Неравенства Фуксова типа и их приложения

1. Данная работа посвящена некоторым вопросам аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. В основном нас будет интересовать система g = *(.)", ^ ^ (1) состоящая из р линейных дифференциальных уравнений, с матрицей B (z) ме-роморфных на расширенной комплексной плоскости С (сфере Римана) коэффициентов, голоморфных вне множества особых точек а,., ап.

Скалярные линейные дифференциальные уравнения в комлексной области подробно начали изучаться еще в середине XIX столетия известным немецким математиком Б. Риманом [10], уделившим особое внимание одному специальному классу таких уравнений — классу уравнений второго порядка со множеством особенностей, состоящим из трех точек, и обладающих следующим свойством: решения в окрестности этих точек имеют не более чем степенной рост (поскольку решения как правило являются многозначными функциями, то, говоря о степенном росте, следует ограничиваться случаем, когда аргумент стремится к особой точке, оставаясь при этом в некоторой секториальной окрестности этой точки). Исследования Б. Римана продолжил его соотечественник JL Фукс, некоторые результаты которого были получены еще Б. Риманом для ^ вышеупомянутого класса уравнений. Одно из наиболее известных достижений.

JI. Фукса состоит в том, что он полностью описал класс уравнений произвольного порядка р, все решения которых имеют не более чем степенной рост в особых точках.

Судя по всему, системы вида (1) стали рассматриваться несколько позднее. JI. Соваж, А. Пуанкаре, JI. Шлезингер, Дж. Биркгоф и другие известные математики рубежа XIX—XX вв.еков начали исследования этих систем с различных точек зрения. Их исследования получили свое дальнейшее развитие во второй половине прошедшего столетия в связи с применением к задачам математической физики (теория изомонодромных деформаций), аналитической теории чисел и др. Здесь можно выделить таких математиков современности как А. X. М. Левель, Б. Мальгранж, И. Сибуйя, В. Бальзер, Д. Бертран. Особо отметим имя А. А. Болибруха, удостоенного в 2002 году Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники за цикл работ «Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами» [4]. Среди полученных им результатов наиболее известным является отрицательный ответ на проблему, включенную Д. Гильбертом на Парижском международном математическом конгрессе 1900 года в число своих «Математических проблем» под номером 21.

О том, какие именно вопросы изучаются в данной работе, скажем чуть позже, а перед этим опишем основные понятия теории линейных дифференциальных уравнений с особенностями.

Пусть разложение в ряд Лорана матрицы B (z) коэффициентов системы (1) в окрестности особой точки а, — ф оо имеет вид.

B (z) = (+ — + + (2) z — at’J 1 z — ai если а, — = оо, то главная часть матрицы B (z) в окрестности бесконечности — многочлен степени Г{ — 1). Тогда число г, — называется рангом Пуанкаре системы в особой точке аг Если точка оо не входит в число особенностей ai,., a" системы (1), то матричная дифференциальная форма w = B (z)dz —? (. + • • • + dz kj ftl (z — fli) ri+1 z-qij голоморфна на всей сфере Римана. Действительно, эта форма голоморфна в комплексной плоскости по построению, а в точке оо она голоморфна по следующей причине. В координате t = 1/z в окрестности бесконечности (t — 0) форма и) имеет вид ыB (Midt I f, , BUtdt.

Согласно теореме о сумме вычетов, resa. B (z)dz = 0, т. е.? В^ = 0. i=i i=i.

Таким образом, форма и голоморфна в окрестности точки t = 0, поскольку там голоморфно слагаемое ± BL^-^ +^Ut ti (1 — dit) t (1 — ait) t i-i t i=i l — ait i=i l — ait.

Итак, матричная дифференциальная форма ui голоморфна на всей сфере Римана, т. е. uj = 0. Следовательно, если точка оо не является особой для системы (1), то матрица B (z) коэффициентов этой системы может быть записана в виде.

BL,. В z — ai) r'+1 z-ai).

