Разработка методов исследования периодических процессов в задачах управления

Задача стабилизации, как известно, является одной из важнейших для теории управления. Эта задача постоянно возникает там, где требуется отследить некоторый номинальный режим, соответствующий положению равновесия системы и получаемый, например, при решении задачи статической оптимизации. В свете указанных позиций многие из существующих в настоящее время систем управления реальными помышленными процессами основаны на локальных регуляторах, действующих по отклонениям от номинального статического режима. Задача управления, таким образом, здесь сводится к отысканию, скажем, оптимального статического режима и автоматическому поддержанию режимов работы, найденных в результате статической оптимизации.

Построеная по такому принципу система управления, однако, далеко не всегда является оптимальной с технологической точки зрения. В ряде случаев там, где дальнейшее изменение регулируемых параметров не может уже привести к улучшению показателей процесса, существуют дополнительные возможности его интенсификации. Так, в последнее время появилось большое количество работ, в которых на основании анализа многочисленных экспериментов и результатов численного моделирования химико — технологических, пищевых и ряда других процессов установлено, что эффективность многих из этих процессов (тепло — и массобменных и каталитических) может быть повышена, если вместо постоянного управления, полученного в результате решения задачи статической оптимизации, использовать периодическое управление со средним значением, равным значению оптимального статического управления. И, хотя, эта идея нашла многочисленные подтверждения, в настоящее время практически отсутствует математический аппарат для исследования периодических процессов в задачах управления.

Первые попытки использования строгих математических методов для построения периодических поцессов были связаны либо с исследованием линейных систем, либо находились в предположении о существовании оптимального периодического режима, подлежащего определению. На практике, однако, получить периодический режим, тем более оптимальный, удается далеко не всегда.

Вопрос о существовании периодических режимов представляется весьма важным для теории автоматического управления еще и потому, что, как выяснилось, повышение эффективности процессов при использовании периодических управлений, вообще говоря, может рассматриваться как некое технологическое проявление весьма интенсивно развивающегося в настоящее время принципа обратной связи.

Таким образом, в этой области интересы теории автоматического управления начинают пересекаться с интересами теории дифференциальных уравнений и, особенно, теории колебаний, поскольку вопрос о существовании периодических режимов для последних является одним из важнейших. Многочисленные результаты, полученные здесь, не гарантируют существование периодических решений у нелинейных систем размерности более двух, даже если все решения ограничены. Что же касается многомерного нелинейного случая, то здесь, как известно, из существования ограниченного решения следует существование только инвариантного интегрального множества.

Именно последний случай, когда система с периодической правой частью не имеет периодических решений (по крайней мере с заданными начальными значениями) представляется наиболее типичным для задач управления реальными процессами. Сказанное, в частности, объясняется тем, что тепло — и массобмен обычно происходят при турбулентном режиме движения жидкости или газа. При этом выяснилось, что когда речь идет о математическом описании турбулентности, лучше всего описывают действительность гиперболические притягивающие множества. Приближение фазовых траекторий к гиперболическому притягивающему множеству представляет собой стремление системы к некоторому предельному режиму. Этот режим структурно устойчив и, одновременно, весьма сложен, а по своим свойствам аналогичен стохастичекому режиму.

Заметим теперь, что в случае систем с периодическими управлениями ситуация еще более усложняется, поскольку векторное поле, являющееся полем фазовой скорости для гиперболического притягивающего множества, здесь существенным образом зависит от внешней возмущающей силы, которая изменяется по периодическому закону. Поэтому возникает задача о разработке математического аппарата, позволяющего исследовать указанное явление. Как будет показано, данная задача, имеющая самостоятельное значение, оказывается весьма полезной при рассмотрении и некоторых задач оптимального управления.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка математических методов исследования периодических процессов в задачах управления. Данные методы базируются на новом для теории дифференциальных уравнений понятии условно — периодического решения и должны не только возможно более полно описывать поведение решений систем с периодическими управлениями, но и позволять рассматривать задачи отыскания оптимальных периодических и условно — периодических процессов и задачи синтеза периодических законов управления, предназначенных для реализации заданных периодических режимов.

В работе используется аппарат теории автоматического управления, теории дифференциальных уравнений, теории оптимального управления, теории функций действительного переменного, дифференциальной геометрии и математического программирования. Содержание диссертационной работы изложено в пяти главах.

В первой главе выясняется современное состояние проблемы, определяется роль и место рассматриваемых задач в теории управления и качественной теории дифференциальных уравнений, формулируются основные цели исследования, излагается основная идея работы.

Во второй главе приведено определение условно — периодического решения и рассмотрены вопросы существования периодических и условно — периодических решений дифференциальных уравнений. В частности, доказано, что если система имеет ограниченное решение, то она имеет также и условно — периодическое решение. Показано, что в трехмерном пространстве существует система, все решения которой ограничены, но которая не имеет ни одного периодического решения периода, равного периоду правой части системы/ В качестве одного из приложений этого результата установлено, что задача об отыскании отпимального периодического режима далеко не всегда имеет решение.

В третьей главе рассматривается проблема существования устойчивого в целом периодического режима. Получены условия существования такого режима. Показано, что в некоторых случаях эти условия сводят проблему существования и устойчивости периодического режима к некоторой конечномерной экстремальной задаче. Предложен алгоритм, приводящий к конструктивной процедуре ре.

О «» т-г <�" шения упомянутой экстремальной задачи. Далее, в третьей главе сформулирована и решена задача квазистатической оптимизации системы с управлениями, прилагаемыми в конечные моменты времени, и в качестве приложения полученных ранее результатов приведены условия существования асимптотически устойчивого в целом оптимального квазистатического режима.

