Разработка численно-аналитических методов и решение задач гидродинамической теории аппаратов на воздушной подушке

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов и исследованию конкретных задач гидродинамической теории аппаратов на воздушной подушке (АВП). Воздух считается идеальной несжимаемой и невесомой жидкостью, а течение — плоским потенциальным и стационарным. При указанных допущениях математическая модель АВП строится на основе теории струй идеальной жидкости [13], [46] и описывается краевыми задачами для аналитических функций в областях с частично неизвестными свободными границами. Поэтому при изучении задач теории АВП можно воспользоваться методами теории струй. Вместе с тем, разработанные в диссертации методы численного анализа АВП, применимы также в общей теории течений со свободными границами.

Практика проектирования АВП выдвигает перед исследователями все новые задачи, связанные с усложненными математическими моделями, изучение которых классическими методами в ряде случаев представляет значительные трудности. Большие возможности содержит в себе вычислительная математика, вооруженная современными ЭВМ.

Развитие вычислительной техники дает возможность не только исполЬ' t зовать ее как дополнение к аналитическим методам, но и выполнять некоторые функции, присущие анализу (например, исследование вопроса о существовании решения). Однако, эффективное применение ЭВМ возможно, как правило, лишь при дополнительных аналитических исследованиях, после приведения расчетных формул к удобному для вычислений виду, и после разработки соответствующих вычислительных алгоритмов. Поэтому в настоящей работе первая глава посвящена вычислительным аспектам математики, связанным с решением краевых задач теории струй, с вычислением особых интегралов и с решением систем сложных функциональных уравнений.

Как известно, многие гидродинамические задачи теории струй идеальной жидкости [ 13 ] эффективно решаются с применением аппарата теории функций комплексного переменного [39]. Выбор конкретного метода решения зависит от вида и сложности граничных условий. В частности, если поток жидкости ограничен только кусочно-прямолинейными стенками и свободными поверхностями (с постоянным модулем скорости), то общее решение задачи может быть записано в явном виде с помощью известных формул. Например, ряд задач, имеющих применение в теории аппаратов на воздушной подушке, сводится к смешанной краевой задаче с одной свободной поверхностью. Решения таких задач можно построить по известным особенностям [14] или с помощью формулы Шварца [в] ,[э]. Для решения задач с двумя свободными границами применяется аппарат тэта-функций [48] f формула Келдыша-Седова[30],[зз] или формула Кристоффеля-Шварца ex] .

Для задач с числом свободных границ П. 2−5 могут быть применены формулы Келдыша-Седова [44] или Жуковского[тз]. Однако при их исследовании возникает необходимость решения систем нелинейных уравнений, порядок которых растет с увеличением числа /2, что требует значительного объема вычислений. Как показано в § I настоящей работы, применение формулы Келдыша-Седова приводит к системам уравнений меньшего порядка по сравнению с формулой Жуковского, однако, последняя дает существенное преимущество при двукратном интегрировании.

В связи с этим в § 1 дается вывод формулы, позволяющей при численном решении использовать преимущества обоих подходов, а именно, меньший объем вычислений при численном интегрировании и меньший порядок систем уравнений. Насколько известно по имеющимся публикациям, эта формула, с помощью которой определяется peineние смешанной краевой задачи, является новой.

В § 2 из общей формулы выводится ряд частных случаев, важных с точки зрения практического применения для решения прикладных задач. Результаты первых двух параграфов используются в главах 2 и 3.

Численные методы решения задач с граничными условиями более общего вида, к которым относятся, например, задачи обтекания препятствий заданной криволинейной формы, гибких оболочек, течение тяжелой жидкости со свободными границами, можно условно разделить на два типа. В первом случае граничное условие записывается в виде интегрального уравнения, удовлетворяется в некотором конечном числе точек и решение уравнения отыскивается с помощью последовательных приближений [7], [37] ,[4б]. Во втором случае неизвестная функция аппроксимируется линейной комбинацией известных функций, а коэффициенты отыскиваются методами коллокаций, наименьших квадратов или Бубнова-Галеркина [37] (путем численного решения систем уравнений).

