Исследования по теории ограниченных решений эллиптических систем на плоскости

Актуальность темы

Изучение задач об ограниченных, в том числе периодических решениях, и граничных задач в неограниченных областях для эллипитических систем первого порядка на плоскости представляет большой интерес, особенно в связи с тем, что такие задачи очень часто встречаются в приложениях.

Основополагающими работами в теории эллиптических уравнений и систем на плоскости являются работы М. А. Лаврентьева, И. Н. Векуа, Ф. Д. Гахова, Л. Г. Михайлова, В. Н. Монахова, Л. Берса, их учеников и последователей (см., например, [18, 22, 27−30, 60, 61, 100, 101] и имеющуюся там библиографию). В работах Б. В. Боярского, Л. Берса и Л. Ниренберга (см., например, [25, 102]) на решения линейных равномерно эллиптических систем первого порядка.

Lw = wz + q1(z)wz + q2(z)w? + a (z)w + b (z)w =/(2), (1) где 1¹(^)1 + 1²(^)1 < <7о < 1 перенесен ряд важных свойств аналитических функций.

Для систем вида (1), когда д! = д2 = 0 и коэффициенты а, 6 принадлежат пространству Ьр©, р > 2 (этот случай называют регулярным), И. Н. Векуа и Л. Берсом [28, 30, 100, 101] построена полная теория, известная под названием теории обобщенных аналитических функций. В этом случае установлены глубокие аналогии между решениями системы (1) и аналитическими функциями. Л. Г. Михайловым [70] впервые изучен сингулярный случай, т. е. когда коэффициенты имеют точечные особенности вида 1/г, и многие свойства аналитических функций перенесены на этот случай. С. Н. Антонцевым [4] изучен почти регулярный случай, когда коэффициенты суммируемы с квадратом с весами, имеющими логарифмичекую особенность. Н. К. Блиевым [2, 20] изучались случаи, когда коэффициенты принадлежат пространству Бесова Брд©, 1 < р < 2, а = (2 — р)/р. Показано существование решения из пространства Врд1^), когда область й ограниченная, и из пространства В*ъ ад = 2, когда Сг = С, С — комплексная плоскость.

В работах И. Н. Векуа, Б. В. Боярского, Л. Г. Михайлова, Ф. Д. Гахова и Э. Г. Хасабова (см., например, [22, 30, 45, 70]) изучались краевые задачи типа задачи Гильберта для уравнения обобщенных аналитических функций. Л. Г. Михайловым [68, 69] и Г. Н. Александрия [3] рассматривались краевые задачи типа задачи Римана. Названными авторами установлена нётеровость этих задач, получены формулы для индекса. В ряде работ В. Н. Монахова и С. Н. Антонцева (см., напр, [71, 109]) исследованы краевые задачи для квазилинейных равномерно эллиптических систем (когда коэффициенты и правая часть системы (1) зависят также от искомой функции) и даны приложения результатов в задачах гидрои газодинамики. Аналогичные результаты для случая квазилинейных почти регулярных систем получены в работах С. В. Монаховой [72]. Краевые задачи типа задачи Гильберта для общих эллиптических систем, а также более общие краевые задачи изучались В. С. Виноградовым, И. И. Дани люком, В. Н. Монаховым, Л. Берсом и Л. Ниренбергом (см., например, [31, 49, 71, 102]). Полный обзор последних работ по уравнениям вида (1) имеется в [117].

Как правило, краевые задачи в ограниченных областях для систем вида (1) и для большинства эллиптических уравнений и эллиптических псевдодифференциальных операторов на компактном многообразии являются нётеровыми (см., например, [54, 84, 87, 93, 95]). Для системы (1) свойство нётеровости краевых задач в неограниченных областях сохраняется, если коэффициенты принадлежат классу Ьр>2©, р > 2 — множеству функций ¡-(г) таких, что ¡-(г) е Ьр (г < 1) и ?(1/г)г~2 е Ьр (г < 1) — вне области задания функция / продолжается нулем [30]. Если для случая неограниченных областей от коэффициентов системы (1) не потребовать условия суммируемости, то свойство нётеровости краевых задач, вообще говоря, нарушается. Например, пусть в системе (1).