В четвертой главе в рамках дальнейшего развития аппарата исследования систем с периодической правой частью изучен класс объектов, характеризуемых периодическим оператором сдвига вдоль кривых. Данный класс включает в себя такие объекты как дифференциальные уравнения Каратеодори и функционально — дифференциальные уравнения запаздывающего типа. Для периодического оператора сдвига вдоль кривых введено понятие условно — периодической кривой, аналогичное понятию условно — периодического решения. Показано, что из существования у некоторого оператора сдвига кривой, содержащейся в некотором компактном множестве, следует существование у него условно — периодической кривой.

В пятой главе в рамках приложения разработанного в главах 2−4 аппарата сформулирована задача, имеющая большое практическое значение при оптимизации процессов очистки и регерерации газов, о сушки и других процессов со сменным катализатором. Для этой задачи приведены условия существования устойчивых в целом периодических режимов и условия физической реализуемости заданного кусочно — постоянного номинального режима. Здесь же рассмотрены также две задачи управления реальными процессами. Одна из этих задач является приложением полученых ранее результатов к исследованию задачи синтеза ситемы управления процессом очистки и регенерации воздуха в замкнутом объемеполученные здесь результаты носят законченный характер, вполне пригодный для практического использования. Вторая из этих задач связана с изучением одного из наиболее характерных процессов, в которых использование периодических управлений приводит к повышению эффективности процесса. Этим процессом является процесс ректификации и в пятой главе рассматривается задача управления подсистемой ректификации процесса разделения воздуха. Поскольку данный процесс является необычайно сложным технологическим процессом, приведенные здесь результаты носят более иллюстративный характер, главным образом, подтверждающий эффективность использования периодических управлений.

Основные положения диссертации докладывались на научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете (март 1994 г.) и научных семинарах Института проблем управления РАН и Института системного анализа РАН (1989 — 97 г. г.), на третьей Всесоюзной школе «Прикладные проблемы управления макросистемами» (Ап-патиты, май 1989 г.), четвертой Всероссийской научно — технической конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования» (Тамбов, октябрь 1995 г.) и четвертой научно — практической конференции в Тамбовском государственном техническом университете (Тамбов, апрель 1997 г.).

Полученные в диссертации результаты вошли в курс лекций «Специальные главы технической кибернетики», прочитанный автором в 1992 — 97 г. г. в Тамбовском государственном техническом университете. В настоящее время планируется внедрение основных результатов работы в учебный процесс на физико — математическом и экономическом факультетах Тамбовского государственного университета им. Г. Р. Державина. Кроме того, основные результаты диссертации используются при разработке систем очистки и регенерации воздуха в Тамбовском научно — исследовательском химическом институте.

Основные результаты работы опубликованы в изданиях, оговоренных ГВАК России.

Заключение

.

В диссертации разработано новое научное направление в рамках качественной теории управления, заключающееся в создании схемы решения задач управления процессами, эффективность которых повышается при использовании периодических управлений. Тем самым предложен новый подход к исследованию периодических процессов в задачах управления, позволяющий существенно расширить круг теоретических и прикладных проблем, решаемых теорией управления.

В рамках развитого в диссертации научного направления получены следующие основные результаты:

1. Разработан математический аппарат для исследования динамических систем с периодическими управлениями. Данный аппарат базируется на новом понятии условно — периодического решения. Показано, что из существования у системы с периодической по времени правой частью ограниченного решения следует существование условно — периодического решения. В частности, оказывается, что в автономном случае рекуррентными траекториями могут быть траектории, описываемые условно — периодическими решениями, и только они.

2. В рамках развития разработанного аппарата исследования систем с периодической правой частью получены условия существования асимтпотически устойчивого в целом периодического решения. Полученные условия в некоторых случаях сводят проблему существования и устойчивости периодического решения к некоторой конечномерной экстремальной задаче. В диссертации предложен и опробован алгоритм, приводящий к конструктивной процедуре решения упомянутой экстремальной задачи.

3. В рамках дальнейшего развития аппарата исследования систем с периодической правой частью изучен класс объектов, характеризуемых периодическим оператором сдвига вдоль кривых. Данный класс включает в себя такие объекты как дифференциальные уравнения Каратеодори и функционально — дифференциальные уравнения запаздывающего типа. Для периодического оператора сдвига вдоль кривых введено понятие условно — периодической кривой, аналогичное понятию условно — периодического решения. Показано, что из существования у некоторого оператора сдвига кривой, содержащейся в некотором компактном множестве, следует существование у него условно — периодической кривой.

4. В рамках приложения разработанного аппарата исследования систем с периодической правой частью к задачам управления показано, что задача отыскания оптимального периодического режима не всегда имеет решение и, потому, в общем случае ее следует заменять задачей отыскания оптимального условно — периодического режима. Данная задача является стандартной задачей оптимального управления и в диссертации рассматриваются только ее частные случаи, связанные с некоторыми реальными процессами.

5. В диссертации сформулирована и полностью решена задача квазистатической оптимизации системы с управлениями, прилагаемыми в конечные моменты времени. Приведены условия существования асимптотически устойчивого в целом оптимального квазистатического режима. Данная задача имеет большое практическое значение, поскольку она достаточно часто встречается в промышленности, например, в процессах очистки и регенерации газов, осушки и в других каталитических процессах со сменным катализатором. Частным случаем такой задачи является рассмотренная в диссертации задача управления процессом регенерации воздуха в замкнутом объеме.

6. В качестве иллюстрации развиваемого подхода в диссертации рассмотрена задача об управлении стадией ректификации в процессе разделения воздуха.