Разработка общей теории больших и малых упругих перемещений в плоских стержневых системах

Основная задача механики деформируемых тел состоит в установлении функциональных связей между нагрузкой и параметрами, характеризующими изменение их геометрии. Для обозначения любых изменений формы и размеров при упругом деформировании тел используется термин «эластика» [106] (фр. elastique — упругий, гибкий), определение их составляет «задачу эластики». В строгой математической формулировке задачи эластики нелинейны и «решение их представляет одну из наиболее сложных и актуальных проблем современной математики и механики» [89].

Для большинства стержневых конструкций требование жесткости ограничивает величину геометрических изменений формы и размеров и соответственно представлениям о «малом» и «большом» сформировано два подхода в определении их геометрии деформирования. Для определения «малых» изменений сформирован ряд понятий и положений со статусом «руководящих правил и принципов», в рамках которых образована теория «малых перемещений ййи «малых деформаций», методы и приемы которой нашли самое широкое применение в задачах статики, динамики, прочности, устойчивости элементов конструкций и сооружений. В этой теории, использующей допущения для линеаризации исходных уравнений задачи, по виду функциональной связи между нагрузкой и «характерным перемещением» при физической линейности материалов возникает деление систем на геометрически линейные и геометрически нелинейные. Появляются и терминологические тонкости в словесном определении допущений и обозначении геометрии деформирования. Слабо искривлённая ось изгибаемых стержней обычно называется упругой линией или упругой кривой, а под эластикой понимается «точная форма упругой оси» [85].

Обычно геометрически линейные системы образуют короткие («относительно жёсткие») стержни, физический ресурс упругости материалов которых исчерпывается при малых изменениях форм и размеров, геометрически нелинейными становятся системы, содержащие длинные (гибкие) стержни и допус5 кающие большие изменения геометрии при том же ресурсе упругости. В этих представлениях геометрическая линейность систем связывается с линеаризацией исходных уравнений, ассоциируется с законом Гука, и как следствие, в целом, трактуется как очевидная и объективная реальность. «В подавляющем большинстве случаев в определённых пределах перемещения пропорциональны нагрузке» [91]. Геометрическая нелинейность представляется как феномен и особенность некоторых систем и условий их нагружения.

Подход к задаче определения геометрии деформирования систем с длинными (гибкими) стержнями характерен тем, что в сложившихся представлениях [69, 70, 71, 96] существует убеждение, что к решению её «нельзя применить обычную теорию сопротивления материалов. Необходимо построить совершенно иную прикладную теорию изгиба, справедливую для сколь угодно больших упругих перемещений и коренным образом отличающуюся от обычной теории, начиная с основных положений и понятий» .

Основные уравнениямеханики деформируемых тел любой формы «давно сведены к определяющим уравнениям» [44, 52] и к настоящему времени формально «теория больших перемещений, отличающаяся от обычной теории» существует [69, 70, 71], имеются отдельные исследования и решения задач [64, 79, 80, 102, 104, 105]. Отличает их «громоздкость» [42, 91, 93] и сложность преобразований, сводящих решение к специальным функциям без видимой физической связи их переменных с определяемыми параметрами эластики.

Замечено [44], что «механика деформируемых тел состоит не только из уравнений, а также из определений точного физического смысла всех входящих в эти уравнения параметров и функций и самих уравнений». Очевидно, по причине отсутствия этих определений специальная теория, не имеющая общих основ невидимых связей с обычной теорией, не стала и не может стать инструментом инженера. В учебной и прикладной технической литературе проблеме эластики в математически корректной постановке практически нет места. В инженерном образовании доминирует приближённая «теория малых перемеще6 ний», а результаты решения отдельных задач по «специальной теории» используются для подтверждения результатов приближённой теории и, в основном, в иллюстративных целях для демонстрации существования геометрически нелинейного поведения некоторых систем при «малых» изменениях.

Представление о коренном отличии теорий эластики коротких и длинных стержней появилось не сразу [84]. Сложность решения задач эластики в точной постановке предопределили появление теории «малых» перемещений, а её результативность, отвечающая требованиям практики, затем успехи вычислительной техники [47, 90] в значительной степени отодвинули несколько в сторону от научных интересов и инженерных запросов и как бы устранили необходимость разработки единой или общей теории эластики. Представления о возможности существования такой теории не существует.