Следует отметить, что при удачном выборе вида аппроксимирующих функций число коэффициентов оказывается в несколько раз меньшим, чем число узловых точек, в которых необходимо вычислять функцию для решения интегрального уравнения. Поэтому методы, использующие аппроксимацию, требуют значительно меньшего объема вычислений.

В настоящее время известны решения задач с одним участком границы с условиями, заданными в виде интегрального уравнения (например, [7] ,[28], [2l]), а также с двумя такими участками[5].

В § 3 разработан метод (являющийся обобщением метода Леви—Чивиты [62]), с помощью которого можно решать задачи с произвольным числом участков границы, на которых выполняются сложные граничные условия. В основе метода заложен процесс поочередного конформного отображения области течения на вспомогательный полукруг. Это позволяет унифицировать алгоритм вычисления неизвестных коэффициентов. Кроме того, в отличие от общепринятого метода проводится более полный учет поведения искомой функции вблизи особых точек, что, в свою очередь, при фиксированной точности позволяет значительно сократить объем вычислений.

Эффективность алгоритмов решения задач существенно зависит от выбора и конкретной алгоритмической реализации численных методов решения систем уравнений и методов численного интегрирования. Поэтому в § 4 подробно описаны алгоритмы, используемые при решении задач, рассмотренных в главах 2 и 3. Как известно, при составлении сложных программ, как правило, допускаются ошибки, которые должны быть устранены на первой стадии отладки. Кроме того, численное решение связано с ошибками округления и усечения, что часто приводит к значительной погрешности конечных результатов.

В связи с этим в последнем разделе § 4 изложен ряд приемов контроля точности и достоверности решения применительно к решенным задачам. Основой описанных в § 4 алгоритмов являются известные методы [37], однако приведенные способы их реализации на ЭВМ имеют практический интерес, который выходит за рамки совокупности решенных ниже задач.

Главы 2 и 3 посвящены решению конкретных задач теории аппаратов на воздушной подушке и смежным вопросам теории струй идеальной жидкости. Чтобы оценить новизну результатов, полученных при исследовании этих задач, целесообразно дать краткий обзор основных достижений в этой области, известных по литературе.

Родоначальником теории аппаратов на воздушной подушке (АВП) считается К. Э. Циолковский, который в своей работе [55] предложил использовать воздушную подушку С BTI) для увеличения скорости поезда или ракеты при ее разгоне и дал способ расчета ВП, работающей по камерной схеме (когда воздух подается непосредственно в полость ВП, смешивается с воздухом, находящимся в ВП и вытекает наружу через зазор между кромкой ограждения и опорной поверхностью),.

Как показал опыт, камерная схема оказалась неустойчивой и малоэффективной. Более перспективной оказалась струйная схема работы ВП, когда повышенное давление в полости ВП поддерживается с помощью струйной завесы, формирующейся по периферии ВП[х].

К настоящему времени достаточно полно был изучен лишь равновесный (или отклоненный) режим работы струйной завесы (рис. 1,а). Широкое распространение получили приближенные теории, которые наряду с обычными свойствами идеальной несжимаемой жидкости используют некоторые допущения, упрощающие решение задачи.

Для задачи, теоретический чертеж которой дан на рис. 1, а, можно записать уравнение изменения импульса струи в проекции на ось X:

JlVrf-J^fths-Poh-Dx, где V0, V/, Р0, Pf — скорости и давления, соответственно, справа и слева, JD — плотность, h4 и lie — расстояния от точек, А и В до опорной поверхности, § - асимптотическая толщина струи SS', J — вектор импульса жидкости, вытекающей через срез сопла АВ, D — суммарная сила давления на срезе сопла (Jx и Dx — проекции векторов на ось X). Очевидно, что если известно распределение скоростей на срезе, то уравнение изменения импульса (совместно с уравнением неразрывности и уравнением Бернулли) разрешается однозначно.

Общее допущение, применяемое авторами приближенных теорий для сопла с параллельными стенками, заключается в том, что вектор J считается направленным вдоль стенок сопла. Отличием же разных приближенных теорий является вид распределения модулей скоростей на срезе сопла.

