Некоторые свойства делителей нуля ассоциативных колец

Актуальность темы

Данное исследование велось в двух независимых направлениях. Первое направление связано с понятием армендеризовского кольца, а второе — с понятием графа делителей нуля ассоциативного кольца. Оба эти понятия были введены совсем недавно. Их объединяет то, что они описывают свойства делителей нуля ассоциативного кольца.

В 1974 году Е. Армендериз опубликовал статью [20], в которой отмечалось, что если произведение двух многочленов с коэффициентами из кольца без ненулевых нильпотентных элементов равно нулю, то и всевозможные попарные произведения коэффициентов этих многочленов равны нулю.

В 1997 году кольцам, удовлетворяющим такому условию, в работе [33] дали название «армендеризовских», т. е. кольцо R называется армендери-зовским, если для любых многочленов j{x) — ао + aix + ¦¦¦ + атхт и g (x) = bo + bX +. + Ъпхп € R[x] из того, что f{x)g (x) — 0, следуют равенства ciibj = 0 для всех г = 0,1,., т и j = 0,1,., п.

С этого времени армендеризовские кольца стали объектом многих исследований.

Отметим, что во всех известных нам работах, посвященных исследованию армендеризовских колец, результаты формулируются для ассоциативных колец с единицей, причем в доказательстве многих фактов наличие в кольце единицы играет существенную роль. В нашей же работе понятие армендеризовского кольца используется для ассоциативных колец, не обязательно имеющих единицу.

В 1998 году Д. Андерсон и В. Камилло доказали в [17], что кольцо многочленов над армендеризовским кольцом является армендеризовским и армендеризовское регулярное (по фон Нейману) кольцо не имеет ненулевых нильпотентных элементов.

Позже в работе [25] было доказано, что в любом армендеризовском кольце с единицей все идемпотенты являются центральными.

В 2002 году в статье [24] доказаны следующие факты:

• если фактор-кольцо R/I является армендеризовским для некоторого идеала /, в котором нет ненулевых нилыютентных элементов, то кольцо R армендеризовское;

• если кольцо R имеет полное классическое правое кольцо частных Q, то кольцо R является армендеризовским в том и только в том случае, когда кольцо частных Q армендеризовское.

В работе [28] описаны некоторые армендеризовские подкольца полного матричного кольца над кольцом без ненулевых нильпотеитных элементов.

Кроме того, был получен ряд других результатов для армендеризовских колец с единицей (см., например, работы [17, 24, 25, 27]).

Позже авторы многих исследований стали вводить определения, производные от определения армендеризовского кольца, и доказывать для этих новых типов колец, если это было возможно, аналоги результатов, полученных ранее для армендеризовских колец (см., например, работы [19, 23, 27, 29, 30]).

В частности, в статье [27] было введено понятие слабого армендеризовского кольца: кольцо R называется слабым армендеризовским, если для любых многочленов f (x) — ао + аХ и д (х) = bo + ЬХ? R[x] из того, что f (x)g (x) = 0, следуют равенства a^bj — 0 для г = 0,1 и j = 0,1. Кроме того, в этой работе доказан ряд результатов, касающихся этого класса колец, и приведен пример, иллюстрирующий, что существует слабое армендеризовское кольцо, не являющееся армендеризовским.

В 2006 году в работе [30] термином «слабое армендеризовское коль-цо» были названы кольца с другим условием, а именно: кольцо R называется слабым армендеризовским, если для любых многочленов f (x) — ао + аХ +. + атхт и д{х) = bo + Ъх +. + Ъпхп G R[x] из того, что f (x)g (x) = 0, следует, что aibj является пильпотентным элементом для всех г = 0,1,., т и j = 0,1,., п. Подчеркнем, что мы в своем исследовании пользуемся определением слабого армендеризовского кольца, введенного в [27].

Полного описания армендеризовских и слабых армендеризовских колец пока нет. Новые результаты, получаемые в этом направлении, только расширяют класс уже известных (слабых) армендеризовских колец. Поэтому представляет интерес описание многообразий ассоциативных колец, все или часть колец которых являются армендеризовскими (слабыми армендери-зовскими). Первым исследованием в этом направлении была паша работа [38], результаты которой позже были обощены самим автором. Учитывая то особое положение, которое в теории многообразий занимают критические и подпрямо неразложимые кольца, мы поставили следующие задачи:

Задача 1. Описать многообразия ассоциативных колец, в которых все критические кольца являются слабыми армендеризовскими.

