Нелинейные волны в магнитных пленках и слоистых структурах: Распространение и взаимодействие

the progress of physics will to a large extent depend on the progress of nonlinear mathematics, of methods to solve nonlinear equations. and therefore we can learn by compering different nonlinear problems." .

WERNER HEISENBERG.

Изучение нелинейных волн в различных физических системах — притягательная область исследований, как с фундаментальной точки зрения, так и с точки зрения приложений нелинейных свойств твердых тел. Современная теория нелинейных волн относится к синтетическим теориям. Она возникла на стыке нелинейной теории колебаний, линейной теории распространения волн, математической теории квазилинейных уравнений в частных производных, а также результатов прикладных исследований в газодинамике, теории волн на воде, радиофизике, нелинейной оптике, физике плазмы, физике магнитных явлений и т. д. К настоящему времени в ней уже выработалась собственная система универсальных понятий — общего языка, которым могут пользоваться физики и математики различного профиля. Наиболее впечатляющие результаты по нелинейным эффектам получены в оптике при изучении распространения волн в волноводоведущих диспергирующих средах. В противоположность этому изучение нелинейных эффектов в твердотельных системах демонстрирует более слабый прогресс. Это обусловлено, во-первых, существенными диссипативными потерями, которые делают весьма затруднительным наблюдение большинства нелинейных эффектов в твердых телах, а во-вторых, особенностями пространственной дисперсии, которая при определенном соотношении параметров может обеспечивать не только образование локализованных состояний, но и их разрушение. Однако в последние годы и здесь были достигнуты значительные успехи, в частности, по формированию акустических солитонов в кремнии, окиси магния, а-кварце и сапфире с помощью пикосекундной звуковой техники [1]. Изменение формы акустического нелинейного импульса при этом описывалось уравнением Кортевега — де Вриза.

Настоящая работа посвящена одной из важнейших проблем нелинейной магни-тодинамики — изучению нелинейных волновых процессов в магнитоупорядоченных веществах. Здесь особая роль принадлежит спиновым волнам. Достоверно установлена глубокая корреляция между спектром линейных спиновых волн и основными свойствами нелинейных магнитных структур — уединенных волн намагниченности, солитонов, вихрей и др. В основном это актуально для солитонов огибающей высокочастотных спиновых волн, которые в настоящее время уверенно генерируются и наблюдаются экспериментально. Солитоны огибающей представляют собой устойчивые нелинейные волновые пакеты, сохраняющие свою форму при распространении в нелинейной дисперсионной среде даже при взаимодействии с другими солитонами. Эти свойства делают их привлекательными с точки зрения практических приложений, в частности, для передачи информации в технически важном СВЧ — диапазоне.

Эксперимент по наблюдению уединенных волн и солитонов обычно проводится при комнатной температуре в хорошо освоенном диапазоне частот на монокристаллах отличного качества. В большинстве случаев в таком эксперименте используют структуру ферромагнетик — диэлектрик — металл: на металлизированное основание напыляется диэлектрическая прослойка, на которой «монтируются» передающая и принимающая антенны, и на ней же располагается образец — пленка. В качестве рабочего вещества, как правило, используется железо — иттриевый феррит — гранат (ЖИГ). Интерпретация экспериментальных данных обычно проводится в предположении, что спектр линейных спиновых волн всей структуры совпадает со спектром изолированной пленки ЖИГа. Эволюция огибающей спиновых волн при этом, как правило, описывается хорошо изученным классическим, полностью интегрируемым нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) — уравнением параболического типа с кубической нелинейностью. Однако такая модель имеет ограниченную применимость по трем причинам.

Во-первых, закон дисперсии линейных спиновых волн в структуре ферромагнетик — диэлектрик — металл (ФДМ) существенно отличается от такового для изолированной магнитной пленки. Он обнаруживает ряд особенностей, в частности, точки «нулевой дисперсии», в которых обращается в нуль дисперсия групповой скорости и, следовательно, уменьшается расплывание волнового пакета при прохождении высокочастотного импульса через структуру. Кроме того, в спектре появляются области как нормальной (положительной), так и аномальной (отрицательной) дисперсии. Эти обстоятельства существенно влияют на сценарий формирования возможных типов солитонов и их свойства. Поэтому изучение долгоживущих состояний и нелинейных структур в многослойных материалах и пленках вблизи особых точек спектра линейных спиновых волн вполне можно отнести к актуальным задачам.