Г. Ю.Степановым [46] предложено простое соотношение: UCp = ] [& где Vcp и ["% - средние значения скорости и квадрата скорости на срезе сопла, которые необходимы для замыкания уравнения изменения импульса. Как показывают исследования[33] для сопла с нормальной подрезкой при h^/fi> / (fl — ширина сопла с параллельными стенками) результаты, полученные Г. Ю. Степановым., отличаются от результатов точного решения краевой задачи менее, чем на 10 $.

В работе [54] величина средней скорости зависит от подрезки сопла % (Z RAB, рис. 1, а): и л обозначения изменены). Легко видеть, что при нормальной подрезке, т <5/, / г&- = j-) Z= -g-, и последнее представление совпадает с представлением Г. Ю. Степанова.

Для удаленной стенки (%- 0) в[54] получена простая формула, выражающая величину через коэффициент давления5~р*р~ (Р*- Pt+рЦ/? — Po+fiV0/2 константа Бернулли струи): ' h 0 {F -6smв, hh где — угол наклона стенок сопла к вертикали. Для $ = эта формула является точной, для fy-O погрешность того же порядка, как и у приближенной формулы Г. Ю. Степанова в случае нормальной подрезки.

В работе [4] предполагалось, что давление в струе на срезе сопла изменяется по линейному закону. При этом отношение л: f j л. л 1+6.

Из этой формулы следует, что при (f ~Sln 0/), что имеет смысл только если внутренняя стенка сопла длиннее на-ружнои на величину й-Jo —Qosq •.

В.И.Ханжонковым [52] разработана приближенная теория на основе распределения скоростей, которое задается следующим дифференциальным уравнением dv = V Sin %(h Sine,) dx hA+xCo&(%+8i) где X — координата, изменяющаяся вдоль отрезка АВ. Дополнительным допущением этого представления является постоянство модуля импульса жидкости вдоль струи. Результаты, полученные в[52] при некоторых значениях 9^ и %, более близки к теоретическим при hA/j3< /, чем при.

Существует еще значительное число различных представлений распределения скоростей по срезу сопла. Подробная библиография и обзор приведены в [52].

В работах [3] ,[4б] и[52] рассматривается также способ создания ВП с помощью двойной струйной завесы. При этом наружная струя работает в режиме подтекания (рис. 4 д, д'), пропуская под собой струю, текущую в атмосферу.

Расщепленный режим работы (рис. 16, в), который совместно с двумя рассмотренными (равновесным и подтеканием) создает систему режимов, с помощью которой в принципе можно описать течение вблизи экрана при любых перепадах давлений, изучается в приближенных теориях относительно редко.

Г. Ю.Степанов для режима расщепления использовал аналогично равновесному режиму условие 1Уср~ №oV} [46]. Однако, как отмечает сам автор, для расщепления это допущение менее оправдано.

В работе [зб] характеристики расщепленного режима определялись с помощью системы двух равновесных струй, между которыми располагалась застойная зона, причем точка разветвления находилась на линии среза сопла. Каждая из этих двух струй рассчитывалась с помощью приближенного метода. Поэтому отличие результатов от точных имеет примерно ту же величину, что и погрешность используемого приближенного метода [33] .

В ряде работ (например,[58], [59], [64], [бб], [б7]) для определения характеристик используется метод функций комплексного переменного. Однако для упрощения расчетов авторами были также сделаны некоторые допущения, поэтому эти методы являются промежуточными между приближенными и точными. Например, в[бб], [67] и[58] принято, что линии тока внутри сопла вплоть до линии среза параллельны стенкам сопла.

Точные численные результаты, как и приближенные, получены в основном для равновесного режима течения [13], [61] .

Ф.Эрихом [б1] проведены также некоторые расчеты режима расщепления. Однако предположив, что локальный максимум давления по стенкам сопла находится в бесконечно удаленной точке, автор ограничился рассмотрением частного случая. Поэтому результаты не позволяют провести исследование взаимопереходов между режимами или рассчитать характеристики аппарата с переменной величиной зазора по периметру воздушной подушки.