Задача 2. Описать многообразия ассоциативных колец, в которых все подпрямо неразложимые конечные кольца являются (слабыми) армендеризовскими.

Напомним, что конечное кольцо R называется критическимесли оно не принадлежит многообразию, порожденному всеми собственными под-кольцами и фактор-кольцами кольца R.).

Можно показать, что любое кольцо, в котором все конечнопорожден-ные подкольца являются армендеризовскими, само является армендери-зовским (см. доказательство теоремы 1.3). Поэтому, на наш взгляд, особый интерес представляют локально конечные многообразия, т. е. многообразия, в которых все конечнопорожденные кольца являются конечными. Нами была поставлена еще одна задача.

Задача 3. Описать локально конечные многообразия ассоциативных колец, в которых все кольца являются (слабыми) армендеризовскими.

Как мы уже отмечали, полного описания (слабых) армендеризовских колец пока не существует. Поэтому нам представляется естественной задача описания армендеризовских колец с какими-либо дополнительными ограничениями. В работах, посвященных многообразиям ассоциативных колец и кольцам с полиномиальными тождествами, неоднократно возникало тождество вида х2 = xdf (x), где f (x)? Z[x]. Например, Ю. Н. Мальцев в работе [6] полностью описал критические алгебры над полем GF (p), удовлетворяющие тождеству х2 — хп: п > 3. М. В. Волков в [1] доказал, что структура подмногообразий многообразия ассоциативных колец, задаваемого тождеством х2 = x3f (x), f (x) G Щх], дистрибутивна. В работе [11] была доказана шпехтовость многообразий ассоциативных колец, удовлетворяющих тождеству х2 = хп, п > 3. Кроме того, и в нашей работе при описании многообразий, в которых все подпрямо неразложимые конечные кольца являются армендеризовскими, появилось тождество хуff (x, y) = О, где f (x, y) — многочлен, нижняя степень которого больше двух. Поэтому мы поставили следующую задачу.

Задача 4. Описать (слабые) армендеризовские подпрямо неразложимые конечные кольца, удовлетворяющие тождеству х2 = где f (x) 6 ад.

Теперь перейдем к другому объекту, исследованию которого также посвящена данная диссертация.

Идея построения графа делителей нуля впервые была использована в 1986 году в работе [21] для коммутативного кольца. В качестве вершин графа делителей нуля коммутативного кольца автор этой работы И. Бек рассматривал все элементы кольца, причем две различные вершины х и у соединял ребром тогда и только тогда, когда ху = 0.

Введение

понятия графа делителей нуля кольца устанавливает связь между теорией колец и теорией графов. И. Бек занимался, в основном, раскраской графов делителей нуля коммутативных колец.

В 1999 году Д. Андерсон и Ф. Ливингстон в работе [18] несколько изменили способ построения графа делителей нуля. Вершинами графа делителей нуля коммутативного кольца они стали считать все ненулевые делители нуля. По мнению Д. Андерсона и Ф. Ливингстона, такое определение лучше иллюстрирует структуру множества делителей нуля. Действительно, в [18] доказано, что граф делителей нуля коммутативного кольца с единицей, вершинами которого являются лишь ненулевые делители нуля, связен. Если же рассматривать в качестве вершин графа все элементы кольца, то это утверждение становится очевидным, поскольку нуль — вершина, которая является смежной для всех остальных вершин графа. Статья [18] посвящена изучению некоторых взаимосвязей между свойствами коммутативного кольца с единицей и свойствами графа делителей нуля этого кольца.

С 1999 года теория графов делителей нуля коммутативного кольца стала интенсивно развиваться. Кроме того, это понятие было распространено и на некоммутативный случай. Для некоммутативного кольца используются два определения графа делителя нуля. Во-первых, введено понятие ориентированного графа делителя нуля. Вершинами такого графа считаются все (односторонние и двусторонние) делители нуля кольца, причем две различные вершины соединяются ориентированным ребром х —> у тогда и только тогда, когда ху — 0 (см., в частности, работы [16, 35]). Во-вторых, используется определение неориентированного графа делителей нуля, т. е. графа, вершинами которого являются все ненулевые делители нуля кольца (односторонние и двусторонние), причем две различные вершины х, у соединяются ребром тогда и только тогда, когда-либо ху = О, либо ух — 0 (см. работу [16]). Понятно, что в коммутативном случае последнее определение графа делителей нуля совпадает с определением, введенным Д. Андерсоном и Ф. Ливингстоном в [18].

