Развитие метода неполной факторизации и его применение в практических задачах нейтронной кинетики

Решение задач нейтронной кинетики реакторов с учетом локальных изменений нейтронно-физических характеристик является одной из наиболее сложных проблем моделирования работы реакторных установок различного типа и назначения. При решении таких сложных задач необходимо иметь эффективные методы решения систем линейных разностных уравнений большой размерности с разреженными матрицами коэффициентов.

Один из таких методов решения систем линейных разностных уравнений — метод неполной факторизации — был впервые предложен Н. И. Булеевым в 1959 году [1] и положил начало серии итерационных схем, эффективных в определенном классе задач. В последующие годы метод неполной факторизации интенсивно развивался во всем мире и быстро стал одним из основных инструментов решения пространственно-временных задач в различных приложениях, в том числе в задачах расчета атомных реакторов (см., например, [2, 3] и цитируемую там литературу). Среди множества различных схем этого метода следует выделить схему /z-факторизации (HF), предложенную Гинкиным В. П. в 1977 году [4]. Ее уникальное свойство заключается в быстром подавлении гладких компонентов ошибки. Другие схемы неполной факторизации, в частности, схема параболических прогонок (РР), также предложенная Гинкиным В. П. [5], наоборот, могут быстро гасить весь спектр ошибки, за исключением гладкой составляющей.

В развитие этих методов автором диссертации были разработаны и испытаны различные варианты метода неполной факторизации в применении к аппроксимации групповых уравнений диффузии нейтронов в трехмерной (hex, z) -геометрии девятиточечными системами разностных уравнений [6, 7, 8].

Эффективной оказалась идея чередовать схему HF с другими родственными неявными схемами, в частности, со схемой PP. При комбинировании схемы h-факторизации и параболических прогонок новая схема (HFPP), предложенная в работе [5], обладает более высокой скоростью сходимости, чем каждая из них в отдельности: одна схема быстро сглаживает произвольную исходную функцию ошибки, а другая быстро уничтожает гладкую составляющую ошибки. Позднее эта идея комбинирования схем получила развитие в работах с непосредственным участием автора диссертации и привела к созданию новых эффективных вариантов схем метода неполной факторизации [9,10].

Для симметричных матриц наибольшей скорости сходимости удается достичь при использовании метода сопряженных градиентов с эффективным предобусловливателем. 4.

Примером такого эффективного предобусловливателя является вариант явной схемы неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов (PIF), разработанный группой специалистов с участием автора [И, 12, 13]. Автором диссертации разработана программа, реализующая предложенную схему, и выполнены сравнительные численные исследования ее сходимости.

Наличие большого количества различных схем метода неполной факторизации, реализованных разными разработчиками и предназначенных для решения различных классов задач, привело к идее создания библиотеки подпрограмм метода неполной факторизации IFML (Incomplete Factorization Method Library), структура которой позволяла бы включать в нее подпрограммы, разработанные в различное время и разными авторами. Автором диссертации разработана структура такой библиотеки, характерной чертой которой является отсутствие требования универсальности форматов и описания различных подпрограмм, реализующих различные авторские варианты метода неполной факторизации. Это позволило объединить в рамках одной библиотеки множество различных вариантов и различных программных реализаций метода неполной факторизации без каких-либо значительных переработок исходных модулей по сравнению с авторскими разработками. Разработанная автором библиотека несет методический образовательный аспект и служит сохранению знаний в области математического моделирования и численной реализации физико-математических моделей.

Из числа разработанных с участием автора диссертации приложений с использованием метода неполной факторизации в диссертацию включены два: комплекс программ WIMS-BOJIHA для расчета нейтронных полей реакторов на тепловых нейтронах типа ВВЭР в (hex, z) -геометрии и комплекс программ GVA (GRIF-SM, VOLNA, ARAMAKO) для расчета быстротекущих процессов в реакторах на быстрых нейтронах типа БН. Алгоритмы и программы нейтронно-физического расчета в этих комплексах разработаны автором диссертации.