Истечение из сопла с непараллельными стенками рассмотрел также В. В. Кличко [30]. Но, по-видимому, в связи с несовершенством алгоритма и программы автор получил достоверные данные только для течения без экрана (при Р/ ~Ро). Результаты расчетов равновесного режима [30] существенно отличаются от представленных ниже (до 30 — 50%), а для режима расщепления отличие еще больше.

В связи со сказанным результаты численных исследований задачи истечения из сопла с произвольным расположением стенок вблизи экрана при различных режимах и выводы, представленные в.

§ 6 настоящей работы, являются новыми. Для случая параллельных стенок в § 5 дано математическое доказательство непрерывности переходов между режимами течения. Этим также иллюстрируется сложность аналитических исследований реальных задач. Кроме того, в § 7 предлагаются более сложные задачи, которые моделируют течения в некоторых типах гибких ограждений. Постановка и результаты исследований этих задач являются также новыми.

Следует отметить, что приближенные методы не дают полной информации о распределении скоростей и давлений по границам и внутри потока, о форме свободных границ (поскольку эти параметры и являются, собственно, предметом упрощающих допущений и других особенностей явления). Однако формулы, получаемые с помощью приближенных теорий, намного проще и их легко можно использовать при инженерных расчетах АВП. Методы же, основанные на точном решении задачи, позволяют провести подробные исследования различных параметров течения, но, в связи со сложностью формули расчетных алгоритмов, их непосредственное применение для инженерных расчетов затруднительно. Поэтому для практики программы решения гидродинамических задач должны быть оформлены в виде элемента некоторой системы и приспособлены к массовому повторяющемуся счету [43] •.

Возможен следующий подход: аппроксимация результатов точных расчетов и использование в математической модели АВП аппроксима-ционной формулы. Но поскольку в сложных моделях число варьируемых параметров может оказаться большим, то получение аппроксимацион-ных формул из точных оказывается непростой задачей. В ряде случаев, однако, упрощающие допущения и приближенные формулы можно получить на основе результатов численных исследований. Например, для задачи истечения из сопла с удаленной внутренней стенкой полезным является введение в рассмотрение величины силы давления/) стенки сопла на поток, которая, как показывают результаты расчетов, очень слабо меняется при вариации угла наклона стенки сопла. Тогда для равновесного режима эту величину D можно аппроксимировать как функцию одной переменной (коэффициента давлений D = -Ъ (б)) и затем повторить последовательность действий, как в приближенных методах f 32J. ¦

Таким способом на основе результатов точного решения можно создать новую приближенную математическую модель АВП, которая будет лучше согласовываться с точной. В этом проявляется одна из положительных сторон параметрического исследования задачи в точной постановке.

Полученные точными методами числовые результаты, как правило, отличаются от экспериментальных данных. Это связано, прежде всего, с влиянием вязкости, которая способствует отрыву потока от внутренней стенки (см. приложение 2). При построении упрощенного метода различие между теоретическими и экспериментальными данными может быть учтено, если использовать в уравнении изменения импульса как точные теоретические данные, так и экспериментальные данные. Например, в[69] с помощью простых допущений моделируется потеря энергии струи при движении вдоль стенки сопла, а в [46] - потери при движении струи после отрыва от кромок сопла. В силу того, что отличие точных теоретических результатов от экспериментальных не так велико (до 5−20% в зависимости от подрезки сопла), введением такого рода простых поправок на потери можно получить достаточно точные аппроксимационные формулы для использования их в математической модели АВП.

К теории АВП относятся также задачи течения воздуха в гибких ограждениях (ГО). ГО могут иметь различную форму, например, полотнище, наполняемый воздухом баллон или баллон с навесными элементами [41], и навешиваются по периферии ВП с целью увеличить расстояние от жестких элементов АВП до опорной поверхности (дяя увеличения безопасности полета). Идею использования ГО первым предложил К. Э. Циолковский [56] .

Задачи обтекания гибких (упругих и мягких, т. е. не имеющих изгибной жесткости) оболочек имеют практический интерес также в связи с применением гибких элементов в других конструкциях (паруса, надувные хранилища и т. д.). Этим задачам посвящено большое число работ. Подробный обзор содеруштся, например, в[57]. Здесь мы ограничимся обзором литературы по задачам обтекания мягкой цилиндрической оболочки без отрыва и с отрывом по схеме Кирхгофа.