Тогда все функции гип (2) = 5 являются ограниченными на всей плоскости решениями системы (1), т. е. задача об ограниченных на С решениях для этой системы имеет бесконечное число линейно независимых решений. Такая же картина наблюдается и в случае краевых задач типа задач Римана и Гильберта на полуплоскости. Выше приведенный пример показывает, что для систем вида (1) в случае, когда коэффициенты не принадлежат классу теорема Лиувилля, аналогичная соответствующей теореме теории обобщенных аналитических функций, вообще говоря, не сохраняется. Отметим, что для случая постоянных коэффициентов нарушение теоремы Лиувилля было указано В. С. Виноградовым [32].

В связи с вышесказанным весьма актуальной является разработка методов исследования краевых задач в неограниченных областях для эллиптических систем первого порядка на плоскости. Проблема разрешимости эллиптических уравнений и систем в пространствах функций, определенных во всем пространстве или полупространстве, является очень важной. В ряде работ В. С. Виноградова [32−34] для обобщенной системы Коши — Римана и некоторых многомерных эллиптических систем рассматривалась задача о решениях, определенных во всей плоскости и растущих не быстрее полинома. Э. Мухамадиевым (см., например, [74, 75]) изучались вопросы обратимости, нормальной разрешимости и фредгольмовости эллиптических уравнений в пространствах периодических функций и функций, заданных во всем пространстве. Задачу об ограниченных во всем пространстве решениях эллиптических уравнений рассматривал в некоторых своих работах А. И. Янушаускас (см., например, [97]). Краевым задачам в полупространстве в различных классах функций для эллиптических уравнений посвящено огромное количество работ В. П. Паламодова, Н. Е. Товмасяна и других авторов (см., например, [91]).

Цель работы. Для эллиптических систем первого порядка на плоскости исследовать задачу об ограниченных на всей плоскости, в том числе периодических решениях. В случае линейных систем исследовать вопросы нормальной разрешимости, нётеро-вости, вычисление индекса задачи об ограниченных на всей плос6 кости решениях, а также изучить граничные задачи типа задач Римана и Гильберта и задачу о решениях степенного роста.

Общие методы исследования. В работе применяются и развываются функциональные методы, методы теории функций комплексной переменной и теории обобщенных функций, аппарат априорных оценок и топологические методы нелинейного анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Для равномерно эллиптических линейных систем первого порядка на плоскости разработана теория нормальной разрешимости и нётеровости в гёльдеровых пространствах функций, определенных на всей плоскости. Получена формула для вычисления индекса.

2. Найдены критерии разрешимости неоднородных уравнений в гёльдеровых пространствах. Исследовано поведение решений на бесконечности указанных систем.

3. Найдены необходимые и достаточные условия нетривиальной разрешимости ряда классов многомерных линейных однородных эллиптических систем, обобщающих систему Коши — Римана, в пространстве умеренно растущих обобщенных функций и функций степенного ростав последнем случае найдена формула для нахождения размерности пространства решений.

4. Получены критерии нормальной разрешимости граничных задач типа задач Римана и Гильберта для уравнений обобщенных аналитических функций на полуплоскости, когда коэффициенты уравнения и граничного условия не являются суммируемыми.

5. Найдены признаки существования ограниченных на всей плоскости и периодических решений квазилинейных эллиптических систем первого порядка с главной положительно однородной правой частью.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Проведены исследования задачи об ограниченных на всей плоскости решениях равномерно эллиптических систем первого порядка. Получены критерии нётеровости этой задачи. Найдены необходимые и достаточные условия разрешимости указанной за7 дачи для неоднородных уравнений.

Разработанная методика может быть применена к исследованию краевых задач в неограниченных областях для других уравнений математической физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на пятой международной конференции по комплексному анализу и его приложениям к дифференциальным уравнениям с частными производными (Галле, 1988 г.), на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987 г.), на конференции «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики — вторые Боголюбовские чтения» (Душанбе, 1992 г.), на Юбилейной конференции, посвященной 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана (Алма-Ата, 1995 г.), на международных конференциях «Современные проблемы прикладной математики и экономики» (Самарканд, 1997 г.), «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе, 1996 г.), на ряде конференций по дифференциальным уравнениям, проводившихся в Таджикистане (1983, 1990, 1991, 1992, 1997гг.), а также на следующих семинарах:

— семинар отдела условно-корректных задач Института математики СО РАН (рук. академик М.М.Лаврентьев);

— семинар лаборатории математической физики СанктПетербургского отделения Математического института РАН (рук. академик.