Во-вторых, спиновые волны в структуре ферромагнетик — диэлектрик — металл относятся к высокодисперсионным системам (higher order dispersion media). Следствием этого обстоятельства является необходимость учета в уравнениях эволюции не только обычной (квадратичной) дисперсии, но и дисперсии более высокого (например, третьего) порядка. Кроме того, нелинейный отклик среды оказывается зависящим от волнового числа несущей спиновой волны, что приводит к необходимости учета в уравнении дисперсии нелинейных слагаемых. В результате учета дополнительных слагаемых уравнение эволюции из классического НУШ превращается в обобщенное нелинейное уравнение Шредингера (ОНУШ). В отличие от нелинейного уравнения Шредингера ОНУШ не является полностью интегрируемым уравнением. К сожалению, при некоторых обстоятельствах бывает необходимо пожертвовать математическими удобствами полной интегрируемости, чтобы отразить существенные физические свойства системы.

В-третьих, особенности линейного спектра существенно меняют характер взаимодействия одновременно распространяющихся волн и, как следствие, меняется сценарий формирования модуляционной неустойчивости (неустойчивости Бенджамина — Фейра [2]) — предвестника уединенных волн или солитонов в этой системе.

В нашей работе мы ограничиваемся рассмотрением только магнитостатиче-ских волн и колебаний в случав ферромагнетика, намагниченного до насыщения. Известно, что существует довольно широкий интервал, в котором, с одной стороны, уже можно использовать уравнения магнитостатики, а с другой — еще можно не учитывать неоднородного обменного взаимодействия. В структуре ферромагнетикдиэлектрик — металл могут быть возбуждены как объемные, так и поверхностные магнитостатические волны. Объектом предпринятого нами исследования являются уединенные волны намагниченности и солитоны огибающей поверхностных магни-тостатических волн.

Цель предпринятой работы состояла в разработке последовательной модели, учитывающей тонкие детали спектра линейных спиновых волн и описывающей широкую совокупность нелинейных свойств высокодисперсионной системы — магнито-статических поверхностных спиновых волн в структуре ферромагнетик — диэлектрик — металл.

Для ее достижения были решены следующие задачи:

— изучены тонкие детали спектра линейных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик — диэлектрик — металл, проанализированы условия появления в спектре точек «нулевой дисперсии» в зависимости от материальных параметров системы;

— получены уравнения эволюции, адекватно описывающие слабонелинейную динамику магнитостатических поверхностных волн, исследована корреляция между линейными и нелинейными свойствами системы;

— в рамках предложенной модели исследованы возможные типы новых динамических долгоживущих микромагнитных состояний и структур вблизи особых точек спектра линейных спиновых волн;

— предложена система связанных нелинейных уравнений Шредингера, моделирующая взаимодействие двух волновых пакетов поверхностных магнитостатических волн, исследованы условия появления модуляционной неустойчивости волн, получены решения, описывающие динамику намагниченности этих волн в окрестности точки «нулевой дисперсии» ;

— проведено сравнение полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными по распространению солитонов огибающей магнитостатических спиновых волн в тонких магнитных пленках.

Актуальность исследования. В 1999 г. в журнале УФН [3, 4] академик В. Л. Гинзбург опубликовал серию работ под названием «Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными (тридцать лет спустя, причем уже на пороге XXI века)?», где был прокомментирован некоторый «список» проблем, представляющихся особенно важными и интересными. Он состоял из 30 названий. На 11-ое место была поставлена проблема «Нелинейная физика. Турбулентность. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы». В. Л. Гинзбург подчеркнул:

Внимание к нелинейной физике все усиливается и усиливается. В значительной мере это связано с тем, что использование современной вычислительной техники позволяет анализировать задачи, об исследовании которых раньше можно было только мечтать" .

