88. С. .62−73. •.

88. Красичков И. Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка// Сиб. матем. ж.- 1965. Т.6. *4. С.840−861.

89. Красичков И. Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней// Матем. сборник.- 1966.-Т.70. Ш.- С.198−230.

90. Красичков И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I// Матем. сб.- 1972. Т.87. М, — С.459−489- II// Матем. сб.- 1972. Т.88. Ш.- С.3−30- III// Матем. сб.- 1972. Т.88. ЖЗ.- С.331−352.

91. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. Коэффициенты Дирихле// Функ. анализ и прилож.- 1973. Т.7. М.- С.38−43.

92. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. Аналитическое продолжение// Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1973. Т.37. М.- С.931−945.

93. Красичков-Терновский И. Ф. Методы аппроксимации функций из инвариантных подпространств полиномами Дирихле// Сиб. матем. ж.- 1975. Т.16. № 4. С.1020−1030.

94. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей.- М.: ГШИЛ.- 1960. 472 с.

95. Лапин Г. П. О целых функциях конечного порядка, принимающих вместе с производными заданные значения в заданных точках// Сиб. матем. ж.- 1965. Т.6. .№ 6. С.1267−1280.

96. Левин Б. Я. О некоторых приложениях интерполяционных рядов Лагранжа к теории целых функций// Матем. сб.- I940-.Т.8. JE3. С.437−454.

97. Левин Б. Я. Распределение корней целых фукций.- М.:ГИТТЛ.-1956.

98. Левин Б. Я. Дополнения и исправления к книге «Распределение корней целых фукций» .- Харьков.- 1980. Препринт ФТИНТ.- С.1−60.

99. Леонтьев А. Ф. Об интерполировании в классе целых функций конечного порядка нормального типа// Докл. АН СССР.-1949. Т.66. Ш.- С. 153−156.

100. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения// Труды матем. института им. В. А. Стеклова.- 1951. Т.39.-C.I-2I6.

101. Леонтьев А. Ф. К вопросу об интерполировании в классе целых функций конечного порядка// Матем.сб.- 1957. -T.4I.-Ш.- С.81−96.

102. Леонтьев А. Ф. О значениях целой функции конечного порядка в заданных точках// Известия АН СССР, серия матем.-1958. Т.22. Ю.- С.387−394.

103. Леонтьев А. Ф. Об условиях разложимости аналитических функций в ряды Дирихле// Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1972. Т.36. #6. С. 1282−1296.

104. Леонтьев А. Ф. Об оценке полинома Дирихле и ее некоторых применениях// Матем.сб.- 1973. Т.91. J64. С.554−564.

105. Леонтьев А. Ф. Об эквивалентных условиях представления аналитических функций рядами экспонент// Матем.заметки.-1976. Т.20. B.I.- С.91−104.

106. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.- М.: Наука.- 1976. 536 с.

107. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов экспонент. М.: Наука.- 1980. 384 с.НО. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент.- М.: Наука.-1981. 320 с.

108. Логвиненко В. Н. Построение целой функции с заданным индикатором при заданном целом уточненном порядке// Функ. анализ.- 1972. Т.6. В.4. С.90−91.

109. Лунц Г. Л. О некоторых обобщениях рядов Дирихле// Матем. сб.- 1942. Т.10. JH-2. С.31−49.

110. Лунц Г. Л. О рядах типа Тейлора-Дирихле. Известия АН Арм. ССР.- 1961. Т.12. С.7−16.

111. Лунц Г. Л. О рядах Дирихле с комплексными показателями I. // Матем. сб.- 1965. Т.67. JH.- С.89−134- 0 рядах Дирихле с комплексными показателями 2.// Матем.сб.- 1965.-Т.68. JH.- С.58−62.

112. Лунц Г. Л. Об одной теореме, связанной с ростом целых функций целого порядка// Изв. АН Арм.ССР.- 1970. Т.5.-М.- С.358−370.

113. Малютин Г. К. Интерполяция голоморфными функциями.- Канд. дисс.- Харьков: ХГУ.- 1981. 104 с.

114. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т.2. М.: Наука.- 1968. 624 с.

115. Мацаев В. И. Теоремы единственности, полноты и компактности, связанные с класссической квазиполнотой. Канд. дисс.-Харьков: ХГУ.- 1964.

116. Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах// Матем. заметки.- 1986. Т.36. В.6. С.877−886.

117. Мелихов С. Н. Нетривиальные разложения нуля и представительные подпространства// Изв. ВУЗов. Математика.- 1990.-№ 8. С.53−65.

118. Мельник Ю. И. О представлении, регулярных функций рядами типа рядов Дирихле// Об." Исследования по теории приближения функций" .- Киев: Наукова думка.- 1978. СЛ32−141.