O.A. Ладыженская);

— семинар «Математические модели механики сплошных сред» Института гидродинамики СО РАН (рук. чл.-корр. РАН В. Н. Монахов, чл.-корр. РАН П.И.Плотников);

— семинар лаборатории качественной теории дифференциальных уравнений Института математики СО РАН (рук. проф. Т.И.Зеленяк);

— семинар кафедры дифференциальных уравнений НГУ (рук. проф. А.М.Блохин);

— семинар отдела уравнений математической физики Математического института АН Республики Таджикистан (рук. акадев мик АН РТ Л.Г.Михайлов);

— семинар отдела уравнений с частными производными Математического института АН РТ (рук. академик АН РТ А.Д.Джураев);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6−16,76−78,81] и трудах вышеуказанных конференций. Из работ, написанных в соавторстве, в диссертацию включены только те результаты, которые получены автором лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав и занимает 297 страниц текста. Библиография содержит 119 наименований.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

2. Адирискалиева Ж. Н., Блиев Н. К. О разрешимости уравнения Кар-лемана-Векуа в неограниченных областях. Известия АН КазССР, серия физ.-матем., N 5, 1988.

3. Александрия Г. И. Об одной граничной задаче для обобщенных аналитических функций. Труды Тбилисского ун-та, 56(1955), с. 135−139.

4. Антонцев С. Н. Обобщенная система Коши-Римана с почти регулярными коэффициентами (Метрические вопросы теории функций и отображения). Киев: Наукова думка. 1977, с.3−17.

5. Атья М. Ф., Зингер М. И. Индекс эллиптических операторов. 1,111 -УМН, 1968, т.23, N5, с.99−142, т.24, N1, с.127−182.

6. Байзаев С. Эллиптические системы с ограниченными коэффициентами на плоскости. Новосибирск. 1999. 74 с. (Препринт 41/ НИИ дискретной математики и информатики).

7. Байзаев С., Мухамадиев Э. Об индексе эллиптических операторов первого порядка на плоскости. Дифференциальные уравнения, 1992, т.28, N5, с.818−827.

8. Байзаев С. Принцип максимума модуля и градиента решения квазилинейных эллиптических уравнений. Доклады АН ТаджССР, 1984, т.27, N9, с.481−484.

9. Байзаев С., Махмудов Ш. О нетеровости и индексе обыкновенных дифференциальных операторов с ограниченными коэффициентами. Доклады АН ТаджССР, 1987, т. ЗО, N2, с.71−74.

10. Байзаев С. О медленно растущих решениях одной многомерой эллиптической системы. Доклады АН ТаджССР, 1991, т.34, N6, с.329−332.288.

11. Байзаев С. О существовании периодических решений нелинейной обобщенной системы Коши Римана. Доклады АН ТаджССР. 1981, т.24, N2, с.75−79.

12. Байзаев С., Мухамадиев Э. О признаках неустойчивости стационарных режимов в нелинейных системах. Автоматика и телемеханика, 1987, N4, с.3−8.

13. Байзаев С. О некоторых свойствах периодических решений квазилинейных эллиптических систем. Материалы конф. «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики вторые Бого-любовские чтения», Киев, 1992, с. 13.

14. Байзаев С. О нетеровости многомерных эллиптических систем в гельдеровых пространствах. В сб. Материалы Юбилейной научной конф., посвященной 50-летию развития математики в Академии наук Казахстана, Алма-Ата, 1995.

15. Байзаев С. К теории ограниченных решений эллиптических систем первого порядка на плоскости. Материалы международной конф. «Современные проблемы прикладной математики и экономики», Самарканд, 1997, с.46−51.

16. Байзаев С. О задаче линейного сопряжения для обобщенных аналитических функций на полуплоскости. Доклады АН Республики Таджикистан. 1999, т.42, N3.

17. Байзаев С. Периодические и ограниченные решения нелинейных обобщенных систем Коши Римана. Канд. диссертация. Математический институт АН ТаджССР. 1982.

18. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966, 351 с.

19. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго28 gпорядка. M.: Наука, 1966.

20. Блиев H.K. Обобщенные аналитические функции в дробных пространствах. Алма-Ата, 1985.