Рассмотрим точку zq € C{al5., a"} и некоторый диск D С C{ai,., а&bdquo-} с центром в этой точке. Согласно общей теореме существования и единственности, для всякого вектора уо пространства Ср найдется единственное решение y (z) системы (1), голоморфное в D и удовлетворяющее условию y (zQ) = уо. Из этого следует, что множество решений системы (1) в окрестности ее неособой точки является векторным пространством размерности р (если значения в точке zq каких-либо решений линейно зависимы, то по теореме существования и единственности будут линейно зависимыми и сами решения). Всякая матрица Y (z), столбцы которой образуют базис в этом пространстве, называется фундаментальной матрицей системы (1) и удовлетворяет матричному уравнению.

Две фундаментальные матрицы Y (z) и Y'(z) связаны соотношением Y (z) = Y'(z)C, где С — невырожденная постоянная матрица (столбцы этих матриц образуют два базиса в векторном пространстве, которые должны быть связаны невырожденной матрицей перехода).

Всякое решение системы (1) из окрестности D неособой точки zq может быть продолжено в окрестность неособой точки z вдоль любого пути 7, соединяющего эти две точки и не задевающего особенности а,., о&bdquo-. Для такого продолжения достаточно покрыть путь 7 дисками, лежащими в С {ai,., an} и обладающими тем свойством, что центр каждого последующего диска лежит в предыдущем.

Особенность а, — называется регулярной, если любое решение системы (1) при приближении аргумента 2 к точке агпо любой секториальной окрестности с вершиной в точке аги раствора меньше 2т: растет не быстрее некоторой степени величины z — aj|. В противном случае особенность а, — называется иррегулярной.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим систему dy (l/z 1 fz2 dz ~ [ 0 2/z У.

Поскольку фундаментальная матрица Y (z) пространства решений этой системы имеет вид то особенность 2 = 0 является регулярной особой точкой ранга Пуанкаре г = 1. Для системы (состоящей из одного уравнения) dy 1 dz 22 ^ точка 2 = 0 является иррегулярной особой точкой, так как общее решение данного уравнения имеет вид y (z) = се-1/г, с = const.

Особенность аназывается фуксовой, если ее ранг Пуанкаре г, — равен нулю. Фуксова особая точка всегда является регулярной (теорема Соважа, см. [11, Глава IV], [2, Лекция 4]), но регулярная особенность не обязана быть фуксовой (пример 1). Фуксова система — система, все особые точки которой фуксовы. Матрица В (z) коэффициентов фуксовой системы имеет вид п тзг i=i z — а, если некоторая особенность а, — является бесконечно удаленной точкой, то нужно исключить слагаемое Bli/(z — а,) из этой записи).

Рассмотрим в окрестности неособой точки zo некоторую фундаментальную матрицу Y{z) пространства решений системы (1). Вдоль любой петли 7, начинающейся в точке zo и лежащей в С {oi,., а&bdquo-}, матрица Y (z) допускает аналитическое продолжение, результатом которого является (вообще говоря, другая) фундаментальная матрица Y'(z). Матрицы Y (z) и Y'(z) связаны соотношением.

Y{z) = Y'(z)G1, G^eGLip, С).

Соответствие 7 зависит лишь от гомотопического класса [7] петли 7 и задает гомоморфизм.

X: 7Ti (C{ai,., a"}, z0) -> GL (p, С) фундаментальной группы пространства С {ai,., ап} в группу невырожденных комплесных матриц порядка р. Данный гомоморфизм называется представлением монодромии системы (1), а группа Imx — группой монодромии этой системы. При заменах фундаментальной матрицы Y (z) (на матрицы Y (z)S, со всевозможными S G GL (p, С)) матрицы монодромии G7 заменяются на матрицы S^G^S. Таким образом, монодромия системы (1) определена с точностью до эквивалентности.

В малой окрестности каждой из точек а, — зафиксируем по неособой точке z%0 и обозначим через Sj малую петлю с началом в точке Zq, соответствующую однократному обходу точки аг-. В качестве образующих фундаментальной группы 7Ti (C{aj,., a"}, zo) выберем гомотопические классы петель gi,., <7П) где каждая из петель gi есть результат последовательного обхода некоторого пути 7 г, соединяющего точку Zq с точкой петли и того же пути проходимого в обратном направлении (петли 5{ и пути 7- выбраны так, чтобы петля П" =1 7А7Г1 была гомотопна нулю). Матрица Gi — X (.