Первые теоретические работы были посвящены главным образом безотрывному обтеканию пузырьков (наполненных газом оболочек)[27], [28] ,[45], [63]. Постановка задачи принадлежит Н. Е. Жуковскому [27], им же получено точное решение задачи в одном из частных случаев движения пузыря в канале. Точное решение было найдено также Мак-Леодом [бз], который рассмотрел безотрывное обтекание пузыря при одном частном случае его заполнения: давление в пузыре Pg совпадало с полным давлением Р* (константа Бернулли). В работах [28], [40], [45] были предложены различные итерационные методы, основанные на представлении решения в виде ряда по некоторым малым параметрам. Расчеты были проведены для %% Р* О. М. Киселевым [28] и для Р$Ъ0.5Р* В. Э. Леглером [40] .

К другому классу задач относятся задачи о парусе [2], [29], [бо] Давление со стороны оболочки Pj, соответственно, равно давлению на свободной линии тока Pq. Здесь также применяются методы последовательных приближений. Доказана сходимость их методов для некоторого множества значений исходных параметров. В работе [29] проведены числовые расчеты по обтеканию симметричного клина, составленного из оболочек с различными углами при вершине этого клина. В работе[60] рассмотрена задача о парусе (клине с углом при вершине равным Л) при различных углах атаки. При решении задачи задавалось положение концов паруса и его общая длина.

Наиболее интересными с точки зрения приложения к АВП являются задачи о струйном обтекании замкнутой оболочки, когда отрыв потока происходит с некоторой точки оболочки, и часть оболочки остается несмоченной. В работе [б] решение задачи представляется в виде ряда Фурье, коэффициенты которого определяются путем решения системы линейных уравнений. К сожалению, отсутствие теоретического обоснования сходимости и достаточных численных исследований не позволяет оценить эффективность данного метода. В работах [12], [57] задача решается с помощью представления оболочки в виде совокупности элементов конечной длины. При этом определение точки отрыва основано на расчете ламинарного пограничного слоя методом конечных разностей. В[57] приводится также решение задачи методом Бубнова-Галеркина, исследуется сходимость этого метода, исследование иллюстрируется результатами численного эксперимента.

Необходимо рассмотреть еще один класс задач, имеющих большое значение в теории АВП — задачи об обтекании оболочек ограниченным потоком (в канале или вблизи экрана). Одна из задач (давление в оболочке равно константе Бернулли струи) рассмотрена в [7]. Дано доказательство метода последовательных приближений для некоторых значений параметров.

Численные результаты, полученные в большинстве упомянутых работ, к сожалению, нельзя назвать обширными, однако некоторые из них (например, приведенные в[13] ,[28] ,[29]) предоставляют очень ценную информацию для отладки программ.

Следует отметить, что доказательства существования и единственности решения, основанные на принципе сжатых отображений, данные в некоторых из вышеуказанных работ, справедливы лишь для узкого класса решений. Характерным параметром, ограничивающим область применимости этих доказательств, является величина, А = g PVhQ. ^ q^Где jj плотность жидкости, 2Т0 — скорость на свободной линии, Т — натяжение оболочки, Q> 0 — коэффициент, имеющий размерность расхода). Например, в[29] доказана сходимость алгоритма при А<0.08, в [7] Л<2-г5,й [28] А < у •.

Для сравнения укажем, что при выполнении настоящей работы [20] величина Л, как правило, изменялась в пределах (см. приложение I). Для справедливости отметим, что, практически сходимость алгоритмов последовательных приближений наблюдается в более широкой области, чем это следует из доказательства (например, в [" 29] при Л < 0.2 -s- 0.8), однако, по-видимому, существуют решения, которые не могут быть получены методом последовательных приближений такого типа. Поэтому при выполнении настоящей работы в качестве базового метода решения систем нелинейных уравнений выбран метод Ньютона, который гарантирует сходимость к решению (если оно существует и якобиан отличен от нуля) хотя бы в некоторой 8 — окрестности. Правда, метод Ньютона требует некоторого дополнительного объема вычислений для обращения матрицы, но при этом он обладает квадратичной сходимостью, менее чувствителен к «овражности» штрафной функции и универсален по отношению к виду уравнений.