Сохранение до настоящего времени практически неизменного состояния проблемы эластики объясняется тем, что «при конечных упругих перемещениях стержня его конфигурация в деформированном состоянии существенно отличается от первоначальной, что почти полностью исключает прямое применение приближённого анализа, основанного на линеаризации исходной дифференциальной системы уравнений. В связи с этим большое значение приобретают известные точные решения задачи. Не умаляя значения точных решений в теории упругих стержней, следует признать, что основные методы решения практических задач являются приближёнными. Совершенствование и развитие приближённых методов относится к числу важнейших направлений в теории упругих стержней» [52].

В определении проблемы эластики как совокупной проблеме математики и механики уже заложена неопределённость и нечёткость представлений о ней. Невозможно выделить ключевое звено и где оно: в математике или механике? Наличие двух теорий для решения одной и той же задачи, когда из результатов её решения по одной теории нельзя получить результаты другой теории, использующей допущения, свидетельствует или о не корректной трактовке этих 7 допущений, или о неизвестном механизме их действия, а, в целом, о неудовлетворительном общем уровне развития обеих теорий.

В своё время Декарт определил, что «проблема есть не что иное, как в своё время нерешённая задача». Он же дал руководящую рекомендацию: «уточняйте понятия и у вас не будет проблем» .

В механике деформирования твёрдых тел, как и в любой науке, имеется немало белых пятен, которые, прикрытые создавшимися представлениями, длительное время остаются таковыми. С. П. Тимошенко указывал, что «время от времени необходимо обсуждать основные допущения, на которых основаны методы анализа». Но, как заметил Ф. Клейн [56], «старые задачи, уже неоднократно подвергавшиеся исследованию, требуют для их разрешения усиленной работы. По-видимому, всему, что представляет в науке истинный прогресс, уготована горькая судьба в процессе критических дискуссий, в первую очередь столкнуться с недовольством прочно обоснованной и строгой правоверности» .

Очевидно, решение двойственной проблемы следует искать, как в совершенствовании её математического аппарата, так и в оценке и уточнении существующих понятий и представлений, составляющих основу современного анализа геометрии деформирования тел.

Настоящее исследование имеет целью установление общих основ и внутренних связей между двумя теориями и разработку основ общей теории с необходимым математическим обеспечением. «Явное установление общих основ и внутренних связей между различными теориями и наблюдаемыми эффектами способствует углублённому пониманию действительного состояния науки, правильной оценке известных и развивающихся научных достижений» [81].

В первой главе анализируются современные представления о геометрической линейности и нелинейности стержневых систем, о проблеме эластики в целом и о достигнутых результатах в её решении. Устанавливается, что словесно определённые с аргументацией очевидностью упрощающие допущения без их математической оценки и представления о механизме их влияния на форми8 руемый результат решения ограничивают его информативность и могут привести к неадекватной интерпретации. Отмечается недостаточность уровня разработки математического обеспечения теории «малых» перемещений для установления границы между «большим» и «малым» и определения меры линейности и нелинейности.

Собраны и представлены графически сведения о результатах экспериментальных исследований по упругому выпучиванию центрально сжатых стержней. Показана недостаточность обеих теорий в определении процесса выпучивания центрально сжатого стержня, поскольку имеется возможность представления о переходе стержня от прямолинейного состояния в состояние продольного изгиба перескоком при нагрузке превышающей первую критическую.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с совершенствованием математического аппарата для анализа геометрии деформирования стержней в плоских системах. Двойственное определение проблемы эластики, как проблемы математики и механики, определило направление ее разработки на исследование вопросов, где механика и математика имеют точки соприкосновения, а существующие теории их разделяющую границу. Эти вопросы возникают при определении понятий геометрическая линейность и нелинейность, «малые» и «большие» изменения или перемещения. Геометрическая нелинейность деформируемых систем представлена как естественное свойство, присущее им в той или иной мере. Формулируются условия, при которых стержневые системы могут иметь линейные свойства и определяется, какими допущениями они обеспечиваются. Устанавливается характерный параметр геометрии деформирования стержневых систем, без учёта которого в определяющих уравнениях она не может быть отображена математически корректно.

В соответствии с этими результатами разработано математическое обеспечение для анализа эластики щарнирно-стержневых систем с узловой нагрузкой и введена мера геометрической нелинейности. Проведена оценка исторического допущения Эйлера, упростившего точное выражение кривизны упругой 9 кривой, и дано новое решение «задачи Эйлера» с его приближённым выражением определенным в функции угла поворота поперечных сечений стержня. Это позволило выявить допущения и определить их назначение, которые обычно смешиваются в представлениях теории «малых перемещений» .