G" - Gn = I.

ПРИМЕР 2. Фундаментальная матрица У (, г) = (* системы из примера 1 при аналитическом продолжении вокруг нуля переходит в матрицу.

Строение пространства решений системы (1) в окрестности регулярной особой точки описано А. X. М. Левелем [21] (см. также [1, Глава I], [2, Лекция 5], [4]). Для регулярной особенности системы определены показатели — числа, характеризующие скорость степенного роста решений в окрестности особой точки. Понятие показателей связано с понятием монодромии, а также — с понятием нормирований решений системы в регулярной особой точке (понятия нормирований и показателей определяются в § 1 главы I).

Случай иррегулярной особой точки сложнее, и известен вид формальной фундаментальной матрицы системы (1) в окрестности этой точки (т. е. матрицы, в записи которой присутствуют степенные ряды с нулевым радиусом сходимости, но которая при формальной подстановке в систему обращает ее в верное равенство), см. [24], [5, Глава V]. В работе [14] авторы получают разложение специального вида для формальной фундаментальной матрицы, уточняя известные результаты. По такой формальной фундаментальной матрице определяются формальные показатели системы (1) в иррегулярной особой точке (см. § 2 главы I).

2. Основная цель данной работы — представление некоторых оценок для суммы показателей системы (1) по всем особым точкам, так называемых неравенств Фукса (при этом в регулярных особых точках берутся классические показатели Левеля, а в иррегулярных — формальные).

Изначально Л. Фуксом в 1866 году было получено соотношение для суммы Е показателей линейного дифференциального уравнения dpu dp~lu порядка р с регулярными особыми точками ai,., ап. Определение регулярной особой точки для уравнения — такое же, как и для системы, в то время как фуксова особая точка определяется следующим образом. Особенность ф оо уравнения (3) называется фуксовой, если в этой точке функции (z — ai) b (z), (z — а,)2б2(г),., (z — ai) pbp (z) голоморфны.

Чтобы изучить уравнение (3) в окрестности точки г = оо, нужно переписать его в координате t = 1 /z относительно неизвестной функции x (t) = y (l/t). Свойства полученного уравнения в окрестности точки t = О определяют свойства уравнения (3) в окрестности бесконечности. Так, вычисление коэффициентов уравнения, записанного в координате t, показывает, что 2 = оо является фуксовой особой точкой уравнения (3), если функции zbi (z), z2b2(2),., zpbp (z) голоморфны в окрестности бесконечности.

Существуют стандартные способы перехода от уравнения вида (3) к системе вида (1). Если особенность а, — ф оо является фуксовой для уравнения (3), то с помощью замены у1 = и, у2 = (zа{) du yp=(z~ а>У dP.

— 1 и dz' y v «» dzP-1 можно перейти к системе (1) (где у = (у1,., ур)) с матрицей коэффициентов.

B (z) = 1.

2 — а: О О 0 1 р-1 1.

2 — аО О z — a, i) pbp. (z — a{)bi.

Следовательно, точка 2 = щ будет фуксовой особой точкой для получившейся системы. По теореме Соважа эта точка будет регулярной, а поскольку первая компонента решения построенной системы является решением уравнения (3), то особенность z = а, — будет регулярной и для уравнения. Итак, фуксова особая точка уравнения (3) является регулярной. Справедливо и обратное. Таким образом, в отличие от системы, для скалярного уравнения понятия фуксовой и регулярной особой точки эквивалентны (теорема Фукса [20], см. также [11, Глава IV], [2, Лекция 4]). Фуксовым уравнением называется уравнение, все особенности которого фуксовы.

Соотношение для суммы показателей уравнения (3), полученное Л. Фуксом [20], имеет вид (п — 2) р (р — 1) 2 и называется классическим соотношением Фукса.