Дальнейшее изучение свойств потоков, обтекающих гибкие препятствия, по-видимому, целесообразно проводить с помощью ЭВМ при широком использовании различных способов проверки результатов (п. 4.5). В связи с этим в главе 3 на основе разработанных методов проводится подробное численное исследование рассмотренных задач (§§ 8 — 10) при всех возможных соотношениях давлений для оболочки как с одной, так и с двумя закрепленными точками. При этом оказалось, что с теоретической точки зрения наибольший интерес представляет диапазон давлений Ро < Р# < Р *, который ранее почти не рассматривался. Кроме того в § 9 дается постановка и решение задачи с тремя оболочками, являющейся обобщением задачи о безотрывном обтекании оболочки.

При решении задачи обтекания оболочки вблизи экрана следует особо выделить случай малых зазоров между оболочкой и экраном. Поведение функций в этом случае существенно различается в областях течения вблизи точки отрыва и вдали от нее. Это свойство отмечено также в [ 1б], где авторы применили метод «сращивания» и получили приближенный способ решения задачи с учетом вязкости. В § 10 для решения задачи используется разновидность разработанного в диссертации способа учета особенностей. Решение ищется как сумма двух функций разных аргументов, вид первой из которых совпадает с решением задачи для больших зазоров, а вторая представляет собой степенной ряд. Аргументы выбраны таким образом, что первая функция описывает течение вблизи точки отрыва, а вторая — на всей оставшейся области течениявзаимное влияние при уменьшении зазора исчезающе мало.

Таким образом, на защиту выносятся следующие основные результаты, полученные в диссертации:

1. Формула для решения смешанной краевой задачи в верхней полуплоскости для произвольного числа свободных границ применительно к числовым расчетам.

2. Метод решения задач со сложными граничными условиями, когда число участков границы, где заданы эти условия, больше одного (обобщение метода Леви-Чивиты).

3. Доказательство существования и единственности решения задачи об истечении из сопла с параллельными стенками вблизи экрана при заданной величине подрезки и различных режимахнепрерывности взаимного перехода от одного режима к другому.

4. Решение задач истечения из сопла с произвольным расположением стенок вблизи экранасравнительный анализ расходных и высотных характеристик сопел с различными углами раствора и подрезкиполученные упрощающие зависимости.

5. Численное исследование параметров течений с границами, включающими мягкие оболочки, для задач безотрывного и отрывного обтекания оболочки с одной и двумя закрепленными точками, а также отрывного обтекания оболочки вблизи экрананеоднозначность решений при фиксированных давлениях, волнообразная деформация оболочки.

6. Решение задачи обтекания баллонной оболочки вблизи экранасравнение расходных и высотных характеристик при различных отношениях размера отверстия к диаметру баллона.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [18], [19] и в соавторстве с А. Г. Терентьевым [20], С. С. Комаровым и Т.В.Куреленковой[23], С. С. Комаровым и Н.Ю.Цвиленевой[24], [25].

Основные результаты диссертации по мере получения докладывались на Всесоюзном научно-техническом симпозиуме по вопросам повышения ходовых и мореходных качеств судов в г. Ленинграде (Кры-ловские чтения 1976 г.), XIX и XX научно-технических конференциях ГИИВТ в г. Горьком (1976, 1977 гг), Всесоюзной научно-практической конференции «Применение новых видов транспорта в народном хозяйстве и перспективы их развития» в г. Тюмени (1978г.), УТ-ой и УП-ой Дальневосточной конференции по мягким оболочкам в г. Владивостоке (1979г.), на Всесоюзной школе по гидродинамике больших скоростей в г. Чебоксарах (1980г.), на ХУ1-х чтениях К. Э. Циолковского в г. Калуге (1981г.), на Пятом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в г. Алма-Ате (1981г.), а также на итоговых научных конференциях Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова (1978;1983гг) и Уфимского авиационного института им. С. Орджоникидзе (1976;1983гг).

