Устойчивость и неустойчивость по Уламу функциональных уравнений и приложения

В 1940 году известный американский математик С. Улам поставил следующую задачу: «Если мы заменим функциональное уравнение функциональным неравенством, то при каких условиях решения последнего будут близки к решениям исходного уравнения?» Сама постановка задачи имеет практическую направленность. Если решать уравнение численными методами, используя компьютер, то так как в процессе вычислений появляются погрешности, то возникает вопрос насколько «численное решение «уравнения отличается от его истинного решения. Вопрос Улама стал отправной точной для нового направления в математикеТеории утойчивости функциональных уравнений.

В настоящее время это быстро развивающаяся область. На данную тематику опубликованы сотни статей и несколько монографий.

§ 1 Уравнение Коши. Понятие гомоморфизма является важнейшим в математике. Если речь идет о гомоморфизме из одной группы или полугруппы в другую, то отображение ф: <5 —> является гомоморфизмом, если оно удовлетворяет условию.

1) ф (ху) = ф (х)ф (у), Ух, у е 5.

То есть гомоморфизм — это отображение, удовлетворяющее функциональному уравнению (1). В теории функциональных уравнений уравнение (1) называется уравнением Коши. Если полугруппа ^ является аддитивной с операцией «+ «, то уравнение (1) переписывается в виде.

2) ф{ху) = ф{х) + ф (у), у е Б. или же в виде.

3) ф (ху) — ф{х) — ф{у) = 0, Уж, у е 5.

Применительно к функциональному уравнениию (1) вопрос Улама можно сформулировать так. Пусть даны группа (?х, метрическая группа (б^оО и положительное число е. Существует ли 6 > 0 такое, что если /: —"• С2 удовлетворяет условию с1(/(ху),/(?)/(/у)) < 5 для любых х, у € то существует гомоморфизм Т: —>• G2 такой, что с1(/(х), Т (х)) < е для любых х, у? С?]? См. Улам (1960) или (1974) для обсуждения подобных проблем, а так же Хайерс (1941, 1983), Хайерс и Улам (1945, 1947), Рассиас (1978), Акзель и Домбрес (1989).

В случае положительного ответа на предыдущий вопрос говорят, что гомоморфизмы 01 —У С2 устойчивы или, что функциональное уравнение Коши (1) устойчиво. Первый положительный ответ был дан Хайерсом [121] в 1941 г. Рассмотрим аддитивное уравнение Коши.

4) (р (ху) = <�р (х) + (р (у).

Теорема 0.1 (Д.Хайерс). Пусть Е, Е2 банаховы пространства и /: —Е2 удовлетворяет условию: существует е > 0 такое, что.

5) || ¡-(х + у) — /(ж) — ¡-{у) || < е для всех х, у € Ег. Тогда существует Т: Ег —>• такое, что.

6) Т{х + у) — Т (х) — Т (у) = 0 для всех х, у е Ех и.

7) Il f (x) — T (x) H < e для всех x e EL.

Если внимательно просмотреть доказательство теоремы Хайерса, то можно заметить, что она остается справедливой, если под Е будет пониматься не только банахово пространство, но любая абелева полугруппа S. Таким образом получается, что гомоморфизмы из абелевой полугруппы в банахово пространство устойчивы.

В 1978 году Т. М. Рассиас [177] получил следующее обобщение теремы Хайерса позволяющее разнице Коши быть неограниченной.

ТЕОРЕМА 0.2 (Рассиас). Пусть Ei, E2 банаховы 71ространства и /: Ei —у Е2 удовлетворяет условию:

8) || f (x + и) — f (x) — f{y) У < s (IbH* + IМП для всех x, у G Еи где е и р такие постоянные, «что ?>0и0<�р<1.

Тогда существует Т: Ei —Е2 такое, что.

Т (х + у)~ Т (х) — Т{у) = 0 для всех x, у G Ех и.

T (x)-f{x)\, где к зависит от pue.

После результата Хайерса было опубликовано большое количество статей, обобщающих проблему Улама и теорему Хайерса. См. [86]-[92], [122|-[129], [177|-[188], [190], [191], [193], [194], [201],[202],[203],[210],[211].

Определение 0.3. Пусть G произвольная полугруппа, а В банахово пространство. Будем говорить, что уравнение (4) устойчиво для пары (G, B) если, djin любой функции /: G —"¦ В такой, что f (xy) — f (x) — f (y)\ О, существует решение ср уравнения (4) такое, что f (x)-tp (x)\.

Форти ([90]) установил, что если В, В2 банаховы пространства, тогда уравнение (4) устойчиво для пары (G, В) в том и только в том случае когда оно устойчиво для пары (G, B2)¦ В силу этого замечания мы будем говорить просто об устойчивости уравнения (4) для группы или полугруппы G. Таким образом теорема Хайерса утверждает, что уравнение (4) устойчиво для любой коммутативной полгруппы G. В [202] Секехиди обобщил результат Хайерса используя метод инвариантных средних.

ТЕОРЕМА 0.4. Пусть G аменабельная слева (справа) полугруппа, тогда уравнение (4) устойчиво для G.

Теперь возник естественный вопрос: существуют ли группы или полугруппы для которых уравнение (4) не является устойчивым? Учитывая теорему Секехиди, такие группы нужно искать среди неаменабельных. Действительно, в 1985 году Форти [89] построил пример, показывющий, что уравнение Коши (4) в общем случае не является устойчивым.

Начиная с 1978 года тематика «аппроксимативных гомоморфзмов» интенсивно изучалась многими математиками. Изучению аппросксимативно мультипликативных функций из вектороного пространства в множество вещественных чисел посвящена статья Бейкера, Лоуренса и Зорцитто [51] (1979). В этой статье было установлено, что если 5 > 0 и функция / :V —" R удовлетворяет соотношению.

IКХУ) ~ f (-r)f (y) 1 < Для любых т, у € V, то либо /-ограниченная функция, либо.

9) f (xy) = f (x)f (y), для любых х, у е V.

В следующей работе Бейкера [52] данный результат был обобщен на случай, когда функция / определяется на полугруппе. В работе Лоуренса (1985) были рассмотрены отображения /: S —" А полугруппы S комплексную нормированную алгебру А, удовлетворяющие неравенству f (xy) — f (x)f{y)\ < 5, для любых, г, у е У, и некоторого S > 0. Была доказана устойчивость уравнения (9) в случае, когда S коммутативная полугруппа и, А = М2(С)-нормированная алгебра 2×2 матриц с комплексными элементами.

В литературе закрепилась следующая терминология. Когда рассматривается вопрос об устойчивости с ограниченной правой частью неравенства (как в теореме 0.1, неравенство (5)), то говорят об устойчивости по Уламу-Хайерсу. Когда же правая часть неравенства (как в теореме 0.2, неравенство (8)) неограниченна, то говорят об обобщенной устойчивости или устойчивости, но Уламу-Хайерсу-Рассиасу. и и.

§ 2 Уравнение Иенсена. Уравнением Иенсена называется следующее уравнение. ю) 2/(нг) =/(*¦) + /(*)¦

Положим^тр = и, = V, тогда уравнение (10) можно переписать в виде.

2f (u) = f{u + v) + f (u,-v).

Последнему уравнению можно придать вид.

11) f (xy) + f (xy-l)=2f (x), которое можно рассматривать над любой группой. Это уравнение рассматривалось в статьях Акселя, Чунга, Нг [46],[69] [166]. Вопрос об устойчивости уравнения (11) рассматривался в статьях Юнга, Коминека, Ли, Янг, Лакзковича, Табора [141], [147],[152], [210], [151], [201]. Во всех этих статьях областью определения функции / была либо абелева группа либо некоторое ее подмножество. Юнгом в [141] была доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 0.5. Пусть Е±нормированное пространство и Е2 банахово пространство. Пусть р положительное число такое, что р ф 1 пусть 5 > 0 и в > 0. Предполоэюиль, что отображение /: —"¦ Еч удовлетворяет неравенству.

12) ||2/((*• + у)/2) — f (x) — f (y)|| < 5 + 0(||оГ + |МГ) для любых х, у б Е]. Тогда существует единственное аддитивное отобраэюение Т * Ei —^ Е2 такое, что.

13) \f (x)-T (x)\ < 5+ ||/(0)|| + Т±-в\х\>, если р < 1, или np-l.

14) Ц/(ж)-Г (ж)Ц< 2plie\xf, если р>1, для всех х? Ei.

§ 3 Квадратичное функциональное уравнение.

15) f (x + у) + f (xу) — 2 /(ж) — 2 }{у) = О имеет решения вида /(.г) = сж2, где с произвольная постоянная и / вещественная функция вещественной переменной. Пусть Е нормированное просрапство с нормой ||.||. Известно, что для того норма х —У ||ж|| задавалась скалярным произведением необходимо и достаточно что бы, она удовлетворяла функциональному уравнению.

II/(X + у) II2 + II fix — у) II2 — 2||/(ж)||2 — 2||/(у)||2 = 0, Vx, y е Е, то есть, что бы функция х —> ||ж|| являлась решение уравнения (15). Авторы Хосзу [117] и Курепа [149] изучали связь между биморфпзмам и решениями уравнения (15). Известно (см[46]), что если Е1. Е2 банаховы пространства, а функция /: Е —> Е2 удовлетворяет уравнению (15), то существует, единственный симметричный биморфизм В: Ei х Ei —> Е? такой, что /(ж) = В (ж, ж). Первый результат об устойчивости уравнения (15) был получен в Скоф [193].

Теорема 0.6. Пусть G абелева группа v Е банахово пространство. Если для некоторого 6 > 0 функция f: G Е удовлетворяет неравенству.

16) Ых + у) + fix — у) — 2 fix) — 2/(у)|| < S для любых х, у G G, тогда существует единственная квадратичная функция q: G —Е такая, что.

17) II <| j для всех х € G.

Кзервиком в статье [67] был получен следующий результат об обобщенной устойчивости.

Теорема 0.7. Пусть Ei нормированное пространство и Е2 банахово пространство. Пусть е > О, р ф 2 вещественные чиспа. Предполоо1сим, что отображение f: Ei —> Е2 удовлетворяет неравенству.

18) || fix + у)+ fixу) — 2 fix) — 2/Q/) || < е + (||ж|Г + ||ур) для любых ж, у € Ei. Тогда сугцествует единственное квадратичное отобрао/сение g: Ei —> Е2 такое, что.

19) ||/(ж) — gix)\ < ске\х\р, для всех х Е Ei, если р > 0 и для всех х? Е {0}, если р < 0. Причем, если р < 2, то с — f — если же р > 2, то с — 0, к =.

Квадратичное уравнение на произвольной группе принимает вид.

20) fixy) + fixy'1) — 2fix) — 2fiy) = 0.

Янг [210] доказала устойчивость этого уравнения на аменабельных группах.

§ 4 «Уравнение Дригаса. Дригас в [74] получил теорему характеризующую в духе Жордана-Неймана [137] пространства с квазискалярным произведением. В его характеризации функциональное уравнение + /(«) = Нее — «) + 2 {/ - / } играет важную роль. Если мы заменим у на —у в этом уравнении и сложим полученное уравнение с предыдущим, то получим.

21) /О + у) + J (xу) = 2f{x) + /О-) + /(-у).

Функциональное уравнение Дригаса (21) на произвольной группе G принимает вид.

22) /Осу) + /(ху-1) — 2/0) — f (y) — fbr1) = О для любых х, у? G. Саху, Каннаппан, Ибанкс [81] изучали систему функциональных уравнений.

23) f (xy) + ¡-{ху-1) — 2/0) — f (y) — ¡-(у'1) = 0, f (zyx) = f (zxy) для любых x, y, z G G. Было показано, что общее решение этой системы /: G —К (поле с характеристикой отличной от двух) (23) задается в виде.

J (x)=H (x, x)+A (x) где Н: G х G —К симметричный биморфизм и, А: G К гомоморфизм.

Вопрос об устойчивости уравнения (22) рассматривался Юнгом в [140]. Им была доказана следующая теорема об устойчивости.

ТЕОРЕМА 0.8. Пусть Е и ?72 векторное и банахово пространства соответственно. Если функция /: Е Ei удовлетворяет неравенству.

24) ||/(Ж + у) + f (x — у) — 2/0) — f (y) — f (-y) || < для некоторого е > 0 и всех х, у g Е, то существуют единственная аддитивная, А: Ег —> i?2 и единственная квадратичная Q: Е Ео функции такие, 'что.

25) \J (x)-Q (x)-A (x)\.

§ 5 Уравнение Уайтхеда. Уравнение Уайтхеда.

26) /О + y + z) + /О) + f (y) + f (z) = /О + У) + /О/ + z) + f (z + х). впервые появилось в статье Уайтхеда [209] в процессе решения чисто топологической задачи) и там же было дано общее решение в случае когда / отображает абелеву группу в множество вещественных чисел и удовлетворяет дополнительному условию f (—x) = /О). На заседании Американского Математического.

Общества проф. Е. Диба из университета в Хьюстоне поставил вопрос об отыскании общего решения функционального уравнения (26). Каннаппан [143] установил, что в случае, когда ?— векторное пространство, а к—поле характеристики .те равной двум, то общее решение /: V —* К этого уравнения представляется в виде f (x) = B (x, x) + A (x) где В: ? х V —" К симметричный биморфизм, а, А: ? —> К аддитивная функция.

Устойчивость по Уламу-Хайерсу уравнения (26) изучалась Юнгом [138]. Им был получен следющий результат.

Теорема 0.9. Пусть? вещественное норлшровенное пространство, а X вещественное банахово пространство. Пусть /: V —> X удовлетворяет неравенствам.

27) ||f (x + y + z) + f (x) + f (y) + f (z) — f (x + y)~ f (y + z)~ f (z + x)\ < 5 и.

28) \f (x)-f (-x)\ 0 и любых x, y, z Е ?. Тогда сущетвует единственное квадратичное отобралсение Q: ? —>• X, удовлетворяющее соотношению.

29) \f (x)-Q (x)\<35 для любых х G ?.

Там же в [138] была установлена другая теорема, в которой условие || f (x) — /(—ж)|| < в заменено таким ||/(а-) +/(—эг)\ < 0.

Фехнером в [86] была установлена устойчивость функционального уравнения (26) на абелевых группах. Вопрос об обобщенной устойчивости уравнения (26) рассматривался Чангом в [65].

Теорема 0.10. Пусть? вещественное нормированное пространство, а X вещественное банахово пространство. Пусть Н: —Ш+ т, акая функция, что H (tu, tv, tw) < tpH (u, v, и)) для всех t, м, v, w? R+ и для некоторого p € Ж. Далее пусть Е: Ш+ —Ш+ удовлетворяет соотношению E (tx) < tqE (x) для всех t, x G R+. Пусть р, q < 1 вещественные числа и f: ? —"• X такое отобрао/сение, что.

II f (x + y + z)+f (x) + f (y) + f (z).

30) — f (x + у) — f (y + z)~ f (z + а0|| < Я (||п-||, |Ы|, |И) и.

31) \f{x) — f (-x)\ < E{\x\) для некоторого 5,9 > 0 и всех х, y, z G ?. Тогда существует единственное квадратичное отображение Q: ? -> X которое удовлетворяет условию.

32) ИД*) — <9(.г)|| < Nb И) + 2|, Л0),| для всех х Е ?.

Функциональное уравнение (26) принимает форму.

33) f (xyz) + f (x) + /Ы + f (z) = f (xy) + f (yz) + f (xz) на произвольной группе G или полугруппе S. Мы будем использовать мультипликативную запись для произведения элементов из полугруппы S. В первой части диссертации будет рассматриваться вопрос об устойчивости уравнения (33) на полугруппах и группахне обязательно абелевых. и.

§ 6 Об устойчивости уравнения типа Иенсена на группах. Уравнением типа Иенсена называется следующее уравнение В статье [182] рассматривался вопрос об устойчивости уравнения типа Иенсена.

34) =/(*)-/(У): Ж —М. Полагая {х + у) = и и ~(х — у) = V уравнение (34) можно переписать в виде.

2/(«) = /(«+ «)-/("-»).

Последнее эквивалентно следующему уравнению.

35) Джу) — /Осу" 1) = 2/(у) и может быть рассмотрено над произвольной группой, решения этого уравнения, когда / принимает значение в абелсвой группе, описаны в статье Чунга. Вопрос.

06 устойчивости этого уравнения (35) в случае, когда областью определения / было нормированное пространство рассмотрен Дж.Рассиасом. В первой части диссертации рассматривается рассматривается вопрос об устойчивости уравнения типа Иенсена (35) над произвольной группой.