Применение современных методов вычислительной математики позволяет строить более реальные модели нелинейных волновых процессов. Сейчас в области нелинейной физики можно выделить два типа злободневных задач: задачи с более, чем одной пространственной переменной и задачи, в которых анализируется роль дисперсии и нелинейности высших порядков. Решаемые в представленной работе задачи относятся ко второму типу. Эволюционным уравнением задачи, как уже отмечалось выше, является обобщенное нелинейное уравнение Шредингера (ОНУШ).

Актуальность решаемой задачи также обуславливается универсальностью используемого базового уравнения — ОНУШ, которое (впрочем, как и НУШ), кроме нелинейной физики магнитных явлений, широко используется в нелинейной оптике, теории волн на глубокой воде (что особенно актуально в последнее время), физике плазмы и других разделах. Поскольку оно не является полностью интегрируемым, то любое его новое решение, полученное в одном из указанных разделов физики, немедленно становится достоянием и другого раздела. В силу универсальности этого уравнения рассматриваемая структура ферромагнетик-диэлектрик-металл может вполне рассматриваться как модельная система для изучения нелинейных явлений и в других, близких по описанию, средах.

Научная новизна и защищаемые результаты. В работе приведены результаты исследования особенностей формирования уединенных волн и солитонов в структуре ферромагнетик — диэлектрик — металл в магнитостатическом приближении как следствие развития модуляционной неустойчивости при распространении либо одной монохроматической поверхностной спиновой волны, либо двух одновременно. В качестве уравнения эволюции использовано обобщенное нелинейное уравнение Шредингера, учитывающее эффекты высшей и нелинейной дисперсии, существенные в указанной слоистой структуре. Задача о специфической нелинейной динамики в слоистых магнитных структурах с учетом тонких деталей и особенностей спектра поверхностных спиновых возбуждений таким образом, как предлагается в работе, еще не ставилась.

К положениям, выносимым на защиту, относятся:

1. Анализ тонких деталей спектра поверхностных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл: показано, что положение точки «нулевой дисперсии» в спектре поверхностных магнитостатических волн при типичных значениях материальных характеристик структуры на зависимости ui (k) определяется условием Ukk = 0, реализуемым при к ~ A-1 (ui — частота, -вторая производная от частоты по волновому числу, Д толщина диэлектрического слоя).

2. Модель зарождения и эволюции уединенных волн и солитонов огибающей поверхностных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик — диэлектрик — металл: (а) выяснены условия для появления нового класса микромагнитных состояний — «светлых» и «темных» солитонов Потасека-Табора, периодических (кноидальных) волн, «серых» и «анти-темных» солитонов намагниченности- (б) исследованы особенности развития нелинейного спин-волнового сценария при распространении одиночной плоской волны с волновым числом, близким к волновому числу точки «нулевой дисперсии» спектра, выяснены условия появления неустойчивости Бенджамина — Фейра и «темного» солитона на фоне этой волны.

3. Результаты исследования особенностей развития модуляционной неустойчивости в системе двух взаимодействующих волн, распространяющихся в структуре ферромагнетик — диэлектрикметалл: (а) предложена модель — система двух связанных нелинейных уравнений Шредингера — для описания нелинейного взаимодействия распространяющихся волн- (б) построены «фазовые» диаграммы, отражающие области, в которых имеет место модуляционная нестабильность и области, в которых модуляционная неустойчивость не реализуется. Размеры и формы этих областей определяются характеристиками спектра линейных спиновых возбуждений.

4. Численные алгоритмы для анализа сценариев зарождения уединенных волн (квазисолитонов) и солитонов в многослойных магнетиках, их взаимодействия и физических свойств.