Одним из направлений исследований в этой области стало описание колец, граф делителей нуля которых удовлетворяет определенному условию. Так, в статье [32] дается описание колец целых гауссовых чисел Zn[i] по модулю п, графы делителей нуля которых являются полными, полными двудольными, планарными или эйлеровыми.

Ранее в [16] исследовались кольца с единицей, ориентированные графы делителей нуля которых эйлеровы. В частности, в этой работе доказано, что любое полупростое конечное кольцо имеет эйлеров ориентированный граф делителей нуля. Также авторы работы [16] доказали, что для любого конечного поля К и любой конечной группы G ориентированный граф делителей нуля группового кольца KG эйлеров. Далее, в [16] доказано, что разложимое конечное кольцо R = R 0. 0 Rn, п > 2, имеет эйлеров направленный граф делителей нуля в том и только в том случае, когда для любого г? {1, 2,., п} либо кольцо Иг является полем, либо ориентированный граф делителей нуля кольца Ri эйлеров.

Мы поставили аналогичную задачу для неориентированного графа делителей нуля. (Отметим, что всюду далее в работе мы под термином &bdquo-граф делителей пуля" понимаем определение неориентированного графа делителей нуля.).

Задача 5. Описать конечные кольца с единицей, имеющие эйлеровы графы делителей нуля.

Поскольку вопрос полного описания конечных колец, графы делителей нуля которых эйлеровы, остается открытым, нам представляется естественной следующая задача.

Задача 6. Описать многообразия ассоциативных колец, в которых все конечные кольца имеют эйлеровы графы делителей нуля.

В работах [15, 22] исследуются коммутативные конечные кольца с единицей, графы делителей нуля которых планарны. В [15] приведено, в частности, полное описание конечных коммутативных разложимых колец с единицей, у которых графы делителей нуля планарны, а в [22] составлен полный список коммутативных конечных локальных колец с планарными графами делителей нуля. Работы [34, 36] посвящены исследованию бесконечных планарных графов делителей нуля коммутативных колец с единицей. Некоммутативные кольца и кольца без единицы, имеющие планар-ные графы делителей нуля, до сих пор описаны не были, поэтому мы поставили следующую задачу.

Задача 7. Описать все конечные кольца с планарными графами делителей нуля.

В статье [18] доказано, что если R — коммутативное кольцо с единицей, в котором существует не менее четырех ненулевых делителей нуля, то граф делителей нуля этого кольца является звездой тогда и только тогда, когда R = GF{2) 0 GF (pn) для некоторого простого числа р и п > 0. В работе [15] получены некоторые результаты для коммутативных колец с единицей, графы делителей нуля которых являются полными г-дольными графами (г > 2). Мы поставили следующую задачу.

Задача 8. Описать конечные кольца без 2-кручения, графы делителей нуля которых являются полными двудольными.

Цель работы. Данная работа посвящена решению задач 1−8.

Методы исследования. В работе используются методы и результаты теории многообразий ассоциативных колец, теории конечных колец и теории графов.

Основные результаты. Основные результаты диссертационного исследования заключаются в следующем:

• доказано, что если в «многообразии все критические кольца являются слабыми армендеризовскими, то любое критическое кольцо этого многообразия либо является армендеризовским, либо является нильпо-тентной однопорожденной алгеброй над кольцом вычетов 7Lpt, где рнечетное простое число и t > 1- дана характеризация на языке «запрещенных» колец таких многообразий колец, все подпрямо неразложимые конечные кольца которых являются армендеризовскимиописаны все армендеризовские подпрямо неразложимые конечные кольца, удовлетворяющие тождеству х2 — хг/(х), где f (x) G Z[x];