С помощью первого комплекса программ было выполнено большое количество реперных и прогнозных расчетов кампаний различных блоков реакторов на тепловых нейтронах применительно к проблеме деформаций тепловыделяющих сборок (ТВС) в активных зонах реакторов в процессе эксплуатации топлива и создания ТВС нового поколения ТВС-2 и ТВС-2М. Результаты этих расчетов отражены в 39 научно-технических отчетах, выпущенных в рамках выполнения договорных НИОКР с конструкторскими организациями, МАЭ РФ и ОАО «ТВЭЛ». Методические аспекты расчета активных зон ВВЭР-1000 отражены в работах [6, 7, 14−20].

С помощью второго комплекса были просчитаны быстрые переходные процессы в реакторе типа БН-800, вызванные либо остановкой главных циркуляционных насосов, либо несанкционированным движением стержней регулирования. Результаты этих расчетов отражены в 3 научно-технических отчетах и в работах [21−26].

Актуальность работы. Работы по созданию новых эффективных численных алгоритмов для решения различных задач математической физики всегда были и остаются актуальными задачами вычислительной математики.

Задача пространственного расчета реакторов с учетом локальных изменений нейтронно-физических характеристик активной зоны является одной из наиболее сложных проблем моделирования работы реакторных установок.

Как правило, задачи расчета реакторов являются нестационарными, нелинейными и несамосопряженными. Схема практического решения таких задач заключается в сведении исходной задачи к сериям или последовательностям более простых задач, являющихся стационарными, линейными и самосопряженными, которые могут быть эффективно решены различными методами теории аппроксимации и линейной алгебры. В частности, подзадача, успешное и эффективное решение которой определяет в большой степени точность и скорость решения исходной задачи, — это решение системы разностных уравнений большого порядка с разреженной матрицей коэффициентов, часто обладающей плохой обусловленностью, поэтому важно и актуально продолжать развивать методы решения плохо обусловленных систем линейных уравнений с разреженными матрицами.

Нейтронно-физические задачи и методы их решения развиваются давно, (см., например, монографию Г. И. Марчука [27]), и хорошо известны. Однако появляющиеся в практике реакторной эксплуатации новые сложные актуальные задачи требуют своего решения.

К таким задачам относятся расчет нейтронно-физических характеристик реакторов типа ВВЭР с учетом деформации TBC в активной зоне реактора в процессе его эксплуатации под воздействием неоднородных тепловых и нейтронных полей и расчет быстротекущих процессов в реакторах на быстрых нейтронах типа БН.

Среди работ команды специалистов, решавших техническую задачу термомеханической стабильности TBC в составе активных зон ВВЭР-1000 и разработки новой геометрически стабильной при длительной эксплуатации конструкции TBC нового поколения (ТВС-2 и ТВС-2М), расчеты локальных нейтронных полей и энерговыделения с учетом изменяющейся геометрии активной зоны и водо-урановых соотношений имели самую высокую актуальность.

Пространственно-временной расчет быстрых переходных процессов в реакторе основан на решении нестационарного уравнения реактора одним из наиболее эффективных методов — квазистатическим методом. Он позволяет выделить два временных масштаба — мелкий для расчета быстроменяющегося амплитудного фактора (мощности реактора), и крупный для расчета форм-функции (пространственных распределений групповых потоков нейтронов). Такой подход позволяет выполнить прямой пространственно-временной расчет переходных процессов, особенно актуальный для анализа начальных стадий развития переходных процессов.

Цели работы.

• Разработать новые эффективные варианты метода неполной факторизации для решения алгебраических систем уравнений, являющихся разностными аналогами уравнений эллиптического типа в (hex, z) -геометрии.

• Создать библиотеку подпрограмм для решения алгебраических систем уравнений на основе метода неполной факторизации.