В 1985 году Д. Бертран и Ж. Ламон [15] обобщили это соотношение на случай дифференциального уравнения с иррегулярными особенностями, добавив к правой части классического соотношения слагаемое, связанное с одним из индексов иррегулярности Мальгранжа в особой точке уравнения. Индексы иррегулярности irrM, i, Irr^j Мальгранжа и индекс иррегулярности irrx i Катца в особой точке а^ определяются как для системы (1), так и для уравнения (3), по формальной фундаментальной системе решений (см. § 2 главы I). Для уравнения (3) индексы гггд/jи irrx, i также могут быть определены непосредственно по его коэффициентам согласно Б. Мальгранжу [23] (см. § 3 главы I).

Вернемся вновь к системе (1). До недавнего времени было известно, что сумма S показателей такой системы, bee особые точки которой регулярны, является целым числом, не превосходящим нуль, при этом Е = 0 тогда и только тогда, когда система фуксова (см. [1, Глава I], [2, Лекция 7]).

В 1999 году французским математиком Э. Корелем [17] были получены эффективные оценки суммы показателей системы (1) с регулярными особыми точками, зависящие от размера системы р и рангов Пуанкаре п,., гп:

1 i=l t=l (из этих оценок, в частности, следует, что для суммы показателей системы двух уравнений (р = 2) с регулярными особыми точками выполнено соотношение.

Е = -ЕГ=1Г1-).

В случае, когда ранги матриц Вгг. х, соответствующих не фуксовым особенностям а,{ системы (1), максимальны (и все особенности регулярны), Э. Корель [18] нашел точное выражение для величины Е:

1 t=l.

В 2001 году им же (в [19]) были получены неравенства Фукса для системы (1) общего вида (с иррегулярными особенностями): v (v — 1) «» 1 «» «» «»? г, — + - Е IrrM, i < s < - Е п + Е irrKti. i=l t=l izz 1 i= 1.

В утверждении 1 данной работы уточняются полученные Э. Корелем неравенства Фукса для системы с регулярными особыми точками, а в утверждении 2 — для системы общего вида. Уточнение происходит за счет появления в оценке зависимости от величин rankи dimker (Blr—i — <М/), где Л] (j = 1 ,.,/ij) — собственные значения матрицы Вгг.- (если особенность а,-регулярна и г, — > 0, то Blr. i — нильпотентная матрица, т. е. А, = 0 — единственное ее собственное значение).

Утверждение 1. Для суммы Е показателей системы (1), (2) с регулярными особыми точками а,., ап рангов Пуанкаре ., гп соответственно справедливы неравенства р (р — 1) «» «» Ыкг — 1) «», .

V^ Е г- + Е V 9 J < Е < - Е rank B*r iri, i=l t=l * г=1 где ki = р — rank 5Lr. i = dim ker если г, — > 0, и к{ = 0, если гг- = 0 (см.

§ 1 главы I).

Утверждение 2. Для суммы Е показателей системы (1), (2) с (произвольными) особыми точками а,., ап рангов Пуанкаре г,., г&bdquoсоответственно справедливы неравенства р (р- 1) «» 1 «» .

Е ri + - Е Irrjif, — + Е К{ < S < - Е rank Bl^ri — irrK>i),.

2 tl 1 ' 2 i t'=i * i=i t=i i=i где Ki — (1/sj) HjLi si — порядок формального ветвления системы в точке z — а,-, Ц = dimker (Blr г — Ц1), если г, — > 0, и Ц = О, если г, — = О (см. § 2 главы I).

В случае системы (1) двух уравнений (р = 2) общего вида удается получить точное выражение для величины S. Обозначим через с^ число подряд идущих.

В1r j в* скалярных матриц (начиная с В*г.1) в «не фуксовой» части Ч——разложения (2) матрицы B (z) в окрестности особой точки г = а,-. В частности, ai = 0, если матрица ВгГ. г не является скалярной.

Утверждение 3. Для суммы Е показателей системы (1), (2) размера р = 2 с (произвольными) особыми точками ai,., a" рангов Пуанкаре Г],., Г" соответственно справедливо соотношение п п 1 п = - + + X? 1ггМ, г i=l г=1 * 1=1 см. § 2 главы I).

§ 3 главы I посвящен скалярным линейным дифференциальным уравнениям с мероморфными коэффициентами (здесь подробнее рассказывается о соотношениях Фукса для этих уравнений). Одна из наиболее известных задач, связанных со скалярными уравнениями — задача о построении фуксова уравнения с заданными особенностями и заданным представлением монодромии (21-я проблема Гильберта). Эта задача в общем случае имеет отрицательное решение, поскольку число параметров, от которых зависит такое уравнение, меньше числа параметров, от которых зависит множество классов эквивалентности представлений.