Выведены новые формулы кривизны, с которыми задача установления упругой кривой с алгебраическими функциями кривизны формулируется линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Даны примеры восстановления кривых при задании кривизны разными функциями.

Устанавливается связь параметров эластики стержней изгибаемых сосредоточенными нагрузками с переменными эллиптических интегралов. С помощью преобразований длины дуги окружности при отражении её на наклонные плоскости интегралы представлены как угловые меры дуги сжатого и растянутого эллипса. Это представление позволило получить их приближённые выражения в диапазоне изменения модулярного угла до 45°.

Рассмотрены вопросы применения вычислительной техники в задачах эластики. При степенной функции кривизны интегральные выражения решений приведены к одному типу. Несложные программы их вычисления позволяют обращаться с ними как с элементарными функциями.

В третьей главе рассматриваются вопросы представления результатов решения задач эластики в элементарных функциях. В границах допущений теории «малых» перемещений определён спектр приближённых выражений кривизны и разработана методика использования вспомогательных упрощающих функций при определении интегральных выражений решений задач. Определены связи между нагрузкой и параметрами геометрии стержня в продольном и поперечном изгибах без ограничения величины его искривления.

В четвёртой главе показано, что с новыми формулами кривизны образуется единая теория эластики изгибаемых стержней, становится явной связь между теориями «больших» и «малых» перемещений с её допущениями, имеющими математические определения. В этой теории отсутствует необходимость со9 кривой, и дано новое решение «задачи Эйлера» с его приближённым выражением определенным в функции угла поворота поперечных сечений стержня. Это позволило выявить допущения и определить их назначение, которые обычно смешиваются в представлениях теории «малых перемещений» .

Выведены новые формулы кривизны, с которыми задача установления упругой кривой с алгебраическими функциями кривизны формулируется линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Даны примеры восстановления кривых при задании кривизны разными функциями.

Устанавливается связь параметров эластики стержней изгибаемых сосредоточенными нагрузками с переменными эллиптических интегралов. С помощью преобразований длины дуги окружности при отражении её на наклонные плоскости интегралы представлены как угловые меры дуги сжатого и растянутого эллипса. Это представление позволило получить их приближённые выражения в диапазоне изменения модулярного угла до 45°.

Рассмотрены вопросы применения вычислительной техники в задачах эластики. При степенной функции кривизны интегральные выражения решений приведены к одному типу. Несложные программы их вычисления позволяют обращаться с ними как с элементарными функциями.

В третьей главе рассматриваются вопросы представления результатов решения задач эластики в элементарных функциях. В границах допущений теории «малых» перемещений определён спектр приближённых выражений кривизны и разработана методика использования вспомогательных упрощающих функций при определении интегральных выражений решений задач. Определены связи между нагрузкой и параметрами геометрии стержня в продольном и поперечном изгибах без ограничения величины его искривления.

В четвёртой главе показано, что с новыми формулами кривизны образуется единая теория эластики изгибаемых стержней, становится явной связь между теориями «больших» и «малых» перемещений с её допущениями, имеющими математические определения. В этой теории отсутствует необходимость со.

10 глашений о правилах знаков изгибающих моментов при формулировке дифференциальных уравнений в любой системе прямоугольных координат. Эластика стержня в продольном изгибе рассматривается, как совокупность отрезков, представляющих эластику стержня во всех разновидностях плоского изгиба. Дано общее решение задачи эластики стержня во всех разновидностях плоского изгиба и сформирована диаграмма его возможных состояний от центрального сжатия до центрального растяжения. Исследуется поведение консольного стержня при медленно возрастающей следящей нагрузке произвольной начальной ориентации к оси сечения и решается задача изгиба стержня при внецен-тренном сжатии в новых выражениях кривизны.

Рассмотрен вопрос о геометрическом представлении линий различной степени кривизны, и осуществляется сравнение синусоиды с кривой продольного изгиба по разным параметрам.