• Разработать алгоритмы и программы нейтронно-физического расчета для расчета кампаний реакторов ВВЭР с использованием новых эффективных схем метода неполной факторизациирассчитать пространственные нейтронно-физические характеристики в течение кампании реактора для различных блоков АЭС — с различными загрузками и схемами перегрузок топлива с учетом формоизменения TBC в процессе эксплуатации для обеспечения термомеханических расчетов активных зон ВВЭР и разработки топливных кассет нового типа.

• Разработать алгоритмы и программы нестационарного нейтронно-физического расчета переходных процессов в реакторах на примере БН-800 с использованием новых эффективных схем метода неполной факторизациивыполнить пространственно-временные расчетные исследования нейтронно-физических характеристик активной зоны реактора типа БН-800 при моделировании таких процессов, как несанкционированное извлечение стержней регулирования, в совместном теплогидравлическом и нейтронно-физическом расчёте.

Научная новизна результатов диссертации.

Разработаны эффективные варианты метода неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов для решения уравнений диффузионного типа: сверхнеявная схема, схема с мерцающим параметром, модификация схемы Шнайдера-Зедана, явная схема в качестве предобусловливателя для метода сопряженных градиентовнеявные и комбинированные схемы. 7.

Предложен новый формализм описания метода неполной факторизации для решения систем разностных уравнений, аппроксимирующих уравнения эллиптического типа, с произвольной нумерацией узлов разностной сетки.

Создана библиотека подпрограмм IFML для решения алгебраических систем уравнений на основе метода неполной факторизации.

Разработана трехмерная программа ВОЛНА расчета нейтронной кинетики реактора в многогрупповом диффузионном квазистационарном приближении с учетом формоизменения TBC в составе комплекса программ WIMS-ВОЛНА и выполнены расчеты кампаний реакторов ВВЭР-1000 со смешанными загрузками и различными схемами перегрузок в обеспечение термомеханических расчетов активных зон ВВЭР.

Разработана трехмерная программа VOLNA нестационарного расчета реактора в квазистатическом приближении с учетом теплового расширения активной зоны в составе комплекса программ GVA совместного нейтронно-физического и теплогидравлического расчета реакторов типа БН-800 и выполнены расчеты переходных процессов, обусловленных движением группы стержней.

Достоверность полученных результатов. Универсальность и высокая эффективность разработанных вариантов метода неполной факторизации, особенно комбинированных схем, подтверждается численными сравнительными исследованиями и практическими приложениями.

Достоверность результатов нейтронно-физических расчетов подтверждается хорошим согласием с расчетами тестовых задач по другим программам.

Научная ценность работы заключается в разработке новых эффективных схем МНФ и их программной реализации, что имеет существенное значение в области численных методов решения систем алгебраических уравнений с плохообусловленными матрицами. Эти методы нашли применение в решении практических задач нейтронной кинетики.

Практическая ценность разработанных эффективных методов решения плохо обусловленных алгебраических систем линейных уравнений большой размерности с разреженными матрицами коэффициентов и созданной на их основе библиотеки подпрограмм IFML состоит в применимости этих подпрограмм для решения широкого круга практических задач математической физики.

Практическая ценность разработанных комплексов программ нейтронно-физического расчета заключается в большом количестве конкретных рекомендаций и выводов, сделанных по результатам расчетов по этим программам, и принятых проектно-конструкторских решений при разработке и внедрении нового топлива.

Автор выносит на защиту:

• Новые схемы, алгоритмы и программные реализации различных вариантов метода неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов и новые варианты комбинированных схем.

• Алгоритмы и программы решения систем трехмерных разностных уравнений диффузионного типа в (hex, z) — геометрии с использованием нового формализма описания метода неполной факторизации для произвольной нумерации узлов разностной сетки.

• Библиотеку подпрограмм неполной факторизации IFML, предназначенных для решения разностных систем двумерных и трехмерных уравнений эллиптического типа.

• Алгоритм и программу ВОЛНА многогруппового нейтронно-физического расчета кампаний реакторов ВВЭР с учетом формоизменения TBC в процессе эксплуатации в комплексе программ WIMS-ВОЛНА.