• найдено необходимое и достаточное условие на языке тождеств для того, чтобы все конечные кольца многообразия имели эйлеровы графы делителей нуляполностью описаны конечные кольца с единицей, имеющие эйлеровы графы делителей нуляполностью описаны конечные кольца с планарными графами делителей нуля.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего исследования армендеризовских колец и для описания свойств графа делителей нуля ассоциативного кольца. Кроме того, результаты настоящей работы могут быть использованы при чтении специальных курсов по теории многообразий ассоциативных колец и по теории конечных колец.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре по теории колец кафедры алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета (Барнаул, 2007 — 2009 гг.);

• на семинаре по теории колец им. А. И. Ширшова Института математики СО РАН (февраль 2009 г.);

• на всероссийской научно-практической конференции «Математическое образование в регионах России» (Барнаул, Алтайский государственный политехнический университет, Барнаульский государственный педагогический университет, 2007, 2008 гг.);

• на международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, Институт математики СО РАН, 2007, 2008, 2009 гг.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в форме статей в отечественных и зарубежном журналах [37] - [43], а также в материалах конференций [44] - [52]. Три работы являются совместными с Ю. Н. Мальцевым, и результаты этих работ получены в нераздельном соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

Список литературы

приведенный в конце работы, содержит 52 наименования.

1. Волков М. В. Дистрибутивность некоторых структур многообразий ассоциативных колец // Сибирский математический журнал. — 1984. Т. 25. № 6. — С. 23−30.

2. Джекобсон Н. Строение колец. М.: Изд-во иностр. литературы, 1961. 392 с.

3. Елизаров В. П. Конечные кольца. М.: Гелиос АРВ, 2006. — 304 с.

4. Львов И. В. Теорема Брауна о радикале конечно порожденной PI-алгебры: Препринт. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1984. 52 с.

5. Мальцев Ю. Н. О строении критических колец // Сибирский математический журнал. 1982. — Т.23. — № 1. — С. 65−69.

6. Мальцев Ю. Н. Строение некоторых специальных критических алгебр // Сибирский математический журнал. 1984. — Т.25. — N2 1. — С. 91−100.

7. Оре О. Теория графов: Пер. с англ. / Под ред. Н. Н. Воробьева. 2-е изд., стереотип. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

8. Пайсон О. Б. Индикаторные характеризации некоторых свойств многообразий ассоциативных колец: Дисс.. кандидата физ.-мат. наук. -Екатеринбург, 1998.

9. Пайсон .О. Б. Многообразия ассоциативных колец, все критические кольца которых арифметические // Известия вузов. Математика. -1997. № 1. — С. 42−55.

10. Ратинов В. А. Полусовершенные кольца со специальными типами присоединенных групп: Дисс.. кандидата физ.-мат. наук. М: МГПИ, 1980. — 155 с.

11. Рябухин Ю. М., Захарова Е. Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных колец // Исследования по алгебре и топологии: Математические исследования. Вып. 74. — Кишинев: Штиинца, 1983. — С.122−131.

12. Татт У. Теория графов: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. — 424 с.

13. Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Под ред. Г. П. Гаврилова. М.: Мир, 1973. 302 с.

14. Шеврин JI.H., Суханов Е. В. Структурные аспекты теории многообразий полугрупп // Известия вузов. Математика. 1989. — № 6. — С. 3−39.

15. Akbari S., Maimani H.R., Yassemi S. When zero-divisor graph is planar or a complete r-partite graph // Journal of Algebra. 2003. — 270. -pp.169−180.

16. Akbari S., Mohammadian A. On Zero-Divisor Graphs of Finite Rings // Journal of Algebra. 2007. — 314. — pp. 168−184.

17. Anderson D.D., Camillo V. Armendariz Rings and Gaussian Rings // Journal of Algebra. 1999. — 217. — pp.434−447.

18. Anderson D.F., Livingston P. S. The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring // Journal of Algebra. 1999. — 217(2). — p. 434−447.

19. Antoine R. Nilpotent Elements and Armendariz Rings // Journal of Algebra. 2008. — 319. — pp. 3128−3140.

20. Armendariz E.P. A Note on Extensions of Baer and p.p.-Rings // J. Austral. Math. Soc. 1974. — 18. — pp. 470−473.

21. Beck I. Coloring of Commutative Rings // Journal of Algebra. 1988. -116. — pp.208−226.23.