Применение метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей

Актуальность темы

исследования. В настоящее время наблюдается высокий уровень развития средств современной вычислительной техники и численных методов анализа, вместе с тем особенного внимания требует проблема построения и оценки адекватности приближенных математических моделей сложных систем. Особенно важны такие оценки погрешности приближенной модели, которые справедливы для целых классов зависимостей, а не только для конкретных функций или значений параметров. Для динамических систем важное значение имеют и размеры временной области, в которой сопоставляются результаты, полученные по приближенной и точной моделям.

Упрощенные модели часто являются единственным средством качественного анализа процессов, используемым на этапе предварительных расчетов при проектировании сложных систем. Понижение порядка дифференциальных уравнений модели способно существенно снизить затраты машинного времени, что особенно важно для моделей очень большой размерности.

Одним из методов получения оценок приближенных решений является метод, основанный на использовании функций Ляпунова. Изначально метод функций Ляпунова предназначался для исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Н. Г. Четаев первым (1957г.), предложил использовать этот метод для оценки погрешности приближенных решений дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие эта идея Н. Г. Четаева получила в работах В. Н. Скимеля. Ему принадлежит строгая математическая формулировка понятия приемлемости приближенных решений дифференциальных уравнений по существенным параметрам. Используя квадратичные функции Ляпунова, В. Н. Скимель получил критерии проверки приемлемости приближенных решений линейных динамических систем. Впервые понятие и термин «приемлемость» применительно к приближенным решениям дифференциальных уравнений динамики гироскопических систем использовал Д. Р. Меркин (1956г.).

Реализация оценок, получаемых методом функций Ляпунова, затрудняется необходимостью решения нелинейных неравенств и матричных уравнений высокого порядка. Эти трудности могут быть преодолены с помощью возможностей' современной вычислительной математики и компьютерной техники. При этом появляется возможность оптимизировать качество этих оценок и сделать их более доступными для специалистов прикладных областей.

Таким образом, актуальными являются создание строго обоснованных критериев возможности использования упрощенных дифференциальных моделей механических системдальнейшее развитие метода функций Ляпунова как средства оценки точности приближенных решений дифференциальных уравненийсоздание доступных алгоритмов и программ для численной реализации оценок погрешности приближенных моделей на основе метода функций Ляпунова.

Связь диссертационной работы с планами НИР, НИОКР и проектами по грантам. Результаты исследований использовались при выполнении гранта РФФИ: 05−07−90 313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы», а так же в учебном процессе МарГТУ.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является получение аналитических и численных оценок погрешностей приближенных дифференциальных моделей механических систем, содержащих существенные параметры.

В соответствии с указанной целью в работе поставлены следующие основные задачи:

1. Анализ методов исследования упрощенных моделей как средства качественного анализа процесса функционирования системы.

2. Моделирование направлений развития метода функций Ляпунова в задачах приемлемости приближенных математических моделей.

3. Разработка алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений.

4. Реализация алгоритмов построения оценок приближенных решений систем дифференциальных уравнений в виде программ.

Методы исследования. Работа выполнена с применением методов функций Ляпунова, аппарата матричной алгебры, теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры и теории оптимизации, метода эллипсоидальных оценок областей изменения фазовых переменных динамических систем. При выполнении численных исследований использован пакет программ общематематического назначения Mathcad.

Научная новизна. К результатам работы, отличающимся научной новизной относятся: расширение понятия «приемлемость», отличающееся охватом неавтономных систем дифференциальных уравнений с существенным параметром при матричных коэффициентах и обеспечивающее построение унифицированного подхода к оценке близости точного и приближенного решений. доказательства «приемлемости» приближенных дифференциальных моделей некоторых механических систем, позволяющие построить оценки погрешности этих приближенных решений, отличающиеся использованием ограничений, накладываемых на неравенства, содержащие собственные значения матриц порождаемых квадратичной функцией Ляпунова метод улучшения оценок погрешностей, основанный на эллипсоидальной аппроксимации областей изменения фазовых переменных и использовании экстремальных квадратичных функций Ляпунова, необходимый для улучшения качества оценок погрешностей. алгоритмы построения численных оценок параметра «приемлемости», отличающиеся оперативной оценкой качества приближения при численной минимизации погрешности, реализованные в виде программы для ЭВМ.