21. Близняков Н. М. Индексы Коши и индекс особой точки векторного поля. Применение топологии в современном анализе. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1985.

22. Боярский Б. В. Исследования по уравнениям эллиптического типа на плоскости и граничным задачам теории функций. Докт. диссертация, МИАН, 1960.

23. Боярский Б. В. Теория обобщенного аналитического вектора. Annales Polonici Mathemat. 17, 3(1966), р.281−320.

24. Боярский Б. В. Абстрактная задача линейного сопряжения и фред-гольмовы пары подпространств.-Дифф. и интегр. уравнения, Краевые задачи, Тбилиси, 1979, с. 45−60.

25. Боярский Б. В. Общие свойства решений эллиптических систем на плоскости. В кн.: Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1960, с.461−483.

26. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.:Наука, 1969.

27. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. ОГИЗ М.-Л., 1948, 296с.

28. Векуа И. Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек. -Мат. сб., 1952, т.31(73), вып.2, с.217−314.

29. Векуа И. Н. Об одной линейной граничной задаче Римана. Труды Тбилисского Матем. ин-та, 1942, т.11, с. 109−139.

30. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.:Наука, 1988,290 509с.

31. Виноградов B.C. Об одной задаче для квазилинейных систем уравнений на плоскости. ДАН СССР, 1958, t.121,N4, с.579−582.

32. Виноградов B.C. О теореме Лиувилля для обобщенных анатических функций. ДАН СССР, 1968, т.183, ЪЗ, с.503−506.

33. Виноградов B.C. О теоремах Лиувилля для уравнения обобщенных аналитических функций. Дифференциальные уравнения, 1980, т. 16, N1, с.42−46.

34. Виноградов B.C. В сб.: Комплексный анализ и его приложения. М.: Наука, 1978, с.120−125.

35. Вишик М. И., Эскин Г. И. Нормально разрешимые задачи для эллиптических систем уравнений в свертках.-Мат. сб., 1967, т.74, N3, с.326−356.

36. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Нака, 1988, 512с.

37. Владимиров B.C. Задача линейного сопряжения голоморфных функций многих комплексных переменных. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1965, т.29, N4, с.807−834.

38. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976, 280 с.

39. Владимиров B.C., Михайлов В. П., Вашарин A.A. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики, М.: Наука, 1982, 256 с.

40. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем. -Мат.сб., 1965, т.68, с.373−416.

41. Вольперт А. И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем уравнений на плоскости. Труды Моск. мат. о-ва, 1961, т. Ю, с.41−87.

42. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, 576с.294.

43. Гахов Ф. Д. О краевой задаче Римана. Мат. сб., т.2(44), N4, 1937, с.673−683.

44. Гахов Ф. Д. Линейные краевые задачи теории функций комплексного переменного.Изв. Казанск. физ.-матем. об-ва и Научноисслед. ин-та матем. и мех. при Казане, ун-те. 3-серия, т.10, 1938, с.39−79.

45. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.:Наука, 1977, 640с.

46. Гахов Ф. Д. Краевая задача Римана и некоторые другие задачи, сводящиеся к ней. В кн. «Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного». М.: Физматгиз, 1961, с.359−375.

47. Гельфанд И. М. Об эллиптических уравнениях. Успехи математических наук. 1960, т.15, вып.3(93), с.121−132.

48. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов. Успехи мат. наук, 12, вып. 2(1957), 43 с.

49. Данилюк И. И. Некоторые вопросы теории эллиптических дифференциальных систем и квазикомформных отображений. Учен.зап. Львовск гос. ун-та. 38, N7,(1956).

50. Данилюк И. И. Исследования по теории краевых задач для эллиптических уравнений. Док. дис. СО АН СССР, 1962.

51. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1975, 295 с.

52. Джураев А. Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987, 415с.

53. Дудников П. И., Самборский С. Н. Нетеровы краевые задачи для переопределенных систем уравнений с частными производными. Киев, ин-т математики АН УССР, препринт 81.47, 33 с.

54. Егоров Ю. В. Линейные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984, гэг360с.

55. Колмогоров А. Н, Фомин C.B. Эементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

56. Кошелев А. И. Априорные оценки в L и обобщенные решения эллиптических уравнений и систем. Успехи математических наук. 1958, т.13, вып. 4(82), с. 29−88.

57. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. М.:Физматгаз, 1963.

58. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве М.: Наука, 1971.

59. Кучмент П. А. Представления решений периодических дифференциальных уравнений в частных производных. Изв. АН СССР сер. матем., т.46(1982), с.782−809.

60. Лаврентьев М. А. Об одном классе непрерывных отображений. -Мат. сб., 1935, т.42, вып.4, с.407−424.

61. Лаврентьев М. А. Общая задача теории квазиконформных отображений плоских областей. Мат. сб., 1947, т.21(63) вып.2. с.285−320.

62. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

63. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. Изд-во МГУ, 1978, 204 с.

64. Лере Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения. Усп. матем. наук, 1946, т.1, N3, с.71−95.

65. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных кравых задач. М.: Мир, 1972.

66. МалкинИ.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966, 530с.

67. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического293типа. M.: ИЛ, 1957.

68. Михайлов Л. Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. Учен. зап. Тадж. госунив. 10(1957), с.32−79.

69. Михайлов Л. Г. Об одной граничной задаче линейного сопряжения. ДАН СССР, 139, 2(1961), с.294−294.

70. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963, 183с.

71. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, СО Наука, 1977, 424 с.

72. Монахова C.B. Краевые задачи для квазилинейных почти регулярных эллиптических систем уравнений. Динамика сплошной среды. СО АН 1991, вып. 101, с.85−101.

73. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, 599 с.

74. Мухамадиев Э. Об обратимости дифференциальных операторов в частных производных эллиптического типа. ДАН СССР, 1972, т.205, N6, с.1292−1295.

75. Мухамадиев Э. О нормальной разрешимости и нетеровости эллиптических операторов в пространствах функций на R. Записки науч. сем. ЛОМИ. 1981, т.110, с. 120−140.

76. Мухамадиев Э., Байзаев С. К теории ограниченных решений обобщенной системы Коши Римана. ДАН СССР, 1986, т.287, N2, с.280−283.

77. Мухамадиев Э., Байзаев С. О нетеровости и индексе эллиптических операторов первого порядка на плоскости. Доклады АН ТаджССР, 1987,294 т.ЗО, N4, с.206−210.

78. Мухамадиев Э., Байзаев С. О нетеровости обобщенных уравнений Коши Римана. Известия АН ТаджССР. Отделение физ.мат., хим. и геолог, наук, 1988, N2(108), с.3−9.

79. Мухамадиев Э. К теории ограниченных решений эллиптических уравнений на плоскости. 5 Conference on Complex Analysis, Halle, December, 12−17, 1988. Abstracts.

80. Мухамадиев Э. К теории дифференциальных уравнений в пространстве обобщенных функций. Известия АН ТаджССР. Отделение физ.-мат., хим. и геолог, наук, 1988, N4(110).

81. Мухамадиев Э., Адель Taxa, Байзаев С. О нормальной разрешимости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Узбекский математический журнал, 1997, N2, с.58−62.

82. Ниренберг JI. Лекции о линейных дифференциальных уравнениях с частными производными. УМН, 1975, т. ЗО, N4, с.147−204.

83. Новиков С. П., Стернин Б. Ю. Эллиптические операторы и подмногообразия. ДАН СССР, 1966, 171, N3, с.525−528.

84. Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Физматгиз, 1967.

85. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М.: Мир, 1970, 359с.

86. Похожаев С. И. Об эллиптических задачах в RN с суперкритическим показателем нелинейности. Мат. сб., 182, N4 (1991), с.467−489.

87. Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1986, 575с.

88. Сафаров Д. О размерности пространства решений степенго роста для одного класса эллиптических систем. Дифференциальные уравнения. Z951979, т.15, N1, с.112−115.

89. Слободецкий JI.H. Оценка решений эллиптических и параболических систем. ДАН СССР, 120, N3, 1958, с.468−471.

90. Соболев C. J1. Об одной предельной задаче теории логарифмического потенциала и ее применение к отражению плоских упругих волн. Тр. Сейсм. ин-та АН СССР, N1, 1930, с.1−18.

91. Товмасян Н. Е. Корректность граничных задач для уравнений в частных производных в полупространстве в классе обобщенных функций. Сиб. мат. журнал, 1987, т.28, N2, с.17−185.

92. Хведелидзе Б. В. О краевой задачи Пуанкаре теории логарифмического потенциала для многосвязной области. Сообщ. АН ГрузССР, т.11, N7, N10. 1941; с.571−578, с.865−872.

93. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.2, Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.:Мир, 1986, 455с. Т. З, Псевдодифференциальные операторы, М: Мир, 1987, 694с.

94. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. М: Наука, 1969, 576с.

95. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы. М: Наука, 1978, 279с.

96. Шубин М. А. Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы в пространстве почти-периодических функций. Мат. сб. 1974, т.95, N4, с.562−589.

97. Янушаускас А. И. Многомерные эллиптические системы с пермен-ными коэффициентами. Вильнюс: Мокслас, 1990, 180с.

98. Agmon S., Nirenberg L. Lower bounds and uniqueness theorems for solutions of differential equations in a half space, Comm. Pure Appl. Math. v.20(1967), p.207−229.236.

99. Atiyah M.F., Bott R. The index problem for manifolds with boundary. Coll. Differential Analysis, Tata Institute Bombay, Oxford University Press, Oxford, 1964, p.175−186.

100. Bers L. Theory of pseudoanalytic functions. Lecture Notes, New York, 1953.

101. Bers L. An outline of the theory of pseudoanalytic functions. Bull. Amer. Math. Soc., v.62(1956), p.291−375.

102. Bers L., Nirenberg L. On linear and nonlinear elliptic boundary value problems in the plane. Convegno Int. Equaz. lin. der.parz., Trieste, 1954, Ed. Cromonese, Roma, 1955, p.141−167.

103. Calderon A.P. The analytic calculation of the index of elliptic equations, Proc. Nat. Acad. Sci. 57(1967), p.1193−1194.

104. Carleman T. Sur les systemes linearies aux derivees partielles du premier ordre a deux variables. Compt. Rend. Ac. Sci. 197(1933), 471−474.

105. Carleman T. Sur un probleme d’uicite pour les systemes d’equations aux derivees partielles a deux variables independentes. Arkiv for Mathematik. Actr. och. Fysik. 26, B., N17, (1939).

106. Corduneanu C. Bounded and almost priodic solutions of certain nonlinear elliptic equations. 9Tohoku Math. J.9, 1980, v.32, N2, p.265−278.

107. Douglies A. Uniqueness in Cauchy problems for elliptic systems of equations. Comm. Pure Appl. Math. 13(1960), p.593−607.

108. Dzuraev A. On the Theory of First-Order Elliptic Systems in the Plane and Application. Complex Variables, 1990, v.14, p.105−109.

109. Monakhov V.N. Solvability and Principle of topological similarity for free boundary problems in gas Dinamics and filtration theory. Fluid Dynamics Transactions. 1969, v.4, p.91−104.

110. Rempel S. An analytical index formula for elliptic pseudodifferential297boundary problems in the half-space. Banach Centre Publ. «Partial Differential Equations», Warszawa, 1978.

111. Schulze B.-W. Elliptic operators on manifolds with boundary. Contr. «Globale Analysis», Lundwigsfelde, Berlin, 1976.

112. Schwartz L. Distributions a valeurs vectorielles. 1,11. Ann. Inst. Fourier, 1957, v.7, p.1−141.

113. Trjitzincky W.J. Singular integral equations with Cauchy kernels, Trans. Amer. Math. Soc., v.60, N2, 1946, p.167−214.

114. Tutschke W. Reduction of the problem of linear conjugation for first order nonlinear elliptic systems in the plane to an problem for holomorpic functions, «Lect. Notes Math.» NN798 (1980), p.446−455.

115. Wolfersdorf L. Monotonicity methode for a class of first order semilinear elliptic differential equations in the plane. v." Math. Nachr.", 100 (1981), 187 212.

116. Wolfersdorf L. A class of nonlinear Riemann — Hilbert problems for holomorpic functions, v. «Math. Nachr.», 1984, 116, p.89−107.

117. Differential Equations and Mathematical Physics. Abstr. Int. Symp. Dedicat. 90-th Birthday Anniv. Acad. I. Vecua, Tbilisi, 1997.

118. Softova L. An integral estimate for the gradient for a class of nonlinear elliptic equuations in the plane. Z.Anal. und Anwend. 1998, 17, N1, p.57−66.

119. Rowley B. An index formula for elliptic systems in the plane. Trans. Amer. Math. Soc. 1997, 349, N8, p.3149−3179.