1.1. Результаты главы I. Для того, что бы перейти от вопроса об обобщенной устойчивости уравнений (3), (11), (20), (22), (33), (35), рассматриваемых ранее на нормированных пространствах к аналогичному вопросу на группах и полугруппах, мы будем рассматривать полугруппы наделенные полу весами. В статье Григорчука Р. И. [14], (аддитивным)полувесом па полугруппе? названа неотрицательная вещественная функция 7 определенная на Б, и удовлетворяющая неравенству:

7(ху) < ч (х) + 7(у) + (I, /ж, у е Б, для некоторого неотрицательного числа (I. Полувес7 называется весом, если с1 = 0. Если же 5 является группой, и дополнительно 7(ж-1) = 7(ж), Уж Е то полувес.

7 называется симметричным. Полагая 'у (х) = с, для некоторого с > 0 получим постоянный вес на в. Из каждого полувеса 7 можно получить вес, полагая 7'(ж) = 7(ж) + й. Важным примером весовой функции на группе является следующий. Пусть (7 произвольная группа и X множество ее образующих, такое, что А'-1 = X. Каждый элемент д Е С может быть представлен в виде.

36) д ~ 6*152 ¦¦¦вк, где вг 6 X.

Вообще говоря, такое представление не единственно. Назовем длиной элемента д относительно множества X минимальное к среди всех представлений д в виде (36), обозначим полученное число через 7(д). Легко видеть, что функция 7 является весом на группе С. В четвертой главе диссертации в связи с решением задачи о ширине вербальной подгруппы, будут строи тся специального рода веса на группах.

В статье [14] рассматриваются некоторые аспекты применения теории весов в различных областях: веса и свойство «тихоновости», веса и гармонические функции, веса и ограниченные когомологии, алгебры Берлинга.

В первой главе диссертации показано как применение весовых функций позволяет обобщить понятие обобщенной устойчивости на неабелевы группы и полугруппы. До этого вопросы об обобщенной устойчивости ставились только для уравнений рассматриваемых над нормированными пространствами.

1.1.1. Уравнение Коши. В этой главе вводятся понятия (ф, 7)-квазиаддитивно-го отображения и (ф, 7)—псевдоаддитивного отображения. Эти понятия включают понятие псевдохарактера и понятие^{-аддитивного} отображения. Последнее было введено в [128] и [129].

Всюду ниже под ф будет пониматься функция из Rq = [0, +оо) в Е" 1″ (множество вещественных положительных чисел) удовлетворяющая условиям:

1) *ф — возрастающая функция,.

2) i/>(tit2) < ф (Ч) ф{Ь2), для любых tx, t2 е.

3) ф (Ь + t2) < ф{к) + Ф{р2), для любых tu t2 € М+,.

4) ЦтШ = 0. t—>00 t определение 0.11. Пусть S произвольная, полугруппа и Е банахово пространство. Пусть функции фи 7 удовлетворяют условиям выше. Будем говорить, что отображение /: S —Е является (ф,/у)-квазиаддитивпым, если существуют неотрицательные, а и 9 такие, что.

37) \f (xy) — f (x) — f (y)у <а + в [ФШ) + ФШ)] S.

Ясно, что множество всех (ф, 7)-аддитивных отображений из S в Е является вещественным линейным пространством относительно обычных операций. Обозначим его через KAM^n[S] Е). Подмножество К АМф^^Б] Е), состоящее из функций, удовлетворяющих дополнительному условию f (xn) = nf (x) для любых х G S и п е п обозначим через РАМфа{3Е). А подмножество, состоящее из функций /, таких, что для каждой pi3 которых существуют, а и в такие, что.

38) H/(s)ll.

Обозначим через Через Hom (S, E) обозначим множество аддитивных отображений S в Е. Рассмотрим уравнение Коши.

39) f (xy) — f (x) — /(у) — 0, где f: S->E. определение 0.12. Будем говорить, что уравнение Коши (ф,^)-устойчиво для пары (S, E), если для любой функции f, удовлетворяющей соотношению f (xy) — f (x) — f (y) II < а + в [ФШ) + ФШ)] Ух, у е S найдется аддитивное отобраоюение h: S —Е, такое, что для некоторых а' справедливо неравенство.

НДж) — едц < ог + в1 ф (ф)) Ух е s.

Полагая 7 = с, получим определение устойчивости по Уламу. Поэтому все теоремы о (ф, 7)-устойчивости будут справедливы и в случае устойчивости по Уламу. теорема 0.13. Справедливо следующее разложение КАМф^(Б, Е) = РАМфп (в, Е) е Вфл (Б, Е) теорема 0.14. Уравнение Коши (ф, 7) -устойчиво для пары (S, E) в том и только в том случае, когда справедливо равенство РАМф)7.

Дале доказывются следующие теремы об устойчивости.

Теорема 0.15. Уравнение Коши является (ф,^)-устойчивым для пары () в толь и только в том случае, когда 0710 устой-чиво для пары (5,В).

Учитывая последнюю теорему можно говорить об (ф, 7)-устойчивости не указывая банахово пространство, в котором принимает значение функция / из уравнения (39). С использованием теоремы 0.23 Доказывается, что для любых функций ф и 7, удовлетворяющих определения выше, уравнение Коши (ф,^) — устойчиво для любой разрешимой группы. Доказывается, что класс групп для которых уравнение Коши является (ф, 7) — устойчивым замкнут относительно полупрямых произведений. Устанавливается, что в общем случае уравнение Коши не является (ф,^) — устойчивым, а затем Доказывается теорема вложения о том, что всякую группу можно вложить в такую, над которой уравнение Коши будет {Ф-* 7)~ устойчивым.

1.1.2. Уравнение Иенсеиа.

40) 1(хУ) + 1(ХУ~1) ~ 2/(ж) = 0.

Определение 0.16. Пусть С произвольная группа и Е банахово пространство. Пусть функции фи 7 удовлетворяют условиям выше. Будем говорить, что отображение /: О —Е является (ф,^у)-квазийенсеновым, если существуют неотрицательные айв такие, что.

41) \1{ху) + /(.г1Г1)-2/(ж)|| <а + в[ф (у (х))+фШ)] Ух: у? О.

Ясно, что множество всех (ф, 7)-квазийепсеновых отображений аз О в Е является вещественным линейным пространством относительно обычных операций. Обозначим его через К, 1МфП{(}]Е). подмножество К, 1МфП (0]Е), состоящее из функций, удовлетворяющих дополнительному условию /(ж74) = п/(ж) для любых ж € и п? п обозначим через РЛ{С] Е). А подмножество, состоящее из функций /, таких, что для каждой из которых существуют и в такие, что.

42) ||/(ж)|| <а! + 010(7(*)).

Обозначим через Через Е) обозначим множество решений уравнения (40), где /: —" Е. А его подмножество состоящее из функций /, удовлетворяющих дополнительному условию /(1) = 0, обозначим через, 10(О, Е).

Определение 0.17. Будем говорить, что уравнение Йенсеиа (ф,^)-устойчиво для пары (С, Е), если для любой функ/11 ии, /- удовлетворяющей соотношению жу) + /(жу-1) — 2/0/)II < а + в [ФЫх)) + ФЫу))} /х, у? С найдется г? ./(С, Е) такое, что для некоторых а', в' справедливо неравенство ж) — ВД|| < а' + в’ф (ф)) Уж € С.

Полагая 7 = с. получим определение устойчивости по Уламу. Поэтому все теоремы о (^^-устойчивости будут справедливы и в случае устойчивости по Уламу. В главе, посвященной устойчивости уравнения Иенсена, сначала доказываются следующие две вспомогательные теоремы.

Теорема 0.18. Справеливо следующее разлооюение.

Е) = Е) ф ВФа (Сг, Е).

Теорема 0.19. Уравнение Йенсена (ф,^)-устойчиво для пары (С,^) в том и только в том случае, когда справедливо равенство Р1Мхр^(0,Е) = «/оЕ).

Учитывая последнюю теорему можно говорить об (ф, 7)-устойчивости уравнения Йенсена не указывая банахово пространство, в котором принимает значение функция / из уравнения (40). С использованием теоремы 0.23 Доказывается, что для любых функций ф и 7, удовлетворяющих определениям выше, уравнение Йенсена (ф, 7) — устойчиво для нильпотентной группы ступени три.

Устанавливается, что в общем случае уравнение Йенсена не является (ф, 7)-устойчивым, а затем Доказывается теорема вложения о том, что всякую группу можно вложить в такую, над которой уравнение Йенсена будет (ф, 7) — устойчивым.

1.1.3. Квадратичное уравнение.

43) Джу) ±Д.Т/Г1) — 2/(ж) — 2/0/) = 0. .

Определение 0.20. Пусть С? произвольная группа, а Е банахово пространство. Пусть функции ф и 7 удовлетворяют условиям выше. Будел1 говорить, что отображение /: С —> Е является (ф^)-квазиквадратичным, если существуют неотрицательные айв такие, что.

44) \/(ху) + /(ху-1) — 2/(ж) — 2/(у) || < а + в [¦0(7(ж)) + ^Ш)] Ут, у? С.

Ясно, что множество всех (ф, 7)-квазиквадратичньтх отображений из С? в Е является вещественным линейным пространством относительно обычных операций. Обозначим его через Е). Подмножество К (?.фа{0 Е), состоящее из функций, удовлетворяющих дополнительному условию /(жп) = ?г2/(ж) для любых х? С? и п? п обозначим через РС}.фа (0', Е). А подмножество, состоящее из функций /, таких, что для каждой из которых существуют ах и в такие, что.

45) ||/(ж)|| <а1 + в1 ф{7(ж)) Уж? О.

Обозначим через Д/, 17(С?, Е). Через 0, Е) обозначим множество решений уравнения (43), где /: О —>¦ Е.

Определение 0.21. Будем говорить, что квадратичное уравнение является {Ф-> 7) устойчивым для пары (С, Е), если для любой функции f, удовлетворяющей соотношению.

Ifixy) + /(ж/у-1) — 2/(ж) — 2/(у)|| <а + в [ФЫх)) + ФЫу))] Уж, у? О найдется квадратичное отображение Н: 6? —> такое, что для некоторых а', 9' справедливо неравенство ж) — /г (ж)|| < о' + 9'ф (7(ж)) Уж? С.

Полагая 7 = с, получим определение устойчивости по Уламу. Поэтому все теоремы о (^^-устойчивости будут справедливы и в случае устойчивости по Уламу.

ТЕОРЕМА 0.22. Справеливо следующее разлооюение К<2Ф"(С, Е) = Е) е Е).

ТЕОРЕМА 0.23. Квадратичное уравнение (ф, 7)-устойчиво для пары {0,Е) в т, ом и только в том случае, когда справедливо равенство РС^^^С, Е) — (¿-(О, Е).

Дале Доказывается, что квадратичное уравнение является (ф, 7)-устойчивым на абелевых группах. Пусть К произвольное поле и К* его мультипликативная группа. Пусть UT{3, К) — группа унитреугольных 3×3 матриц, Т (2, К) — группа треугольных 2×2 матриц, Т (3,К) — группа треугольных 3×3 матриц. Доказывается, что квадратичное уравнение является (ф, 7)-устойчи вым на выше перечисленных группах.

1.1.4. Уравнение Дригаса. Мы рассмотрим следующую систему функциональных уравнений: f46) [ 1Ы + /tar1) — 2/(.т) — Ду) — /(у-1) = О,.

1 /(у-1®—1) + /(уаГ1) ~ У {х-1) — /(у) — /(у-1) = 0. для любых .г-, у G G. Здесь /: G —> M (множество вещественных чисел) неизвестная функция. Заменяя ж на ж-1 и у на у-1 во втором уравнении (46), получаем 7) f + /О^Г1) — 2/(z) — /(у) — /(у-1) = о,.

1 /Ы + /ОТ1®-) ~ 2/(ж) — /(у) — /(у" 1) = 0.

Таким образом система (46) эквивалентна системе (47). В диссертации изучается система (47) на группах.

Будем говорить, что система (47) устойчива, если для любого /, удовлетворяющего системе неравеств.

48) i {f{XV) + f{Xy l) ~ 2/(ж) «1{У) «/(У1)1 — S + в[Ф{Ф)) + МчМУ' IПух) + /(у-1®-) — 2/(ж) — /(у) — /(у-1)! < 5 + в[ф (ф)) + ФШ)] для некоторых неотрицательных чисел S и 0 существуют (р, решение (47) и неотрицательные числа 5i и в такие, что.

Дж) — ф) <51 + ехф{7(ж)), Уж G G.

Показано, что система (47) не является устойчивой в общем случае. Доказана ее устойчивость на алевых группах и на группе Т (3,К). Доказано, что всякая групп может быть вложена в такую группу, над которой система (47) является устойчивой.

1.1.5. Уравнение Уаигпхеда.

1.1.6. Полугруппы. В настоящем параграфе мы рассмотрим вопрос об устойчивости функционального уравнения (33) для пары (S, Е), когда S является полугруппой, а Е вещественным банаховым пространством.

Установлено, что, в общем случае, уравнение (33) не является устойчивым на полугруппе. Однако это уравнение (33) является устойчивым на периодических и абелевых полугруппах. Также установлено, что любая полугруппа с левым (правым) сокращением может быть вложена в полугруппу с левым (правым) сокращением над которой уравнение (33) является устойчивым.

1.1.7. Группы. Вопрос о (ф, 7)-устойчивости уравнения (33) рассматривался на группах. Доказана (ф, 7)-устойчивости этого уравнения на нильпотентньгх ступени два группах и на группе Т (3,К).

Применяемый метод позволяет изучать на устойчивость уравнения Уайтхеда на полугрупах (заметим, что методы в статьях [138], [86] и [65] позволяли изучать уравнение Уайтхеда только на векторных пространствах или абелевых группах). Полученные результаты обобщают результаты статей [138], [65] и [86].

1.1.8. Уравнение типа Иенсена.

49) /(ху) — Д-г-гГ1) = 2/(2/).

Рассматривается вопрос об устойчивости по Уламу на группах. Ранее вопрос об устойчивости этого уравненя рассматривался только когда областью определения функции / было нормированное пространство. В диссертации показано, что в общем случае уравнение (49) не является устойчивым. Доказано, что уравнение (49) является устойчивым на нильпотентных ступени два группах и на группах С?1/(п, С), БЬ (п, С) и Т (п, С), здесь С-множество коплексных чисел. Также уставливается, что всякая группа может быть вложена в группу, над которой уравнение (49) является устойчивым.

1.1.9. Обобщенное уравнение Коши. Пусть п Е N. Под обобщенным уравнением Коши на полугруппах будем понимать следующее уравнение.

50) /(®пу")~п/(®)-п/Ы = 0.

Рассматривается вопрос об устойчивости по Уламу на группах. Показано, что в общем случае то уравнение не является устойчивым. Доказано, что уравнение (50) является устойчивым на нильпотентных ступени два группах. Также уставливается, что всякая группа может быть вложена в группу, над которой уравнение (50) является устойчивым.

1.2. Глава 2. И человек, и измерительные приборы допускают ошибки. В связи с этим естественный математический интерес, связанный с объединением идей симметрии и близости, имеет и физический смысл, который можно описать следующим образом. Если у группы симметрии описания некоторой физической системы существуют квазииредставления, т. е. отображения в группу обратимых непрерывных линейных операторов в некотором топологическом векторном пространстве с равномерно малой разностью (скажем, не превосходящей точности измерений) между образом произведения и произведением образов, и если не существует «достаточно близких» обычных представлений группы симметрии в том же топологическом векторном пространстве, то интерпретация эксперимента может оказаться более сложной, чем в случае, когда близкое представление по тем или иным причинам заведомо существует, и это может потребовать тщательного различения истинных симметрии (связанных с «законами природы») и «квазисим-метрий» .