• Комплекс параметрических и поддерживающих расчетов кампаний с различными загрузками в обеспечение термомеханических расчетов активных зон ВВЭР-1000 и в обоснование внедрения на АЭС нового топлива.

• Алгоритм и программу VOLNA нестационарного многогруппового нейтронно-физического расчета быстрых переходных процессов в реакторе типа БН-800 в квазистатическом приближении с учетом теплового расширения активной зоны для комплекса программ GVA совместного нейтронно-физического и теплогидравлического расчета.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзном совещании по динамике реакторов (г.Гатчина, 1990), на.

13-ом Международном конгрессе по вычислительной и прикладной математике (г.

Дублин, Ирландия, 1991), на VI Российской конференции по радиационной защите ядерных установок (г.Обнинск, 1994), на 9 международном совещании по безопасности ядерных реакторов (г.Москва, 1995), на семинарах «Нейтроника-97, 98», (г.Обнинск, 1997,.

1998), на школе-семинаре МИФИ «Интегрированные математические модели и программные комплексы в ядерной энергетике» (г.Москва, 1998), на семинаре.

Консультативная встреча специалистов IAEA по проблеме быстрых реакторов" г. Обнинск, 1998), на международном семинаре «Деформация топливных сборок PWR и.

ВВЭР", (г. Ржеж, Чехия, 1998), на международном семинаре «Анализ безопасности атомных станций с реакторами типа ВВЭР и РБМК» (г. Обнинск, 1998), на 4-ом 9 международном конгрессе по прикладной математике (г. Эдинбург, Шотландия, 1999), на международной конференции «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (г. Обнинск, 2002), на Техническом комитете МАГАТЭ «Structural behaviour of fuel assemblies for water cooled reactors» (г.Кадараш, Франция, 2004).

Расчеты нейтронно-физических характеристик реакторов, выполненные автором, использованы при разработке TBC нового поколения (ТВС-2, ТВС-2М) и подготовке к их лицензированию. Эти TBC используются в промышленной эксплуатации на всех блоках Балаковской и Ростовской АЭС, предназначены для применения во всех строящихся блоках проекта АЭС-2006 и ВВЭР-ТОИ.

Основное содержание диссертации изложено в научной печати — 6 статей в отечественных и международных журналах и сборниках трудов конференций, 5 препринтов, 11 тезисов национальных и международных конференций — и 58 научно-технических отчетах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и выводов. Общий объем диссертации — 157 страниц, в том числе 51 рисунок и 31 таблица, список использованных источников содержит 47 наименований на 5 страницах.

выводы.

1. Новые эффективные варианты метода неполной факторизации, разработанные автором для решения алгебраических систем разностных уравнений эллиптического типа в (hex, z) -геометрии с использованием произвольной нумерации узлов разностной сетки, позволяют значительно экономить общее время счёта при решении задач нейтронной кинетики.

2. Созданная библиотека подпрограмм IFML для решения алгебраических систем уравнений на основе метода неполной факторизации дает возможность выбрать наиболее подходящие и эффективные в своем классе задач подпрограммы и использовать их в практических расчётах для различных физических приложений. Библиотека программ IFML имеет также общеобразовательное значение и служит цели сохранения знаний.

3. Разработанные алгоритмы и программы нейтронно-физического расчета для расчета кампаний реакторов ВВЭР с использованием новых эффективных схем метода неполной факторизации позволили, в свою очередь, разработать алгоритм учета формоизменения TBC в процессе эксплуатации реактора при проведении нейтронно-физических расчётов кампании с помощью комплекса программ WIMS-ВОЛНА. Результаты этих расчётов, выполненных во взаимодействии с группой разработчиков конструкции TBC ВВЭР-1000 нового поколения, получивших название ТВС-2 и ТВС-2М, были использованы при расчётно-параметрических обоснованиях нового топлива и компоновок TBC в активной зоне. Работы завершились созданием и широкомасштабным внедрением TBC нового поколения на атомных станциях с реакторами ВВЭР-1000, решением проблемы термомеханической нестабильности активных зон, выпуском продукции на заводах топливной компании «ТВЭЛ» в объёме более 300 TBC в год, успешной эксплуатацией шести энергоблоков АЭС после внедрения нового топлива.

