Алгебры операторов, связанные с интерполяционными пространствами

Некоторые задачи анализа привели к необходимости обобщения методов интерполяции линейных операторов на категорию п-семейств банаховых пространств. Интерполяция в конечных и бесконечных семействах банаховых пространств рассматривалась в работах И. У. Асекритовой, Д. Вейса, И. Йосикавы, В. Кауфмана, Н. Керцмана, Ф. Кобоша, С. Г. Крейна, Ж. Лионса, И. Николовой, Я. Петре, Г. Спарра, Х. Фернандеса, П. Фернандес-Мартинеза, С. Фойяша, М. Цвикеля, С. Янсона и др.

Первый пример интерполяции для п-семейств гильбертовых пространств приведен в работе [49] Фояша и Лионса в 1961 г., а другой в работе [50] Керцмана в 1966 г. Позже Йосикавой в работе [56] было установлено, что методы средних и констант различаются для п-семейств банаховых пространств. В работе Спарра [55] дано обобщение вещественного метода интерполяции со степенными параметрами на категорию п-семейств банаховых пространств. Им было установлено, что в общем случае не верна основная лемма вещественного метода теории интерполяции. Спарр выделяет п-семейства, для которых справедлива основная лемма, и следовательно, справедливы теоремы реитерации и эквивалентности.

В 1987 г. Цвикель и Янсон в работе [45] привели пример тройки гильбертовых пространств с плотным пересечением, для которой также не выполняется теорема эквивалентности. В этой работе дано обобщение вещественного метода на бесконечные семейства банаховых пространств. И. У. Асекритова в работах [1], [39] обобщила вещественный метод на п-ки банаховых пространств с функциональными параметрами, а затем, в [40] доказала, что теоремы эквивалентности и реитерации верны для семейств функциональных банаховых решеток.

Таким образом уже с самого начала развития теории интерполяции выявилось существенное различие между интерполяцией для пар и интерполяцией для семейств пространств. Все говорило резком увеличении «числа» интерполяционных пространств при переходе от пар к большим семействам, в связи с этим В. И. Овчинников высказал гипотезу о том, что, видимо, существует экстремальный случай, даже в классе гильбертовых пространств, когда множество интерполяционных пространств для семейств пространств совпадает с множеством всех промежуточных пространств. (Грубые предельные модели эту гипотезу подтверждают). Основной причиной такого резкого скачка в количестве интерполяционных пространств является то, что алгебра операторов, действующих в тройке и т. д. семействе пространств становится сравнительно малой, и поэтому число инвариантных относительно ее пространств велико. В связи с этим целесообразно сосредаточиться на изучении алгебры операторов, действующих в семействе пространств и, в частности в парах пространств. Оказалось, что и в случае пар гильбертовых пространств о структуре и свойствах алгебры операторов известно довольно немного.

Основные результаты об интерполяции в гильбертовых парах получены в работах В. Донохью [46], В. И. Овчинникова [25]—[32], [52]-[54], A.A. Седаева [35], С. Фойяша, И. Я. Шнейберга [37], а также в недавних работах Г. Амера [38]. И. Я. Шнейберг впервые в работе [37] отметил аномалии в структуре алгебры операторов, действующих в паре, резко отличающие ее от алгебры операторов, действующих в гильбертовом пространстве.

Эти соображения и послужили отправной точкой для данной работы.

Работа состоит из тринадцати параграфов, которые объединены в три главы. В первой главе даются основные определения и рассматриваются простейшие свойства алгебры L (B) операторов, действующих банаховой паре В. В параграфе 1.2. удалось реализовать алгебру L (B) как некоторую замкнутую подалгебру в алгебре операторов L (Bo ф В), действующих в прямой сумме банаховых пространств. В параграфе 1.3. посвящен введению в алгебре L (H) операторов, действующих в регулярной гильбертовой паре Н = {Hq, Hi}, инволюции. В этом параграфе показано, что алгебру L (H) можно рассматривать как *-алгебру, с точностью до эквивалентности норм. Наряду с этим отмечено, что она отличается от алгебры операторов, действующих в гильбертовом пространстве тем, что на ней невозможно ввести С*-норму. Наличие на пересечении пространств Hq П Н различных скалярных произведений, позволяет рассмотреть различные слабые топологии в Ь (Н). В параграфе 1.4. доказано, что все введенные слабые топологии в алгебре Ь (Н) совпадают на единичном шаре в Ь (Н). Параграф 1.5. посвещен изучению связи алгебры Ь{Н) и ее идеалов с некоторыми треугольными алгебрами. Так удалось доказать аналог теоремы Мацаева о треугольном усечении для ограниченных операторов, действующих в регулярной гильбертовой паре. Более того, оказалось, что алгебра Ь (Н) равна сумме двух треугольных (гнездовых) подалгебр операторов, одна из которых есть треугольная алгебра в пространстве Но, а другая в пространстве Н.