Но опыт надолго опередил понимание. Дедекинд, готовя к изданию тексты Римана в семидесятые годы XIX века, вычислил то, что теперь называется суммами или символом Дедекинда [73]. В 1932 г. Радемахер [174] придал результату другую форму и явно указал, что построенное им отображение Ф группы БЬ (2, Z) в группу целых чисел Z, равноценное символу Дедекинда, («символ Радемахера», участвующий в формуле для действия модулярной группы рта логарифм //-функции Дедекинда), почти аддитивно (а именно, выполняется неравенство |Ф (#1<72) — Ф (<7г) — Ф (<7г)| < 3, (]д2? ?>1/(2,). Отсутствие ненулевых аддитивных гомоморфизмов 5Х (2, Z) —> Z было уже общеизвестно, но явной реакции на открытие не последовало. С конца 30-х и начала 40-х годов Д. Хайерс и С. М. Улам и их последователи интересовались аддитивной задачейи получили ряд условий существования аддитивного отображения нормированных пространств, близкого к данному почти аддитивному отображению., В 1942 г. родственная задача об условиях близости к обычным матричным единицам приближенного решения уравнений в матрицах, выражающих соотношения между матричными единицами конечномерной алгебры матриц, рассматривалась фон Нейманом [165] (см. русский перевод в [29]), готовившим технические средства для изучения гиперфинитных факторов (влияние этой работы па последующие исследования в этом направлении обсуждается в комментариях А. М. Вершика [10] к книге [29]), а Д. Монтгомери и JI. Циппин [161] доказали теорему о тривиальности малых возмущений компактных подгрупп групп Ли. Положительные результаты в задачах Хайерса, Улама и фон Неймана привели к полному забвению результата Радемахера, но он был почти переоткрыт в 1972 г., когда Б. Э. Джонсон [132] построил отображение / свободной группы с двумя образующими i<2 в Е, родственное символу Радемахера (это видно из вычислений в [195] и [38]), удовлетворяющее условию ??(9192) ~ /(<7i) ~ 1Ы) < б, <71,02 G и не являющееся ограниченным возмущением обычного аддитивного гомоморфизма (а затем практически этот же контрпример был переоткрыт Р. Бруксом [64] в 1978 г. при занятиях ограниченными когомологиями), С другой стороны Ремтулла в 1968 году [175] строил подобные отображения для решения задачи о ширине вербальной подгруппы в свободном произведении групп, но алгебраический смысл таких отображений оставался неясным до 1983 г., когда Штерном было введено понятие псевдохарактера [39].

Оказалось, что некоторые группы имеют даже одномерные нетривиальные квазипредставления (причем ограничение такого отображения на любую амена- 1 больную подгруппу может быть представлением этой подгруппы). Исторически первыми (и простейшими) объектами этого рода были их одномерные вещественные аддитивные аналоги — псевдохарактеры. Напомним, что вещественная функция / на группе G называется (вещественным) квазихарактером на этой группе [36], [38], если числовое множество {/(#1#2) — /(.<7i) — /(02), 91,92 G G} ограничено, и квазихарактер / называется псевдохарактером на G, если /(х11) — 7if (x) для любых ж G G и п G Z. Понятие псевдохарактера (применявшееся с 1988' г. в ряде работ под названием однородного квазиморфизма [59],[60], [62],[55],[56]) оказалось весьма продуктивным в теории ограниченных когомологий [55], [56], [119]. [120], [155], [159], [160], [171], |196], [197], [198], [40], [199],, в теории групп диффеоморфизмов [99], [71], в симплектической геометрии [61],[85], [86],[78], [172], [173], [189], в комбинаторной теории групп (см. [119], [120],[159], [160],[40], а также работу [109]и в теории представлений групп [41],[42], [43], [200], и заслужило популярность, достаточную для отдельной пояснительной публикации в Notices of the Amer.math.soc. 148[. В семидесятые годы появились и первые работы, посвященны не обязательно одномерным объектам, которые теперь называются почти представлениями и квази представления ми (в зависимости от того, выполняется условие близости образа произведения и произведения образов элементов на множестве образующих или равномерно на всей группе). К. Грове, Г. Кархер и Э. Ру [113] доказали в 1974 г., что непрерывное отображение Т компактной топологической группы G в пространство ограниченных операторов в банаховом пространстве Е, удовлетворяющее условию ||T (gh) — T (g)T (h,)|| < е для всех g, h G G, является малым возмущением обычного непрерывного представления группы G и величина возмущения зависит от е (интересное приложение результата Грове, Карчера и Ри к строению компактных групп автоморфизмов n-мерных комплексных многообразий указано в [114]). В 1977 г. П. де ла Харп и М. Каруби [121] получили этот результат другим способом с более точной количественной оценкой. В 1982 г. появилась статья Д. Каждана [145], в которой был приведен вопрос, который Каждан приписал В. Мильмаиу: верно ли, что для любого (не обязательно непрерывного) отображения одной ортогональной группы в другую с равномерно малой разностью между образом произведения и произведением образов существует равномерно близкий обычный гомоморфизм? Автор рассматривал только случай непрерывных отображений и повторил результат Грове, Кархера и Ру [112]- в статье рассматривался также соответствующий вопрос для аменабельных групп, но, Каждан полагал, что применение инвариантного среднего к непрерывной функции двух переменных по одному из переменных дает непрерывную функцию одного переменного, что не так даже для почти периодических функций. (Как отмечено в [44], эта операция взятия среднего даже рте всегда переводит непрерывную функцию в борелев-скую.) Кроме того, метод де ла Гарпа и Каруои не допускал непосредственного распространения на аменабельный случай (за пределы праворавномерно непрерывных отображений), и задача о структуре квазипредставлений общих аменабельных локально компактных групп казалась очень трудной. Исключительно важную роль сыграла возможность перехода к языку групповых алгебр.

Еще в 1972 г. Б. Э. Джонсон [131] ввел аменабельные банаховы алгебры (банахова алгебра, А называется аменабелъной, если любое дифференцирование В из, А в дуальный банахов А-модуль X* имеет вид 0(а) = ах — ха для некоторого х из X*) и доказал, что локально компактная группа аменабелыга тогда и только тогда, когда ее групповая алгебра Ь1(С1) аменабельна [131], а в 198 687 гг. ввел «аппроксимативно мультипликативные» функционалы и отображения банаховых алгебр и, в частности, доказал, что для любого аппроксимативно мультипликативного отображения аменабельной банаховой алгебры в банахову алгебру, являющуюся дуальным банаховым пространством, существует близкий гомоморфизм ([132],[133], см. также [134], [135]). В частности, отсюда следует утверждение о существовании представлений, близких к данному почти представлению аменабельной локально компактной группы в сопряженном банаховом пространстве.

В теории отображений, близких к представлениям (почти представлений, аппроксимативных представлений, квазипредставлений, псевдопредставлений и т. д.) за последние 25−30- лет достигнуты значительные результаты и созданы технические приемы,-имеющие нетривиальные приложения в алгебре и топологии — от ограниченных когомологий до симплектической геометрии. Этот материал нелегко организовать.

Здесь мы отметим только один замечательный результат Штерна. А именно, в [45] им было дано полное (положительное) решение упомянутой выше задачи Мильмана-Каждана 1982 г. Им быдо доказано, что любое (не обязательно непрерывное) отображение одной ортогональной группы в другую, с равномерно малой разностью между образом произведения и произведением образов, равномерно близко к обычному (и тем самым непрерывному) гомоморфизму одной группы в другую (напомним, что для непрерывных отображений задача была положительно решена еще Грове, Кархером и Ру в 1974 г.).

1.3. Глава 3. Теория условных функциональных уравнений имеет давнюю и богатую историю. Мы здесь упомянем лишь несколько примеров условных уравнений связанных с уравнение Коши. В работе [78] (см. также [57], [75], [101]) авторы рассматривали условное функциональное уравнение Микусинского fix + у) ф 0 fix + у) = /(.т) + /(у). Каннаппан и Кучма решили в [143] уравнение fix + у) — afix) — bf (y) Ф 0 fix + у) = fix) + /(у). Гэр и Домбрес исследовали в [75] и [76] ж) + /Ы Ф 0 fix + у) = /(.г) + /(у). и я) + /(у) Ф О, /(.г + у) ^ 0 fix + у) = fix) + /(у).

Впервые альтернативное уравнени Коши, которое рассматривается в третьей главе диссертации, появилось в работе Гэра [103], посвященной более общему, чем все указанные выше уравнения, условному функциональному уравнению Коши. Всюду в диссертации под альтернативным уравнение Коши понимается следующее условное функциональное уравнение 1.

51) fix + у) ф fix) + /(у) + 1 fix + у) = fix) + /(у).

Ясно, что аддитивные функции являются решениями этого уравнения. В работе Гэра [103] приведен пример не аддитивного решения этого уравнения. Затем это уравнение изучалось в статьях [150], [169], [169], [93] [93]. Сначала уравнение (51) было решено на бесконечной циклической полугруппе, затем на бесконечной циклической группе, затем па абелевых группах инаконец, в 1987 году в статье Форти [89] дается решение этого на группах над которыми аддитивное уравнение Коши устойчиво.

На 44-м Международном симпозиуме по функциональным уравнениям профессор Гэр — один из ведущих специалистов в мире по функциональным уравнениям, обратил внимание на то, что с 1987 года нет существенных результатов в решении альтернативного уравнения Коши на группах и полугруппах. Затем им была поставлена задача о решении альтернативного уравнения Коши хотя бы над какой-нибудь группой или полугруппой, над которой уравение Коши не устойчиво. Известный итальянский математик профессор Форти на том же симпозиуме напомнил, что над свободной полугруппой ранга два уравнение Коши не является усточивым и поставил задачу: «Решить альтернативное уравнени Коши над свободной полугруппой ранга два» .

В третьей главе диссертации приводится пример простейшей полугруппы над которой аддитивное уравнение Коши не является устойчивым и пространство адд-тивных характеров которой равно нулю. Затем дается полное решение альтернативного уравнения Копш над этой полугруппой.

Далее в третье главе решается более общаяя задача, чем та которая поставлена Форти. А именно дается полное описание множества решений альтернативного уравнения Коши над свободными полугруппами произвольного ранга и более того над свободными произведениями произвольного множества полугрупп. Средства для решения этих задач созданы во второй главе диссертации.

1.4. Глава 4. Для вербальных подгрупп произвольной группы традиционно вызывают интерес вопросы вычисления ширины вербальных подгрупп и длины элементов относительно тех или иных подмножеств.

Пусть F свободная группа счетного ранга и V ее подмножество. Напомним, что вербальной подгруппой V (G) группы G относительно множества теоретико-групповых слов V называется подгруппа, порожденная множеством значений слов из V на группе G, т. е.

V (G) =< v (gug2,. ., g,(v)v EV, geG> см. [22] c.143). Шириной wid (G, V) вербальной подгруппы V (G) относительно множества слов V называется наименьшее т G nU+oo такое, что всякий элемент подгруппы V (G) записывается в виде произведения < т значений слов из У±г.

Термин «ширина» введен Ю. И. Мерзляковым (1967) в работе [27[ (см. также [[28], § 12]), хотя ширина вербальных подгрупп исследовалась и в более ранних работах. Так Шода (1936) изучал коммутаторную ширину группы SLn (F) для алгебраически замкнутого поля F. Ширина вербальных подгрупп исследовалась также в работах Г. Хигмана, Б. Нейман и X. Нейман (1949), Ито (1951), Ф. Холла (1959) и многих других авторов.

Наиболее общий результат о ширине вербальных подгрупп принадлежит Ю. PI. Мерзлякову [27]: всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G < GLn (Q), где Q — алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подполсм, имеет конечную ширину относительно любого слова v. В других работах выбирались конкретные группы G, слова v и давались оценки ширины wid (G, V).

Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = x~1y~lxy. Например, Томпсон [204[ доказал, что если F — поле, то wid (GLn (F), v) — 1, wid (SLn (F), v) < 2 при любом п > 2. Гоу [117] доказал, что ширина wid (5p27″) коммутанта симплектической группы не превосходит 2 при любом п > 1.

Ито [131] доказал, что при п > 5 всякий элемент из коммутанта симметрической группы Sn является коммутатором. Оре [168] обобщил этот результат на группу подстановок счетного множества. Отметим, что проблема вычисление ширины симметрической и знакопеременной группы, а также линейной группы над конечным полем представляет интерес для криптографии (см. [11]).

В [[2], лемма 1] показано, что ширина wid (G, V), вообще говоря, зависит от множества V, а не только от подгруппы V (G). Поэтому, говоря о наиболее употребительных вербальных подгруппах, мы будем иметь в виду ширину относительно их естественного задания, например, для коммутанта — относительно коммутатора [х, у] — х~1у~1ху, а для s-й степени — относительно слова Xs.

Некоторые авторы изучали вопрос о ширине вербальных подгрупп различных групповых конструкциях таких как свободное произведение с объединением, HNN-распшрение, расширение, сплетение и т. д.

В этом направлении Ремтулла [175[, [176] доказал, что 1) в нетривиальном свободном произведении А* В ширина всякой собственной вербальной подгруппы v (A * В) относительно слова v бесконечна тогда и только тогда, когда, А > 3 и.

В > 2;

2) коммутант любой конечно порожденной разрешимой группы ступени разрешимости < 3 имеет конечную ширину.

В [32] установлено, что ширина всякой вербальной подгруппы полициклической группы конечна. В работах X. С. Аламбергенова и В. А. Романькова [1], а также Акхаван-Малаери и Ремтуллы [49] найдена ширина коммутанта свободной нильпотентной группы. Е. Г. Смирнова [34] исследовала ширину вербальных подгрупп относительно слов хп, п? N в свободной двуступенно нильпотентной группе 2 ранга п. Она доказала, что \чс1(.Л/7112, х2к) = 2[п/2] + 1 при п > 2, к > 1 и wid (iVn!2,ж2fc+1) = 1 при всех натуральных п и к.

Обобщением понятия пшриньт вербальной подгруппы является понятие ширины группы относительно фиксированного множества порождающих. Если О — некоторая группа, порожденная множеством А, то всякий элемент д? С представим в виде.

52) д = а^ ¦ • • а? кк, щ? А, е{ = ±1.

Ясно, что такое представление не единственное. Длиной (или Л-длиной) 1л (д) элемента д относительно множества, А называется длина кратчайшего представления (1). Шириной группы (7 относительно множества порождающих, А называется ту1с1((т, у1) = вир 1А (д), т. е. наибольшая длина элемента, если такой элемент существует и А) = оо в противном случае.

Если мы рассмотрим свободную группу^ с конечным или счетным множеством порождающих X = х2, ¦ ¦ ¦ }, то длина произвольного элемента из Г относительно множества X находится довольно легко. Проблема вычисления длины относительно других множеств порождающих может оказаться нетривиальной задачей. Так Р. И. Григорчук и П. Ф. Курчанов [13] построили алгоритм, позволяющий вычислять длину 1у{д) произвольного элемента д? ^ относительно множества = {Г1х?/тег,/€Р, г = 1, 2, • • • }.

А. Ю. Ольшанский [167] установил связь проблемы вычисления длины в свободной группе с проблемой равенства слов. в некоторой группе. Пусть Рпсвободная группа степени п с множеством свободных порождающих Х1, х2: • • •, хп и Я — {г, г2,., гт} - некоторое множество слов из Рп. Введем множество = {Г1 А! kezj е г = 1,2, — -, т}.

Очевидно, группа < ?7 > совпадает с нормальным замыканием множества Я в группе Рп.

Если элемент д из Еп не лежит в группе < ^ >, то положим 12(д) = оо. А. Ю. Ольшанский доказал, что алгоритм вычисления Zдлины в группе Рп существует тогда и только тогда, когда в группе gr (a'l, хо, ¦ ¦ ., хп || гх, г — 2,., гт) разрешима проблема равенства.

Символом с1(д) будем обозначать коммутаторную длину неединичного элемента д из коммутанта С группы С, т. е. с1(д) = 1к (д) где К — множество коммутаторов в группе О. Вопрос о вычислении коммутаторной длины в произвольно!-! группе (7 сформулировал М. Громов [[120], р. 145]. В частности, он спрашивал: как связана с1(д) и с1(д1П) для натурального т и д? С .

По-видимому, первый алгоритм вычисления коммутаторной длины в свободной группе был построен Голдстейном и Тернером [108|. Затем Каллер [73] дал другой алгоритм вычисления коммутаторной длины, который может быть использован не только для свободных групп, по и для свободных произведений. Кроме того, он установил, что если, а и Ъ — свободные порождающие свободной группы^2, то для всякого натурального гпт справедливо равенство с1([а, Ь]т) = [т/2] 4- 1. Еще один алгоритм вычисления коммутаторной длины можно извлечь из работы.

А. Ю. Ольшанского [30]. Все эти алгоритмы, в той или иной степени, используют геометрические соображения: графы в работе [107], диаграммы на ориентируемых поверхностях в работах [72] и [30]. Бардаков В. Г. в [7] построил алгебраический алгоритм вычисления коммутаторной длины произвольного элемента V Е Р', где Рсвободная неабелева группа.

Из других результатов отметим сле/1ующие. Шютценберже установил, что если г ^ еига > 1, то с1(гт) > 1. Отвечая на вопрос Эдмундсаи Розенбергера, в работе [71] установлено, что при т > 3 для всякого иеединичного г? Е' справедливо неравенство с1(гт) > 2. В этой же работе описаны все элементы, имеющие коммутаторную длину 2, а в работе А. Вдовиной [208] построен алгоритм, позволяющий находить слова заданной коммутаторной длины. Дункан и Хоуе [79] установили неравенство с1(гт) > (т + 1)/2.