4. Для нестационарного нейтронно-физического расчета переходных процессов в реакторах на быстрых нейтронах типа БН-800 с использованием новых схем метода неполной факторизации разработаны алгоритмы и программы, учитывающие обратные связи в случае заданного движения групп стержней в зоне реактора. Алгоритмы реализованы в рамках комплекса программ GVA нестационарного расчета реактора в квазистатическом приближении и апробированы на модельных задачах. Расчетные исследования и анализ, выполненные с помощью комплекса GVA, показали работоспособность комплекса программ и целесообразность совместного теплогидравлического и нейтронно-физического расчёта при моделировании таких переходных процессов, как несанкционированное извлечение стержней регулирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Первая глава содержит описание различных схем метода неполной факторизации и предложения по их развитию.

Основное внимание уделено неявным и комбинированным схемам, так как наиболее высокая скорость сходимости получена именно на таких схемах.

Разработаны и численно исследованы новые эффективные схемы неполной факторизации для решения несимметричных задач на основе комбинированных схем метода неполной факторизации.

Описание известных схем метода неполной факторизации дается на языке разностных схем, традиционно используемом для математического моделирования пространственных задач в различных приложениях.

Предложено новое описание схем неполной факторизации с произвольной нумерацией узлов разностной сетки, когда каждому узлу ставится в соответствие набор номеров узлов-соседей с помощью матрицы связности, и дана общая формулировка метода неполной факторизации с помощью предложенного формализма.

Для решения задач с симметричными матрицами разработан вариант метода сопряженных градиентов (CG) с предобусловливателем по явной схеме неполной факторизации. Такие системы разностных уравнений возникают при аппроксимации уравнений диффузии в (hex-z)-геометрии. Рассмотрены два варианта предобусловливателей: с периферийной (PIF) и диагональной (DIF) компенсацией итерируемых членов. Показано, что наибольшей эффективностью обладает метод CGPIF с периферийной компенсацией итерируемых членов.

Предложена и численно исследована новая сверхнеявная схема неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов для решения систем разностных уравнений диффузии в (hex-z)-геометрии, в которой используются два уровня итераций — внешний (основной) и внутренний (вспомогательный). Вспомогательный итерационный уровень возникает при обращении двумерных семиточечных уравнений на каждом слое при фиксированной координате z.

Предложена и численно исследована новая явная схема метода неполной факторизации по типу схемы Шнайдера-Зедана для решения двумерных семиточечных разностных уравнений, в которой с целью ускорения сходимости, используется.

148 периферийная компенсация итерируемых членов по типу /г-факторизации. Предложенная схема использована на внутренних итерациях при реализации предложенной автором сверхнеявной схемы для решения трехмерных задач.

Предложена и численно исследована новая комбинированная схема метода неполной факторизации — схема с мерцающим параметром. Показано, что предложенная комбинированная схема значительно превосходит по эффективности каждую из входящих в нее схем в отдельности.

Предложена структура библиотеки подпрограмм метода неполной факторизации и на ее основе создана библиотека IFML, в которую вошло 22 подпрограммы, разработанные в математическом отделе ГНЦ РФ-ФЭИ разными авторами в течение длительного периода времени. Библиотека программ IFML имеет общеобразовательное значение и служит цели сохранения знаний.