119. Мельник Ю. И. Об условиях сходимости рядов Дирихле, представляющих регулярные функции// Сб." Матем. анализ и теория вероятн. Киев: Наукова Думка.- 1978. 0.120−123.

120. Мельник Ю. И. К вопросу о представлении регулярных функций рядами Дирихле// Мат. заметки.- 1977. Т.21. JÍ-6.-С.641−651.

121. Мельник Ю. И. Об условиях разложимости регулярных функций в ряды экспонент// Всесоюз. симпозиум по теории аппроксимации функций в комплексной области. Тезисы докладов.- Уфа: БФ АН СССР.- 1980. С. 94.

122. Митягин Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах// УМН.- 1961. T. I6.-B.4. С.63−132.

123. Напалков В.В.// О базисе в пространстве решений уравнения свертки// Мат. заметки.- 1988. т.40. JH.- С.44−55.

124. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. Изд. З М.: Наука.- 1974. 480 с.

125. Никольский Н. К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций// Итого науки и техники. Мат. анализ, т.12. М.: ВИНИТИ.- 1974. с.199−359.

126. Пасечник Г. М. Геометрическая характеризация множества показателей представляющей системы экспонент для пространства H (G)// Доклады АН СССР.- 1980. Т.252. ЯЗ.- С. 553.

127. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства.- М.: Мир. 1967. 268 с.

128. Осколков В. А. Об одном критерии квазистепенного базиса и его применении// Мат. заметки, — 1990. Т.48. Вып.6.-0.72−78.

129. Райков Д. А. О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях// Труды семинара по Функ. анализу.- 1957. В.5. 0.22−34.

130. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства.- М.: Мир.- 1967. 260 с.

131. Руссаковский A.M. Интерполяционная задача в классах голоморфных функций одной и многих переменных с индикатором, не превосходящим данного. Автореферат канд. дисс.-Харьков: ХГУ.- 1985. 16 с.

132. Сандлер Р. Л. О применении дифференциальных операторов бесконечного порядка к разложению целых функций// Сб. «Механика деформируемого твердого тела и родственные проблемы анализа» .- М.: МИХМ.- 1978. C. II4-I29.

133. Себастьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях// Сб. Математика.-1957. T.I.- JH.- С.60−77.

134. Седлецкий A.M. Базисы из экспонент в пространстве I? на выпуклом многоугольнике// Изв. АН СССР. Серия матем.-1978. Т.42. В.5. C. II0I-III9.

135. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука.-1985 144 с.

136. Талалян A.A. О существовании нуль-рядов по некоторым системам функций// Матем. зам.- 1969. Т.5. B.I.- 0.39−51.

137. Тимофеев А. Ю. О представлении решения операторного уравнения в виде суммы решений// Сб." Исследования по теории операторов" .- Уфа: БФ АН СССР.- 1988. С.156−164.

138. Ткаченко В. А. Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифференцированием в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста// Матем. сб.- 1977.-T.I02. т.- С.435−456.

139. Ткаченко В. А. Спектральная теория аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную// Матем. сборник.- 1980. Т.112. #3.-С.421−466.

140. Ткаченко В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функций и функционалов.- Автореферат докт. дисс.- Харьков: ФТИНТ.- 1980. 32 с.

141. Фирсакова О. С. Некоторые вопросы интерполяции с помощью целых функций. Автореф. канд. дисс.- Харьков: ХГУ.- 1958.

142. Фирсакова О. С. Некоторые вопросы интерполяции с помощью целых функций// Докл. АН СССР.-1958. Т.120. ЖЗ.- С.477- 480.

143. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T.I.- М.: Наука.- 1966. 608 с.

144. Хапланов М. Г. Бесконечные матрицы в аналитическом пространстве// Успехи мат. наук.- 1956. Т.XI.- В.5. С. 37−44.

145. Хапланов М. Г. Линейные операторы в аналитическом пространстве и их приложения.- Докт.дисс.- Харьков: ХГУ, — i960.

146. Хапланов М. Г. и др. Математика и механика в Ростовскомуниверситете за 50 лет// Сб." Развитие науки в Ростовском университете" , — Ростов-на-дону: РТУ.- 1965, — С.44−101.

147. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства.- М: ИЛ.- 1948. 456 с.

148. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции.- М.: Мир.- 1980. 304 с.

149. Хермандер Л.

Введение

в теорию функций нескольких комплексных переменных. -М.: Мир.- 1968. 280 с.

150. Черноляс В. И. Целые функции обобщенного вполне регулярного роста колеблющегося порядка. Автореф. канд. дисс.-Ростов-на-Дону: РГУ.- 1970. 20 с.