Некоторые авторы изучали вербальные подгруппы в группе кос. Группа кос Вп была введена Э. Артином в 1925 г. Группа Вп задается множеством порождающих сгх, сг2,., сг711 и определяется соотношениями.

7гсгг-+1егг = -сгг-+1<�т^+1, г = 1,2, • • •, п — 2, (Гц7 $ = (Jjcr?, г — /- | >2.

Группа Вп широко используется в теории узлов, так как проблема классификации узлов сводится (по теореме А. А. Маркова) к ряду алгебраических проблем, связанных с группами Вп. Г. С. Макании сформулировал следующий вопрос:* «Построить косу, принадлежащую коммутанту группы кос и не являющуюся коммутатором» (см. [17, вопрос 6.22]). Ю. С. Семенов [33] указал в элемент, равный произведению двух коммутаторов и не сводящийся к одному коммутатору: Н. Н. Репин [31] показал, что относительно слова [х, у] коммутанты групп В3 и имеют бесконечную ширину, а затем В. Г. Дурнев и В. К. Шалашов [18] установили, что и любая собственная вербальная подгруппа этих групп, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину. Их доказательство основано на том, что группы и В4 допускают гомоморфизм на свободное произведение * а всякая собственная вербальная подгруппа свободного произведения, А * В, > 2, В > 3, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину. При п > 5 гомоморфизма группы Вп на такое свободное произведение не существует [17], поэтому необходимы существенно иные соображения. В полном объеме задача о ширине вербальной подгруппы в группах кос была решена Бардаковым в [2]. Им было доказано, что для любого п > 3 ширина собственной вербальной подгруппы, определенной конечным множеством слов, бесконечна.

Одним из обобщений группы кос являются группы Артина. В работе [4] утановлено, что многие группы Артина не имеют собственных вербальных подгрупп конечной ширины. Ранее это было известно только для коммутанта группы /г (р) при нечетном р относительно коммутатора [15]. В 2002 году В. Н. Безверхний и И. В. Добрыпина [9] получили аналогичные для двупорождепных групп Артина.

В работе [8] изучалась группа сопрягающих автоморфизмов. В частности было доказано, что всякая вербальная подгруппа группы сопрягающих автоморфизмов С&2,п > 2, определенная конечным собственным множеством слов V, имеет бесконечную ширину.

Хорошо известно (см. например, [[22], с. 25]), что всякая матрица из общей линейной группы ОЬп (Р) над полем Е представима в виде произведения элементарных трансвекций и диагональной матрицы, причем из самого доказательства легко вытекает оценка числа элементарных траисвекций, требующихся для такого разложения. Это число зависит только от п и не зависит от самой матрицы.

Много работ посвящено вычислению ширины линейных групп относительно различных множеств порождающих. Перечислим некоторые из них. Картер и Келлер [69] доказали, что ширина группы ЗЬп{0), где О — кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных тран-свекций, конечна. В работе С. И. Адяна и Меннике [34] дано более простое ч доказательство этого факта для случая, когда О — кольцо целых рациональных чисел Z. К. X. Закирьяпов |19| установил конечность ширины симплектической группы п > 3, относительно множества элементарных матриц. Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом О получил О. Н. Тавгень [35]. С другой стороны, ван дер Каллен [142] доказал, что если Р — поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым поднолем, то группа БЬп (Р[х]) при п > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций.

В работе [76] было установлено, что ширина группы БЬп (Е), относительно множества коммутаторов не превосходит 10 при всех п > 3. (Известно, что при п = 2 эта ширина бесконечна). Тем самым улучшена оценка М. Ньюмена [163]: ширина группы не превосходит с1п (г?) + 40, где с = 21п (3/2).

Далее будем считать, что V — конечное, собственное (т. е. вербальная подгруппа У (Р) нетривиальна и отлична от всей группы 7*1) множество слов. Ширина вербальных подгрупп свободных произведений с объединением исследовалась в работах Р. И. Григорчука [12], И. В. Добрыниной |16]. Р. И. Григорчук [12], используя связь между второй группой ограниченных когомологий (? = Щ, г (^) группы? и шириной коммутаторных вербальных подгрупп группы он получил частичный ответ на вопрос из препринта |5], а точнее, доказал, что если группа (9 = А *н В удовлетворяет условиям из предыдущего абзаца, а Укоммутаторное множество слов, то ширина \чс1(С?, V) бесконечна. Кроме того Р. И. Григорчук изучал ширину вербальных подгрупп НЫГ^-расширений относительно коммутаторного множества слов. В. Г. Бардаковым в [5] рассматривался вопрос о ширине вербальной подгруппы 1ШМ-расширений. Им была доказана следующая теорема.

Теорема 0.24. Пусть группа С? является НИИ-расширением группы П со связанными подгруппами собственными подгруппами, А и В. Тогда в = ^(Я, = Б, (р).

Тогда для всякого конечного собственного ¿-множества слов V ширина вербальной подгруппы V© бесконечна.

В четвертой главе диссертации вводится понятие (¿—гомоморфизма группы (5 в полугруппу Б с инволюцией и снабженную метрикой (/(.,.). Затем, используя существование таких (¿—гомоморфизмов, общим способом доказываются Теорема 0.24 и следующая теорема.

Теорема 0.25. Пусть группа О является свободным произведением групп, А и В с объеданегтой подгруппой Н, причель, А ^ Н, а число двойных смеоюных классов В по II не меньше трех. Тогда для всякого конечного собственного миоэ1ссства слов V ширина вербальной подгруппы У© бесконечна.

Также устанавливается бесконечность ширины вербальной подгруппы на одном классе полупрямых произведений групп с инвариантным множителем разложимым в свбодное произведение двух групп. Теорема 0.25 обобщает результаты работ Р. И. Григорчука [12], И. В. Добрыниной [16[ и Ремтуллы [175].

В статьях [53, 54] было введено понятие полиндромических элементов в свободных произведениях групп, обобщающее соответствующее понятие для свободных групп. Напомним, что в свободном произведении G = А * В элемент д называется полиндромическим, если для представляющего этот элемент несократимого слова v = aibi. an-ibn-ian выполняется равенство.

53) aibi. a"i6nian = an6"iarai. bLaь.

Была доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 0.26. Пусть, А и В неединичные группы и порядок хотя бы одной из них больше двух. Тогда ширина миооюества полиндромических слов в G бесконечна.

В четвертой главе диссертации этот результат обобщается следующим образом. Пусть группа G является либо свободным произведение с объединением G — А^н В, причем Н собственная подгруппа в, А и В и число двойных смежных классо В по Н больше двух, либо HNN-расширением G =< D, t~xAt = В, а >, причем, А и В собственные подгруппы в D.

Определение 0.27. Элемент g 6 G назовем полиндромическиль, если или.

1. g? A U В в случае свободного произведения с объединением, g € D — в случае HNN-расширения, или.

2. среди всех редуцированных форм, представляющих g имеется токая cic2 • • • сПчто слово сп ¦ ¦ • С2С1 такоюе редуцировано и cic2 • • • Сп = Сп ¦ ¦ • C2Ci.

G.

Теорема 0.28. Множество полиндромических слов имеет бесконечную ширину в G.

Для случая п — 2 обобщается упомянутый выше результат Каллена [142], а именно утапавливается, что для любого поля К ширина множества элементарных трасвекций в группе SL (2,K[x]) бесконечна.

Автор выражает искреннюю благодарность А. И. Штерну, под чьим руководством он начал заниматься вопросами, рассматриваемыми в этой диссертации.

1. Аламбергепов Х. С., Романьков В. А. О произведении коммутаторов в группах, Деп в ВИНИТИ, 1985, П.4566-В85.

2. Бардаков В. Г. К теории групп кос, Матем. сб., 183, #1(1992), 3−42.

3. Бардаков В. Г. О разложении автоморфизмов свободных модулей на простые множители, Известия РАН, серия математическая, 59, #1(1995), 109−128.

4. Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Лртина, Групповые и метрические свойства отображений: Сборник работ, посвященных памяти Ю. И. Мерзлякова, НГУ, Новосибирск, 1995, 8−18.

5. Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Н NNрасширений, Препринт Института математики СО РАН, Новосибирск, 1995, 25с.

6. Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций, Алгебра и логика, 36, #5(1997), 494−517.

7. Бардаков В. Г. Вычисление коммутаторной длины в свободных группах, Алгебра и логика. 39, #4(2000), 379−424.

8. Бардаков В. Г. Строение группы сопрягающих автоморфизмов, Алгебра и логика, 42, #5(2003), 515−541.

9. Безверхний B.H., Добрынина И. В. Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образующими, Чебышевский сборник, Тула, 3, #1(2002), 11−16.

10. А. М. Вершик, Комментарии к русскому переводу, Дж. фон Нейман, Избранные труды по функциональному анализу, т.1, Наука, М., 1987, 372−374.

11. Глухоi>, М.М., Зубов А. Ю. О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих, Матем. вопросы киберн., 8, #1(1999), 5−32.

12. Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций, Матем. заметки, 59,#4(1996), 546−550.

13. Григорчук Р. И., Курчанов П'.Ф. О ширине элементов в свободных группах, Укр.матем.журн., 43, #7−8(1991), 911−918.

14. Григорчук Р. И. Весовые функции на группах и критерий аменабельности Матем. заметки, 60, 3(1996), 383−395.

15. Гринблат В. А. О коммутаторных уравнениях в группх Артина конечного типа. Международ.конф.по алгебра: Тез. доклю по теории групп, Новосибирск, (1989), 37.

16. Добрынина И. В. О ширине свободных произведений с объединашем, Матем. заметки, 68, #3(2000), 353−359.

17. Дурнев В. Г. О ширине коммутанта группы кос Вз и В4, Деп. в ВИНИТИ, 1987, #4040-В87.

18. Дурнев В. Г., Шалашов В. К. О ширине коммутанта группы кос В3 и В4, 19-я Всесоюзн.алгебр.конф.Львов, 1987, 89.

19. Закирьянов К. Х. Конечность ширины сгшплектической группы над колъца.'ш алгебраических чисел относительно элементарных матриц, Алгебра и логика, #6(1985), 667−673.

20. Н. Иванов, Основы теории ограниченных когомологий, Записки научных семинаров Лениградского отдлеленшГ Математического института им. В. А. Стеклова, АНСССР, 143 (1985), 69−109.

21. Н. Иванов, Вторая группа ограниченных когомологий, Записки научных семинаров Лениградского отдлеления 'Математического института им. В. А. Стеклова, АНСССР, 167 (1988), 117−120.

22. Карганолов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, 4-е изд., M., Наука, 1996.

23. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002.

24. Линдон Р., Шупп П. 'Комбинаторная теория групп ', М.: Мир, 1980.

25. Магрус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп, М., Наука, 1974.

26. Масси У., Столлингс Дж. 'Алгебраическая топология ', М.: Мир, 1977.

27. Мерзляков Ю. И. Алгебраические линейные группы как полные группы автомофизмов и замкнутость их вербальных подгрупп, Алгебра и логика, G, if 1(1967), 83−94.

28. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы, 2-е изд. М., Наука, 1987.

29. Дж. фон Нейман, Избранные труды по функциональному анализу, т.1, Наука, М., 1987.

30. Ольшанский А. Ю. Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей, Сиб.матем.журнал, 30, # 6(1989), 150−171.

31. Репин Н. Н. О коммутаторных уравнениях в группах В3 и, Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1986, 114−117.

32. Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп, Алгебра и логика, 21, #1, (1982), 60−72 Тула, 1986, 114−117.

33. Семенов IO.C. О коммутаторах в группах кос, 10-й Всесоюзн. симп. по теории групп. Минск, 1986, 207.

34. Смирнова Е. Г. Шгфина степени свободной нильпотентной группы ступени два, Сиб. матем.журн., 41, #1, (2000), 206−213.

35. Тавгень О. Н. Ограниченная поромсдаемость групп Шевале над кольцами S-целых алгебраических чисел, Известия АН СССР, Серия математическая, 54, #1, (1990), 97−122.

36. Л. И. Штерн, Квазипредставления и псевдопредставления, Функц. анализ и его прилож. 25, 2(1991), 70−71.

37. А. И. Штерн, Об операторах в пространстве Фреше, подобных изометриям, Вестн.МГУ. сер.1. Матем., мех., 1991, 4,-б7−70.

38. А. И. Штерн, псевдохарактер, определенный символом Радемахера, УМН, т.45, 3(1990), 197— 198.

39. А. И. Штерн, Устойчивость представлений и псевдохарактеры, Ломоносовские чтения, МГУ, М., 1983.

40. А. И. Штерн, Структурные свойства и ограниченные вещественные непрерывные 2-когомологии локально компактных групп. Функц. анализ и его прилож. 356 4(2001), 67−80.

41. А. И. Штерн, Деформация неприводимых унитарных представлений дискретной серии эрмитово симметрических простых групп Ли в классе чистых псевдопредставлений, Матем. заметки, 75, 3(2003), 478−480.

42. А. И. Штерн, Структурные свойства и ограниченные вещественные непрерывные 2-когомологии локально компактных, групп, Функц. анализ и его прилож. 356 4(2001), 67−80.

43. А. И. Штерн, Проективные представления и чистые псевдопредставления эрмитово симметрических простых групп Ли, Матем. заметки, 78, 1(2005), 140−146.

44. A.I.Shtern, Цроблелш Каэкд’ана-Милъмана для полупростых компактных группа Ли, Успехи Мат. Наук 62, 1(2007), 123−190.

45. Aczel, J. and Dhombres J. Functional Equations in Several Variables., Cambredge University Press, Cambredge. 1989, v. 31.

46. J. Aczel, J. K. Jung and C. T. Ng, Symmetric second differences in product form on groups, In Topics in Mathematical Analysis, Tli. M. Rassias (ed), 1989, 1−22.

47. Adjan, S.I., and Mennicke, Jens lOn bounded generation of SLfn. Z)', Internat. J. Algebra Compnt. (4) 2 (1992), 357−355.

48. Akliavan-Malayeri M., Rhemtulla A. ' Commutlator length of Abelian-by-nilpotent groups'', Glasg. Math.J., 40 1 (1998), 117−121.

49. R. Baer, Facrorization of n-soluble and n-nilpotent groups, Proc. Amer. Math. Soc. 45 (1953), 15−26.

50. Baker, .7., Lawrence, L., Zorzitto, F. The stability of the equation f (x + y) = f (x) ¦ f (y), Proc. Amer. Math. Soc. 1979, 74, no. 2, p 242−246.

51. Baker, J. The stability of the cosine equation, Proc. Amer. Math. Soc. 1980, 80, no. 3, p 411−416.

52. Bardakov V., Shpilrian V., Tolstykh, V. On the palindromic and primitive width of a free groups, J. Algebra 285 (2005), no. 2, 574−585.

53. Bardakov V., Tolstykh, V. The palindromic width of a free product of groups. J. Anst. Math. Soc. 81 (2006), no. 2, 199−208.

54. J. Barge, E Chys, Surfaces et cohomologie bouree, Invent, Math., 92, 3 (1988), 509−526.

55. J. Barge, E Chys, Cocycles d’Euler et de Maslov, Math.Ann., 294, 2 (1992), 235−265.

56. K. Baron, R. Ger On Mikusinski-Pexider functional equation, Colloq.Math., 28(1973), 307−312.

57. C. Bavard Longueur stable des commutateurs, Enseign. Math (2), 37, 1−2(1991), 109−150.

58. G. Besson Sur la cohomologie bornee,, Seminaire sur la cohomologie bornee, Ecole Norrn.Sup.Lyon, Roport, Fevrier 1988.60. P. Biran, M. Entov, L. Polterovich, Calabi quasimorphism for the symplectic bail, Commun.Contemp.Math., G, 5(2004), 793−802.

59. A. Bouarich Suites exactes en cohomologie bornee, reelee des groupes discrets, C.R.Acad, Sei, Paris Ser, I Math., 320, 11(1995), 1355−1359.

60. D.G.Bourgin, Classes of trans format ions and bordering transformation, Bull. Amer. Math. Soc. 57(1951), 223−237.

61. R. Brooks, Some remarks on bouded cohoinology, Riemann surfaces and related topics, Proceedings of the 1978 Stony Brook conference" (State Univ. New Yourk, Stony Brook, NY, 1978), Ann. of math. Stud,. 97, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1981, 53 63.

62. R. Brooks and C. Series, Bounded cohomology for surface groups, Topology, 23 (1984), 29−36.

63. I.-S. Chang aud H.-M. Kim, Hyers-Ulam-Rassias stability of a quadratic functional equation, Kyungpook Math. J. 42 (2002), 71−86.