Практическая значимость. Практическая значимость диссертационной работы заключается в создании методики оценки погрешности приближенных решений, получаемых в результате замены исходных дифференциальных уравнений вырожденными. Данная методика позволяет повысить качество оценок погрешностей приближенных решений дифференциальных уравнений получаемых на основе метода функций Ляпунова. В рамках диссертационного исследования разработаны компьютерные алгоритмы и программы для получения количественных данных о погрешностях приближенных решений.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы реализованы в виде компьютерных программ, позволяющих получить оценки погрешности приближенной модели или выбрать значение существенного параметра, обеспечивающего заданную точность приближенной модели. Результаты диссертационной работы используются в учебном процесссе механико-машиностроительного факультета МарГТУ. Результаты исследований использовались при выполнении гранта РФФИ: 05−07−90 313 «Создание информационной системы для мониторинга космической погоды на уровнях внутренней ионосферы». Имеется соответствующий акт о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на IV Международной научной конференции «Циклы природы и общества» (г.Ставрополь, СГУ, 15.10.98 г.), на научной конференции аспирантов КазГТУ (г.Казань, 9.02.99 г.), на научной конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов МарГТУ (г. Йошкар-Ола, 1998 г.), на третьих Вавиловских чтениях (г.Йошкар-Ола, 1999 г.), на 4-х.

Ахметгалеевских чтениях (Казань, КазГТУ, 2000 г.), на научной конференции преподавателей и аспирантов Московского университета Дружбы народов (Москва, 25.05.1999 г.), на Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения (Саранск, СарГУ, 2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 научных работах, в том числе 4 — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат следующие результаты: в [1] — доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для нелинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, построение оценки нормы решения вырожденной системы и ее производных по времени, в [3] - доказательство выполнения достаточных условий приемлемости для системы с малым параметром при старшей производной, исследование зависимости решения вырожденной системы от существенного параметра, в [8] — аналитическое исследование приемлемости системы второго порядка.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 72 наименования. Основная часть работы изложена на 121 странице, содержит 9 рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В данной диссертационной работе рассматриваются системы дифференциальных уравнений, описывающих широкий класс механических систем, коффициенты которых содержат существенные параметры. Для таких систем уравнений при некоторых значениях параметров может ставиться вопрос об их замене более простыми — вырожденными дифференциальными уравнениями. При этом решение вырожденной системы оказывается достаточно близким (приемлемым по выбранным параметрам) к решению исходной системы.

Основными результатами диссертационной работы являются новые методы исследования и оценки близости решений точных и вырожденных систем уравнений. Эти результаты заключаются в следующем:

1. Доказаны теоремы о приемлемости приближенных решений линейных неавтономным относительно параметров при матрицах инерции, дисси-пативных и гироскопических сил.

2. Доказаны теоремы о сохранении приемлемости для линейных неавтономных систем при линейных невырожденных преобразованиях переменных и при наличии малых нелинейных постоянно действующих возмущений.

3. Доказана теорема о приемлемости решений вырожденных уравнений для системы, содержащей нелинейность в коэффициентах при первой производной.

4. Получена оценка погрешности при линеаризации дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования с непрямым регулированием.

5. Разработан новый метод эллипсоидальной оценки области изменения отклонений решения вырожденной системы от точного решения.

6. Предложена процедура оптимизации оценки параметра приемлемости за счет выбора в классе квадратичных форм экстремальной функции Ляпунова.

7. Разработаны алгоритмы вычисления оценок погрешностей приближенных решений рассмотренных в работе типов дифференциальных уравнений.