151. Цейтлин Я. М. Рефлексивность пространств с базисом// Сиб. матем. журнал.- 1967. Т.8. Ji?.- С.275−279.

152. Цейтлин Я. М. О пространствах с абсолютным базисом// Сиб. матем. журнал.- 1971. Т.12. Л5. C. II64-II69.

153. Хромов А. П. Оператор дифференцирования и ряды типа ряда Дирихле// Матем. заметки.- 1969. В.6. Я6. С.759−766.

154. Шефер X. Топологические векторные пространства.- М: Мир.- 1971. 360 с.

155. Эдварде Р. Функциональный анализ.- М.: Мир.- 1969.1070 с.

156. Atsoy M., Edwards R. Generelized bases In topological linear spaces// Studia Math.- 1960. V.19. P.-95−113.

157. Banach S. Teorie des operations lineaires, Monogr. Mat.-Warszawa.- 1932.

158. Bernstein V. Lesons sur les progres de la theorie des series de Dirichlet.- Paris. Gauthier-Villars.- 1933.

159. Bernstein С.A., Taylor В.A. A New Look at InterpolationTheory for Entire Functions of One Variable.- Advances in mathematics.- 1979. V.33. P.109−149.

160. Bessaga C., Pelczynski A. On bases and unconditional convergence of series-in Banach spaces.// Studia Math.-1958. V.17. P.151−164.

161. Bierstedt K.D., Meise R.G., Summers W.H. Kothe sets and Kothe sequence spaces, Tunstional Analysis, Holomorphy and Approximation Theory// Norht-Holland Publishing Company.- 1982. P.27−91.

162. Bierstedt K.D. An introduction to locally convex inductive limits// IСРАМ Lecther Notes, World Scientific.-1988. P.35−133.

163. Blambert M., Parvatham Ultraconvergence et singularites pour une classe de series d’exponenthielles// Ann. Inst. Fourier.- 1979. V.29. *1. P.239−262.

164. Borel E. Sur l’interpolation// Comptes rendus Acad.sei. -1897. V.124. P.673−676.

165. Bratishchev A.V. К теории целых функций нулевого порядка// Abstracts of the I Int. Simp, on complex analysis and applications.- Varna.- 1981. P.12.

166. Bratishchev A.V. Angular condensation index it’s properties and applications// Intern. Conferenc on complex analysis and applications. Abstracts.- Varna.- 1987. P.11.

167. Bratishchev A.V. An analytic fuctional basis in invariant subspaces// Abstracts of the III Int. Simp, on complex analysis and applications.- Beograd.- 1988. P.35.

168. Bratishchev A.V. Analytical fuctional basis in invariant subspaces// Математички весник.- 1988. T.40. Jfo-4.C. 185−188.

169. Bubinsky E. Eshelon spaces of order co // Proc. Amer. Math. Soc.- 1965. V.16. J?6. P.1178−1183.

170. Dubinsky Ed., Retherford J.R. Schauder bases and Kothe sequence spaces// Trans. Amer. Math. Soc.- 1968. V.130.-P.265−280.

171. Dickson D.G. Analytic mean periodic functions// Trans, of AMS.- 1964. V.110. P.361−374.

172. Eidelheit M. Zur Theorie der System linearer Gleichungen// Studia Math.- 1939. Bd.6. S.139−148.

173. Floret K. Some aspects of the theory of locally convex inductive limits. In «Func. analysis. Surveys and recent results» .- N.-Y.: North Holland P.Co.- 1980. P.205−237.

174. Grothendieck A. Produits Tensoriel Topologies et Espaces Nucleaires// Memory of American Math. Society.-1955. V.16.

175. Haslinger F. Complete biorthogonal system in nuclear (F)-spaces// Mathem. Nach.- 1978 .-Bd.83. S.305−310.

176. Haslinger F. Polinomial expansions and expancions by Pincherle sequences in spaces of holomorphic functions// Colloq. Math. Janos Bolyai.- 1980. V.35. P.595−610.

177. Haslinger F. Weighted Spaces of Entire Functions//Indiana University Math. 'J.- 1986. V.35. J! 1. P.193−208.

178. Hermite Ch. Sur 1'interpolation// C. r. Acad. sei. Paris 1859. V.48. P.62−67.

179. James R.C. Bases and reflexivity of Banach spaces// Ann. of Math.- 1950. V.52. P.518−527.

180. Kalton N.J. Normalization properties of Schauder basesProc. London Math. Soc.- 1971. V.22. P.991−105.

181. Kalton N.J. On absolute bases// Math. Ann.- 1973.-V.200.)©.- P.115−125.

182. Kamthan P.K., Gupta M. Schauder bases: Behaviour and Stability, Longman Sclent, and Technical N.-J.- 1988.-P.1−518.

183. Klee V. On the Borelien of projective types of linear subspaces// Math. Scan.- 1958. V.6. P. 189−199.

184. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie// J. reine angew. math.- 1953. Bd.191. S.30−49.