В пятой главе проведена оценка влияния нормальных и поперечных внутренних сил на кривизну упругой кривой и решаются задачи определения внутренней энергии по деформированному состоянию стержня. Сравнением потенциальных энергий центрально сжатого стержня в прямолинейном и искривлённом состояниях определяется нагрузка, при которой происходит его выпучивание. Рассматривается вопрос о «характерном» перемещении для стержней в плоском изгибе, проверяется теорема Клапейрона о вычислении работы внешних сил и определяется её выражение при их различной ориентации к оси стержня. Установленные особенности эластики стержня в плоском изгибе при «малых» искривлениях использованы для вывода функциональных элементарных связей параметров механического состояния стержня (упругая энергия, изгибающие моменты, деформаций) с параметрами геометрии деформирования. В шестой главе рассматриваются особенности деформационного расчёта стержневых систем. В заключении сформулированы выводы, которые определяют достигнутый уровень в разработке общей теории эластики стержневых систем.

Основные результаты:

1. Установлено, что геометрическая нелинейность поведения стержневых систем обусловлена макрогеометрией деформирования и проявляется при угловых перемещениях поперечных сечений стержней. Угловые перемещения являются основным геометрическим параметром, без учёта которого невозможно математически корректное отображение эластики систем.

2. Установлено, что геометрическая линейность в математическом отображении конструируется созданием геометрического подобия состояний. Системы, для которых нельзя допустить этого подобия, имеют выраженную нелинейность. Введена мера нелинейности для оценки поведения систем под нагрузкой.

3. Установлено, что традиционная теория изгиба стержней содержит несвязанные между собой и неадекватно интерпретируемые допущения: одно сводится к замене точного выражения кривизны приближённым, что линеаризирует только дифференциальное уравнение упругой кривой, второе изменяет граничные условия, устраняет задачу определения длины упругой кривой и эквивалентно спрямлению траекторий д вижения поперечных сечений стержня.

4. Разработано математическое обеспечение для строгого определения геометрии деформирования шарнирно стержневых систем с узловой нагрузкой.

5. Произведена оценка допущения при замене точного выражения кривизны приближенным и в границах его установлен возможный спектр приближённых выражений кривизны. Осуществлено новое решение «задачи Эйлера», которое не допускает его многозначных интерпретаций.

6. Разработано математическое обеспечение для исследования эластики изгибаемых стержней. Введены новые выражения кривизны плоской линии, с ко.

250 торыми задача восстановления линии по кривизне заданной алгебраическими функциями формулируется линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

7. Установлены связи между параметрами упругой кривой и переменными эллиптических интегралов в решениях задач изгиба стержня сосредоточенными нагрузками. Нормальные эллиптические интегралы представлены как угловые меры дуг сжатого и растянутого эллипса, образуемых проецированием дуги окружности на наклонные плоскости и выражены элементарными функциями при изменении модулярного угла до 45°.

8. Установлена условность представления о разных видах изгиба стержней. Искривление стержня с одной функцией кривизны во всех разновидностях изгиба имеет единое математическое и графическое представления. Кривая продольного изгиба является совокупностью отрезков, определяющих эластику стержня в различных изгибах.

9. Разработана методика определения параметров эластики изгибаемого стержня и их связей с нагрузкой с помощью вспомогательных функций — допущений, вводимых последовательно в решение задачи. Установлены функциональные элементарные связи между нагрузкой, стрелой прогиба и сближением концов стержня в продольном изгибе во всём диапазоне его возможных искривлений.

10. Доказано, что изгиб консольного стержня при медленно возрастающей следящей нагрузке стержня сопровождается его колебательным движением и появлением точек перегиба на упругой кривой.

1L Дана геометрическая интерпретация упругих кривых разной степени кривизны.

12. Решена задача вычисления упругой энергии нормальных, поперечных сил и изгибающих моментов по деформированному состоянию стержня.

13. Вычислением энергии деформирования и исследованием эластики стержня установлено, что во всех разновидностях плоского изгиба до значительных искривлений упругая кривая является практически единой и параметры, определяющие геометрию и состояние стержня (энергия, изгибающие моменты, деформации) выражены элементарными функциями.

14. Установлены пределы достоверности теоремы Клапейрона и показано, что работа силы произвольного направления к оси стержня может быть удовлетворительно определена суммой работ её составляющих.

15. Установлено поведение центрально сжатого стержня при смене прямолинейного состояния на искривлённое. Доказано, что стержень искривляется при нагрузке, несколько превышающей эйлерову, и представляет систему с перескоком.

Заключение

.

Разработаны основы общей теории эластики плоских стержневых систем, которая включает в себя традиционную теорию «малых» перемещений, как её упрощение посредством математически определённых допущений.