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Получена формула типа Жуковского, дающая решение смешанной краевой задачи с кусочно-постоянными граничными значениями в классе функций с интегрируемыми особенностями на границе и специальный вид условий ограниченности решений. Показано, что численный метод, использующий эту формулу, позволяет: а) эффективно проводить двух и многократное численное интегрирование, необходимое для расчета физических величинб) уменьшить порядок системы уравнений ограниченности и построить простой и эффективный алгоритм ее решения.

2. Разработан численный метод решения задач со сложными граничными условиями, в которых число участков границы, где заданы эти условия, больше единицы. Метод основан на поочередном отображении задачи на полукруг (причем каждый раз на полуокружность отображается один из упомянутых участков границы) и определении общего решения задачи в виде суммы функций Леви-Чивиты. Особенности функций учитываются с помощью общего члена, дающего решение задачи с кусочно-постоянными граничными значениями (п.Х), а также с помощью введения дополнительных членов, позволяющих улучшить сходимость рядов.

3. Проведено подробное численное исследование задачи истечения из сопла с произвольным расположением стенок вблизи экрана. Рассмотрены режимы: равновесный, расщепление, подтекание, касание. Указаны безразмерные параметры, которые для разных значений углов наклона оси и раствора сопла отличаются друг от друга незначительно. Для режимов равновесного и подтекания найдена простая формула, достаточно хорошо аппроксимирующая расходную характеристику (это упрощает использование результатов в математической модели АВП). Для сопла с нулевым углом раствора (с параллельными стенками) доказана однозначная разрешимость задачи при заданной величине подрезки сопла и образа одной из точек на действительной оси (дополнительно к трем, определяющим отображение). Кроме того доказано, что изменение режимов и переход к предельным режимам (равновесному, касанию, истечению из-под экрана) происходит непрерывно.

4. Проведено численное исследование задач отрывного и безотрывного обтекания мягкой оболочки безграничным потоком идеальной жидкости, а также отрывного обтекания вблизи экрана. Показано, что основные параметры оболочки: натяжение, высота, а также коэффициенты сопротивления, и подъемной силы имеют экстремальные значения, если выполняется условие Бриллуэна о конечности кривизны свободной линии тока в точке отрыва от оболочки. Показано существование двух основных ветвей решения, одна из которых включает, как предельный случай, обтекание сегмента кругового цилиндра, другая — цилиндрической лунки. При давлениях в оболочке,. близких к давлениюна свободной линии (или на бесконечности, в случае безотрывного обтекания) оболочка волнообразно деформируется, зависимости параметров оболочки от давления имеют колеба-. тельный вид.

5. Исследована статическая устойчивость оболочки на основе определения знака производной объема, заключенного внутри оболочки, по внутреннему давлению.

6. Модификация общего метода, использованная для численного исследования задачи с малыми зазорами между оболочкой и экраном, может служить альтернативой методу «сращивания» для задач, решение которых выражается функциями с существенно различным поведением на разных участках области определения.

Полученные в диссертации результаты могут быть полезными для более полного понимания влияния геометрии сопла на аэродинамические характеристики струйных завес, формообразования оболочки при различных давлениях и зазорах и представляют практический интерес при формировании математической модели АВП. Результаты исследований и численные методы решения задач применяются при выполнении работ по хоздоговорным темам в Уфимском авиационном институте им. С. Орджоникидзе и включены в спецкурсы в Чувашском государственном университете им. И. Н. Ульянова.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю, заслуженному деятелю наук ЧАССР, доктору физико-математических наук, профессору А. Г. Терентьеву за постоянное внимание и помощь при выполнении работы, а также руководителю. СКБ-I УАИ кандидату технических наук С. С. Комарову за полезные советы при обсуждении результатов.

ЗАКШОЧЕНИЕ.

В диссертации разработаны численные методы решения задач гидродинамики со сложными граничными условиями и проведено численное исследование ряда задач, возникающих при проектировании аппаратов на воздушной подушке.