64. P.W.Clioleva, Remarks on the stability of functional equations, Aequationcs Math., 27 (1984), 7686.

65. ST. Czerwik, On the stability of the quadratic mapping in norrned spaces, Abh. Math. Sem. Univ Hamburg, 62 (1992), 59−64.

66. Carter D and Keller C. 1 Bounded elementary generation of SLn (0) Amer.J.Math., 103, 3 (1983), 673−687.

67. J. K. Chung, B. R. Ebanks, C. T. Ng and P. K. Sahoo, On a quadratic-trigonometric functional equation and some applications, Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), 1131−1161.70. E Chys, Groups acting on circle, Eiseing.Math.(2), 47, 3−4(2001), 329−407.

68. Corneford J.A., Comoford L.P., Jr. and Edmunds C.C. 'Powers as product of commutators', Communications in algebra, 19, «2 (1991), — 675−684.

69. Culler M. ' Using surfaces to solve equations in free groupsTopology, 20, 2 (1981), 133−145.

70. R. Dedekind, Erlauterungen zu den Fragmenten XXVIII, B. Riemaim, Collected works (Gesammelte mahtematishe Worke und wissenshaftlicher Nahla?), Dover, new York, NY, 1953, 466−478.

71. H. Drygas, Quasi-inner products and their applications, In: Advances in Multivariate Statistical Analysis (ed. A. K. Gupta), Reidel Publ. Co., 1987, pp. 13−30.

72. J. Dhombres, R. Ger Equations de Cauchy conditionnelles, C.R.Acad.Sci.Paris, 208(1975), 513−515.

73. J. Dhombres, R. Gcr, Conditional Cauchy equations, Glasnki Mat.

74. D. McDuff Asurvey of the topological properties of symlectomorphism groups, Topology, geomer-ty and quantum field theory, London Math.Soc. lecture Note Ser., 308, Cambredge Univ. Press, Cambridge, 2004, 173−193.

75. L. Dubikajtis, C. Ference, R. Ger, M. Kuczma On Mikusinski’s functional equation, Ann.Polon.Math., 28(1973), 39−47.

76. Duncan A.J. and Howie J. lThe genious problem for one-relator products of locally indicable groups', Math.Z., 208, 2 (1991), 225−237.

77. H. Drljevic, On the stability of the functional quadratic on A-orthogonal vectors, Publ. Inst. Math.(Beograd) (N.S.), 36(50) (1984), 111−118.

78. B. R. Ebanks, PL. Kannappan and P. K. Sahoo, A common generalization of functional equations characterizing normed and quasi-inner-product spaces, Canad. Math. Bull. 35 (1992), 321−327.

79. Ellers, Erich W. 'Products of transvections in one conjuqacy class in the symplectic group ouer GF (3) Linear Algebra Appl. 202 1994, 1−23.

80. E. W. Ellers, Products of transvections in one conjugacy class in the symplectic group over GF (3), Linear Algebra Appl. 202 (1994), 1−23.

81. M. Entov, Commetator length of simplectomorphisms, Comment.Math.Helv., 79, 1(2004), 58−104.

82. M. Entov, L. Polterovich, Calabi quasimorphism and quantum homology, Int.Math.Res.Not. 30, (2003), 1635−161 676.

83. W. Fechner, On the Hyers-Ulam stability of functional equations connected with additive and quadratic mappings, J. Math. Anal. Appl. 322 (2006), 774−786.

84. I. Fenyo, Osservazioni su alcuni teoremi di D.H.Hyers, Istit. Loinbardo Accad. Sci. Lett. Rend., A 114 (1980), (1982), 235−242.

85. R. Fisclier, Gy. Muszely, On some new generalizations of the functional equation of Cauchy, Canad.Math.Bull. 10(1967), 197−205.

86. G. L. Forti, Remark 11 In: Report of the 22nd Internat. Symp. on Functional Equations, Aequa-tiones Math. 29 (1985), 90−91.

87. Forti, G. L. The stability of homomorphisms and amenability, Abh. Vath. Sem. Univ. Hamburg 1987, 57,215−226.

88. Forti, G. L. Sulla stabilitd degli omomorfismi e sue applocazioni aile equazilni funczionali, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 1988, 58, p 9−25(1990).

89. Forti, G.L. Hyers-Ulam stability of functional equations in several variables, Aequationes Math. 50, (1995), p 143−190.

90. G.L. Forti On an alternative functional equation related to the Cauchy equation, Aequationes Math., 24(1982), 195−206.

91. G.L. Forti, L. Paganoni A method of solving a conditional Cauchy equation on abelian groups, Ai.n. Mat. Pura Appl. IV, 127(1981), 79−99.

92. K. Fujiwara, The second bounded cohornology of an amalgamated free product of groups, Trans. Amer. Math. Soc. 3 (2000), 1113−1129.

93. Z. Gajda, On stability of additive mappings, Internat. J. Math. &- Math. Sci. 1991, 14, pp. 431−434.

94. J. A. Gallian and M. Reid, Abelian Forcing sets, Amer. Math. Monthly, 100 (1993), 580−582.

95. J.-M.Gambaudo, E Chys, Commutators and diffeomorphisms of surfaces, Ergodie Theory Dy-nam.Systems, 24, 5 (2004), 1591−1617.

96. P. Gavruta, An answer to a question of John M. Rassias concerning the stability of Cauchy equation. In: Advances in Equations and nequalities, Hadronic Math. Series, U.S.A., 1999, 67−71.

97. P. Gavruta, A generalization of the Hyers-Ulam-Rassias stability of approximately additive mappings, J. Math. Anal. Appl. 184 (1994), 169−176.

98. R. Ger, Functional inequalities stemming from stability questions, In: General Inequalities 6 (ed. W. Walter), Birkhauser, Basel, 1992, pp. 227−240.

99. R. Ger, 0? i some functional equations with a restricted domain, Fund.Math., 89(1975), 131−149.

100. R. Ger, On an alternative functional equation, Aequationes Math.

101. R. Ger, On a method of solving of conditional Cauchy equations, Univ.Beograd.Publ.Elektrotehn.Fak.Ser.Mat.Fiz., no.544−576(1976), 159−165.

102. E. Ghys, Groupes d’homeomorphisms du cercle et cohomologie bornee, In: The Lefschetz centennial conference, part III (Mexico City 1984), Contemporary Math., 58, III, Amer. Math. Soc. (1987), 81−105.

103. Griffiths, H.B.

104. M. Gromov, Volume and bounded cohornology, Publ. Math. IHES, 56 (1982), 5−100.

105. Gromov M. lHyperbolic groups', in: Essay in Group Theory, Ed S.M.Gersten, Math.Sci.Res.Iust.Publ. 8, Springer, New-York, 1987, 75−263.

106. Gromov M. 'Asymptotic invariants of infinite groups', London Nath.Soc.Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, 1993.

107. K. Grove, H.Karclier.j E.A.Ruh Jacobi fields and Finsler metrics on compact Lie groups with an applicatioii to differentiable pinching problems, Math.Ann., 211, 1(1974), 7−21.

108. D. Ma, Upper semicontinuity ofisotropy and automorphism groups, Math.Ann., 292, 3(1992), 533 545.

109. P. de la Harpe, M. Karoubi, Representations approchees d’un groupe clans une algegre de Banach, Mauuscripta Math., 22, 3(1971), 293−310.

110. P.M. Gruber, Stability of Isometrics, Trans.Amer. Math. Soc., U.S.A., 245 (1978), 263−277.

111. Gow R. 'Commutators in the symplectic groups', Arch.Math., 50, 3 (1988), 204−209.

112. M. Hosszu 'A remark on the square-norm', Aequationes Math., 2(1963), 190−193.

113. M. Gromov, Volume and boutded cohomology, Publ.Math.Inst.Hautes Etudes Sci., 56, (1982), 5−163.

114. Hyers, D.H. On the stability of the linear functional equation, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1941, 27, no. 2, p 222−224.

115. Hyers, D.H., Ulam, S.M. On approximate isometry, Bull. Amer. Math. Soc. 1945, 51, p 228−292.

116. Hyers, D.H., Ulam, S.M. Approximate isometry on the space of continuous functions, Ann. of Math. 1947, 48, no. 2, p 205−209.

117. Hyers, D.H. The stability of ho? nomorphisms and related topics, In: Global Analysis Analysis on Manifolds (Th.M.Rassias, eds.) Teubner, Leipzig 1983, p 431−434.

118. Donald H. Hyers, and Themistocles M. Rassias Approximate homomorphisms, Aequationes Mathematicae 1992, 44, p 125−153.

119. D.H. Hyers, G. Isac and Th. M. Rassias Topics in Nonlinear Analysis and Applications, World Scientific Publ.Co, 1997.

120. D.H. Hyers, G. Isac and Th. M. Rassias Stability of Functional Equations in Several Variables, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin, 1998.

121. G. Isac, and Th. M. Rassias On the Hyers Ulam stability of i/>-additive mappings, Journal of Approximation Theory 1993, 72, p 131−137.

122. G. Isac, and Th. M. Rassias Stability of tp-additive mappings: Applications, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 1996, 19, p 219−228.

123. Ito N.A. 'A theorem of alternating group An, (n > 5/, Math. Japan,. 2, 2, 1951, 59−60.

124. B.E. Johnson, Cohomology in Banach algebras, Mem.Amer.Math.Soc. 127, Amer.Math.Soc., Providence, RI, 1972.

125. B.E. Johnson Approximately multiplicative functional, J. London Math.Soc. (2), 34, 3(1986), 489−510.

126. B.E. Johnson perturbations of multiplication and homomorphisms, Deformation theory of algebras and structures and applications (II Ciocco, 1986), NATO adv.Sci.Inst.Ser.C Math.phys.Sci., 247, Kluwer Acad. Puble., Dordrecht, 1988, 565−579.

127. B.E. Johnson, Approximate diagonals and cohomology of certain annihilator Banach algebras, Amer.J. Math.Soc., 94(1986), 685−698.

128. B.E. Johnson, Derivations from L1 (G) into Ll (G) and L°°, Harmonic analysis (Luxemburg, 1987), Lecture Notes in Math., 1359, Springer, Berlin, 1988, 56*5- 579.

129. G. Baumslag, Wreath product and p-groups, Proc. Camb. Phil. Soc. 55 (1959), 224−231.

130. P. Jordan, J. von Neumann On inner products in linear metric spaces, Proc. London Math. Soc., 36(1935), 719−726.

131. S.-M. Jung, On the Hyers-Ulam stability of the functional equations that have the quadratic property, J. Math. Anal. Appl. 222 (1998), 126−137.

132. S.-M. Jung, Stability of the quadratic equation of Pexider type, Abh. Math. Sern. Univ. Hamburg 70 (2000), 175−190.

133. S.-M. Jung and P.K. Sahoo, Stability of a functional equation of Drygas, Aequationes Math. 64 (2002), 263−273.

134. S. M. Jung Hyers-Ulam-Rassias Stability of Jensen’s equation and its application, Proc. Anier. Math. Soc. 126, no.11 (1998),-3137−3143.142. van der Kallen W. lSL^(Cx) does not have bounded word length'', Lect. Notes, 366, 1982, 357 361.

135. PI. Kannappan, Quadratic functional equation and inner product spaces, Results Math. 27 (1995), 368−372.

136. PL. Kannappan, M. Kuczma On a functional equation related to the Cauchy equation, Ann.PoIon.Math., 30(1974), 49−55.

137. Kazlidan, D. Oji e-representations, Israel J. Math. 1982, 43, no. 4, p 315−323.

138. G.-H. Kim, On the stability of the quadratic mapping in normed spaces, Internat. J. Math. & Math. Sci. 25 (2001), 217−229.

139. Z. Kominek, On a local stability of the Jensen functional equation, Demonstratio Math. 22 (1989), 199−507.

140. D. Kotschik, What is. a quasi-morphism?, Notices Amer.Math.Soc., 51,2(2004), 208−209.

141. S. Kurepa 1 Quadratic and sesquilinear Junctionals'', Glasnik Mat.-Fiz. Astr., 20(1965), 79−93.

142. M. Kuczma, Functional equations on restricted domains, Aequationes Math. 18(1978), 1−34.

143. M. Laczkovich, The local stability of convexity, affinity and the Jensen equation, Aequationes Math. 58 (1999), 135−142.

144. Y. Lee and K. Jun, A Generalization of the Hyers-Ulam-Rassias Stability of Jensen’s equation, J. Math. Anal. Appl. 238 (1999), 305−315.

145. F. Levi, Notes on group theory, I, VII, J. Indian Math. Soc. 8 (1944), 1−7 and 9 (1945), 37−42.

146. Y. Li, The hyperccntre and the n-centre of the unit group of an integral group ring, Can. J. Math. 50 (1998), 401−411.

147. J.F.Maiming, Geometry of pseudocharacters, Geom. Topol., 9()2005), 1147−1185.

148. S. Matsumoto, Numerical invariants for semiconjugacy of homeomorphisms, Proc. of the AMS, 98 (1986), 163−165.

149. S. Matsumoto and S. Morita, Bounded cohomology of certain groups of homeomorphisms, Proc. Amer. Math. Soc., 94 (1985), 539−544.

150. Y. Mitsumatsu, Bounded cohomology and il-homology of surfaces, Topology, 24, #4 (1984), 465−471.

151. N. Monod, Continuous bounded cohomology of locall compact groups, Lecture Notes in Math., 1758, Springer-Verlag, Berlin, 2001.

152. N. Monod, B. Remy, Boundedly generated groups with pseudocharacter (s), Appendix to J.F.Manning, «Quasi-actions on trees and property (QFA)» J. London Math.Soc.(2), 73, 1(2006), 104−108.

153. D. Montgomery, L. Zippin, A theorem on Lie groups, Bull.Amer.Math.Soc. 48(1942), 448−452.

154. H. Nagao lOn GL (2,Kx.)', J.Poly. Osaka Univ., 10(1959), 117−121.

155. Newman M. 1Unimodular commutators', Proc.Amer.Math.Soc., 101, 4(1987), 605−609.

156. В. H. Neumann Adjunction of elements to groups, J. London Math. Soc. 18(1943), 12−20.

157. J. von Neumann, Approximative properties of matrices of high finite order, Port.Math., 3(1942), 162- рус.пср.: «Аппроксимативные свойства матриц высокого конечного порядка», Избранные труды по функциональному анализу, т.1, Наука, М., 1987, 277−328.

158. С. Т. Ng, Jensen’s functional equation on groups, Aequationes Math. 39 (1999), 85−99.

159. Ol’shanskii A.Yu. 'On calculation of width in free groups', London Math.Soc.Lecture Note Series, 204, Cambridge University Press, 1995, 255−258.

160. Ore S. 'Some remarks on commutators', Proc.Amer.Math.Soc., 2, (1951), 307−314.

161. L. Paganoni Soluzione di una equaxione finxionale su dominio ristretto, Boll.Un. Mat.Ital.(5), 17-B (1980) 979−993.

162. L. Paganoni On an alternative Cauchy equation, Aequationes Math., 29(1985), 214−221.

163. J.-C.Picaud, Cohomologie bornee des surfaces et courants geodesiques, Bull.Soc.Math.France, 125, 1(1997), 115−142.

164. L. Polterovich, Z. Rudnik Stable mixing for cat maps and quasi-morphisms of the modular group, Ergodic Theory Dinamic Systems, 24, 2(2004), 609−619.

165. P. Py Quasimorphisms et invariant de Calabi, Ann.Sci. Ecole Norm.Sup.(4), 39,1()2006,177−195.

166. H. Radeinacher, Zur Theorie der Modulfunktionen, J. Reine Angew. math, 167(1932), 312−336.

167. Rhemtulla A.H. 'A problem of bounded expressibility in free products', Proc. Cambridge PHil.Soc., 64, 3 (1969), 573−584.

168. Rhemtulla A.H. 'Commutators of certain finitely generated solvable groups', Canad. J.Math., 21, 5 (1969), 1160−1164.

169. Th. M. Rassias On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 1978, 72, p 297−300.

170. Th. M. Rassias and J. Tabor eds. Stability of Mappings of Hyers-Ulam Type, Hadronic Press Inc., Florida 1994.

171. Th. M. Rassias, Problem 16, in: Report of the 27th Internat. Symp. on Functional Equations, Aequationes Math. 1990, 39, p. 309.

172. Th. M. Rassias, On modified Hyers-Ulam sequence, J. Math. Anal. Appl. 1991, 158, pp. 106−113.

173. T.M.Rassias, 77te problem .of S: M. Ularn for approximately multiplicative mappings, J.Math.Anal.Appl., 246, 2(2000), 352−378 1−2(1999), 157−162.

174. J.M. Rassias, On Approximation of Approximately Linear Mappings by Linear Mappings, J. Funct. Anal. 46 (1982), 126−130.