Теоретическая и практическая значимость работы. В рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера исследованы новые типы нелинейных возбуждений и локализованных структур в слоистых магнитных материалах с управляемыми с помощью внешних параметров пространственной дисперсией и нелинейностью. Изучены долгоживущие состояния и структуры в многослойных материалах вблизи особых точек спектра линейных спиновых волн. Эти точки замечательны тем, что вблизи них всегда существуют пространственно — временные области, в которых баланс эффектов дисперсии и нелинейности среды допускает существование новых локализованных состояний. Проведен анализ нелинейного взаимодействия двух поверхностных спиновых волн, распространяющихся в структуре ферромагнетик — диэлектрик — металл. Выяснены условия возникновения модуляционной неустойчивости, приводящей к образованию уединенных волн и солитонов. Полученные результаты могут быть использованы для интерпретации уже известных экспериментальных данных по магнитостатическим солитонам огибающей в магнитных пленках, а также для постановки новых работ по исследованию особенностей уединенных волн намагниченности и волновых процессов в слоистых магнитных структурах. В целом работа направлена на разработку фундаментальных основ новейших нелинейно-волновых технологий, использующих в устройствах обработки сигналов существенно нелинейные явления, происходящие в магнитных материалах — многослойных магнитных структурах и неоднородных магнитных пленках.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгой обоснованностью принятых приближений и допущений, использованием в работе хорошо проверенных и апробированных аналитических и численных методов, совпадением предельных переходов с известными ранее результатами.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Международной зимней школе физиков-теоретиков «КоуровкагХХ1Х» (Екатеринбург, 2002) — Международных школах — семинарах «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2002, 2004) — Международных семинарах «Магнитные фазовые переходы» (Махачкала, 2002, 2004) — XXXIII Совещании по физике низких температур (Екатеринбург, 2003) — Выездной сессии по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах (Астрахань, 2003) — Евро — Азиатском симпозиуме «Достижения в магнетизме» (Красноярск, 2004) — Международной конференции «Комплексный анализ, уравнения математической физики, вычислительная математика» (Уфа, 2004).

Публикации. По материалам диссертации имеется 15 публикаций, в том числе б статей в реферируемых научных журналах и 9 тезисов докладов на Всероссийских и международных конференциях.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и трех приложений. Полный объем работы составляет 137 страниц, включая 37 рисунков, 4 таблицы и 97 наименований цитируемой литературы.

1. Нао H.Y. Maris H.J. Experiment with acoustic solitons in crystalline solids / / Phys. Rev. B. — 2001. — V. 64. — P. 64 302.

2. Benjamin T.B. Feir J.E. The desintegration of wave train in deep water / / Fluid Mech. — 1967. — V. 27. — P. 417−430.

3. Гинзбург В. Л. Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными (тридцать лет спустя, причем уже на пороге XXI века)? / / Успехи Физических Наук. — 1999. — Т. 169. — 4. — 419−441.

4. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. — М.: Мир, 1977. — 306 с.

5. Малоземов А, Слонзуски Дж., Доменные стенки в материалах с цилиндрическими доменами. — М.: Мир, 1982. — 382 с.

6. De Leeuw F.H. van den Doel R., Enz U. Dynamic properties of magnetic domain walls and magnetic bubbles / / Rep.Progr.Phys. — 1980. — V. 43. — P. 689−783.

7. Львов B.C. Нелинейные спиновые волны. — М.:Наука, 1987. — 270 с.

8. Абловиц М. Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. — М.:Мир, 1987. — 480с.

9. Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — ЗСОс.

10. Калиникос Б. А. и др. Наблюдение автогенерации темных солитонов огибающей спиновых волн в ферромагнитных пленках / / Письма в ЖЭТФ. — 1998. — Т. 68. — 3,4. — 229−233.

11. Slavin A.N. Kivshar Yu.S. Ostrovskaya E.A. Benner H. Generation of Spin-Wave Envelope Dark Solitons / / Phys. Rev. Let. — 1999. — V. 82. — 12. — P. 2583−2586.

12. Kalinikos B.A. Kovshikov N.G. Patton C.E. Excitation of bright and dark microwave magnetic envelope solitons in a resonant ring / / Appl. Phys. Letters. — 1999. — V. 75. — 2. — P. 265−267.

13. Chen M. Tsankov M.A. Nash J. M. Patton C.E. Backward-volume-wave microwaveenvelope solitons in yttrium iron garnet films / / Phys. Rev. B. — 1994. — V. 49. — P. 12 773−12 790.

14. Kalinicos B.A. Kovshikov N.G. Slavin A.N. Experimental observation of magnetostatic wave envelope soUtons in yttrium iron garnet films / / Phys.Rev.B. — 1990. — V. 42. — P. 8658.