X: tti (C {аь., an}, 20) -> GL (p, С) см. [1, Глава III], [2, Лекция 8]). Поэтому при построении фуксова уравнения возникают дополнительные яложные" особые точки (т. е. точки, решения в которых голоморфны, но коэффициенты уравнения могут иметь особенности). А. А. Болибрухом было получено точное выражение для минимально возможного числа таких точек (см. теорему 4.4.1 из [1]) для неприводимого представления х (те> представления, для которого не существует невырожденной матрицы 5, приводящей все матрицы G- = x (<7i) к одинаковому блочному верхнетреугольному виду.

S~lGiS = (°0 G" «) ' где G’i, G’l — блоки положительного размера). Здесь предлагается некоторая оценка числа дополнительных особенностей, возникающих при построении скалярного уравнения по представлению монодромии системы (1). После этого, используя результат И. Племеля начала XX столетия о существовании системы (1) с заданными регулярными особыми точками и монодромией, можно по произвольному представлению х построить фуксово уравнение и получить оценку числа дополнительных особых точек этого уравнения.

21-я проблема Гильберта применительно к фуксовым системам получила название проблемы Римана-Гильберта. В общем случае эта проблема (так Жб^ кяк и для скалярного уравнения) имеет отрицательное решение. Контрпример к проблеме Римана-Гильберта был построен А. А. Болибрухом в 1989 году, после чего им были проделаны обширные исследования, результатом которых явились многочисленные достаточные условия положительного решения проблемы. Среди наиболее известных — теорема о реализуемости любого неприводимого представления как представления монодромии некоторой фуксовой системы (теорема 4.3.1. [1]), а также теорема о возможности построения по любому фуксову уравнению фуксовой системы с теми же особыми точками и той же монодромией (теорема 3.2.1. [1]).

3. Одно из возможных применений неравенств Фукса — их использование для получения оценок порядков нулей многочлена P (z, xi,., жр), рассмотренного на траектории решения системы линейных дифференциальных уравнений. С помощью оценок подобного рода А. Б. Шидловским была установлена однородная алгебраическая независимость значений у*(£),., Ур (£) целых функций y1(z),., yp{z) некоторого класса, являющихся компонентами решения системы (1) и однородно алгебраически независимых над полем С (г) рациональных функций (где? — ненулевое алгебраическое число, не принадлежащее множеству особенностей системы). Напомним, что число? называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами. Числа ац,., ар называются (однородно) алгебраически независимыми, если Р (а,., о-р) ф 0 для любого (однородного) многочлена Р (х 1,., хр) ф 0 с алгебраическими коэффициентами. Функции f (z),., fp (z) называются (однородно) алгебраически независимыми над полем С (г), если P (z, f{z),., fp (z)) ф 0 для любого (однородного по переменным xi,., xp) многочлена P{z, x,., хр) ф 0 (см. [12, Глава III]).

Если компоненты решения у = (у1,., ур) системы (1) алгебраически независимы над полем рациональных функций, то оценка сверху кратности нуля ordZoP (z, y1(z),., yp (z)) функции P (z, y1(z),., yp (z)) в точке z0 (через параметры deg2 Р и degx Р) может служить мерой алгебраической независимости функций yl (z),., yp (z) над полем С (г).

В работе Д. Бертрана и Ф. Бейкерса [16] на основе аналитического подхода был получен следующий результат. Пусть P (z, x 1,., жр) — многочлен степени т по z и однородный степени I по xi,., xp, a y (z) = (у1 (2),., yp{z)) — решение системы (1), голоморфное в окрестности точки zq. Обозначим через.

R (z) функцию R (z) = P (z, y1{z),., yp (z)), а через s — размерность векторного пространства над полем С (г), порожденного всеми производными функции R (z) (поскольку y (z) является решением системы (1), данное пространство содержится в векторном пространстве над полем С (z), порожденном мономами степени / от функций y1(z),., yp{z), т. е. s < оо). Тогда существуют такие постоянные с и сг, зависящие только от системы (1), что-либо функция R{z) тождественно равна нулю, либо ordZ0 R (z) < sm + csl + c^s2.

