Метод каскадного интегрирования Лапласа и нелинейные гиперболические системы уравнений

§ 1. Общая характеристика работы.

Различные математические модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболического типа.

Известно, что гиперболические уравнения иху = F (x, у, и, их, иу) (1.1) являлись объектом классических исследований. Так, например, в 1773 году Пьер Симон Лаплас предложил «каскадный метод», дающий общее решение для специальных линейных гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.

Поиск точных решений гиперболических уравнений второго порядка — задача сложная. Взяв наугад какое-нибудь даже линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка, трудно сказать имеет ли это уравнение хотя бы одно решение. Потому что гиперболические уравнения имеют точные решения только в редких случаях.

Поэтому для теории уравнений с частными производными естественным является введение понятия интегрируемости уравнений.

По-видимому, Жан Гастон Дарбу был первым, кто дал определение точно интегрируемых гиперболических уравнений (1.1) [43, 44, 46, 47, 48].

Их еще называют уравнениями, интегрируемыми по Дарбу.

Определение 1.1. Уравнение (1.1) называется интегрируемым по Дарбу, если у него существуют нетривиальные хи уинтегралы.

Наряду с Ж. Дарбу первые примеры нелинейных интегрируемых уравнений были также построены и в работах JI. Бианки, Ж. Лиувилля, А. Беклунда. Потом эти работы были ненадолго забыты. И лишь в конце XX века исследования в этом направлении были возобновлены в связи с многочисленными приложениями гиперболических уравнений к физическим задачам и образовали один из разделов теории интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных. Огромное количество публикаций, посвященных гиперболическим интегрируемым уравнениям, указывает на важность данных исследований. При этом само понятие интегрируемости математиками понимается по-разному.

На сегодняшний день существуют различные трактовки понятия интегрируемости уравнения. В частности, в некоторых работах в понятие интегрируемости уравнения вкладывается наличие у него бесконечного набора высших симметрий или полного набора интегралов. С точки зрения таких определений интегрируемости, возможно, провести классификацию некоторого класса уравнений, то есть решить одну из основных задач теории интегрируемых нелинейных уравнений. Эти подходы позволили произвести полную или частичную классификацию интегрируемых уравнений как эволюционного, так и гиперболического типов (см. [2, 14, 18, 26, 32, 33, 34]).

Однако при классификации гиперболических систем уравнений, с применением этих критериев, даже в простейшей ситуации возникают серьезные технические трудности (см., например, работы [21, 24]).

Поэтому является актуальным применение альтернативных методов для исследования интегрируемости гиперболических систем. Одним из таких подходов, основанный на изучение характеристических алгебр гиперболических уравнений и систем уравнений, был предложен в работах [29, 40] и применен к исследованию интегрируемости специальных классов гиперболических уравнений и систем уравнений (см. [3, 4, 17, 19]). Другим перспективным методом исследования интегрируемости уравнений является подход, опирающийся на применении классического метода каскадного интегрирования Лапласа к линеаризованному уравнению, представленный в статьях [1, 20, 23, 36, 38, 39, 41, 42]. В работах [20, 42, 46] в качестве определения класса точно интегрируемых уравнений (1.1) лиувиллевского типа было выбрано свойство конечности цепочки инвариантов Лапласа для его линеаризованного уравнения. В этом смысле понятие интегрируемости оказалось удачным и позволило провести полную классификацию скалярных гиперболических уравнений лиувиллевского типа (см. [25]). Поэтому задача распространения этого подхода на случай систем гиперболических уравнений является важной для настоящего момента. Некоторые попытки в этом направлении были предприняты в работах [6, 7, 13, 15, 16, 25, 35]. В частности, в работе А. В. Жибера и В. В. Соколова [25] для нелинейных гиперболических систем уравнений вида и1 У =^г (х, у, и, их, иу), г = 1,2,., р, (1.2) и = (и1, и2,., ир) были предложены определения и инвариантов Лапласа, и систем лиувиллевского типа. Ряд примеров уравнений лиувиллевского типа можно найти, например, в статьях [12, 27, 28, 29, 31, 40].

Таким образом, существуют, по-крайней мере, четыре независимых определения интегрируемости уравнений и систем уравнений.

В диссертационной работе рассматриваются следующие определения интегрируемости систем уравнений: первое определение — основывается на наличие у систем уравнений (1.2) полного набора интегралов (их называют системами интегрируемыми по Дарбу), а второе — опирается на обрыв цепочки обобщенных инвариантов Лапласа для линеаризации системы уравнений (1.2) (такие системы уравнений будем называть системами лиувиллевского типа). Для скалярных уравнений (1−1) доказана эквивалентность этих определений интегрируемости [46], поэтому в литературе уравнения интегрируемые по Дарбу называют еще уравнениями типа Лиувилля. В дальнейшем, по аналогии со скалярным случаем, системы уравнений интегрируемые по Дарбу также будем называть системами лиувиллевского типа. Как говорилось раньше некоторые классы систем дифференциальных уравнений могут быть проклассифицированы по этим признакам интегрируемости. А также мы упоминули, что исследователь сталкивается со значительными вычислительными трудностями при классификации дифференциальных систем уравнений интегрируемых по Дарбу. Поэтому целью диссертации было выбрано развитие иного подхода к решению задач классификации специальных интегрируемых дифференциальных систем уравнений (1.2) лиувиллевского типа. В результате был получен список систем уравнений, в котором содержатся и новые системы уравнений. Для некоторых систем уравнений из списка построены общие решения с использованием интегралов. В связи с этим настоящая работа также посвящена исследованию интегралов нелинейных гиперболических систем уравнений (1.2).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая — номер по порядку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

Доказана теорема о наличии полного базиса интегралов у систем уравнений вида (1.2) лиувиллевского типа. А также проведено обоснование того факта, что если у системы уравнений (1.2) имеется базис интегралов в одном порядке больше или равному двум, тогда элементы базиса можно выбрать линейными по старшим переменным.

Показано, что системы уравнений (1.3) с матрицами Картана Вп, Т>п и являются системами лиувиллевского типа в смысле определения 2.1. Для этих систем получены явные формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа. А для систем уравнений с исключительными матрицами Т и Eq — Е% написана программа под названием «Invariant», предназначенная для среды Maple V Release 4. С помощью этого пакета посчитаны инварианты и обобщенные инварианты Лапласа и показано, что цепочки обощениых инвариантов Лапласа обрываются.

Описаны все системы уравнений Эйлера — Пуассона (1.4), у которых цепочки инвариантов Лапласа обрываются. Выведены формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа и показано, что данная система (1.4) при некоторой замене сводится к системе (9.31). А также построено общее решение для систем уравнений (9.31).

Решена классификационная задача для дифференциальных систем уравнений второго порядка специального класса лиувиллевского типа. Кроме известных примеров список систем лиувиллевского типа содержит новые точно интегрируемые системы.

Найдены хи уинтегралы для систем уравнений (1.7) — (1.9). С помощью интегралов построены общие решения систем уравнений (1.7) — (1.9).

Заключение

.