Вторая глава посвящена алгоритмам и методам решения квазистационарных задач нейтронной физики. Основным содержанием этой главы является описание созданного трехмерного комплекса программ WIMS-ВОЛНА для расчета нейтронно-физических характеристик, локальных нейтронных полей и полей энерговыделений реакторов типа ВВЭР в трехмерной (hex, z) -геометрии с использованием новых эффективных схем метода неполной факторизации. В этом комплексе расчет локальных нейтронных полей и энерговыделения производится по программе ВОЛНА, а константы рассчитываются в каждой точке расчетной зоны в каждый момент времени по программе WIMSD4 с учетом материального состава элементарных объемов реактора и средних температур топлива, оболочки и теплоносителя. Результаты расчетов в виде данных по плотности потока нейтронов и энерговыделения в заданных пространственных точках в согласованных форматах передаются в программу расчета термомеханики активной зоны в заданные моменты кампании, а из программы расчета термомеханики в комплекс программ WIMS-BOJ1HA возвращаются данные о формоизменении TBC. Разработан алгоритм учета влияния формоизменения TBC на нейтронно-физические характеристики реактора и выполнены оценки величин изменения нейтронно-физических характеристик при возможных взаимных смещениях TBC в активной зоне реактора. Показано, что это влияние может быть значительным, и его необходимо учитывать.

Указанный комплекс программ и алгоритмы были использованы автором при решении задачи установления причин термомеханической нестабильности поведения активных зон реакторов ВВЭР-1000, наблюдавшейся в период с ~ 1990 по ~ 2006 гг. В составе группы специалистов, привлечённых к решению этой задачи, автор обеспечивал входными данными по пространственным распределениям нейтронных потоков и.

149 температур расчёты трёхмерной термомеханики активных зон. В течение указанного периода в процессе проведения расчётно-параметрических исследований, верификации расчётных методов и программ, разработки обоснования новых конструктивных решений по TBC и схемам загрузок, обоснования безопасности при повышении мощности энергоблоков до 104%, автором выполнены десятки параметрических и поддерживающих расчётов активных зон, в том числе нейтронно-физические характеристики активных зон моделировались в виде прогнозных расчётов, а также в виде тестовых расчётов по реально прошедшим кампаниям на конкретных энергоблоках.

Описанная работа была успешно выполнена и с 2003 года начата опытно-промышленная эксплуатация топливных кассет нового поколения, в разработку которых автор внёс свой небольшой вклад, а вскоре и промышленная их эксплуатация. В настоящее время 6 энергоблоков Балаковской и Ростовской АЭС эксплуатируются с этим топливом, осуществлён переход на мощность 104%, проектами АЭС-2006 и ВВЭР-ТОИ предусматривается использование именно этих топливных кассет нового поколения.

Третья глава посвящена разработке алгоритмов и программ расчета нейтронно-физических характеристик реактора с учетом обратных связей в случае заданного движения групп стержней в активной зоне реактора на быстрых нейтронах. Алгоритм реализован в рамках комплекса программ GVA нестационарного расчета реактора в квазистатическом приближении и апробирован на модельных задачах.

В основу программы VOLNA положено квазистатическое приближение, сводящее задачу к системе двух задач: расчету пространственной форм функции, относительно слабо меняющейся по времени, и амплитудного фактора, который быстро меняется во времени, но не зависит от пространственных координат. Амплитудный фактор находится из решения системы уравнений типа точечной кинетики. На основе разработанной программы VOLNA создан комплекс программ GVA (GRIF-SM, VOLNA, ARAMAKO), позволяющий проводить расчет нейтронно-физических характеристик совместно с теплогидравлическим расчетом реактора на быстрых нейтронах. В качестве примера использования комплекса программ GVA приведен расчет переходного процесса в реакторе типа БН-800, обусловленного несанкционированным движением органов регулирования.

Разработанный автором эффективный вариант метода неполной факторизации с использованием чередующихся значений 0 и 1 итерационного параметра в сверхнеявной схеме существенно экономит время счета и делает возможным пространственно-временной анализ переходных процессов в реакторах на достаточно представительных интервалах времени.

Представленные результаты разработки алгоритмов и расчётов свидетельствуют, что комплекс программ ОУА может служить составной частью создаваемого интегрального кода нового поколения для анализа безопасности РУ с реакторами на быстрых нейтронах. В этом случае применение новых эффективных схем метода неполной факторизации для решения сложных задач пространственной нейтронной кинетики становится особенно оправданным.