175. J.M. Rassias, On Approximation of Approximately Linear Mappings by Linear Mappings, Bull. Sc. Math. 108 (1084) ,'445−446.

176. J.M. Rassias, Solution of a Problem of Ulam, J. Approx. Th. 57 (1989), 268−273.

177. J.M.Rassias, On the stability of a rnulti-dimensional Cauehy type functional equation, «Geometry, Analysis and Mechanics», World Sci. Publ. Co., 1994, 365−376.

178. J.M.Rassias, On the Ulam stability of mixed type mappings on restricted domains, J.Math.Anal.Appl. 276(2002), 747−762.

179. J.M.Rassias and M.J.Rassias, On the Ulam stability of Jensen and Jensen type mappings on restricted domains, J.Math.Anal.Appl. 281(2003), 516−524.

180. J.M.Rassias, Asymptotic behavior of mixed type functional equations, Austral. J.Math. Anal. Applications, 1(2004), issue 1,1−21.

181. A. Sambusetti Minimal entropy and symplical volume, Manuscripta Math.99, 4,(1999), 541−560.

182. P. Semil, Hyers-Ulam stability of isornetries o Banach spaces, Aequationes Math., 58, 1−2(1999), 157−162.

183. P. Semrl, Almost multiplicative functions and almost linear multiplicative functions, Aequationes Math., 63, 1−2(2002), 180−192.

184. J.-P.Serre, Trees, Springer-Verlag, Berlin heidelberg New Yourk, 1980.

185. F. Skof, Sull', approssimazione delle applicazioni localmente ?- additive, Atti Accad. Sci. Torino CI. Sci. Fis. Mat. Natur., 117 (1983), 377−389.

186. F. Skof, Proprieta locali e approssimazione di operatori, Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 53 (1983), 113−129.

187. A.I.Shtern, Quasisymmetry. i, Russ.J.Math.phys., 2, 3(1994), 353−382,.

188. A.I.Shtern, Remarks on pseuocharacters and the real continuous bounded cohomology of connected locally compact groups, Sib 228 Preprint no. 289, Technishe Univcritat, Berlin, 1997.

189. A.I.Shtern, Bounded continuous real' 2-cocycles on simpy connected simple Lie groups and their applications, Russ.J.Math.phys., 8, 1(2001), 122−133.

190. A.I.Shtern, Remarks on pseudocharacters and the real continuous bounded cohomology of connected cocaly compact, Ann. Global Anal.Geom., 20, 3(2001), 199−221.

191. A.I.Shtern,^. criterion for the second real continuous bounded cohomology of a locally compact group to be finite-dimentional, Noncommutative geometry and operator if-theory, Acta Appl. Math., 68, 1−3(2001), 105−121.

192. A.I.Shtern, Projective irreducible unitary representations of hermitian symmetric simple Lie groups are geneted by pure pseucorepresentation, Adv, Stud.Contemp.Math (Kyungshang), 9, 1(2004), 1−6.

193. J. Tabor and J. Tabor, Local stability of the Cauchy and Jensen equations in function spaces, Aequationes Math. 58 (1999), 296−310.

194. Szekelyhidi L. Note on a stability theorem, Canad. Math. Bull. 1982, 25, p 500−501.

195. Szekelyhidi, L. Ulam’s problem, Hyers’s solution and to where they led, In: Functional Equations and Inequalities, Th.M. Rassias (ed), Kluwer Academic Pablishers, 2000, pp.259−285.

196. Thompson R.C. ''Commutators in the special linear and general linear groups Trans.Amer.Math.Soc., 101, 1 (1961), 16−33.

197. Ulam S.M. A collection of mathematical prolblems, Interscience Publ. New York 1960.

198. Ulam S.M. Sets, numbers and universes, Mass. Inst, of Thech Press, Cambredge, MA 1974.

199. S.M. Ulam, A collection of mathematical problems, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No.8, Interscience Publishers, New York, 1960; Problems in Modern Mathematics, Wiley and Sons, New York, 1964, Chapter VI.

200. Vdovina A.A. 'Constructing of orientable Wicks forms and estimation of their number Communications in algebra, 23, 9 (1995), 3205−3222.

201. J. H. C. Whitehead, A certain exact sequence, Ann. of Math., 52 (1950), 51−110.

202. D. Yang, Remarks on the stability of Dry gas' equation and the Pexider-quadratic equation, Aequationes Math. 68 (2004), 108−116.

203. D. Yang, The stability of the quadratic functional equation on amenable groups, J. Math. Anal. Appl. 291 (2004), 666−672.Работы автора по теме диссертации.

204. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных произведениях полугрупп, Фупкц. анализ и его при лож., 1987, 1, с. 86−87.

205. Файзиев В. А. Псевдохарактеры па свободных группах и некоторых групповых конструкциях, Успехи Мат. наук. 43, No.5, 225−226 (1988).

206. Файзиев В. А. О пространствах псевдохарактеров на свободных произведениях полугрупп, Матем. Заметки 1992, 52, по. 6, pp. 126−137.

207. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на группе SL (2,Z), Функц. Анализ и его прилож., 1992, е 4 с.77−79.

208. Файзиев В. А. Об одной теореме Харпа it Каруби, Успехи матем. паук, 1993 е 2 с.203−204.

209. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на полупрямых произведениях полугрупп, Матем. заметки 53, No.2, 132−139 (1993).

210. Файзиев В. А. Об устойчивости одного функционального уравнения на группах, Успехи мат. наук 48, No. l, 193−194 (1993).

211. Файзиев В. А., Псевдохарактеры на свободных группах, Известия РАН, серия матем. 58, no. 1, (1994), 121−143.

212. Файзиев В. А., Описание пространства псевдохарактеров свободной полугруппы ранга два инвариантных относительно одной полугруппы jндоморфизмов, Фунц, анализ и его прилож., 28, no. 1, (1994), 85−87.

213. Файзиев В. А., Pseudocharacters on free semigroups, Russ. J. Math. Phys. 3, No.2, pp. 191−206 (1995).

214. Файзиев B.A., Двумерные вещественные треугольные квазипредставления групп, Фундаментальная и пркладнан матем., 1, по. 4(1995), 1129−1132.

215. Файзиев В. А., Двумерные вещественные треугольные квазипредставления свободной группы, Доклады РАН, т. 355, по. 6, 737- 739 (1997).

216. Файзиев В. А., Pseudocharacters on free products of groups, Russ. J. Math. Phys. 5, No. l, 3−8 (1997).

217. Faiziev V.A., Pseudocharacters on free semigroups invariant with respect to their automorphism groups, Proc.Amer.Math. Soc. 126, No.2, 333−342 (1998).

218. Faiziev V.A., On almost representations of groups, Proc. Amer. Math. Soc. 127, No. l, 57−61 (1999).

219. Faiziev V.A., Pseudocharacters on a class of extension of free groups, New York Journal of Math. 6, (2000), 135−152.

220. Faiziev V.A., Description of pseudocharacters’s space of free products of groups, Math. Ineq. And Appl. 2, (2000), 269−293.

221. Faiziev, V.A. The stability of the equation f (xy) — /(x) — f (jj) = 0 on groups, Acta Math. Univ. Comenianae 1(2000), pp. 127−135.

222. Faiziev, V.A.The problem of expressibility is some amalgamated product of groups, Austral. Journ.Math. 71(2001), ppl05−115.

223. Faiziev V.A., Th.M.Rassias and RK. Sahoo, The space of (?/>, 7) additive mappings of semigroups, Trans. A1ner.Math.S0c, 2002, v.354, no. ll, pp.4455−4472.

224. Файзиев В. А., Об устойчивости уравнения Йенсена на группах, Доклады РАН, 386 (2002), N 6, стр.

225. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo, Description the pseudocharacter space and the problem of expressibility for some groups, Journal of Algebra, v.250(2002), 2, pp. 603- 637.

226. Файзиев В. А., Саху П. К., О пространстве псевдойенсеновых функций на группах, Алгебра и Анализ, v. 14(2002), е 6, 205−234.

227. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo, On the stability of a Jensen type functional equation on groups, Bulletin of the Korean Mathematical Society, 2005, v.42(2005), no.4,759−778.

228. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo, On the space of (ф,^-pseudo-Jensen mappings on Groups, Nonlinear Funct. Anal. And Appl., vol.11, no.5, (2006), pp 759−791.

229. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo,' On Drygas functional equation on groups, International Journal of Applied Mathematics and Statistics, V.7(2007), no. Fe07, 59−69.

230. Faiziev V.A. and P.K.Sahoo, On the stability of Drygas functional equation on groups, Banach Journal of Alath. Analisis, v. l, no. l, (2007), pp 43−55.

231. СЦ2, Кх.) = ОЬ (2,К)*т{2,к)Т (2,К[х),.

232. Аламбергенов Х. С., Романьков В. А. О произведении коммутаторов в группах /Х.С. Аламбергенов, В. А. Романьков Деп. в ВИНИТИ, 1985, N.4566-B85.

233. Бардаков В. Г. К теории групп кос/В.Г.Бардаков // Матем. сб.-1992, — N. l (183).-C.3−42.

234. Бардаков В. Г. О разложении автоморфизмов свободных. модулей на простые мно: пел ьтели / В. Г. Б ардаков // Известия РАН, серия математическая.-1995.-N.1(59).-С.109−128.

235. Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп Артина /В. Г. Б ар д ако в // Групповые и метрические свойсгва отображений: Сборник работ, посвященных памяти Ю. И. Мерзлякова, НГУ. Новосибирск.-1995;С.8−18.

236. Бардаков В. Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых групп HNN-расширений/В.Г.Бардаков // Препринт Института математики СО РАН, Новосибирск,-1995, — 25с.

237. Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций /В.Г.Бардаков // Алгебра и логика.-1997, — N.5(360)-C.494−517.

238. Бардаков В. Г. Вычисление коммутаторной длины в свободных группах /В.Г.Бардаков // Алгебра и логика.-2000.-^4(39).-С.379−424.

239. Бардаков В. Г. Строение группы сопрягающих автоморфизмов /В.Г.Бардаков // Алгебра и логика.-2003;N .5 (42) .-С. 515−541.

240. Безверхний В. Н. Решение проблемы конечной ширины в группах Артина с двумя образую-г^г/лш/В.Н.Безверхний, И. В. Добрынина // Чебыгаевский сборник, Тула.-2002.-N.1 (З).-С.И-16.

241. Вершик A.M. Комментарии к русскому переводу, Дэю. фон Нейман, Избранные труды по функциональному анализу/A.M.Вершик // Т.1. Наука, М.-1987.-С.372−374.

242. Глухов М. М. 0 длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих/М.М.Глухов, А. Ю. Зубов // Матем. вопросы киберн.-1999.-Ю (8).-С.5−32.

243. Григорчук Р. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций/ Р.И.Григорчук// Матем.заметки.-1996.-К.4(59).-С.546−550.

244. Григорчук P. IL, Курчанов П. Ф. О ширине элементов в свободных группах/ Р. И. Григорчук, П.Ф.Курчанов// Укр.матем.>Kypi.-1991.-N.7−8(43).-С.911−918.

245. Григорчук Р. И. Весовые функции на группах и критерий аменабельности / Р.И.Григорчук//Матем.заметки.-1996.-Ю (60).-С.383−395.

246. Гринблат В. А. О коммутаторных уравнениях в группх Артина конечного типа/ В.А.Гринблат// Меж-iyнарод.конф.по алгебра: Тез. доклю по теории групп, Новосибирск,-1989.-С.37.

247. Добрынина И. В. О ширине свободных произведений с объединением/ И.В.Добрынина// Матем. заме:кп.-2000.-1Ч.З (68) .-С.353−359.

248. Дурнев В. Г. О ширине коммутанта группы кос B: i и Вд/В.Г.Дурнев- 1987. Деп. в ВИНИТИ, N. 1040-В87.

249. Дурнев В. Г. О ширине коммутанта группы кос Дз и Вл/В.Г.Дурнев, В.К.Шалашов// 19-я Всесоюзн.алгебр.конф .-Львов, 1987.-С.89.

250. Закирьянов К. Х. Конечность ширины симплектической группы над кольцами алгебраических чисел относительно элементарнг>/х матриц/К.Х.Закирьянов// Алгебра и логика.-1985.-К6.-С.667−673.

251. Н. В. Иванов, Основы теории ограниченных когомологии Записки научных семинаров Лениградского отдлеления Математического института им. В. А. Стеклова, АНСССР/Н.В.Иванов//-1985. N.143.-C.69−109.

252. Н. В. Иванов, Вторая группа ограниченных когомологий Записки научных семинаров Лениградско! о отдлеления Математического института им. В. А. Стеклова, АНСССР/Н.В.Иванов//-1988. N.167.-C.117−120.

253. Каргаполов М.II. Основы теории групп, 1-е изд./М.И.Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.- М., Наука, 1996.-240с.

254. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002.

255. Линдон Р. Комбинаторная теория групп ./Р.Линдон, П. Шупп.- М.: Мир, 1980.-320с.

256. Магнус В. Комбинаторная теория групп ./В.Магнус., А. Каррас, Д.Солитэр.-, М., Наука, 1974.-320С.

257. Масси У. 'Алгебраическая топология './У.Масси., Дж.М. Столлингс.- М.: Мир, 1977.-224.

258. Мерзляков Ю. И. Алгебраические линейные группы как полные группы автомофизмов и замкнутость их вербальных подгрупп /Ю.И.Мерзляков// Алгебра и логика.- 1967.-N.6(1).-С.83−94.

259. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы, 2-е изд./Ю.И.Мерзляков, — М., Наука, 1987.

260. Нейман Дж. фон, Избранные труды по функциональному анализу.-т1,/Дж.фон Нейман,-Наука, М., 1987.

261. Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп /В.А.Романьков// Алгебра и логика -1982.-N.21(l).-C.60−72 Тула, 1986, 114−117.

262. Семенов Ю. С. О коммутаторах в группах кос/Ю.С.Семенов// 10-и Всесоюзн. симп. по теории групп. Минск.-1986.-С.207.

263. Смирнова Е. Г. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени .

264. Тавгень О. Н. Ограниченная порождаемость групп Шевале над кольцами S-целых алгебраических чисел/О.Н.Тавгень// Известия АН СССР, Серия математическая.-1900.-N.54(l).-C.97−122.

265. Штерн, А .И. Квазипредставления и псевдопредставления /А.И.Штерн // Функц. анализ и его прилож.-1990.-.М.25(2).-С.70−71.

266. А. И. Штерн Об операторах в пространстве Фреше, подобных изометриям/А.И.Штерн // Вестн.МГУ. cep.l. MareM., Mex.-1991;N.4-C.67−70.

267. А. И. Шаерн, псевдохарактер, определенный символом Радемахера /A.II.LIIi ерн //УМН,-1990;N.45(3)-C.197−198.

268. А. И. Штерн, Устойчивость представлений и псевдохарактеры /А.И.Штерн // Ломоносовские чтения, МГУ, М.-1983.

269. А. И. Штерн, Структурные свойства и ограниченные вещественные непрерывные 2-когомологии локально компактных групп/AM.Штерн // Функц. анализ и его ирилож.-2001;N.35(4)-C.67−80.

270. А.PI. Штерн, Деформация неприводимых унитарных представлений дискретной серии эрмитово симметрических простых групп Ли в классе чистых псевдопредставлений/А.И.Штерн // Матем.заметки.-2003;.Ч.75(3)-С.478−480.

271. А. И. Штерн Структурные свойства и ограниченные вещественные непрерывные 2-когомологии локально компактных групп/А.И.Штерн // Функц. анализ и его прилож-2001;N.35(4)-C.67−80.

272. А. И. Штерн Проективные представления и чистые псевдопредставления эрмитово симметрических простых групп Ли /А.И.Штерн // Матем.заметки.-2005;1чт.78(1)-С.140−146.

273. Штерн AM. Проблема Каэсдана-Мильмана для полупростых компактных группа Ли/А.И.Штерн // Успехи MaT.HayK.-2007;N.62(l).-C.123−190.

274. Aczel, J. and Dhombres J. Functional Equations in Several Variables./J.Aczel, J. Dhombres J.// Cambredge University Press, Cambredge.-1989. v.31.

275. Adjan S.I. 'Ort bounded generation of SL (n, Z)'/S.I.Adyan, and J. Mennicke// Internat. J. Algebra Comput.-1992.-N.4(2).-C.357−355.

276. Akhavan-Malayeri M., Rhemtulla A. ' Commuttator length of Abelian-by-nilpotent groups'/M.Akhavan-Malayeri, A. Rhemtulla // Glasg. Math.J.-1998.-N.40(l).-C.117−121.