Аналогичное представление в виде суммы двух треугольных алгебр верно и для идеала С (Н) вполне непрерывных операторов в обоих пространствах, Но и Н. В параграфах 1.6. и 1.7. изучаются идеалы операторов в алгебре Ь (Н). В частности, показано, что также, как для алгебры Ь (Н) всех операторов в гильбертовом пространстве, множество конечномерных операторов в алгебре Ь (Н) является минимальным идеалом в этой алгебре, а идеал компактных операторов С (Н) является минимальным замкнутым идеалом в алгебре Ь (Н). Идеал операторов, отображающих сумму Щ + Н в пересечение, Но п Н, очевидно наиболее важен с точки зрения интерполяции линейных операторов. Поэтому представляется интересным понять его алгебраические свойства. Здесь удалось установить, что в случае вполне непрерывных пар гильбертовых пространств (то есть когда вложение, Но п Н с, Но + Н вполне непрерывно) этот идеал 1{Н) = Ь{Но + Н —> Но п Н) содержится в пересечении всех максимальных двусторонних идеалов алгебры £>(Н). Вторая глава посвящена изучению представлений алгебры операторов, действующих в га-ках банаховых пространств. В параграфе 2.1. даются основные определения из теории п-ок банаховых пространств и рассматриваются элементарные свойства. Параграф 2.2. посвящен описанию связи между интерполяционными пространствами и неприводимыми представлениями. В параграфе 2.3. доказывается, что любое точное топологически неприводимое непрерывное представление алгебры Ь[Й) операторов, действующих в п-ке эквивалентно представлению этой алгебры в некотором интерполяционном пространстве для этой п-ки. Наряду с этим оказалось, что не все топологически неприводимые представления ограничиваются представлениями в интерполяционных пространствах. Как показано в параграфе 2.4. на операторов, действующих в пространстве последовательностей ?2 с разреженными весами, существуют скалярные гомоморфизмы, то есть одномерные неприводимые представления. Последний параграф второй главы посвящен описанию интерполяционных свойств алгебры операторов, действующих в паре с разреженными весами. Здесь показано, что любая банахова решетка лежащая между пространствами 1 и является интерполяционным пространством между пространствами пары с разреженными весами. Кроме этого анализ структуры алгебры операторов, действующих в паре гильбертовых пространств с разреженными весами, позволиллегко объяснить знаменитые результаты И. Я. Шнейберга о группе обратимых элементов в паре гильбертовых пространств. И. Я. Шнейберг в работе [37] показал, в противовес теореме Кюйпера (см.

51]), что эта группа не только не стягиваема, но и имеет континуум связных компонент. Замечаем, что по сути дела доказательство И. Я. Шнейберга использует те же идеи, что и в данной работе, и этот результат рассматривается здесь как иллюстрация алгебраического подхода.

Третья глава посвящена построению экстремальных примеров алгебр операторов, действующих в гильбертовых п-ках. В параграфе 3.1. построен пример гильбертовой п-ки, с нулевым пересечением, для которой алгебра операторов, действующих в ней представлена лишь скалярными операторами. В силу этого множество интерполяционных и множество промежуточных пространств для этой п-ки совпадают. В параграфе 3.2. дается пример бесконечного регулярного семейства гильбертовых пространств, которое обладает «почти экстремальным интерполяционным» свойством. Оказалось, что множество интерполяционных пространств содержит целый интервал промежуточных пространств для этого семейства. То есть найдутся такие два разных промежуточных пространства, что любое промежуточное между ними пространство будет интерполяционным для этого семейства.

Нумерация параграфов в работе двойная, где, как обычно, сначала указывается номер главы, затем номер параграфа. Внутри каждого параграфа все определения, теоремы и т. п. нумеруются заново и получают тройную нумерацию: (номер главы, номер параграфа, номер теоремы) и т. п. Формулы имеют такую же тройную нумерацию.

1. Асекритова И. У. Действительные интерполяционные методы для конечных семейств банаховых пространств / И. У. Асекритова // Труды семинара «Теория функций нескольких действительных переменных. рославль, 1981. — С.9−17.

2. Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. М.: Наука, 1966.443 с.

3. Берг Й. Интерполяционные пространства.

Введение

/ Й. Берг, Й. Лёфстрём. М.: Мир, 1980. — 264 с.

4. Борисович Ю. Г.

Введение

в топологию / Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков, Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 1980. — 295 с.