15. Kalinikos B.A. Scott M. Patton C.E. Self-Generation of fundamental dark soUtons in magnetic films / / Phys.Rev.Let. — 2000. — V. 84. — 20. — P. 4697−4700.

16. De Gasperis P. Marcelli R. Miccoli G. Magnetostatic soliton propagation at microwave frequency in magnetic garnet films / / Phys. Rev. Lett. — 1987. — V. 59. -p. 481−484.

17. Chen M. Tsankov M.A. Nash J.M. Patton C.E. Microwave magnetic-envelope dark sohtons in yttrium iron garnet thin films / / Phys. Rev. Lett. — 1993. — V. 70. — p. 1707−1710.

18. Nash J.M. Kabos P. Staudinger R. Patton C.E. Phase profiles of microwave magnetic envelope sohtons / / J. Appl. Phys. — 1998. — V. 83. — 5. — P. 2689−2699.

19. Lighthill M.J. Group velocity / / J.Inst. Math. Its Appl. — 1965. — V. 1. — P. 269.

20. Додд P. Эйлбек Дж. Гиббон Дж. Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М: Мир, 1988. — 694 с.

21. Виноградова М. Б. Руденко О.В. Сухорукое А. П. Теория волн. — М.: Наука, 1979. — 384 с.

23. Slavin A.N. Benner H. Formation and propagation of spin-envelope soUtons in weakly dissipative ferrite waveguides / / Phys. Rev. B. — 2003. — V. 67. — P. 174 421.

24. Xia H. Kabos P. Staudinger R.A. Patton C.E. Velocity characteristics of microwavemagnetic-envelope solitons / / Phys. Rev. B. — 1998. — V. 58. — 5. — P. 2708−2715.

25. Xia H. Kabos P. Patton C. E. Ensle H. E. Decay properties of microwave-magneticenvelope sohtons in yttrium iron garnet films / / Phys. Rev. B. — 1997. — V. 55. — 22. — P. 15 018−15 025.

26. Slavin A.N. Thresholds of Envelope Soliton Formation in a Weakly Dissipative Medium / / Phys. Rev. Lett. — 1996. — V. 77. — 22. — P. 4644−4647.

27. Zaspel C.E. Kabos P. Xia H. Zhang H.Y. Patton C.E. Modelling of the power — dependent velocity of microvave magnetic envelope solitons in thin films / / J. of Appl. Phys. — 1999. — V. 85. — 12. — P. 8307−8311.

28. Potasek M.J. Tabor M. Exact solutions for ал extended nonlinear Schrodinger equation / / Phys. Let. — 1991. — V. 154. — 9. — P. 449−452.

29. Грудинин A.В. Меньшов В. Н. Фзфса Т.Н. О растространении фемтосекундных солитонов в одномодовых волоконных световодах / / ЖЭТФ. — 1990. — Т. 97. — 2. — 449−454.

30. Gedahn T.C.Scott Y.B.Band Optical Solitary Waves in the Higher Order Nonlinear Schrodinger Equation / / Phys. Rev. Lett. — 1997. — V. 78. — P. 448.

31. Zaspel C.E. Mantha J.H. Rappoport Yu.G. Grimalsky V.V. Evolution of solitons in magnetic thin films / / Phys. Rev. B. — 2001. — V. 64. — P. 64 416.

32. Rappoport Yu.G. Zaspel C.E. Mantha J.H. Grimalsky V.V. Multisoliton formation in magnetic thin films / / Phys. Rev. B. — 2001. — V. 65. — P. 24 423.

33. Wu M. Kraemer M.A. Scott M. M. Patton C.E. Kalinikos B.A. Spatial evolution of multipeaked microwave magnetic envelope solitons in yttrium iron garnet thin films / / Phys. Rev. B. — 2004. — V. 70. — P. 54 402.

34. Miller N.D.J. Magnetostatic Volume Wave Propagation in a Dielectric Layered Structure / / Phys. Stat.Sol. — 1976. — V. 37. — P. 83−91.