277. Baer R. Facrorization of n-soluble and n-nilpotent groups/R. Baer// Proc. Amer. Math. Soc.-1953.-N.45.-C.15−26.

278. Baker, J. The stability of the equation f{x + y) = f (x) ¦ f (y)/ J. Baker, L. Lawrence, F. Zorzitto// Proc. Amer. Math. Soc.-1979.-N.74(2).-C.242−246.

279. Baker, J. The stability of the cosine equation / J. Baker// Proc. Amer. Math. Soc.-1980.-N.80(3).-C.411−416.

280. Bardakov V. On the palindromic and primitive width of a free groups /V.Bardakov, V. Shpilrian, V. Tolstykh// J. Algebra.- 2005.-N.285(2).-C.574−585.

281. Bardakov V. The palindromic width of a free product of groups. /V.Bardakov, V. Tolstykh//J. Aust. Math. Soc.-2006.-N.81(2).-C.199−208.

282. Barge J. Surfaces et cohomologie boureejJ. Barge, E Chys,// Invent, Math.-1988.-N.92(3).-C.509−526.

283. Barge J. Cocycles d’Euler et de Maslov/J.Barge, E Cliys,// Math.Ann.-1992.-N.294(2).-C.235−265.

284. Baron K. On Mikusinski-Pexider functional equation/K.Baron, R. Ger//Colloq.Math.-1973.-N.28.-C.307−312.

285. Baumslag G, Wreath product and p-groups/G. Baumslag// Proc. Camb. Phil. Soc.-1959.-N.55.-C. 224−231.

286. Bavard C. Longueur stable des commutateurs/C.Bavard // Enseign.Math.-1991.-N.37(2).-C.109−150.

287. Besson G. Sur la cohomologie bornee, / G. Besson// Seminaire sur la cohomologie bornee, Ecole Norm.Sup.Lyon, Roport, Fevrier 1988.

288. Biran P., Entov M., Polterovich L. Calabi quasimorphism for the symplectic ball/P.Biran, M. Entov, L. Polterovich// Commun.Contemp.Math.-2004.-N.6(5).-C.793−802.

289. Bouarich A. Suites exactes en cohomologie bornee, reelee des groupes discrets/A. Bouarich// C.R.Acad, Sei, Paris Ser, I Math.-1995.-N.320(ll).-C.1355−1359.

290. D.G.Bourgin D.G. Classes of transformations and bordering transformation/D.G.Bourgin// Bull. Amer. Math. Soc.-1951.-N.57.-C.223−237.

291. Brooks R. Bounded cohomology for surface groups/R. Brooks and C. Series// Topology-1984.-N.23.-C.29−36.

292. Chang I.-S.Hyers-Ulam-Rassias stability of a quadratic functional equation/I.-S. Chang and H.-M. Kim// Kyungpook Math. J.-2002.-N.42.-C.71−86.

293. Choleva P.W. Remarks on the stability of functional equations /P.W.Choleva// Aequationes Math.-1984.-N.27.-C.76- 86.

294. Czerwik ST. On the stability of the quadratic mapping in normed spaces/ST.Czerwik// Abh. Math. Sem. Univ Hamburg.-1992.-N.62.-C.59−64.

295. Carter D. 1 Bounded elementary generation of 5Ln (0)'/D.Carter and C. Keller // Amer.J.Math.-1983.-N.103(3)-C.673−687.

296. Chung J.K. On a quadratic-trigonometric functional equation and some applications/J. K. Chung, B. R. Ebanks, C. T. Ng and P. K. Sahoo// Trans. Amer. Math. Soc.-1995.-N.347.-C. 1131−1161.

297. Chys E Groups acting on circlc/E Chys,// Eiseing.Math.-2001.-N.47(2).-C.329−407.

298. Comeford J.A. 1 Powers as product of commutators/J.A.Comeford, L.P.Comeford, C.C.Edmunds//, Communications in algebra.-1991.-N.19(2).-C.675−684.

299. Culler M. ' Using surfaces to solve equations in free groups '/M.Culler // Topology.-1981.-N.20(2).-C.133−145.

300. R. Dedekind, Erlauterungen zu den Fragmenten XXVIII, B. Riemann/R.Dedekind,// Collected works (Gesammelte mahtematishe Worke und wissenshaftlicher Nahla?)/ Dover, new York, NY, 1953.-C.466−478.3V3G0.

301. Drygas H. Quasi-inner products and their applications/ H. Drygas//: Advances in Multivariate Statistical Analysis (ed. A. K. Gupta)/ Reidel Publ. Co., 1987.-C.13−30.

302. Dhombres J. Equations de Cauchy conditionnelles/J.Dhombres, R. Ger//C.R.Acad.Sci.Paris.-1975.-N.208.-C.513−515.

303. Dhombres J. Conditional Cauchy equations/J.Dhombres, R. Ger// Glasnik Mat.

304. McDuff D. Asurvey of the topological properties of symlectomorphism growp. s/D.McDuff // Topology, geomerty and quantum field theory, London Math.Soc. lecture Note Ser.-2004. 308, Cambredge Univ. Press/ Cambridge, 2004.-C.173−193.

305. Dubikajtis L. On Mikusinski’s functional egwaii’on/L.Dubikajtis, C. Ference, R. Ger, M. Kuczma// Ann.Polon.Math.-1973.-N.28.-C.39−47.

306. Duncan A.J. The genious problem for one-relator products of locally indicable groups '/A.J.Duncan and J. Howie// Math.Z.-1991.-N. 208(2) .-C.225−237.

307. Drljevic H. On the stability of the functional quadratic on A-orthogonal vectors/H.Drljevic//Publ. Inst. Math.(Beograd) (N.S.).-1984.-N.36(50).-C.111−118.

308. Ebanks B. R. A common generalization of functional equations characterizing normed and quasi-inner-product spaces / B. R. Ebanks, PL. Kannappan and P. K. Sahoo,// Canad. Math. BuIL-1992.-N.35.-C.321−327.

309. Ellers 'Products of transvections in one conjugacy class in the symplcctic group over Gir'(3)/Ellers, Erich W.// Linear Algebra Appl.-1994.-N.202.-C.l-23.

310. Ellers E.W., Products of transvections in one conjugacy class in the symplectic group over GF{3)/E. W. Ellers// Linear Algebra Appl.-1994.-N.202.-C.l-23.

311. Entov M. Commutator length of simplectomorphisms/Entov M.// Comment.Math.Helv.-2004.-N.79(l).-C.58−104.

312. Entov M. Calabi quasimorphism and quantum homology/M.Entov, L. Polterovich//Int.Math.Res.Not.-2003.-N.30.-C.1635−161 676.

313. Fechner W. On the Hyers-Ulam stability of functional equations connected with additive and quadratic mappings? VJ. Fechner// J. Math. Anal. Appl.-2006.-N.322.-C.774−786.

314. Fenyo I. Osservazioni su alcuni teoremi di D.H.Hyers /I.Fenyo//, Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend.-1980.-N.A 114.-C.235−242.

315. Fischer R. On some new generalizations of the functional equation of Cauchy/R.Fischer, Gy. Muszely// Canad.Math.Bull.- 1967.-N.10.-C.197−205.

316. Forti G.L. Remark 11 In: Report of the 22nd Internat. Symp. on Functional Equations/G. L. Forti// Aequationes Math.-1985.-N.29.-C.90−91.

317. Forti G. L. The stability of homomorphisms and amenability/G. L. Forti// Abh. Vath. Sem. Univ. Hamburg.-1987.-N.57.-C.215−226.

318. Forti, G. L. Sulla stabilita degli omomorfismi e sue applocazioni alle cquazilni funczionali /G. L. Forti// Rend. Sem. Mat. Fis. Milano.-1988.-N.58.-C. 9−25.

319. Forti, G.L. Hyers-Ulam stability of functional equations hi several variables/G. L. Forti// Aequationes Math.-19 995.-N.50.-C.143−190.

320. Forti G.L. On an alternative functional equation related to the Cauchy equation/G. L. Forti// Aequationes Math.-1982.-N.24.-C.195−206.

321. Forti G.L. A method of solving a conditional Cauchy equation on abelian groups/G. L. Forti,, L. Paganoni// Ann. Mat. Pura Appl. IV.-1981.-N.127.-C.79−99.

322. Fujiwara K. The second bounded cohomology of an amalgamated free product of groups/K.Fujiwara// Trans. Amer. Math. Soc.-2000.-N.3.-C.1113−1129.

323. Gajda Z. On stability of additive mappings/Z. Gajda// Internat. J. Math. &- Math. Sci.-1991.-N.14.-C.431−434.

324. Gallian J.A. Abelian Forcing sets, Amer. Math. Monthly/ J. A. Gallian and M. Reid// .-1993.-N.100.-C.580−582.

325. J.-M.Gambaudo, E Chys, Commutators and diffeomorphisrns of surfaces, Ergodic Theory Dy-nam.Systems, 24, 5 (2004), 1591−1617.

326. Gavruta P. An answer to a question of John M. Rassias concerning the stability of Cauchy equation/P.Gavruta//. In: Advances in Equations and nequalities/ Hadronic Math. Series, U.S.A.-1999.-C.67−71.

327. Gavruta P. j4 generalization of the Hyers-Ulam-Rassias stability of approximately additive mappings /P. Gavruta// J. Math. Anal. Appl.-1994.-N.184.-C.169−176.

328. Ger R. Functional inequalities stemming from stability questions/R. Ger// In: General Inequalities 6 (ed. W. Walter)/ Birkhauser, Basel.-1992.-C.227−240.jm.

329. Ger R. On some functional equations with a restricted domain/R. Ger//Fund.Math.-1975.-N.89.-C.131−149.

330. Ger R. On an alternative functional equation/R. Ger// Aequationes Math.-1995.-N32.-C. 17−28.

331. Ger R. On a method of solving of conditional Cauchy equations/R. Ger// Univ.Beograd.Publ.EIektrotehn.Fak.Ser.Mat.Fiz.-1976. N.544−576.-C.159−165.

332. Ghys E., Groupes d’homeomorphisms du cercle et cohomologie bornee/E. Ghys// In: The Lef-schetz centennial conference, part III (Mexico City 1984), Contemporary Math., 58, III, Amer. Math. Soc.-1987.-C.81−105.

333. Griffiths, H.B. 'A note on commutators in free products '/Griffiths, H.B.// Proc. Cambridge Phil. Soc.-1954.-N.50(2).-C.78−188.

334. Goldstein R.Z. 'Applications of topological graph theory to group theory'/R.Z. Goldstein, E.C. Turner // Math.Z.-1979.-N.165(1).-C.1−10.

335. Grigorchuk R.I., Some results on bounded cohomology/R. I. Grigorchuk// Combinatorial and geometric group theory (Edinberg, 1993), 111−163, London Math.Soc.Lecture Note Ser.-1994.-N.204.-C.111−163.

336. Gromov M., Volume and bounded cohomology/M. Gromov// Publ. Math. IHES.-1982.-N.56.C.5−100.

337. Gromov M. lHyperbolic groups/M. Gromov// in: Essay in Group Theory, Ed S.M.Gersten, Math.Sci.Res.Inst.Publ. 8, Springer/ New-York/-1987.-C.75−263.

338. Gromov M. 'Asymptotic invariants of infinite groups/M. Gromov// London Nath.Soc.Lecture Note Series, 182/Cambridge University Press-1993.

339. Grove K. Jacobi fields and Finsler metrics on compact Lie groups with an application to differen-tiable pinching problems/K.Grove, H.Karclier., E.A.Ruh // Math.Ann.-1974.-N.211(l).-C.7−21.

340. Ma D. Upper semicontinuity of isotropy and automorphism groups/D.Ma// Math.Ann.-1992.-N.292(3).-C.533−545.

341. Harpe P. de la. Representations approchees d’un groupe dans une algegre de Banach /P.de la Harpe, M. Karoubi// Manuscripta Math.-1973.-N.22(3).-C.293−310.

342. Gruber P.M. Stability of Isometries/P.M. Gruber// Trans.Amer. Math. Soc., u.s.A.-1978.-N.245.-C.263−277.

343. Gow R. ' Com imitators in the symplectic groups'/R. Gow // Arch.Math.-1988.-N.50(3).-C.204−209.

344. Tlosszii M. 'A remark on the square norm/M.Hosszti//Aequationes Math.-1963.-N.2.-C.190−193.

345. Gromov M. Volume and boutded cohomology/M.Gromov// Publ.Math.Inst.Hautes Etudes Sci.-1982.-N.56.-C.5−163.

346. Gromov M. Positeve curvature, macroscopic dimension, spectral gaps and higher signatures/M.Gromov / / Funct. analysis on the eve of the 21th century, vol. II (New Brunswick, NJ, 1993), progr.Math., 132, Birchauser, Boston, MA.-1996.-C.1−213.

347. Harpe P./ de la Harpe, P., Karoubi, M.// Representations approchees d’un groupe dans tme algebre de Banach Manuscripta math.-1977.-N.22.-C.297−310.

348. Hyers D.H. On the stability of the linear functional equation/D.II. Hyers// Proc. Nat. Acad. Sci. USA.-1941.~N.27(2).-C.222−224.

349. Hyers D.II. On approximate isometry/D.H. Hyers, S.M. Ulam // Bull. Amer. Math. Soc.-1945.-N.51.-C.228−292.

350. Hyers, D.H., Ulam, S.M. Approximate isometry on the space of continuous functions /D.H. Hyers, S.M. Ulam // Ann. of Math.-1947.-N.48(2).-C.205−209.

351. Hyers, D.H. The stability of homomorphisms and .-elated topics/D.H. Hyers, S.M. Ulam // In: Global Analysis Analysis on Manifolds (Th.M.Rassias, eds.)/ Teubner, Leipzig.-1983.-C.431−434.

352. Hyers Donald H. Approximate homomorphisms /Donald H. Hyers, and Themistocles M. Ras-sias// Aequationes Mathematicae.-1992.-N.44.-C.125−153.

353. Hyers D.H. Topics in Nonlinear Analysis and Applications/ D.H. Hyers, G. Isac and Th. AI. Rassias// World Scientific Publ.Co, 1997.

354. D.H. Hyers, G. Isac and Th. M. Rassias Stability of Functional Equations in Several Variables/D.H.// Birkhauser, Boston, Basel, Berlin.-1998.

355. Isac G. On the Hyers-Ulam stability of ifadditive mappings / G. Isac, and Th. M. Rassias// Journal of Approximation Tlieory.-1993.-N.72.-C.131−137.

356. Isac G. Stability of ij>-additive mappings: Applications / G. Isac, and Th. M. Rassias// International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences.-1996.-N.19.-C.219—228.

357. Ito N.A. 'A theorem of alternating group An, (n > 5//N.A.Ito//Math.Japan.-1951.-N.2(2).-C.59−60.

358. Johnson B.E.Cohomology in Banach algebras/ B.E. Johnson // Mem.Amer.Math.Soc. 127/ Amer.Math.Soc., Providence, RI.-1972.

359. Johnson B.E. Approximately multiplicative functionals/ B.E. Johnson // J. London Math.Soc.-1986.-N.34(2).-C.489−510.

360. Johnson B.E. Approximate diagonals and cohomology of certain annihilator Banach algebras / B.E. Johnson // Amer.J. Math.Soc.-1986.-N.94.-C.685−698.

361. Johnson B.E. Derivations from Ll (G) into Lx (G) and L°°/ B.E. Johnson // Harmonic analy-sis (Luxemburg, 1987), Lecture Notes in Math., 1359/ Springer, Berlin.-1988.-C.565- 579.

362. Jordan P. On inner products in linear metric spaces /P. Jordan, J. von Neumann// Proc. London Math. Soc.-1935.-N.36.-C.719−726.

363. Jung S.-M. On the Hyers-Ulam stability of the functional equations that have the quadratic property/S.-M. Jung// J. Math. Anal. Appl.-1988.-N.222.-C.126−137.

364. Jung S.-M. Stability of the quadratic equation of Pexider type/S.-AI. Jung// Abh. Math. Scm. Univ. Hamburg.-2000. -N.70.-C.175−190.

365. Jung S.-M. Stability of a functional equation of Drygas/S.-M. Jung, P.K. Salioo// Aequationes Matli.-2002.-N.64.-C.263−273.

366. Jung S.-M. Hyers-Ulam-Rassias Stability of Jensen’s equation and its application/S.-M. Jung// Proc. Amcr. Math. Soc.-1998.-N.64(ll).-C.3137−3143.

367. Kallen W. 1 SLn (Cx) does not have bounded word length''/ van der Kallen W.// Lecfc.Notes.-1982.-N.366.-C.-357−361.

368. Kannappan PI. Quadratic functional equation and inner product spaces Results Math./PI. Kannappan//.-19D5.-N.27.-C.368−372.