5. Брудный Ю. А. Интерполяция линейных операторов / Ю. А. Брудный, С. Г. Крейн, Е. М. Семенов // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: Наука, 1986. С.3−236.

6. Гохберг И. Ц.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. М.: Наука, 1967. — 345 с.

7. Дмитриев В. И. Основы теории интерполяции линейных операторов / В. И. Дмитриев, С. Г. Крейн, В. И. Овчинников // Геометрия линейных пространств и теория операторов. -Ярославль, 1977. С.31−74.

8. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц М.: ИЛ, 1962. — 663 с.

9. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления / Ж. Диксмье. М.: Наука, 1974. 399 с.

10. Кабанко М. В. О неприводимых представлениях алгебры операторов в гильбертовой паре / М. В. Кабанко, В. И. Овчинников / / Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, — 2001. — №¦ 5 (новая серия). — С.52−60.

11. Кабанко М. В. Алгебра операторов, действующих в гильбертовой паре /М.В. Кабанко // Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, — 2001. — №- 6 (новая серия). С.54−60.

12. Кабанко М. В. Об алгебре операторов в шестерке гильбертовых пространств / М. В. Кабанко // Труды молодых ученых физико-математического факультета: межвузовский сб. тр. / Курский гос. пед. ун-т. Курск, 2001. — С.34−40.

13. Кабанко М. В. Об алгебре операторов в конечных семействах гильбертовых пространств / М. В. Кабанко // Воронежская зимняя математическая школа 2002, Воронеж, 25−31 января 2002 г. тез. докл. : — Воронеж, 2002. — С.32−33.

14. Кабанко М. В. О непрерывных представлениях алгебры операторов, действующих в семействах банаховых пространств / М. В. Кабанко // Труды матем. факультета. Воронеж, — 2002. -№¦ 7 (новая серия). — С.45−53.

15. Кабанко М. В. О точных представлениях алгебры в интерполяционных пространствах / М. В. Кабанко / / Воронежская зимняя математическая школа 2003, Воронеж, 26 января — 2 февраля 2003 г.: тез. докл. — Воронеж, 2003. С.45−46.

16. Кабанко М. В. О некоторых идеалах, связанных с гильбертовыми парами / М. В. Кабанко / / Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений, Воронеж, 30 июня 4 июля 2003 г.: тез. докл. — Воронеж, 2002. С.145−146.

17. Кабанко М. В. Об алгебре операторов в гильбертовой паре с разреженными весами / М. В. Кабанко // Воронежская весенняя математическая школа 2004, Воронеж, 3−9 мая 2004 г.: тез. докл.- Воронеж, 2004. С. 102.

18. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. М.: Наука, 1977. 523 с.

19. Крейн С. Г. Функциональный анализ / С. Г. Крейн. М.: Наука, 1965. 367 с.

20. Крейн С. Г Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов. М.: Наука, 1978. — 400 с.

21. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженис. М.: Мир, 1971. — 378 с.

22. Мерфи Дж. Д. С*-алгебры и теория операторов / Дж. Д. Мерфи.- М.: «Факториал», 1997. 324 с.

23. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / X. Массера, X. Шеффер. М.: Мир, 1970. — 456 с.

24. Овчинников В. И. Интерполяционные теоремы, вытекающие из неравенства Гротендика / В. И. Овчинников // Функционнальный анализ и его приложения. 1976. Т. 10, вып. 4. — С.45−54.

25. Овчинников В. И. Интерполяционные орбиты классов &-р в гильбертовых парах / В. И. Овчинников // Доклады АН СССР. -1978. Т. 242. С.52−55.

26. Овчинников В. И. Интерполяция операторов класса ар в гильбертовых парах / В. И. Овчинников // Математические заметки. 1980. — Т.27, вып. 2. — С.273−282.

27. Овчинников В. И. Интерполяция в симметрично-нормированных идеалах операторов, действующих в различных пространствах / В. И. Овчинников // Матем. сборник. 1981. — Т. 115. — С.80−82.

28. Овчинников В. И. Интерполяционные теоремы для пространств ЬРд / В. И. Овчинников // Матем. сборник. 1988. — Т. 136(178).- С.227−240.

29. Овчинников В. И. Оптимальная интерполяционная теорема для квазибанаховых пространств 1Р с весами и для операторов из классов Неймана-Шаттена в гильбертовых парах / В. И. Овчинников // Математические заметки. 1993. — Т. 53, вып. 2. — С.94−99.

30. Овчинников В. И. Интерполяция в симметричнонормированных идеалах операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах / В. И. Овчинников // Функционнальный анализ и его приложения. 1994. — Т. 28, вып. 2. С.80−82.