35. Miller N.D.J. Non-reciprocal propagation of a magnetostatic volume waves / / Phys. Stat. Sol. — 1977. — V. 43. — P. 593−600.

36. Bongianni W.L. Magnetostatic Propagation in a Dielectric Layered Structure / / J. Appl. Phys. — 1972." - V. 43. — 6. — P. 2541−2548.

37. Kalinicos B.A. Slavin A.N. Theory of dipole-exchange spia-wave spectrum for ferromagnetic films with mixed exchange boundary conditions / / J.Phys.C: Solid State Phys. — 1986. — V. 19. — 35. — P. 7013−7033.

38. Калиникос B.A. Ковшиков Н. Г. Славин H.A. Солитоны огибающей и модуляционная неустойчивость дипольно-обменных спиновых волн намагниченности в пленках железо-иттриевого граната / / ЖЭТФ. — 1988. — Т. 94. — 2. — 159−176.

39. Киселев В. В. Танкеев А.П. Кобелев А. В. Слабонелинейная динамика дипольнообменных спиновых волн в ферромагнитных пластинах конечной толщины / / ФММ. — 1996. — Т. 82. — 5. — 38−58.

40. Kiseliev V.V. Tankeyev А.Р. Non-local dynamics of weakly nonlinear spin excitations in thin ferromagnetic films / / J.Phys.: Condens. Matter. — 1996. — V. 8. — P. 10 219−10 229.

41. Li Zh. Li L. Tian H. Zhou G. Spatschek K.H. Chirped femtosecond solitonlike laser pulse with self-frequency shift / / Phys. Rev. Lett. — 2002. — V. 89. — 26. — P. 263 901.

42. Gardner C.S. Greene J.M. Kruskal M.D. Miura R.M. Method for solving the Korteveg — de Vries Equation / / Phys. Rev. Lett. — 1967. — V. 19. — P. 1095−1097.

43. Захаров B.E. Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния / / Функциональный анализ и приложения. — 1973. — Т. 6. — 3. — 43−53.

44. Karpman V. L Rasmussen J.J. Shagalov A.G. Djniamics of solitons and quasisolitons of the cubic third-order nonlinear Schrodinger equation / / Phys. Rev. E. — 2001. — V. 64. — P. 26 614.

45. Karpman V. L Radiation of sohtons described by a high-order cubic nonlinear Schrodinger equation / / Phys. Rev. E. — 2000. — V. 62. — 4. — P. 5678−5687.

46. Li Z. Li L. Tian H. Zhou G. New types of solitary wave solutions for the higher order nonUnear Schrodinger equation / / Phys.Rev. Let. — 2000. — V. 84. — 18. — P. 4096−4099.

47. Смагин В. В. Борич М.А. Танкеев А. П. Динамические кноидальные состояния намагниченности в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл / / ФММ. -2004. — Т. 98. — 6. — 12−17.

48. Gromov E. NL Piskunova L.V. Tyutin V.V. Dynamics of wave packets in the frame of third-order nonlinear Schrodinger equation / / Phys. Let. A. — 1999. — V. 256. — P. 153−158.

49. Танкеев А. П. Шагалов А.Г. Борич MA. Смагин В. В. Магнитостатические солитоны Потасека-Табора в слоистой структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл / / ФММ. — 2002. — Т. 93. — 6. 29−40.

50. Танкеев А. П. Шагеилов А.Г. Борич М. А. Смагин В.В. Эволюция солитонов огибающей объемных магнитостатических волн в структуре ферромагнетик-диэлектрик-металл / / ФММ. — 2003. — Т. 95. — 1. — 10−20.

51. Tankeev A.P. Shagalov A.G. Borich M.A. Smagin V.V. Nonlinear Dynamics of Surface Magnetostatic Waves in Ferromagnet-Insulator-Metal Structures / / Phys. of Metals and Metallography. — 2003. — V. 95. — Suppl.I. — P. 56−67.

52. Borich М.А. Kobelev A.V. Smagin V.V. Tankeyev A.P. Evolution of the surface magnetostatic wave envelope solitons in a ferromagnet-dielectric-metal structure / / J.Phys.: Condens. Matter. — 2003. — V. 15. — P. 8543−8559.