185. Kothe G. Topological vector space.- Berlin: Springer. -1969.

186. Levin B.Ja. Distribution of zeros of entire functions.-2nd ed. Providence: AMS.- 1980. 524 p.

187. Macintyre A.J. Wilson R. On the order of the interpolated integral functhins// Quart. J. Math.- 1934. V.5. P. 211−220.

188. Mattson R. Sur les fonctions entieres d’ordre zero// These, Upsala, 1905.

189. Meise R. Structure of closed linear translation invariant subspaces of A© and kernels of analytic convolution operators// «Func. Analisis: Syrveys and Rec. Results III» .- N.-H. Math. Studies 90. 1984. P.331−347.

190. R. Meise, K. Schwerdtfeger, B.A.Taylor. On kernel of slow ly decreasing operators// Doga Tr. J. Matham.- 1986.-V.10. P.176−197.

191. Mursi M. Sur 1'ordre de fonctions entieres definies par interpolation// Bull. Sci. Math.- 1949. V.73. P.96−112.

192. Mural M., Winn E. On the Interpolated. Integral function of given order// Quart. J. Math.- 1933. V.4. P.173−179.

193. Newns W.F. On the representation of analytic functins by infinite series// Philos. Trans. Royal Soc.- Ser.A.-1953. V.245. P.429−468.

194. Pelczynski A., Kadec M. Basic sequences, biorthogonal systems and norming sets In Banach and Frechet spaces// Studia math.- 1965. V.25. P.297−323.

195. Pfluger A. ober Interpolation ganzer Function// Math. Helv.- 1941;42. Bd.14. S.314−349.

196. Polncare H. Sur les determinants d’ordre infini//Bull. Soc.Math. France.- 1886. V.14. P.95−107.

197. Polia D. Untersuchungen uber Lucken Singularitaten von potenzreihen// Math. Zelts.- 1929. Bd.29. S.549−640.

198. Retherford J.R. Bases, basic sequences and reflexivity of linear topological spaces// Math. Ann.- 1966. V.248.-P.280−285.

199. Redheffer R.M. Interpolation with entire functions having a regular distribution of zeros//Journal Analysis Math.- 1967. V.20. P.353−370.

200. Riesz Fr. Lecons sur les systemes d*equations lineaires a une infinite d’inconnues.- Paris.- 1913.

201. Rolewicz S. Metric linear spaces. 2d ed.- Warsawa: PWN. 1972. 460 p.

202. Saxon S. Basis cone basis theory. Dissertation. Tallahassee: Florida St. Univ.- 1965, — P.36.

203. Schauder J. Theorie stetiger Abbildungen in Funktionaloperatoren// Math. Zeit.- 1927. Bd. 26. S.47−65.

204. Squires W.A. Necessery Condithions for universal interpolation in *'// Canad J.Math.- 1981 V.23. Jfo.- P. 1356−1364.

205. Squires W.A. Geometric condition for universal interpolation// Trans. Amer. Math. Soc.- 1983. V.280. JE1 .P.401−413.

206. Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne periodiques.// Ann. of Math. 1947. V.48.

207. Vaisala. Verallgemeinerung’des Begriffes der Dirichlet-schen Reihen// Acta Univ. Dorpatensis (A).- 1921. Bd. 1:2. S.1 -32.

208. Valiron G. Sur les fonctions entieres d’ordre nul// Math. Ann. .-1911. V.LXX.- P.471−498.

209. Valiron G. Sur les fonctions entieres d’ordre nul ot d’ordre fini et en particular les fonctions a correspondance reguliere// Ann. fac. scillniv Poulouse.- 1914.-V.5. P.117−257.

210. Valiron G. Sur les abscisse de convergence des seies de Dirichlet.// Bull. Soc. Math, de Prance.- 1924. V.52.

211. Valiron G. Sur les directions de Borel des fonctions entieres d’ordre nul// Bull, sciences math.- 1935.-V.59.

212. Weill L.J. Unconditional and shrinking bases in locally convex spaces// Pacif. J. Math.- 1969. V.29. Ji2.P.467−483.

213. Whit taker J.M. Interpolatory function theory.- Cambridge: Cambridge Univ. Press.- 1935. 107 p.

214. Whittaker J.M. Sur les series de base de Polynomes. Paris.- 1949.