31. Овчинников В. И. Когерентно ядерные операторы в гильбертовых парах / В. И. Овчинников // Математические заметки. 1998. -Т.бЗ, вып. 6. С.886−872.

32. Овчинников В. И. Об интерполяции в пространствах векторнозначных последовательностей / В. И. Овчинников // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2000. №¦ 1. С.143−146.

33. Овчинников В. И. Расширение подматриц и некоммутативное пространство ВМО / В. И. Овчинников // Труды математического факультета. Воронеж, 2000. — N- 6. -С.52−56.

34. Пич А. Операторные идеалы / / А. Пич. М.: Мир, 1982. 536 с.

35. Седаев A.A. Описание интерполяционных пространств для парыA.A. Седаев // Доклады АН СССР. 1973. Т. 209. С.798−800.

36. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель. М.: Мир, 1980. 664 с.

37. Шнейберг И. Я. О несвязности группы обратимых операторов в паре гильбертовых пространств / И. Я. Шнейберг // Труды НИИ математики ВГУ. Воронеж, 1970. — Т.1 С.36−41.

38. Ameur Y. Interpolation of Hilbert spaces / Y. Ameur // Uppsala dissertation in Mathematics. Uppsala, 2000. V.20. — 75 pp.

39. Asekritova I. U. Theorem of reiteration and K-divisionabl n + 1-tuples of Banach spaces / I.U. Asekritova // Comment.Math.Prace Mat. 1992. V.20. — P.171−175.

40. Asekritova I.U. On equivalence Kand Л-methods for n + 1-tuples of Banach spaces / I.U. Asekritova, N. Krugliak // Stud. Math. 1997. Vol.122. — P.149−167.

41. Brudnyi Ju.A. Interpolation spaces and interpolation functors / Ju.A.Brudnyi, N. Krugliak. Amsterdam, North Holland., 1991. 632 pp.

42. Cobos F., Peetre J. Interpolation of compact operators: the multidi-mentional case / F. Cobos, J. Peetre //Proc. London. Math. Soc. -1991. V.63. — P.371−400.

43. Cobos F., Fernandez-Martinez P. Reiteration and Wolff theorems for interpolation methods by means of polygons / F. Cobos, P. Fernandez-Martinez // Stud. Math. 1992. — V.102 (3). — P.371−400.

44. Cobos F., Fernandez-Martinez P. On optimality of compactness results for interpolation methods associated to polygons / F. Cobos, P. Fernandez-Martinez // Indag. Mathem., N.S. 1994. — V.5 (4). -P.397−401.

45. Cwikel M. Real and complex interpolation methods for finite and infinite families of Banach spaces / M. Cwikel, S. Janson // Advances in Math. 1987. V.66. — P.234−290.

46. Donoghue W.F. The interpolation of quadratic norms/ W.F.Donoghue // Acta Math. 1967. V.118. — P.251−270.

47. Davidson K.A. Nest algebras / K.A. Davidson // Pitman-Longman Pbl., 1995. 613 pp.

48. Fernandez D.L. Interpolation of 2n Banach spaces / D.L. Fernandez // Stud. math. 1974, V. 35. — P.87−113.

49. Foias C., Lions I.-L. Sur certain theoremes d’interpolation // Acta sci. math. Szeged, 1961. — V. 22. — N.3−4. P.269−282.

50. Kerzman N. Sur certain ensembles convexes lies a des espaces Lpf C. r. Acad, sci., 1966. — V.263. — N.ll.

51. Kuiper N.H. The homotopy type of the unitary group of Hilbert space/ N.H. Kuiper // Topology. 1965. — V.3. — N.l. — P.19−30.

52. Ovchinnikov V.I. The Method of Orbits in Interpolation Theory. / V.I. Ovchinnikov // Mathematical Reports. Vol. 1. Part 2. Chur-Paris-London-New York: Harwood Acad. Pbl., 1984. 167 pp.

53. Ovchinnikov V.I. Interpolation orbits in couples of Lp spaces / V.I. Ovchinnikov // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 2002. — V. 334. P.881−884.

54. Ovchinnikov V.I. Lions-Peetre construction for couples of operator spaces /V.I. Ovchinnikov // Russian Journal of Mathimatical Physics. 1995. — V.3. — P.407−410.

55. Sparr G. Interpolation of several Banach spaces / G. Sparr // Ann. Math. Pura Appl. 1974. V. 99. — P.247−400.

56. Yoshikawa A. Sur la theorie d’espaces d’interpolation. Les espaces de moyenne de plusieurs espaces de Banash // J. Fac Sci., Univ. Tokyo. 1970. — Sec. 1. — V.16. — 3. — P.407−468.