53. Boyle J.W. Nikitov S.A. Boardman A.D. Xie K. Observation of cross-phase induced modulation instability of traveling magnetostatic waves in ferromagnetic films / / J. of Magnet, and Magnet. Materials. — 1997. — V. 173. — P. 241−252.

54. Короткевич A.O. Никитов C.A. Фазовая кросс-модуляция поверхностных магнитостатических спиновых волн / / ЖЭТФ. — 1999. — Т. 116. — 6 (12). — 2058;2068.

55. Forest M.G. McLaughin D.W. Muraki D.J. Wright O.C. Nonfocusing Instabilities ion Coupled, Integrable Nonlinear Schrodinger pdes / / J. Nonlinear Sci. — 2000. — V. 10. — P. 291−331.

56. Blow K.J. Doran N.J. Wood D. Polarization instabilities for solitons in birefringet fibers / / Opt. Let. — 1987. — V. 12. — P. 202−205.

57. Rothenberg J.E. Modulational instability for normal dispersion / / Phys.Rev. -1990. — V. A42. — P. 682−685.

58. Rothenberg J. E Observation of the buildup of modulational instabiUty from wavebreaking / / Opt. Let. — 1991. — V. 16. — P. 18−20.

59. Борич M.A. Смагин В. В. Танкеев А.П. Взаимодействие нелинейных волн в магнитной слоистой структуре / / ФММ. — 2004. — Т. 98. — 5. — 5−22.

60. Борич М. А. Смагин В.В. Танкеев А. П. Взаимодействие нелинейных волн в магнитной слоистой структуре / / XIX Международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники»: Сб. трудов. — Издательство Физ. фак. МГУ, 2004. — 92.

61. Agrawal G.P. Modulation Instability Induced by Cross-Phase Modulation / / Phys, Rev. Let. — 1987. — V. 59. — 8. — P. 880−883.

62. Radhakrishnan R. Lakshmanan M. Exact soliton solutions to coupled nonlinear Schrodinger equations with higher-order effects / / Phys. Rev. E. — 1996. — V. 54. — 3. — P. 2949−2955.

63. Damon R.W. Eshbach J.R. Magnetostatic modes of a ferromagnet slab / / J. Phys.Chem.Sohds. — 1961. — V. 19. — ¾. — P. 308−320.

64. O’Keeffe T.W. Patterson R.W. Magnetostatic surface-wave propagation in finite samples / / J.Appl.Phys. — 1978 — V. 49. — 9. — P. 4886−4895.

65. Kiseliev V.V. Tankeyev A.P. Kobelev A.V. Shagalov A.G. Non-linear spin dynamics in ferromagnetic films and Schrodinger’s equation in the vicinity of the zero-dispersion point / / J.Phys.: Condens. Matter. — 1999. — V. 11. — P. 3461−3474.

66. Кадомцев Б. Б. Карпман В.И. Нелинейные волны / / Успехи физических наук. — 1971. — Т. 103. — 2. — 193−232.

67. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 620 с.

68. Hirota R. Exact envelope soliton of a nonlinear wave equation / / J. Math. Phys. — 1973. — V. 33. — P. 805−809.

69. Sasa N. Sutsuma J. New-type of soliton solutions for a higher-order nonlinear Schrodinger equation / / J. Phys. Soc. Japan. — 1991. — V. 60. — P. 409−417.

70. Gromov E.M., Tyutin V.V., Stationary waves in a third — order nonlinear Schrodinger equation / / Wave Motion. — 1998. — V. 28. — P. 13−24.

71. Gromov E.M. Talanov V.I. Nonlinear dynamics of short wave trains in dispersive media / / JETP. — 1996. — V. 83. — P. 73−79.

72. Абргшян Л.A. Степанянц Ю. А. О структуре солитонов в средах с аномально малой дисперсией / / ЖЭТФ. — 1985. — Т. 88. — 5. — 1616−1621.

73. Абрамян Л. А, Степанянц Ю. А. О структуре двумерных солитонов в рамках обобщенного уравнения Кадомцева-Петвиашвилли / / Радиофизика. — 1987. — Т. 30. — 10. — 1175−1180.