369. Kannappan PI. On a functional equation related to the Cauchy equation/PI. Kannappan, M. Kuczma// Ann.Polon.Math.-1974.-N.30.-C.49 55.

370. Kazhdan D. On e-representations / D. Kazhdan // Israel J. Math. 1982.-N.43(4).-C.315−323.

371. Kim G.-H. On the stability of the quadratic mapping in normed spaces/G.-H. Kim //Internat. J. Math. & Math. Sci.-2001.-N.25.-C.217−229.

372. Kominek Z. On a local stability of the Jensen functional equation/Z. Kominek// Demonstratio Math.-1989.-N.22.-C.199−507.

373. Ivotschik D. What is. a quasi-morphism? /D.Kotschik// Notices Amer.Math.Soc.-2004.N.51(2).-C.208−209.

374. S. Kurepa 'Quadratic and sesquilinear functionals'/S.Kurepa// Glasnik Mat.-Fiz. Astr.-1965.-N.20.-C.79−93.

375. Kuczma M. Functional equations on restricted domains/M.Kuczma// Aequationes Math.-1978.-N.18.-C.1−34.

376. Laczkovich M. The local stability of convexity, affinity and the Jensen equation/M. Laczkovich// Aequationes Math.-1999.-N.58.-C. 135−142.

377. Lee Y. A Generalization of the Hyers-Ulam-Rassias Stability of Jensen’s equation/Y. Lee and K. Jun// J. Math. Anal. Appl.-1999.-N.238.-C.305−315.

378. Levi F. Notes on group theory, I, VII / F. Levi// J. Indian Math. Soc.-1944.-N.8-C.l-7 and -1945.-N.9-C.37−42.

379. Li Y. The hypercentre and the n-centre of the unit group of an integral group ring/ Y. Li// Can. J. Math.-1998.-N.50.-C.401−411.

380. Manning J.F. Geometry of pseudocharacters/J.F.Manning// Geom. Topol.-2005.-N.9.-C.1147−1185.

381. Matsumoto S. Numerical invariants for semiconjugacy of homeomorphisms/S. Matsumoto// Proc. of the AMS.-1986.-N.98.-C. 163−165.

382. Matsumoto S. Bounded cohomology of certain groups of homeomorphisms /S. Matsumoto and S. Morita// Proc. Amer. Math. Soc.-1985.-N.94.-C.539−544.

383. Mitsumatsu Y., Bounded cohomology and Cl-homology of surfaces/Y. Mitsumatsu// Topology.-1984.-N.24(4) .-C.465−471.

384. Monod N. Continuous bounded cohomology of locall compact groups/N.Monod// Lecture Notes in Math., 1758, Springer-Verlag, Berlin, 2001. я*363.

385. Monod N. Boundedly generated groups with pseudocharacter (s)/N.Monod, B. Remy // Appendix to J.F.Manning, «Quasi-actions on trees and property (QFA) «J.London Math.Soc.-2006.-N.73(2).-C104−108.

386. Montgomery D., Zippin L. A theorem on Lie groups /D.Montgomery, L. Zippin// Bull.Amer.Math.Soc.-1942.-N.48.-C.448−452.

387. Nagao H. 'On GL (2.Kx.)'/ H. Nagao// J.Poly. Osaka Univ.-1959. N.10.-C. 117−121.

388. Newman M. 'Unimodular commutators'/Ш. Newman // Proc.Amer.Math.Soc.-1987.-N.101(4).-C.605−609.

389. Neumann В. H. Adjunction of elements to groups/В. H. Neumann// J. London Math. Soc.-1943.-N.18.-C.12−20.

390. Ng С. Т. Jensen’s functional equation on groups/С. T. Ng// Aequationcs Math.-1999.-N.39.-C.85−99.

391. Ol’shanskii A.Yu. 'On calculation of width in free groups'/A.Yu.Ol'shaiiskii // London Math.Soc.Lecture Note Series.-204.-Cambridge University Press.-1995.-C.255−258.

392. Ore S. 1Some remarks on commutators'/Ore S.// Proc.Amer.Math.Soc.-1951.-N.2.-C.307−311.

393. Paganoni L. Soluzione di una equaxione finxionale su domimo ristretto/L.Paganoni// Boll.Un. Mat.Ital.-1980.-N.5.(17-B) .-C. 979−993.

394. Paganoni L. On an alternative Cauchy equation /L.Paganoni// Aequationes Math.-1985.-N.29.-C.214−221.

395. Picaud J.-C. Cohomologie bornee des surfaces et courants geodesiques/J.-C.Picaud// Biill.Soc.Math.France.-1997.-N.125(l).-C.115−142.

396. Polterovich L. Stable mixing for cat maps and quasi-morphisms of the modular proup/L.Polterovich, Z. Rudnik // Ergodic Theory Dinamic Systems.-2001.-N.24(2).-C.609−619.

397. Py P. Quasimorphisms et invariant de Calabi/P.Py // Ann.Sci. Ecole Norm.Sup.-2006.-N.39(4).-C.177−195.

398. Rademacher II. Zur Theorie der Modidfurddionen /11 .Rademacher// J. Reine Angew.math.-1932.-N.167.-C.312−336.

399. Rheintulla A.H. 'A problem of bounded expressibility in free products /A.H.Rhemtulla // Proc. Cambridge PHil.Soc.-1968.-N.3.-C.573−584.

400. Rhemtulla A.H. ' Commutators of certain finitely generated solvable groups '/A.H.Rhemtulla // Canad. J.Math.-1969.-N.21(5).-C.1160−1164.

401. Th. M. Rassias, Problem 16, in: Report of the 27th Internat. Symp. on Functional Equations/Th. M. Rassias// Aequationes Math.-1990.-N.39.-C.309.

402. Th. M. Rassias, On modified Hyers-Ulam sequence /Th. M. Rassias// J. Math. Anal. Appl.-1991.-N.158.-C.106−113.

403. T.M.Rassias, The problem of S.M. Ulam for approximately multiplicative mappings/Th. M. Rassias// J.Math. Anal. Appl.-2000.-N.246(2) .-C.352−378.

404. J.M. Rassias, On Approximation of Approximately Linear Mappings by Linear Mappings/J. M. Rassias// J. Funct. Anal.-1982.-N.46.-C.126−130.

405. J.M. Rassias, On Approximation of Approximately Linear Mappings by Linear Mappings/J. M. Rassias// Bull. Sc. Math.-1984.-N.108.-C.445−446.

406. J.M. Rassias, Solution of a Problem of Ulam/.l. M. Rassias// J. Approx. Th.-1989.-N.57.-C.268−273.

407. J.M.Rassias, On the stability of a multi-dimensional Cauchy type functional equation/J. M. Rassias// «Geometry, Analysis and Mechanics», World Sci. Publ. Co.- 1994.-C.365−376.

408. J.M.Rassias, On the Ulam stability of mixed type mappings on restricted domains/J. M. Rassias// J.Math.Anal.Appl.-2002.-N.276.-C. 747−762.

409. J.M. Ras si as and M.J.Rassias, On the Ulam stability of Jensen and Jensen type mappings on restricted domains/J. M. Rassias// J.Math.Anal.Appl.-2003.-N.281.-C.516−524.

410. J.M.Rassias, Asymptotic behavior of mixed type functional equations/J. M. Rassias// Austral. J.Math. Anal. Applications.-2004.-N.l.-C.1−21.

411. Sambusetti A. Minimal entropy and symplical volume/A. Sambusetti / / Manuscripta Math-1999.-N.99(4).-C.541−560.

412. Semrl P. Hyers-Ulam stability of isometries of Banach spaces/P. Semrl// Aequationes Math.-1999.-N.58(l-2).-C. 157−162.

413. Semrl P. Almost multiplicative functions and almost linear midtiplicative functions /P. Semrl// Aequationes Math.-2002.-N.63(l-2).-C.180−192.

414. J.-P.Serre, Trees, Springer-Verlag, Berlin heidelberg New Yourk, 1980.

415. Skof F., Sullapprossimazione delle apphcazioni localmente ?- additive/F.Skof// Atti Accad. Sci. Torino CI. Sci. Fis. Mat. Natur.-1983.-N.117.-C.377−389.

416. F. Skof, Proprieta locali e approssimazione di opcratori/F.Skof// Rend. Sem. Mat. Fis. Milano.-1983.-N.53.-C.113−129.

417. Shtern A.I.Quasisymmetry. //A.I.Shtern// Russ.J.Math.phys.-1994.-N.2(3).-C.353−382.

418. Shtern A.I.Remarks on pseuocharacters and the real continuous bounded cohomology of connected locally compact groups/A.I.Shtern// Sfb 228 Preprint no. 289, Technishe Univeritat, Berlin, 1997.

419. Shtern A. I .Bounded continuous real 2-cocycles on simpy connected simple Lie groups and their applications/A.I.Shtern// Russ.J.Math.phys.-2001 .-N.8(l).-C.122−133.

420. Shtern A.I.Remarks on pseudocharacters and the real continuous bounded cohomology of connected cocaly compact/A.I.Shtern// Ann. Global Anal.Geom.-2001.-N.20(3).-C.199−221.

421. Shtern A.I.^4 criterion for the second real continuous bounded cohomology of a locally compact group to be finite-dimentional/A.I.Shtern// Noncommutative geometry and operator if-theory, Acta Appl. Math.-2001.-N.68(1−3) .-C.105−121.

422. Shtern A. I .Projective irreducible unitary representations of hermitian symmetric simple Lie groups are geneted by pure pseucorepresentation/A.I.Shtern// Adv, Stud.Contemp.Math (Kyungshang).-2004.-N.9(l).-C.l-6.

423. Tabor J. Local stability of the Cauchy and Jensen equations in function spaces /J. Tabor and J. Tabor// Aequationes Math.-1999.-N.58.-C.296−310.

424. Szekelyhidi L. Note on a stability theorem/ L. Szekelyhidi // Canad. Math. Bull.-1982.-N.25,-C.500−501.

425. Szekelyhidi, L. Ulam’s problem, Ilyers’s solution and to where they led/ L. Szekelyhidi // In: Functional Equations and Inequalities, Th.M. Rassias (ed), Kluwer Academic Pablishers.-2000;C.259−285.

426. Thompson R.C. ' Commutators in the special linear and general linear groups '/R.C.Thompson // Trans. Amer .Math.Soc.-1961.-N.101(1).-C. 16−33.

427. Ulain S.M. A collection of mathematical prolblems/ S.M. Ulam // Interscience Publ. New York 1960.

428. Ulam S.M. Sets, numbers and universes/ S.M. Ulam // Mass. Inst, of Thech Press, Cambredge, MA 1974.

429. S.M. Ulam, A collection of mathematical problems/ S.M. Ulam // Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No.8, Interscience Publishers, New York, 1960; Problems in Modern Mathematics, Wiley and Sons, New York, 1964, Chapter VI.

430. Vdovina A.A. ' Constructing of orientable Wicks forms and estimation of their number ' / A.A. Vdovina// Communications in algebra.-1995.-N.23(9).-C.3205−3222.

431. Whitehead J. H. C. A certain exact sequence/3. H. C. Whitehead// Ann. of Math.-1950.-52.-C.51−110.

432. Yang D. Remarks on the stability of Drygas' equation and the Pexider-quadratic equation/D. Yang // Aequationes Math.-2004.-N.68.-C.108−116.

433. Yang D. The stability of the quadratic functional equation on amenable groups/D. Yang //J. Math. Anal. Appl.-2004.-N.291.-C.666−672.Работы автора по теме диссертации.

434. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных произведениях полугрупп/ В. А. Файзиев // Функц. анализ и его прилож. -1987. е 1.-С. 86−87.

435. Файзиев В. А. Псевдохарактеры па свободных группах и некоторых групповых конструкциях /В. А. Файзиев // Успехи Мат. наук.-1988. 43- No.5 -С.225−226.

436. Файзиев В. А. О пространствах псевдохарактеров на свободных произведениях полугрупп/В.А. Файзиев // Матем. Заметки. -1992. 52, по. 6. -С. 126−137.

437. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на группе SL (2,Z)/В.А. Файзиев // Функц. Анализ и его прилож. -1992. е 4. -С.77−79.

438. Файзиев В. А. Об одной теореме Харпа и Каруби/В.А. Файзиев // Успехи матем. наук, -1993. е 2. -С.203−204.

439. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на полупрямых произведениях полугрупп/ В. А. Файзиев // Матем. заметки.-1993 53, No.2. -С.132−139.

440. Файзиев В. А. Об устойчивости одного функционального уравнения на группах/ В. А. Файзиев // Успехи мат. наук. -1993. 48, No.l. -С.193−194.

441. Файзиев В. А. Псевдохарактеры на свободных группах/В.А. Файзиев // Известия РАН, серия матем.- 1991, — 58, no. 1. -С.121−143.

442. Файзиев В. А. Описание пространства псевдохарактеров свободной полугруппы ранга два инвариантных относшпелъно одной полугруппы эндоморфизмов /В.А. Файзиев // Фунц, анализ и его прилож. -1994 28, no. 1, -С.85−87.

443. Faiziev V.A. Pseudocharacters on free semigroups /V.A. FaTziev // Russ. J. Math. Phys.-1995.-3, No.2, -pp.191−206.

444. Файзиев В. А. Двумерные вещественные треугольные квазипредставления групп/В.А. Файзиев // Фундаментальная и пркладная матем-1995; 1, по. 4, -С.1129−1132.

445. Файзиев В. А. Двумерные вещественные треугольные квазипредставления свободной группы/В.А. Файзиев // Доклады РАН.-1997, — т. 355, по. 6. -С.737- 739.

446. Faiziev V.A. Pseudocharacters on free products of groups/V.A. Faiziev// Russ. Л. Math. Phys. -1997. 5, No.l. -C.3−8.

447. Faiziev V.A. Pseudocharacters on free semigroups invariant with respect to their automorphism groups/V.A. Faiziev// Proc.Amer.Math. Soc. -1998. 126, No.2. -pp.333−342.

448. Faiziev V.A. On almost representations of groups/V.A. Faiziev// Proc. Amer. Math. Soc.-1999.-127, No.l. -C.57−61.

449. Faiziev V.A. Description of pseudocharacters '''s space of free products of groups/V.A. Faiziev// Math. Ineq. And Appl.-2000. 2, -C.269−293.

450. Faiziev V.A.The space of (V>, 7) additive mappings of semigroups /V.A. Faiziev, Th.M.Rassias and P.K.Sahoo// Trans.Amer.Math.Soc. -2002, — v.354, no. ll, -pp.4455−4472.

451. Файзиев В. А. Об устойчивости уравнения Йенсена на группах /В. А. Файзиев// Доклады РАН. -2002. 386. -N 6. -С.

452. Faiziev V.A. Description the pseudocharacter space and the problem of cxpressibility for some groups/V.A. FaTziev and P.K.Sahoo// Journal of Algebra. -2002. v.250,2, -C. 603- 637.

453. Файзиев В. А., О пространстве псевдойенсеновых функций на группах/ В. А. Файзиев, П.К.Саху// Алгебра и Анализ. -2002. v.14, е 6. -С.205−234.

454. Faiziev V.A. On the stability of a Jensen type functional equation on groups/V.A. Faiziev and P.K.Sahoo// Bulletin of the Korean Mathematical Society. -2005. v.42,no.4. -pp.759 778.

455. Faiziev V.A., Pseudocharacters on a class of extension of free groups/V.A. Faiziev// New York Journal of Math. -2000.-N.6-C. 135−152.

456. Faiziev, V.A. The stability of the equation f (xy) f (x) — f (y) — 0 on groups /V.A. Faiziev// Acta Math. Univ. Comenianae.-2000. 1.-C.127−135.

457. Faiziev, V.A. The problem of express ibility is some amalgamated product of groups / V.A. Faiziev// Austral. Journ.Math.-2001. 71. -pp.105−115.

458. Faiziev V.A. On the space of {rij},^)-pseudo-Jensen mappings on Groups/V.A. Faiziev, Sahoo P.K.// Nonlinear Funct. Anal. And Appl.-2006. vol.11, no.5, -pp.759−791.

459. Faiziev V.A., On Drygas functional equation on groups/V.A. Faiziev, P.K. Sahoo // International Journal of Applied Mathematics and Stafistics.-2007. V.7. no. Fe07. -pp.59−69.

460. Faiziev V.A. On the stability of Drygas functional equation on groups /V.A. Faiziev, P.K. Sahoo // Banach Journal of Math.Analisis.-2007. v.l.- no.l. -pp.43−55.

461. Faiziev V.A. Stability of Drygas functional equation on T (3,R) /V.A. Faiziev, P.K.Sahoo // International Journal of Applied Mathematics and Statistics. -2007.-7, no. Fe07, 70−81.