Приведем также оценку, полученную Ю. В. Нестеренко [9] с помощью алгебраических методов. Пусть P (z, xi,., хр) — многочлен степени m по z и степени I по х,., жр, не равный тождественно нулю, a y{z) = (у1 (г),., yp (z)) — решение системы (1), голоморфное в окрестности точки zq, и функции yx{z),., yp (z) алгебраически независимы над полем C (z). Тогда существует такая постоянная с, зависящая от системы (1) и функций yl (z),., yp{z), что ord, 0 P (z, yz),., yp (z)) < c (m + 1) lp.

В § 1 главы II неравенства Фукса используются для оценки порядков нулей многочлена P (z, x,., жр), рассмотренного на траектории решения системы (1) с регулярными особыми точками (в дополнение к результатам А. А. Боли-бруха [3]).

В § 2 главы II с помощью неравенств Фукса оцениваются порядки нулей компонент решения системы (1) с неприводимым представлением монодромии и произвольными особыми точками.

4. Основным методом, используемым для получения неравенств Фукса, является метод локальных калибровочных преобразований вида.

У' = Г (*)у, где Г (г) — голоморфно обратимая (или мероморфно обратимая) в окрестности точки а{ матричная функция. Голоморфная обратимость матрицы Г (г) означает, что эта матрица голоморфна в окрестности точки аги detr (a-) ф О, мероморфная обратимость — что матрица Г (г) мероморфна в точке аги detr (^) ф 0. Данное преобразование переводит систему (1) в систему (заданную в окрестности точки аг-) с матрицей коэффициентов.

B'(z) = Г (2)В (2)Г-1(2) + ^Г-'М. (4).

Голоморфно обратимое преобразование не меняет ранг Пуанкаре rf, заменяя старший коэффициент — матрицу Вгг. 1 — на матрицу Г (а,)Б!г.1Г~1(а,). Мероморфно обратимое преобразование может как повышать, так и понижать ранг Пуанкаре. В качестве мероморфно обратимых преобразований будут использованы преобразования с матрицами Г (, г) = (z — а,)^, где К — диагональная целочисленная матрица. В силу формулы (4) такое преобразование переводит систему (1) в систему с матрицей коэффициентов.

B'{z) = (z-ai)KB (z){z-ai)-K + К.

Z — tti что часто позволяет проследить, как меняется ранг Пуанкаре г,-. В случае иррегулярной особенности а, — также будет использовано скалярное преобразование вида.

У' = е’Му, где q (z) — многочлен от 1 J{z — й{). Хотя функция е9^ имеет существенную особенность в точке аг-, матрица B'(z) преобразованной системы вследствие формулы (4) мероморфна в этой точке: = *(,) +.

Способ оценки порядков нулей многочлена на траектории решения системы с регулярными особыми точками состоит в следующем. Сначала с использованием неравенств Фукса оценивается порядок нуля произвольной компоненты решения в произвольной точке сферы Римана. Затем строится система большего размера с теми же особыми точками, одной из компонент решения которой и является данный многочлен. Переход к такой системе осуществляется с помощью тензорного произведения фундаментальных матриц исходной системы. Этот метод изложен в работе А. А. Болибруха [3] и является некоторой интерпретацией метода, используемого Д. Бертраном в своих работах [16], [15]. Мы следуем данному аналитическому подходу, лишь уточняя оценки А. А. Болибруха после получения уточненных неравенств Фукса. Напомним здесь, что если, А = (a, ij) и В — квадратные матрицы размера р, то их тензорное произведение А®В определяется формулой а\В. арВ А®В= -: арВ. аррВ и является квадратной матрицей размера р2. Если данные матрицы рассматривать как матрицы линейных операторов, А и В в базисе {t>i,., vp} р-мерного векторного пространства V, то матрица определенного выше тензорного произведения будет матрицей оператора А®В в базисе {v,-(g> vj} (при соответствующем упорядочении элементов) р2-мерного векторного пространства V ®V (оператор А.